林寿数学史教案-第十一讲：20世纪数学概观I

第一篇：林寿数学史教案-第十一讲：20世纪数学概观I

第十一讲：20世纪数学概观 I

1、国际数学家大会

1893年芝加哥“世界哥伦布博览会”。1897年苏黎世第一届国际数学家大会。1900年巴黎第二届ICM，希尔伯特（德，1862－1943年）作了“数学问题”的演讲。2000年“国际数学年”。

1924年多伦多第七届ICM，大会主席菲尔兹（加，1863－1932年）。菲尔兹奖：数学界的“诺贝尔奖”，1936年开始颁奖。

1983年，丘成桐（中－美，1949－）获奖；2006年，陶哲轩（澳，1975－）获奖。

2、纯粹数学的发展

20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。阿蒂亚（英，1929－）指出：20世纪前半叶“专门化的时代”，20世纪后半叶“统一的时代”。

阿蒂亚简介。2.1 实变函数论

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。

1898年波雷尔（法，1871－1956年）的测度论，1902年勒贝格（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》，形成实变函数论，分析的“分水岭”。

2.2 泛函分析

创始时期（19世纪80年代至20世纪20年代）：1906年弗雷歇（法，1878－1973年）的博士论文《关于泛函演算若干问题》，1922年列维（法，1886－1971年）出版《泛函分析》。

发展时期（20世纪20至40年代）：1932年巴拿赫（波，1892－1945年）出版《线性算子论》。1940年盖尔范德（苏，1913－）的巴拿赫代数理论。

成熟时期（20世纪40年代起）：施瓦兹（法，1915－2002年）的广义函数理论或分布论，格罗登迪克（法，1928－）的核空间理论。

巴拿赫简介。2.3 抽象代数

抽象代数是希尔伯特的抽象思维及公理化方法的产物。创立者：诺特（德，1882－1935年）与阿廷（奥地利，1898－1962年），范•德•瓦尔登（荷，1903－1996年）《近世代数学》（1930－1931年）一书问世，标志着抽象代数学正式诞生。

诺特简介。2.4 拓扑学

拓扑学本质上是属于20世纪的抽象学科。1895－1905年庞加莱（法，1854－1912年）发表一组论文《位置分析》，开创了现代拓扑学的研究。

1914年豪斯道夫（德，1868－1942年）《集合论纲要》。1926年霍普夫（1894－1971年）定义了同调群，1935年胡勒维茨（波，1904－1957年）引进了同伦群，同调论与同伦论一起推动组合拓扑学逐步演变成代数拓扑学。

2.5 概率论

研究随机现象数量规律的数学分支。作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度术》。

1812年，拉普拉斯（法，1749－1827年）出版《分析概率论》。1933年，柯尔莫哥洛夫（苏，1903－1987年）出版《概率论基本概念》，使概率论成为一门严格的演绎学科。

柯尔莫哥洛夫简介。

3、数学基础大论战

1903年罗素（英，1872－1970年）提出一个简明的集合论悖论，形成第三次数学危机。

逻辑代数的发展是数理逻辑。弗雷格（德，1848－1925年）是数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人。皮亚诺（意，1858－1932年）为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。

3.1 逻辑主义

罗素，1903年出版《数学的原理》，1910－1913年《数学原理》（与怀特黑德（英，1861－1947年）合著）是逻辑主义的权威性论述，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来。

罗素简介。

3.2 直觉主义

布劳威尔（荷，1881－1966年），1907年博士论文《论数学基础》搭建了直觉主义的框架，数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉，坚持数学对象的“构造性”定义。

3.3 形式主义纲领

希尔伯特，1922年提出形式主义纲领，1928年《数理逻辑基础》，1934、1939年《数学基础》中对形式主义纲领作出了系统的总结和全面的论述。

1930年代，哥德尔的定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化。3.4 公理集合论

为了消除集合论悖论，策梅罗（德，1871－1953年）公理系统诞生。1929－1930年确定为“策梅罗－费兰克尔公理系统”。

选择公理、连续统假设是集合论中的基本问题。1938年哥德尔（奥地利－美，1906－1978年）证明了相容性，1963年柯恩（美，1934－2007年）证明了独立性。

