高二数学必修第二章等比数列前n项和教学案例

第一篇：高二数学必修第二章等比数列前n项和教学案例

高二数学必修⑤第二章《等比数列前n项和》教学案例

泉州七中

教师：伍建家

在教学设计时，虽然我把教学等比数列前n项和公式作为重点来处理，但着墨并不多，因为我把更多的心思放在了练习的设计与安排上，期望在课堂教学中，能够在练习这一环节上绽放精彩。没想到，到头来却成了有心栽花花不开，无意插柳柳成行。

那天上课时，一开始先进行常规复习，接着为了烘托课堂气氛，激发学生的求知欲望，我用故事激趣导入新课（为表述方便，以下片断中的教师即指称笔者自己）：

我：上节课我们学习了等比数列的概念与通项公式，谁来说一说怎样的数列叫做等比数列？判断等比数列的方法有哪几种？……。听说有些同学喜欢国际象棋，关于国际象棋有一个很有趣的故事，大家想听吗？……，谁知道有多少粒麦子呢？

学生：（学生议论纷纷，大多认为不会太多吧）

我：这个问题就归结为今天要学习的等比数列的求和问题。等比数列的前n项怎么表示？如何求出结果？

学生：有的学生默不作声，有的由于预习了教材而脱口说出了求解思路，教师投以赞许的目光。

我：请一名学生板书出公式的推导过程：

（1）

（2）

由（1）－（2）得

（*）

我：这种方法叫做“错位相减法”，并解释为什么称之为“错位相减法”。问：公式涉及到等比数列的哪几个基本量？大家对公式有什么要补充吗？

学生：公式（*）中，此公式还可写成 ；当 时，是常数列，我：这是一个重要的公式，应用时要注意什么？（）大家对于它还有什么问题吗？

不问不打紧，一问还真问出了问题。这时，只见坐在前排的一个学生抛出了一句：“老师，这个„错位相减法‟是怎么被想出来的呢？”

我愣了一愣：是呀，这个方法是怎么被想出来的呢？在以往的教学中，并没有学生问起这个问题，自己也没有留意过这个问题，当然更没有研究过这个问题。面对着全班学生，在众目睽睽之下，我真的心虚。

风暴乍起，晴天霹雳，躲又没处躲，退也没法退，进又进不得，怎么办？索性与之较量一番吧！置之死地而后生。嘿！这样一想，心情反而平静了下来。我：这位同学提了一个很好的问题，是呀，这个方法是怎么被发现的呢？我们能不能自己来发现公式的推导方法呢？

于是我要求每前后两桌的4个学生组成一组，进行探究活动，一旦有了想法就推举一名代表发言，陈述想法。

大约6、7分钟后，就有个小组报告说，他们利用倒序相加法来求，但无论怎么试都不可行。（评注：等差数列前n项和是利用倒序相加法求得的，他们想用这个办法来试试，他们的这种想法，于情于理都很自然）

接着又有一个小组报告了他们的发现：

学生：我们发现…中的每项都有…，所以首先想到的可能是提取…，即…，但是我们无法求出…。后来我们又发现除第一项外，也可以提取…，也就是……（**）

但我们不知道这样做有没有用。（以上内容均予以板书出来）

我眼睛一亮，嘿！还真有戏了，不露声色地微微一笑：大家再仔细观察（**），还能发现什么？

有学生说：括号内是数列的前n-1项求和，也就是…，这样…

（评注：这离真正的求和公式仅一步之遥了）

我：请学生继续思考，希望他们能发现 与 之间的关系。果然几分钟后就有下文了。

学生：…，…，这样代入上式就可以求出…。

我：很好！大家再仔细看看，这个方法与错位相减法有什么关系呢？

一经提醒，大家可开心了，每张脸上都写满了兴奋：是呀，他们自己发现了错位相减法，这能不欢呼雀跃吗！

一看时钟，课已经进行了30多分钟，显然原先的例题教学与练习安排不可能按照原计划完成了，于是我对例题教学进行了压缩，对练习也重新做了调整。

……

下课铃响了，学生们似乎还意犹未尽，我带着些许的不安离开了教室。

这是一堂没有上完的课，这是一堂令我难忘的课。这堂课没有在预计的练习中出彩，原本没想要它出彩的公式教学却绽放出光彩。

第二篇：等比数列前n项和教学设计

《等比数列的前n项和》教案

一．教学目标

知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

二．重点难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用； 教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。

三．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。

四．教具准备 教学课件，多媒体 五．教学过程

（一）创设情境，提出问题

故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？

（二）.师生互动，探究问题

问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+„+64=2080(千吨)结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍, 2

请给我这么多的麦粒数？

问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数122223263，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．

问题3： 1，2，22，„，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探究一：122223263，记为S64122223263„„①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探究二： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有2S6422223264„„②式．比较①、②两式，你有什么发现？

经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S642641，老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。

思考：为什么①式两边要同乘以2呢？

（三）.类比联想，解决问题

探究三：如何将结论一般化，设等比数列an，首项为a1，公比为q,如何求前n项和为Sn？

探究四：在学生推导过程中，由(1q)Sna1a1q，得到Snna1a1q1qn

对不对？

探究五：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

（四）.例题讲解，形成技能

1111......前8项和； 例1：求等比数列，,24816练习一：根据下列条件，只需列出等比数列an的（1）a1=3,q=2,n=6,sn的式子

sn=________________.12,(2)a1=2.4,q=-1.5,an=

sn=_______________.(3)等比数列1，2，4，„从第五项到第十项的和S=___________.例2：等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn？ 练习二：等比数列{an}的公比q=

