第林寿数学史教案-十二讲：20世纪数学概观II

第一篇：第林寿数学史教案-十二讲：20世纪数学概观II

第十二讲：20世纪数学概观 II

1、数学研究成果五例 1.1 四色问题

图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。

早期，柯尼斯堡七桥问题，36军官问题，旅行路线图。

1852年，英国古德里提出“四色问题”。19世纪，英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注。1976年美国哈肯和阿佩尔最终解决了四色问题。

1.2 动力系统

描述决定性系统的数学模型都可称为动力系统，通常所说的动力系统多指由映射迭代生成的系统或常微分系统，其核心问题是结构的稳定性。

庞加莱关于常微分方程定理理论的一系列课题，成为动力系统理论的出发点。1927年，伯克霍夫（美，1884－1944年）出版《动力系统》。1937年，庞特里亚金（苏，1908－1988年）提出结构稳定性的概念。以斯梅尔（美，1930－）等的工作为代表。

庞特里亚金简介。

斯梅尔马蹄、蝴蝶效应与罗伦兹（美，1917－2008年）。

浑沌：1975年李天岩（1945－）－约克定理，1964年沙克夫斯基（乌，1936－）定理。

1967年芒德布罗（法，1924－）在《科学》杂志上发表文章“英国的海岸线有多长”引起了几何中空间维数概念从整数维数到分数维数的飞跃。

柯克（瑞典，1870－1924年）曲线与分数维数。1.3 鲁金猜想

傅里叶级数的和问题。1876年杜•布瓦•瑞芒（德，1831－1889年）证明存在连续函数的傅里叶级数，它在许多点上发散。1913年鲁金（俄－苏，1883－1950年）猜想：L^2可积函数的傅里叶级数几乎处处收敛于f。

1923年柯尔莫哥洛夫（俄－苏，1903－1987年）定理：L^1可积函数的傅里叶级数可以处处发散。1966年卡尔松（瑞典，1928－）肯定回答了鲁金猜想。

鲁金简介。

1.4 庞加莱猜想

1904年的庞加莱（法，1854－1912年）猜想：单连通的三维闭流形同胚于S^3。广义庞加莱猜想。

1961年斯梅尔（美，1930－）证明了n>4的庞加莱猜想。1982年弗里德曼（美，1951－）证明了n=4的庞加莱猜想。2002年佩雷尔曼（俄，1966－）对猜想的证明做了奠基性工作。

庞加莱猜想获破解，荣誉归属已无悬念。背景：新千年数学奖。1.5 数论

各个时期一些代表人物。留给20世纪的数论问题：素数判定、哥德巴赫猜想（1742）、费马大定理（1670）、黎曼假设（1859）。

哥德巴赫猜想。

1742年哥德巴赫（德，1690－1764年）猜想：（1）每个大于4的偶数是两个奇素数之和；（2）每个大于7的奇数是三个奇素数之和。

1920年哈代（英，1877－1947年）和李特尔伍德（英，1885－1977年）首先将他们创造的圆法应用于数论的研究。1937年维诺格拉多夫（苏，1891－1983年）利用圆法和他自己的指数和估计法，对于大奇数证明了三素数定理。

偶数哥德巴赫猜想的进展主要是依靠改进筛法取得的。1919年布龙（挪，1885－1978年）利用他的新筛法证明了9+9，1957年王元（中，1930－）证明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）证明了1＋4，1966年陈景润（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年发表了全部证明。

费马大定理。

费马（法，1601－1665年）的最后定理：当n≥3时，方程x^n+y^n=z^n没有非零整数解。

1980年前对个别情形进行证明。

1983年法尔廷斯（德，1954－）证明了莫代尔（英，1888－1972年）猜想（1922），1986年费雷（德）证明了“谷山猜想导出费马大定理”，1995年维尔斯（英，1953－）证明了谷山猜想。

2、数学奖

已介绍了阿贝尔奖（第八讲介绍）、菲尔兹奖（第十一讲介绍）。2.1沃尔夫奖（1978－）

1976年卡多·沃尔夫（1887－1981年）在以色列设立沃尔夫奖，1978年首次颁奖。授奖学科为物理学、数学、化学、医学和农学五个奖，1981年增设艺术奖。

1978 年吴健雄（中－美，1912－1997年）获物理学奖。1984年陈省身（中－美，1911－2004年）获数学奖。2004年袁隆平（中，1930－）获农业奖。

