林寿数学史教案-第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立

第一篇：林寿数学史教案-第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立

第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立

韦斯特福尔（美，1924－1996年）《近代科学的建构》：从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心的文化变革成为现在这样以科学为中心的文化。

1、近代科学的兴起

科学思想与方法论：培根（英，1561－1626年）1620年出版《新工具》，伽利略（意，1564－1642年）创立了科学的实验方法。

天文学的革命：开普勒（德，1571－1630年）公布了行星运动三定律，伽利略1632年出版了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》。

经典力学体系的诞生：1586年斯蒂文（荷，1548－1620年）发表了《静力学原理》，伽利略1638年出版了《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》。

化学确立为科学：波义耳（英，1627－1691年）建立了朴素的元素概念，施塔尔（德，1660－1734年）提出了燃素说，拉瓦锡（法，1743－1794年）建立了科学的氧化理论，被誉为“化学之父”。

生物学的孕育：维萨里（比，1514－1564年）1543年出版《人体的构造》，塞尔维特（西，1511－1553年）1553年阐述了血液心肺循环过程，哈维（英，1578－1657年）1616年出版的《动物的心血运动及解剖学研究》阐述了血液循环过程，被誉为“生理学之父”。

2、解析几何的诞生

16世纪对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。

奥雷斯姆（法，1323－1382年）提出了形态幅度原理，启发了笛卡儿创立解析几何，给伽利略力学研究提供线索。

笛卡儿（法，1596－1650年），欧洲近代哲学的奠基人之一，堪称17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。

1637年《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》中有三个附录，其中《几何学》给出了解析几何思想。

笛卡儿提出了坐标系和曲线方程的思想，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合，把古典几何处于代数学支配之下。

费马（法，1601－1665年），17世纪法国最伟大的数学家，关于解析几何的工作始于竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面曲线》而引起的，1629年《平面和立体轨迹引论》也阐述了解析几何的原理。

3、微积分的创立 3.1 孕育（16－17世纪）

（1）伽利略（意，1564－1642年）1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》；

（2）开普勒（德，1571－1630年）1615年《测量酒桶的新立体几何》；（3）卡瓦列里（意，1598－1647年）1635年《用新方法促进的连续不可分量的几何学》；

（4）托里切利（意，1608－1647年）1641年《论自由坠落物体的运动》；（5）笛卡儿（法，1596－1650年）1637年《几何学》；（6）费马（法，1601－1665年）的极大极小方法（1629）；（7）巴罗（英，1630－1677年）1664年《几何讲义》；（8）沃利斯（英，1616－1703年）1655年《无穷算术》。3.2 牛顿（英，1642－1727年）

英国诗人波普的诗：自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说：让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。

牛顿1661年进入剑桥大学三一学院，1665年夏至1667年春成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，1669年担任卢卡斯讲座的教授至1701年，1699年伦敦造币局局长，1703年皇家学会会长，1705年封爵。

第一个创造性成果：二项定理（1665）及无穷级数（1666），第一篇微积分文献：《流数简论》（1666），1687年出版《自然哲学的数学原理》。

牛顿墓碑上的拉丁铭文。

3.3 莱布尼茨（德，1646－1716年）

1661年进入莱比锡大学学习法律，1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，1672－1676年留居巴黎，1677年抵达汉诺威，在布伦兹维克公爵府中任职，此后汉诺威成了他的永久居住地。

莱布尼茨的博学多才在科学史上罕有所比，他的研究领域及其成果遍及数 2 学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、神学、历史和外交等等。

第一篇发表的微分学论文：1684年《一种求极大与极小值和求切线的新方法》。第一篇发表的积分学论文：《深奥的几何与不可分量及无限的分析》（1686）。

3.4 微积分优先权之争

1713年，英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》。英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。

第二篇：林寿数学史教案-第七讲：分析时代：18世纪的数学

第七讲：分析时代：18世纪的数学

18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期。

1、微积分的发展

1.1 泰勒（英，1685－1731年）

1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了泰勒公式。

1.2 麦克劳林（英，1698－1746年）

英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的《流数论》，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。