哥德尔简介。背景：奥匈帝国。

第二篇：林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III

第十三讲：20世纪数学概观 III

1、牛顿以来250年间的英德法数学家 1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。

2、世界数学中心的转移

世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。

科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。3、20世纪的一些数学团体 3.1 哥廷根学派

高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。

20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。

在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。3.2 波兰数学学派

1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。

华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。

利沃夫学派：研究泛函分析。1929年创刊《数学研究》。带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。

第二次世界大战使波兰失去了一代人。3.3 苏联数学学派

19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。

优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。最杰出的代表人物：柯尔莫哥洛夫（1903－1987年），盖尔范德（1913－）。

1966年国际数学家大会在莫斯科召开。20世纪世界数学中心：莫斯科大学。事业后继有人。

3.4 布尔巴基学派

1939年法国出版《数学原理》，作者是尼古拉·布尔巴基。

布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家的集体，主要的代表人物是韦伊（法，1906－1998年）、狄多涅（法，1906－1992年）、H．嘉当（法，1904－）、谢瓦莱（法，1909－1984年）、德尔萨特（法，1903－1968年），主要致力于编写多卷集的《数学原理》。

全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、拓扑结构。数学就表现为数学结构的仓库。布尔巴基的结构主义观点，在20世纪50－60年代盛极一时，20世纪70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。

法国数学家获奖情况。3.5 美国数学

1878年创办《美国数学杂志》，1888年美国数学会成立。范因（美，1858－1928年）立志将普林斯顿大学建成世界数学中心。

20世纪世界数学中心：普林斯顿高等研究院。最早6位教授：1930年维布伦（美，1880－1960年），1933年爱因斯坦（德－美，1879－1955年），1934年外尔（德，1885－1955年），1934年亚历山大（美，1888－1971年），1934年冯•诺伊曼（1903－1957年），1935年莫尔斯（1892－1977年）。设有数学学部、自然科学学部、历史研究学部、社会科学学部。

二次世纪大战后数学的重要特点：到美国去。美国数学家获菲尔茲奖简况。3.6 中国数学

1912年北京大学创办了国内第一个大学数学系，20世纪20年代国内相继创办了大学数学系。

1935年“中国数学会”在上海交通大学成立，宗旨：“谋数学之进步及其普 2 及”。中国数学会的数学奖：陈省身数学奖、华罗庚数学奖、钟家庆数学奖。

中科院数理学部中的数学家。1955－2007年，数理学部中的数学家有48位。国家自然科学奖一等奖：典型域上的多复变函数论（华罗庚，1956），示性类与示嵌类的研究（吴文俊，1956），哥德巴赫猜想的研究（陈景润、王元和潘承洞，1982），微分动力系统稳定性研究（廖山涛，1987），关于不相交Steiner三元系大集的研究（陆家羲，1987），哈密顿系统的辛几何算法（冯康等，1997）。

陆家羲（1935－1983年）简介。陈景润简介。中国数学的复兴，2002北京国际数学家大会。

第三篇：第林寿数学史教案-十二讲：20世纪数学概观II

第十二讲：20世纪数学概观 II

1、数学研究成果五例 1.1 四色问题

图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。

早期，柯尼斯堡七桥问题，36军官问题，旅行路线图。

1852年，英国古德里提出“四色问题”。19世纪，英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注。1976年美国哈肯和阿佩尔最终解决了四色问题。

1.2 动力系统

描述决定性系统的数学模型都可称为动力系统，通常所说的动力系统多指由映射迭代生成的系统或常微分系统，其核心问题是结构的稳定性。

庞加莱关于常微分方程定理理论的一系列课题，成为动力系统理论的出发点。1927年，伯克霍夫（美，1884－1944年）出版《动力系统》。1937年，庞特里亚金（苏，1908－1988年）提出结构稳定性的概念。以斯梅尔（美，1930－）等的工作为代表。

庞特里亚金简介。

斯梅尔马蹄、蝴蝶效应与罗伦兹（美，1917－2008年）。

浑沌：1975年李天岩（1945－）－约克定理，1964年沙克夫斯基（乌，1936－）定理。

1967年芒德布罗（法，1924－）在《科学》杂志上发表文章“英国的海岸线有多长”引起了几何中空间维数概念从整数维数到分数维数的飞跃。

柯克（瑞典，1870－1924年）曲线与分数维数。1.3 鲁金猜想

傅里叶级数的和问题。1876年杜•布瓦•瑞芒（德，1831－1889年）证明存在连续函数的傅里叶级数，它在许多点上发散。1913年鲁金（俄－苏，1883－1950年）猜想：L^2可积函数的傅里叶级数几乎处处收敛于f。

