林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何

第一篇：林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何

第九讲：19世纪的几何

1、几何学的变革

几何学的基础：现实空间与思维空间。1.1 微分几何

平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。

蒙日简介。1.2 非欧氏几何

从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。

萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。

黎曼简介。

1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。

1.3 射影几何

将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。综合方法。1822年庞斯列（法，1788－1867年）的《论图形的射影性质》，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。

代数方法。1827年默比乌斯（德，1790－1868年）的《重心计算》中的齐次坐标，1829年普吕克（德，1801－1868年）的三线坐标。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，1821－1895年）和克莱因（德，1849－1925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。

1.4 统一的几何学

1872年克莱因（德，1849－1925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关于近代几何研究的比较考察》，阐述了几何学统一的思想。

克莱因简介。1.5 几何学的公理化

19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。

希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性。

希尔伯特简介。2、19世纪的中国数学

西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰、华蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。

2.1 李善兰（清，1811－1882年）

李善兰：1850年完成著作《垛积比类》，翻译了《几何原本》（1857）、《代微积拾级》（1859）和《代数学》（1859）。

2.2 华蘅芳（清，1833－1902年）

华蘅芳：1868年到江南制造总局翻译馆，翻译了《代数术》（1872）、《微积溯源》（1874）和《决疑数学》（1880）。

西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成功效并不显著。自19世 2 纪末开始，一批中国留学生到日本、欧美学习数学，回国后创办数学系，1919年“五四”运动前后，中国现代数学稍具雏形。

第二篇：林寿数学史教案-选讲：数学论文写作初步

选讲：数学论文写作

凡是运用概念、判断、推理、证明或反驳等逻辑思维手段来分析、表达自然科学的理论和技术研究中的各种问题、成果的文章，都属于科技学术论文的范畴。科技学术论文最重要的特点是科学性和创造性。

1、论文的撰写

数学论文的撰写过程分准备和写作两个阶段。

准备阶段首先搜集资料和研究资料，发现问题，提出猜想，逐步论证，对获得的结果进行整理和提炼。写作阶段按列出的提纲写作草稿，修改定稿。

1.1文献搜集

运用适当的检索方法，注意搜集与选择的方向。文献的搜集与选择之要点，一是多，注意其全面性；二是精，注意其权威性。

1.2资料整理

资料整理是根据课题要求对已有的资料进行阅读、记录、分类、剔选、汇总的操作过程。

1.3论文选题

论文的价值主要在于选择一个什么样的课题。选题主要应遵循创新性原则和适应性原则，切忌题目雷同，内容重复或立题贪大，内容求全。

实例： “数学分析”选题10例；“数学教育”选题10例；“数学史” 选题10例。

1.4拟定提纲

拟定提纲有两层含意，一是谋篇构思；二是拟写提纲。

谋篇构思就是对研究工作的成果作合理安排的思维过程，要求作者对论文的思路、层次、顺序等进行思考。拟写提纲包括的至少有六个项目：题目；课题研究的目的；证明论点所用的概念、定理；采用的论证方法；结论；需进一步讨论的问题。

1.5写作初稿

数学论文已形成一定的撰写格式，其结构一般由标题、署名、摘要、关键词、分类号、正文（含引言和结论）、致谢、参考文献等8个部分组成。

1（1）标题

一是准确得体，恰如其分；二是简短精炼，高度概括；三是意义完整，体例规范。

（2）署名

一则表示拥有版权的声明；二则反映文责自负的精神；三则有利于读者同作者联系。

（3）摘要

一份文献内容的缩短的精确的表达，而无须补充解释或评论。按功能划分大体上可分为报道性摘要、指示性摘要和题录式摘要。

（4）关键词

从论文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表达论文内容主题方面具有实在意义起关键作用的词汇称为关键词，一般为3－8个。

（5）分类号

论文主题所属类别，采用《中图法》的分类体系或美国《数学评论》的分类体系，具体要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及结论

引言是用于说明论文写作的目的、理由、背景、研究成果和意义的部分，主要内容有：研究主题、目的和理由，对本课题已有研究成果的述评，本文所要解决的问题和采用的方法，概述成果及意义等。

正文的基本要求是以某一基本观点为核心，贯穿全文，将已有的概念、定理与自己探索到的新思想、新结论，用清晰的逻辑方法撰写为一个完整、无误的统一体。它应包括理论分析，论证的新手段及方法和结论。