1.3 斯特林（英，1692－1770年）

英国皇家学会会员，1730年在《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式——辛普森公式、斯特林公式。

1.4 棣莫弗（法，1667－1754年）

英国皇家学会会员，1730年《分析杂论》中首先给出了斯特林公式，建立欧拉－棣莫弗定理，1718年出版的《机会的学说》成为概率论的奠基人。

由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野。

1.5 雅格布•伯努利（瑞士，1654－1705年）

1687－1705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版《微分学方法，论反切线法》。

1.6 约翰•伯努利（瑞士，1667－1748年）

1705－1748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的《积分学教程》，成为当时数学界最有影响的人物之一。

1.7 丹尼尔•伯努利（瑞，1700－1782年）

在圣彼得堡工作8年（1725—1733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版《流体动力学》，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人。

1.8 欧拉（瑞士，1707－1783年）

18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿。

13岁进入巴塞尔大学，工作于圣彼得堡科学院（1727－1741年，1766－1783年）和柏林科学院（1741－1766年）。1748年《无穷小分析引论》，1755年《微分学原理》，1768－1770年《积分学原理》（3卷）成为分析的百年传世经典之作。

背景：法国启蒙运动与“百科全书派”。1.9 达朗贝尔（法，1717－1783年）

1741年进入巴黎科学院，1754年为终身院士，1772年被选为终身秘书。数学分析的重要开拓者之一，在《百科全书》中的撰写大量条目。

1.10 拉格朗日（法，1736－1813年）

分析学中仅次于欧位的最大开拓者。都灵时期：1754－1766年；柏林时期：1766－1787年，《分析力学》；巴黎时期：1787－1813年，《解析函数论》。

背景：法国大革命。

1.11 伯克莱（爱尔兰，1685－1753年）

1734年《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分学说的攻击揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。

2、数学新分支的形成

一系列新的数学分支在18世纪成长起来。在此介绍与微积分密切相关的常微分方程、偏微分方程、变分法三个分支的形成。

2.1 常微分方程

1690年雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年）提出悬链线问题。莱布尼茨、惠更斯（荷，1629－1695年）、约翰•伯努利给出问题的解。

常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的结果。

2.2 偏微分方程

达朗贝尔（法，1717－1783年）1747年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端。偏微分方程研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。

一阶偏微分方程的解法。2.3 变分法

起源于1696年约翰•伯努利（瑞，1667－1748年）提出最速降线问题。牛 2 顿、莱布尼茨、洛比达、约翰•伯努利、雅各布•伯努利等解决。

早期变分法三大问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题。1744年欧拉发表《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》标志着变分学的诞生。3、18世纪的中国数学

背景：彼得大帝（1672－1725年）、路易十四（1638－1715年）、康熙帝（1654－1722年）。“康乾盛世”（1661－1795年）。

3.1 梅文鼎（清，1633－1721年）

清初“历算第一名家” 和“开山之祖”《梅氏历算丛书辑要》62卷，内容包含代数、几何、三角，在数学方面最突出的成就属“三角学”的研究。

3.2 梅彀成（1681－1763年）

1712年任蒙养斋汇编官。康熙“御定”、梅彀成等编纂《律历渊源》（100卷）（1721），其中《数理精蕴》（53卷）（1690－1721年）。

3.3 明安图（1692－1765年）

年青时被选入钦天监学习天文、历象和数学，1760年升任钦天监监正，与陈际新写成《割圆密率捷法》（1763，1774）。

“乾嘉学派”与《四库全书》（1773－1781年）。4、19世纪的数学展望

18世纪末数学家们的主导意见：数学的资源已经枯竭。18世纪末的数学问题，导致数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。

第三篇：林寿数学史教案-选讲：数学论文写作初步

选讲：数学论文写作

凡是运用概念、判断、推理、证明或反驳等逻辑思维手段来分析、表达自然科学的理论和技术研究中的各种问题、成果的文章，都属于科技学术论文的范畴。科技学术论文最重要的特点是科学性和创造性。