1923年柯尔莫哥洛夫（俄－苏，1903－1987年）定理：L^1可积函数的傅里叶级数可以处处发散。1966年卡尔松（瑞典，1928－）肯定回答了鲁金猜想。

鲁金简介。

1.4 庞加莱猜想

1904年的庞加莱（法，1854－1912年）猜想：单连通的三维闭流形同胚于S^3。广义庞加莱猜想。

1961年斯梅尔（美，1930－）证明了n>4的庞加莱猜想。1982年弗里德曼（美，1951－）证明了n=4的庞加莱猜想。2002年佩雷尔曼（俄，1966－）对猜想的证明做了奠基性工作。

庞加莱猜想获破解，荣誉归属已无悬念。背景：新千年数学奖。1.5 数论

各个时期一些代表人物。留给20世纪的数论问题：素数判定、哥德巴赫猜想（1742）、费马大定理（1670）、黎曼假设（1859）。

哥德巴赫猜想。

1742年哥德巴赫（德，1690－1764年）猜想：（1）每个大于4的偶数是两个奇素数之和；（2）每个大于7的奇数是三个奇素数之和。

1920年哈代（英，1877－1947年）和李特尔伍德（英，1885－1977年）首先将他们创造的圆法应用于数论的研究。1937年维诺格拉多夫（苏，1891－1983年）利用圆法和他自己的指数和估计法，对于大奇数证明了三素数定理。

偶数哥德巴赫猜想的进展主要是依靠改进筛法取得的。1919年布龙（挪，1885－1978年）利用他的新筛法证明了9+9，1957年王元（中，1930－）证明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）证明了1＋4，1966年陈景润（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年发表了全部证明。

费马大定理。

费马（法，1601－1665年）的最后定理：当n≥3时，方程x^n+y^n=z^n没有非零整数解。

1980年前对个别情形进行证明。

1983年法尔廷斯（德，1954－）证明了莫代尔（英，1888－1972年）猜想（1922），1986年费雷（德）证明了“谷山猜想导出费马大定理”，1995年维尔斯（英，1953－）证明了谷山猜想。

2、数学奖

已介绍了阿贝尔奖（第八讲介绍）、菲尔兹奖（第十一讲介绍）。2.1沃尔夫奖（1978－）

1976年卡多·沃尔夫（1887－1981年）在以色列设立沃尔夫奖，1978年首次颁奖。授奖学科为物理学、数学、化学、医学和农学五个奖，1981年增设艺术奖。

1978 年吴健雄（中－美，1912－1997年）获物理学奖。1984年陈省身（中－美，1911－2004年）获数学奖。2004年袁隆平（中，1930－）获农业奖。

2.2邵逸夫奖（2004－）

2002年邵逸夫（1907－）在香港设立，设天文学、生命科学与医学、数学科学三个奖项（“诺贝尔奖”所没有的），每项奖金100万美元。

2004年陈省身（中－美，1911－2004年）获数学奖。2006年吴文俊（中，1919－）获数学奖。

陈省身简介。吴文俊简介。背景：诺贝尔奖。

第四篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析

第十讲：19世纪的分析

1、分析的严格化

经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。

1.1 分析的算术化

所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。魏尔斯特拉斯简介。1.2 实数理论

19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

1.3 集合论

康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。

康托简介。

2、分析的拓展 2.1 复变函数论

在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了复变函数的微分和积分理论。1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。

柯西简介。

背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。

黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。

魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。

魏尔斯特拉斯的方法与柯西－黎曼的观点相互统一。2.2 解析数论

1737年欧拉（瑞，1707－1783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，1863年出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献。

1859年黎曼《论不超过一个给定值的素数个数》，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。1896年阿达玛（法，1865－1963年）和瓦莱•普桑（比利时，1866－1962年）证明了素数定理。

2.3 偏微分方程

19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。

弦振动方程。1747年达朗贝尔（法，1717－1783年）发表《弦振动研究》和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。