结论是整篇论文的归结，集中反映作者的成果，表达作者对所研究课题的见解和主张，对全篇论文起画龙点睛的作用。

（7）致谢

当科研成果以论文形式发表时，有时需要对他人的劳动给予充分肯定，郑重地以书面形式表示感谢。它与论文的作者之间应有一定的区别。

（8）参考文献

引用参考文献的主要原因有三，一是说明研究课题范围内前人的工作成果和 2 背景，并为证实自己的论点提供足够的证据材料；二是承认科学的继承性，表明尊重他人的劳动成果；三是便于自己写作和读者查阅，复核，了解相关领域里前人所做的贡献。

著录参考文献的原则有三，一是只著录最必要、最新的文献；二是只著录公开发表的文献；三是采用规范化的著录格式。

1.6修改定稿

一是锤炼课题，二是精思布局，三是检验材料，四是斟酌字句。

2、论文的发表

一篇学术论文只有正式发表后才能承认为正式文献。注意发表形式，发表程序和校对工作。

作者如何提高投稿命中率？一是选题新颖实用，二是文章简明可读，三是了解征稿要求，四是细处一丝不苟；退稿原因多数为缺乏创新，论据不充分或没有达到刊物要求的学术价值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研档案。科研档案是在科研活动中逐步做出并经整理和筛选，确有保留价值和有必要作为原始记录而立卷存档，长期保存的资料。

就其表现形式来说，科研档案可以归纳为两大类，一是实物档案，二是记录档案。

采用科研档案形式保管科研成果，其作用体现在历史性的凭证，原始性的证据，供检查、复核、校阅，供使用和参考，确立发现发明权，正式纪录科学贡献。

第三篇：林寿数学史教案-第八讲：19世纪的代数

第八讲：19世纪的代数

19世纪的代数称之“代数学的新生“。

1、代数方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11岁发现了二项式定理，1795年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。

高斯，“数学王子”，18－19世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）发表《关于代数方程解的思考》，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼（意，1765－1822年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。

1824年阿贝尔（挪，1802－1829年）出版《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了阿贝尔定理。

阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003－）。

1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。

伽罗瓦简介。

伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。

2、数系扩张

1873年埃尔米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）讨论了复数几何表示。

对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），1843年定义了四元数。

哈密顿简介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《线性扩张性》引进了n个分量的超复数，1847年凯莱（英，1821－1895年）定义了八元数。

3、行列式与矩阵

关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。

1683年关孝和（日，1642－1708年）完成《解伏题之法》，提出行列式理论和代数方程变换理论，尤其在行列式方面的研究是世界领先的。

1750年克莱姆（瑞士，1704－1752年）法则，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展开定理。

1841年凯莱（英，1821－1895年）行列式记号，1852年西尔维斯特（英，1814－1897年）惯性定理，1854年埃尔米特（法，1822－1901年）使用了正交矩阵，1858年凯莱证明了凯莱－哈密顿定理，1870年若尔当（法，1838－1921年）建立了若尔当标准形，1879年弗罗贝尼斯（德，1849－1917年）引入矩阵的秩。

4、布尔代数

来源于对数学和逻辑基础的探讨。

德•摩根（英，1806－1871年），1847年《形式逻辑》，突破古典的主谓词逻辑的局限，影响到数理逻辑的发展。

布尔（英，1815－1864年），1847年《逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法》和1854年《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》为数理逻辑的发展铺平了道路。

施罗德（德，1841－1902年）《逻辑代数讲义》（3卷，1890－1905年）把布尔的逻辑代数推向顶峰。

5、数论

费马（法，1601－1665年），“业余数学家之王”，独骋17世纪数论天地，17世纪法国最伟大的数学家，《数学论集》（1670）。

18世纪的数论受到费马思想的主宰。有影响的数学家是欧拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和华林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的数论研究总结在1801年的《算术研究》中，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。

代数数论是研究代数数域的数论性质。整数最基本的性质是唯一因子分解定理。1844－1847年库默尔（德，1810－1893年）创立了理想数理论，1871年戴德金（德，1831－1916年）创立了代数数理论，1897年希尔伯特（德，1862－ 2 1943年）“代数数域理论”。

梅森素数。梅森素数是确定大素数的一种途径。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理数学随感》。在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数，近10年来通过GIMPS项目找到了10个（35至44个）梅森素数。

第四篇：林寿数学史教案-第五讲：文艺复兴时期的数学

第五讲：文艺复兴时期的数学

1、文明背景 1.1 文艺复兴

文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起，15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。在这历时约200年的历史中，揭开了现代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界，数学活动也以空前的规模和深度蓬勃兴起。

1.2 技术进步

欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。四大发明相继传入欧洲。1450年，德意志人古腾堡发明了金属活字印刷术，欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。