1、论文的撰写

数学论文的撰写过程分准备和写作两个阶段。

准备阶段首先搜集资料和研究资料，发现问题，提出猜想，逐步论证，对获得的结果进行整理和提炼。写作阶段按列出的提纲写作草稿，修改定稿。

1.1文献搜集

运用适当的检索方法，注意搜集与选择的方向。文献的搜集与选择之要点，一是多，注意其全面性；二是精，注意其权威性。

1.2资料整理

资料整理是根据课题要求对已有的资料进行阅读、记录、分类、剔选、汇总的操作过程。

1.3论文选题

论文的价值主要在于选择一个什么样的课题。选题主要应遵循创新性原则和适应性原则，切忌题目雷同，内容重复或立题贪大，内容求全。

实例： “数学分析”选题10例；“数学教育”选题10例；“数学史” 选题10例。

1.4拟定提纲

拟定提纲有两层含意，一是谋篇构思；二是拟写提纲。

谋篇构思就是对研究工作的成果作合理安排的思维过程，要求作者对论文的思路、层次、顺序等进行思考。拟写提纲包括的至少有六个项目：题目；课题研究的目的；证明论点所用的概念、定理；采用的论证方法；结论；需进一步讨论的问题。

1.5写作初稿

数学论文已形成一定的撰写格式，其结构一般由标题、署名、摘要、关键词、分类号、正文（含引言和结论）、致谢、参考文献等8个部分组成。

1（1）标题

一是准确得体，恰如其分；二是简短精炼，高度概括；三是意义完整，体例规范。

（2）署名

一则表示拥有版权的声明；二则反映文责自负的精神；三则有利于读者同作者联系。

（3）摘要

一份文献内容的缩短的精确的表达，而无须补充解释或评论。按功能划分大体上可分为报道性摘要、指示性摘要和题录式摘要。

（4）关键词

从论文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表达论文内容主题方面具有实在意义起关键作用的词汇称为关键词，一般为3－8个。

（5）分类号

论文主题所属类别，采用《中图法》的分类体系或美国《数学评论》的分类体系，具体要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及结论

引言是用于说明论文写作的目的、理由、背景、研究成果和意义的部分，主要内容有：研究主题、目的和理由，对本课题已有研究成果的述评，本文所要解决的问题和采用的方法，概述成果及意义等。

正文的基本要求是以某一基本观点为核心，贯穿全文，将已有的概念、定理与自己探索到的新思想、新结论，用清晰的逻辑方法撰写为一个完整、无误的统一体。它应包括理论分析，论证的新手段及方法和结论。

结论是整篇论文的归结，集中反映作者的成果，表达作者对所研究课题的见解和主张，对全篇论文起画龙点睛的作用。

（7）致谢

当科研成果以论文形式发表时，有时需要对他人的劳动给予充分肯定，郑重地以书面形式表示感谢。它与论文的作者之间应有一定的区别。

（8）参考文献

引用参考文献的主要原因有三，一是说明研究课题范围内前人的工作成果和 2 背景，并为证实自己的论点提供足够的证据材料；二是承认科学的继承性，表明尊重他人的劳动成果；三是便于自己写作和读者查阅，复核，了解相关领域里前人所做的贡献。

著录参考文献的原则有三，一是只著录最必要、最新的文献；二是只著录公开发表的文献；三是采用规范化的著录格式。

1.6修改定稿

一是锤炼课题，二是精思布局，三是检验材料，四是斟酌字句。

2、论文的发表

一篇学术论文只有正式发表后才能承认为正式文献。注意发表形式，发表程序和校对工作。

作者如何提高投稿命中率？一是选题新颖实用，二是文章简明可读，三是了解征稿要求，四是细处一丝不苟；退稿原因多数为缺乏创新，论据不充分或没有达到刊物要求的学术价值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研档案。科研档案是在科研活动中逐步做出并经整理和筛选，确有保留价值和有必要作为原始记录而立卷存档，长期保存的资料。

就其表现形式来说，科研档案可以归纳为两大类，一是实物档案，二是记录档案。

采用科研档案形式保管科研成果，其作用体现在历史性的凭证，原始性的证据，供检查、复核、校阅，供使用和参考，确立发现发明权，正式纪录科学贡献。

第四篇：林寿数学史教案-第八讲：19世纪的代数

第八讲：19世纪的代数

19世纪的代数称之“代数学的新生“。

1、代数方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11岁发现了二项式定理，1795年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。