位势方程。1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年发表）《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出位势方程的求解方法。

拉普拉斯简介。格林简介。

热传导方程。傅里叶（法，1768－1830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了《热的解析理论》，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。

傅里叶简介。背景：巴黎科学院。2.4 常微分方程

以海王星的发现说明微分方程的作用。

解的存在性。1820－1830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 1832－1903年）条件，1890年皮卡（法, 1856－1941年）逐步逼近定理。

关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。柯瓦列夫斯卡娅（俄，1850－1891年）简介。

解的定性与稳定性理论。1881－1886年庞加莱（法，1854－1912年）《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论。1892年李雅普诺夫（俄，1857－1918年）《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论。

庞加莱简介：欧拉、柯西之后最多产的数学家，开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究，19世纪最后四分之一和20世纪初世界数学的领袖人物。

第五篇：林寿数学史教案-第五讲：文艺复兴时期的数学

第五讲：文艺复兴时期的数学

1、文明背景 1.1 文艺复兴

文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起，15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。在这历时约200年的历史中，揭开了现代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界，数学活动也以空前的规模和深度蓬勃兴起。

1.2 技术进步

欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。四大发明相继传入欧洲。1450年，德意志人古腾堡发明了金属活字印刷术，欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。

1.3 航海探险

1488年，迪亚士（葡，1450－1500年）进入印度洋，发现好望角。1498年，达•伽马（葡，1469－1524年）到达印度海岸，找到了通向东方的新航路。1492年，哥伦布（西，1451－1506年）到达美洲。1519－1522年，麦哲伦（葡，1480－1521年）船队完成了首次环球航行。

1.4 天文学的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心说”，1543年出版《天体运行论》。布鲁诺（意，1548－1600年）1584年在《论无限、宇宙及世界》提出了宇宙无限的思想。

2、文艺复兴时期的欧洲数学

近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。

2.1 代数学

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。

帕西奥里（意，1445－1517年），1494年出版《算术集成》是一部数学百科全书，其中采用了优越的记号及大量的数学符号，推进了代数学的发展。

塔塔利亚（意，1499－1557年）发表了《论数字与度量》（1556－1560），1 16世纪最好的数学著作之一，发现了三次方程的代数解法。

卡尔丹（意，1501－1576年）最重要的数学著作是1545年出版的《大术》，内有三次、四次方程的解法。

邦贝利（意，1526－1573），意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，1572年出版《代数》，引进了虚数，正式给出了负数的明确定义。

施蒂费尔（德，1487－1567年），16世纪德国最大的数学家，1544年《综合数学》中指出：符号使用是代数学的一大进步。

韦达（法，1540－1603年），16世纪法国最大、最有影响的数学家，被西方称为“代数学之父”，1591年出版《分析引论》是最早的符号代数专著。

2.2 三角学

在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《论各种三角形》（1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。

韦达（法，1540－1603年），1579年《应用于三角形的数学定律》系统讲述了各钟三角函数，1615年《截角术》系统化了球面三角和平面三角学。

2.3 射影几何

文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，诞生了射影几何学。

阿尔贝蒂（意，1404－1472年），1435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法思想，是射影几何发展的起点。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，射影几何早期发展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），内有帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。

射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。

2.4 对数

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十进算术》，系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数。

纳皮尔（苏格兰，1550－1617年）至少花了20年的时间，于1590年左右开始写关于对数的著作，1614年发表《奇妙对数规则的说明》。

到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。3、15－17世纪的中国数学

3.1 珠算

珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年编著了《直指算法统宗》。从它流传的长久和广泛方面来讲，那是中国古代数学史上任何著作也不能与之相比。

3.2 西方数学的传入

西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。

最早来中国从事传教活动的是明万历年间（1582年）来华的意大利传教士利玛窦（1552－1610年），被中国人尊称为“西学东渐第一师”。

徐光启（明，1562—1633年），中国近代科学的启蒙大师。1607年，徐光启与利玛窦合作翻译的欧几里得《原本》前6卷出版。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，相继出现了许多欧洲数学著作。

3.3 明末的中国科技

李时珍（1518－1593年）《本草纲目》，徐光启（1562－1633年）《农政全书》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游记》，宋应星（1587－

？）《天工开物》。