2.2邵逸夫奖（2004－）

2002年邵逸夫（1907－）在香港设立，设天文学、生命科学与医学、数学科学三个奖项（“诺贝尔奖”所没有的），每项奖金100万美元。

2004年陈省身（中－美，1911－2004年）获数学奖。2006年吴文俊（中，1919－）获数学奖。

陈省身简介。吴文俊简介。背景：诺贝尔奖。

第二篇：林寿数学史教案-第十一讲：20世纪数学概观I

第十一讲：20世纪数学概观 I

1、国际数学家大会

1893年芝加哥“世界哥伦布博览会”。1897年苏黎世第一届国际数学家大会。1900年巴黎第二届ICM，希尔伯特（德，1862－1943年）作了“数学问题”的演讲。2000年“国际数学年”。

1924年多伦多第七届ICM，大会主席菲尔兹（加，1863－1932年）。菲尔兹奖：数学界的“诺贝尔奖”，1936年开始颁奖。

1983年，丘成桐（中－美，1949－）获奖；2006年，陶哲轩（澳，1975－）获奖。

2、纯粹数学的发展

20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。阿蒂亚（英，1929－）指出：20世纪前半叶“专门化的时代”，20世纪后半叶“统一的时代”。

阿蒂亚简介。2.1 实变函数论

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。

1898年波雷尔（法，1871－1956年）的测度论，1902年勒贝格（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》，形成实变函数论，分析的“分水岭”。

2.2 泛函分析

创始时期（19世纪80年代至20世纪20年代）：1906年弗雷歇（法，1878－1973年）的博士论文《关于泛函演算若干问题》，1922年列维（法，1886－1971年）出版《泛函分析》。

发展时期（20世纪20至40年代）：1932年巴拿赫（波，1892－1945年）出版《线性算子论》。1940年盖尔范德（苏，1913－）的巴拿赫代数理论。

成熟时期（20世纪40年代起）：施瓦兹（法，1915－2002年）的广义函数理论或分布论，格罗登迪克（法，1928－）的核空间理论。

巴拿赫简介。2.3 抽象代数

抽象代数是希尔伯特的抽象思维及公理化方法的产物。创立者：诺特（德，1882－1935年）与阿廷（奥地利，1898－1962年），范•德•瓦尔登（荷，1903－1996年）《近世代数学》（1930－1931年）一书问世，标志着抽象代数学正式诞生。

诺特简介。2.4 拓扑学

拓扑学本质上是属于20世纪的抽象学科。1895－1905年庞加莱（法，1854－1912年）发表一组论文《位置分析》，开创了现代拓扑学的研究。

1914年豪斯道夫（德，1868－1942年）《集合论纲要》。1926年霍普夫（1894－1971年）定义了同调群，1935年胡勒维茨（波，1904－1957年）引进了同伦群，同调论与同伦论一起推动组合拓扑学逐步演变成代数拓扑学。

2.5 概率论

研究随机现象数量规律的数学分支。作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度术》。

1812年，拉普拉斯（法，1749－1827年）出版《分析概率论》。1933年，柯尔莫哥洛夫（苏，1903－1987年）出版《概率论基本概念》，使概率论成为一门严格的演绎学科。

柯尔莫哥洛夫简介。

3、数学基础大论战

1903年罗素（英，1872－1970年）提出一个简明的集合论悖论，形成第三次数学危机。

逻辑代数的发展是数理逻辑。弗雷格（德，1848－1925年）是数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人。皮亚诺（意，1858－1932年）为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。

3.1 逻辑主义

罗素，1903年出版《数学的原理》，1910－1913年《数学原理》（与怀特黑德（英，1861－1947年）合著）是逻辑主义的权威性论述，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来。

罗素简介。

3.2 直觉主义

布劳威尔（荷，1881－1966年），1907年博士论文《论数学基础》搭建了直觉主义的框架，数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉，坚持数学对象的“构造性”定义。