高斯，“数学王子”，18－19世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）发表《关于代数方程解的思考》，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼（意，1765－1822年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。

1824年阿贝尔（挪，1802－1829年）出版《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了阿贝尔定理。

阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003－）。

1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。

伽罗瓦简介。

伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。

2、数系扩张

1873年埃尔米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）讨论了复数几何表示。

对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），1843年定义了四元数。

哈密顿简介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《线性扩张性》引进了n个分量的超复数，1847年凯莱（英，1821－1895年）定义了八元数。

3、行列式与矩阵

关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。

1683年关孝和（日，1642－1708年）完成《解伏题之法》，提出行列式理论和代数方程变换理论，尤其在行列式方面的研究是世界领先的。

1750年克莱姆（瑞士，1704－1752年）法则，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展开定理。

1841年凯莱（英，1821－1895年）行列式记号，1852年西尔维斯特（英，1814－1897年）惯性定理，1854年埃尔米特（法，1822－1901年）使用了正交矩阵，1858年凯莱证明了凯莱－哈密顿定理，1870年若尔当（法，1838－1921年）建立了若尔当标准形，1879年弗罗贝尼斯（德，1849－1917年）引入矩阵的秩。

4、布尔代数

来源于对数学和逻辑基础的探讨。

德•摩根（英，1806－1871年），1847年《形式逻辑》，突破古典的主谓词逻辑的局限，影响到数理逻辑的发展。

布尔（英，1815－1864年），1847年《逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法》和1854年《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》为数理逻辑的发展铺平了道路。

施罗德（德，1841－1902年）《逻辑代数讲义》（3卷，1890－1905年）把布尔的逻辑代数推向顶峰。

5、数论

费马（法，1601－1665年），“业余数学家之王”，独骋17世纪数论天地，17世纪法国最伟大的数学家，《数学论集》（1670）。

18世纪的数论受到费马思想的主宰。有影响的数学家是欧拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和华林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的数论研究总结在1801年的《算术研究》中，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。

代数数论是研究代数数域的数论性质。整数最基本的性质是唯一因子分解定理。1844－1847年库默尔（德，1810－1893年）创立了理想数理论，1871年戴德金（德，1831－1916年）创立了代数数理论，1897年希尔伯特（德，1862－ 2 1943年）“代数数域理论”。

梅森素数。梅森素数是确定大素数的一种途径。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理数学随感》。在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数，近10年来通过GIMPS项目找到了10个（35至44个）梅森素数。

第五篇：林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何

第九讲：19世纪的几何

1、几何学的变革

几何学的基础：现实空间与思维空间。1.1 微分几何

平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。

蒙日简介。1.2 非欧氏几何

从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。

萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。

黎曼简介。

1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。

1.3 射影几何

将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。综合方法。1822年庞斯列（法，1788－1867年）的《论图形的射影性质》，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。

代数方法。1827年默比乌斯（德，1790－1868年）的《重心计算》中的齐次坐标，1829年普吕克（德，1801－1868年）的三线坐标。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，1821－1895年）和克莱因（德，1849－1925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。

1.4 统一的几何学

1872年克莱因（德，1849－1925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关于近代几何研究的比较考察》，阐述了几何学统一的思想。

克莱因简介。1.5 几何学的公理化

19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。

希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性。

希尔伯特简介。2、19世纪的中国数学

西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰、华蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。

2.1 李善兰（清，1811－1882年）

李善兰：1850年完成著作《垛积比类》，翻译了《几何原本》（1857）、《代微积拾级》（1859）和《代数学》（1859）。

2.2 华蘅芳（清，1833－1902年）

华蘅芳：1868年到江南制造总局翻译馆，翻译了《代数术》（1872）、《微积溯源》（1874）和《决疑数学》（1880）。

西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成功效并不显著。自19世 2 纪末开始，一批中国留学生到日本、欧美学习数学，回国后创办数学系，1919年“五四”运动前后，中国现代数学稍具雏形。