1.3 航海探险

1488年，迪亚士（葡，1450－1500年）进入印度洋，发现好望角。1498年，达•伽马（葡，1469－1524年）到达印度海岸，找到了通向东方的新航路。1492年，哥伦布（西，1451－1506年）到达美洲。1519－1522年，麦哲伦（葡，1480－1521年）船队完成了首次环球航行。

1.4 天文学的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心说”，1543年出版《天体运行论》。布鲁诺（意，1548－1600年）1584年在《论无限、宇宙及世界》提出了宇宙无限的思想。

2、文艺复兴时期的欧洲数学

近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。

2.1 代数学

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。

帕西奥里（意，1445－1517年），1494年出版《算术集成》是一部数学百科全书，其中采用了优越的记号及大量的数学符号，推进了代数学的发展。

塔塔利亚（意，1499－1557年）发表了《论数字与度量》（1556－1560），1 16世纪最好的数学著作之一，发现了三次方程的代数解法。

卡尔丹（意，1501－1576年）最重要的数学著作是1545年出版的《大术》，内有三次、四次方程的解法。

邦贝利（意，1526－1573），意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，1572年出版《代数》，引进了虚数，正式给出了负数的明确定义。

施蒂费尔（德，1487－1567年），16世纪德国最大的数学家，1544年《综合数学》中指出：符号使用是代数学的一大进步。

韦达（法，1540－1603年），16世纪法国最大、最有影响的数学家，被西方称为“代数学之父”，1591年出版《分析引论》是最早的符号代数专著。

2.2 三角学

在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《论各种三角形》（1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。

韦达（法，1540－1603年），1579年《应用于三角形的数学定律》系统讲述了各钟三角函数，1615年《截角术》系统化了球面三角和平面三角学。

2.3 射影几何

文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，诞生了射影几何学。

阿尔贝蒂（意，1404－1472年），1435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法思想，是射影几何发展的起点。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，射影几何早期发展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），内有帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。

射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。

2.4 对数

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十进算术》，系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数。

纳皮尔（苏格兰，1550－1617年）至少花了20年的时间，于1590年左右开始写关于对数的著作，1614年发表《奇妙对数规则的说明》。

到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。3、15－17世纪的中国数学

3.1 珠算

珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年编著了《直指算法统宗》。从它流传的长久和广泛方面来讲，那是中国古代数学史上任何著作也不能与之相比。

3.2 西方数学的传入

西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。

最早来中国从事传教活动的是明万历年间（1582年）来华的意大利传教士利玛窦（1552－1610年），被中国人尊称为“西学东渐第一师”。

徐光启（明，1562—1633年），中国近代科学的启蒙大师。1607年，徐光启与利玛窦合作翻译的欧几里得《原本》前6卷出版。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，相继出现了许多欧洲数学著作。

3.3 明末的中国科技

李时珍（1518－1593年）《本草纲目》，徐光启（1562－1633年）《农政全书》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游记》，宋应星（1587－

？）《天工开物》。

第五篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析

第十讲：19世纪的分析

1、分析的严格化

经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。

1.1 分析的算术化

所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。魏尔斯特拉斯简介。1.2 实数理论

19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

1.3 集合论

康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。

康托简介。

2、分析的拓展 2.1 复变函数论

在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了复变函数的微分和积分理论。1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。

柯西简介。

背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。

黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。

魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。

魏尔斯特拉斯的方法与柯西－黎曼的观点相互统一。2.2 解析数论

1737年欧拉（瑞，1707－1783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，1863年出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献。

1859年黎曼《论不超过一个给定值的素数个数》，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。1896年阿达玛（法，1865－1963年）和瓦莱•普桑（比利时，1866－1962年）证明了素数定理。

2.3 偏微分方程

19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。

弦振动方程。1747年达朗贝尔（法，1717－1783年）发表《弦振动研究》和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。

位势方程。1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年发表）《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出位势方程的求解方法。

拉普拉斯简介。格林简介。

热传导方程。傅里叶（法，1768－1830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了《热的解析理论》，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。

傅里叶简介。背景：巴黎科学院。2.4 常微分方程

以海王星的发现说明微分方程的作用。

解的存在性。1820－1830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 1832－1903年）条件，1890年皮卡（法, 1856－1941年）逐步逼近定理。

关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。柯瓦列夫斯卡娅（俄，1850－1891年）简介。

解的定性与稳定性理论。1881－1886年庞加莱（法，1854－1912年）《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论。1892年李雅普诺夫（俄，1857－1918年）《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论。

庞加莱简介：欧拉、柯西之后最多产的数学家，开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究，19世纪最后四分之一和20世纪初世界数学的领袖人物。