3.3 形式主义纲领

希尔伯特，1922年提出形式主义纲领，1928年《数理逻辑基础》，1934、1939年《数学基础》中对形式主义纲领作出了系统的总结和全面的论述。

1930年代，哥德尔的定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化。3.4 公理集合论

为了消除集合论悖论，策梅罗（德，1871－1953年）公理系统诞生。1929－1930年确定为“策梅罗－费兰克尔公理系统”。

选择公理、连续统假设是集合论中的基本问题。1938年哥德尔（奥地利－美，1906－1978年）证明了相容性，1963年柯恩（美，1934－2007年）证明了独立性。

哥德尔简介。背景：奥匈帝国。

第三篇：林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III

第十三讲：20世纪数学概观 III

1、牛顿以来250年间的英德法数学家 1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。

2、世界数学中心的转移

世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。

科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。3、20世纪的一些数学团体 3.1 哥廷根学派

高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。

20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。

在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。3.2 波兰数学学派

1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。

华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。

利沃夫学派：研究泛函分析。1929年创刊《数学研究》。带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。

第二次世界大战使波兰失去了一代人。3.3 苏联数学学派

19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。

优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。最杰出的代表人物：柯尔莫哥洛夫（1903－1987年），盖尔范德（1913－）。

1966年国际数学家大会在莫斯科召开。20世纪世界数学中心：莫斯科大学。事业后继有人。

3.4 布尔巴基学派

1939年法国出版《数学原理》，作者是尼古拉·布尔巴基。

布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家的集体，主要的代表人物是韦伊（法，1906－1998年）、狄多涅（法，1906－1992年）、H．嘉当（法，1904－）、谢瓦莱（法，1909－1984年）、德尔萨特（法，1903－1968年），主要致力于编写多卷集的《数学原理》。

全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、拓扑结构。数学就表现为数学结构的仓库。布尔巴基的结构主义观点，在20世纪50－60年代盛极一时，20世纪70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。

法国数学家获奖情况。3.5 美国数学

1878年创办《美国数学杂志》，1888年美国数学会成立。范因（美，1858－1928年）立志将普林斯顿大学建成世界数学中心。

20世纪世界数学中心：普林斯顿高等研究院。最早6位教授：1930年维布伦（美，1880－1960年），1933年爱因斯坦（德－美，1879－1955年），1934年外尔（德，1885－1955年），1934年亚历山大（美，1888－1971年），1934年冯•诺伊曼（1903－1957年），1935年莫尔斯（1892－1977年）。设有数学学部、自然科学学部、历史研究学部、社会科学学部。

二次世纪大战后数学的重要特点：到美国去。美国数学家获菲尔茲奖简况。3.6 中国数学

1912年北京大学创办了国内第一个大学数学系，20世纪20年代国内相继创办了大学数学系。

1935年“中国数学会”在上海交通大学成立，宗旨：“谋数学之进步及其普 2 及”。中国数学会的数学奖：陈省身数学奖、华罗庚数学奖、钟家庆数学奖。

中科院数理学部中的数学家。1955－2007年，数理学部中的数学家有48位。国家自然科学奖一等奖：典型域上的多复变函数论（华罗庚，1956），示性类与示嵌类的研究（吴文俊，1956），哥德巴赫猜想的研究（陈景润、王元和潘承洞，1982），微分动力系统稳定性研究（廖山涛，1987），关于不相交Steiner三元系大集的研究（陆家羲，1987），哈密顿系统的辛几何算法（冯康等，1997）。

陆家羲（1935－1983年）简介。陈景润简介。中国数学的复兴，2002北京国际数学家大会。

第四篇：林寿数学史教案-第五讲：文艺复兴时期的数学

第五讲：文艺复兴时期的数学

1、文明背景 1.1 文艺复兴

文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起，15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。在这历时约200年的历史中，揭开了现代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界，数学活动也以空前的规模和深度蓬勃兴起。

1.2 技术进步

欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。四大发明相继传入欧洲。1450年，德意志人古腾堡发明了金属活字印刷术，欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。

1.3 航海探险

1488年，迪亚士（葡，1450－1500年）进入印度洋，发现好望角。1498年，达•伽马（葡，1469－1524年）到达印度海岸，找到了通向东方的新航路。1492年，哥伦布（西，1451－1506年）到达美洲。1519－1522年，麦哲伦（葡，1480－1521年）船队完成了首次环球航行。

1.4 天文学的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心说”，1543年出版《天体运行论》。布鲁诺（意，1548－1600年）1584年在《论无限、宇宙及世界》提出了宇宙无限的思想。

2、文艺复兴时期的欧洲数学

近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。

2.1 代数学

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。

帕西奥里（意，1445－1517年），1494年出版《算术集成》是一部数学百科全书，其中采用了优越的记号及大量的数学符号，推进了代数学的发展。

塔塔利亚（意，1499－1557年）发表了《论数字与度量》（1556－1560），1 16世纪最好的数学著作之一，发现了三次方程的代数解法。

卡尔丹（意，1501－1576年）最重要的数学著作是1545年出版的《大术》，内有三次、四次方程的解法。

邦贝利（意，1526－1573），意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，1572年出版《代数》，引进了虚数，正式给出了负数的明确定义。

施蒂费尔（德，1487－1567年），16世纪德国最大的数学家，1544年《综合数学》中指出：符号使用是代数学的一大进步。

韦达（法，1540－1603年），16世纪法国最大、最有影响的数学家，被西方称为“代数学之父”，1591年出版《分析引论》是最早的符号代数专著。

2.2 三角学

在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《论各种三角形》（1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。

韦达（法，1540－1603年），1579年《应用于三角形的数学定律》系统讲述了各钟三角函数，1615年《截角术》系统化了球面三角和平面三角学。

2.3 射影几何

文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，诞生了射影几何学。

阿尔贝蒂（意，1404－1472年），1435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法思想，是射影几何发展的起点。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，射影几何早期发展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），内有帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。

射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。

2.4 对数

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十进算术》，系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数。

纳皮尔（苏格兰，1550－1617年）至少花了20年的时间，于1590年左右开始写关于对数的著作，1614年发表《奇妙对数规则的说明》。

到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。3、15－17世纪的中国数学

3.1 珠算

珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年编著了《直指算法统宗》。从它流传的长久和广泛方面来讲，那是中国古代数学史上任何著作也不能与之相比。

3.2 西方数学的传入

西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。

最早来中国从事传教活动的是明万历年间（1582年）来华的意大利传教士利玛窦（1552－1610年），被中国人尊称为“西学东渐第一师”。

徐光启（明，1562—1633年），中国近代科学的启蒙大师。1607年，徐光启与利玛窦合作翻译的欧几里得《原本》前6卷出版。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，相继出现了许多欧洲数学著作。

3.3 明末的中国科技

李时珍（1518－1593年）《本草纲目》，徐光启（1562－1633年）《农政全书》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游记》，宋应星（1587－

？）《天工开物》。

第五篇：林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何

第九讲：19世纪的几何

1、几何学的变革

几何学的基础：现实空间与思维空间。1.1 微分几何

平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。

蒙日简介。1.2 非欧氏几何

从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。

萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。

黎曼简介。

1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。

1.3 射影几何

将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。综合方法。1822年庞斯列（法，1788－1867年）的《论图形的射影性质》，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。

代数方法。1827年默比乌斯（德，1790－1868年）的《重心计算》中的齐次坐标，1829年普吕克（德，1801－1868年）的三线坐标。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，1821－1895年）和克莱因（德，1849－1925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。

1.4 统一的几何学

1872年克莱因（德，1849－1925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关于近代几何研究的比较考察》，阐述了几何学统一的思想。

克莱因简介。1.5 几何学的公理化

19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。

希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性。

希尔伯特简介。2、19世纪的中国数学

西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰、华蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。

2.1 李善兰（清，1811－1882年）

李善兰：1850年完成著作《垛积比类》，翻译了《几何原本》（1857）、《代微积拾级》（1859）和《代数学》（1859）。

2.2 华蘅芳（清，1833－1902年）

华蘅芳：1868年到江南制造总局翻译馆，翻译了《代数术》（1872）、《微积溯源》（1874）和《决疑数学》（1880）。

西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成功效并不显著。自19世 2 纪末开始，一批中国留学生到日本、欧美学习数学，回国后创办数学系，1919年“五四”运动前后，中国现代数学稍具雏形。