（五）总结归纳，加深理解

12，a8=1，求它的前8项和S8。

引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

（六）.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，西萨的第二个要求需要大约7380亿吨小麦，比第一个要求更加苛刻，显然国王兑现不了他的承诺。同学们有什么办法帮助国王吗？让西萨自己去数他要的麦粒，事实上，假如他一秒钟数一粒，数完这些麦粒所需时间约是5800亿年。

六.课后作业

必做： P24习题三第三题（1）（2）

七、教学评价与反馈

根据高二职高学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固 5

所学，反馈验证本节教学目标的落实。其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分析讨论并充分运用课件等教辅用具改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了学生的思维能力。

第三篇：等比数列前n项和作业

第五章第3讲

一、选择题

1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校联考]已知等比数列{a的前n项和为S39

n}n，a32S3＝2，则公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5的值为()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥质检]已知数列{an}满足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，则a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡阳三联]设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重点中学调研]若等比数列{an}的公比q＝2，且前12项的积为212，则a3a6a9a12的值为()

A.24B.26C.28D.212

二、填空题

7.已知等比数列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，则等比数列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原创]设等比数列{an}的前n项之和为Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2012＝________.9.[2013·南京模拟]记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.三、解答题

10.[2013·锦州模拟]设Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比数列，且an＋1

11.[2013·湖州模拟]已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.12.[2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a(a∈R)，且11

n}的首项a1为aa1

a2，a4

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，试比较11111

a2＋a22＋a23＋…＋a2na1

第四篇：等比数列及其前n项和(学生)

自强学校高一数学

等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从

A．2B.2C.2D.24．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的()

A．充分而不必要条件C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S20＝8则S30＝________.等比数列中基本量的运算

【例1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

总结：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

练习1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.等比数列的判定及证明

【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

总结：证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中项法，即证明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

练习2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

等比数列的综合应用

【例3】(2010·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整数n.总结：数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选．

练习3．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，„，求：

(1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋„＋a2n的值．作业:

一、选择题

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－5t的值为()

A．4B．5C.5D.54．已知等比数列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，则该数列的前2 011项的积为()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，对于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.设M(x)表示

整数x的个位数字，则M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

6．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若数列{an＋c}恰为等比数列，则c的值为________． 7． 等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝____.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，„)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.三、解答题

10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．

11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

12.在数列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.

第五篇：等比数列及前n项和学案

2014届高三理科数学学案教师寄语：学数学的诀窍 勤思 善思 多思

等比数列及前n项和2013.11命制人：刘晓琳

一、复习要求 掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式

二、知识梳理 1．等比数列定义：

2．通项公式

2、等比数列an的公比为q，首项为a1，前n项和Sn

Sn

3．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且bac 4．等比数列{an}的性质: 3．等比数列an前n项和Sn的相关性质

5．证明数列为等比数列的方法:

三、基础训练 1 等比数列an中，(1)已知a13,q2 则a6=__________________

(2)已知a320,a6160则a9=______，an______________(3)已知a14,q

2则s10=__________________(4)已知a11,ak243,q3则sk=___________________

2在243和3中间插入3个数，若这5个数成等比数列，则三个数为____________

3已知等比数列的公比是

25，第四项是

2，则前三项和为________________ 4等比数列a76

3n中，已知s32,s62

则an_______,s9___________

5等比数列an中，前四项之和为240，第2项，第4项之和为180，则首项为____________ 6.已知an是等比数列，an>0，又知a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25，那么a3a5（）A.5B.10C.15D.20

四、例题精选

考向一 等比数列的判定

【例1】►（1）若an是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为

① a2n

② a2n③ 1

④lgan

an

（2）已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，则在 “(1){anan＋1}，(2){an＋1－an}，(3){an3}，(4){nan}”

这四个数列中，成等比数列的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【训练1】（1）下列命题中正确的是()(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列(B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列(C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列(D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列

（2）设an、bn是项数相同的两个等比数列，c为非零常数，现有如下几个数列，其中必为等比数列的有。

① {anbn}②{canbn}③{

an

b④{anc}⑤｛an·bn｝ n

（3）在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于A．

2n

12B．3nC．2nD．3n1

考向二等比数列的通项公式和求和公式

【例2】►已知等比数列{an}中，已知a3a636,a4a718，an

3.在递减等比数列{an}中,a4+a5=12,a2·a7=27,则a10=________.则n=_________ 2

2．在243和3之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则这3个数是6．在数列{an}中，a1a2an2n1，则a12a22an2__________。

【训练2】

1、等比数列an中，已知a1a2324，a3a436，求a5a6.2、在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5（A）33（B）72（C）84（D）189

47103n10

(nN)，则f(n)等于（）【例3】►

1、设f(n)2222

22.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为答案1或-4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8答案

46.已知等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=.答案480 6.设等比数列{an}中,每项均为正数,且a3·a8=81,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.5B.10C.20D.40

24.在等比数列｛an｝中，S4=1，S8=3，则a17+ a18+ a19+ a20的值等于 A.12B.14C.16D.18

10、已知等比数列{an}，公比q=

2n12

2(81)C．(8n31)D．(8n41)7772、在等比数列{an}中，a11,an152,前n项和为sn=-341,则公比q=__,项数n=________

A．

B．

3、在等比数列{an}中，已知sn48，s2n60求s3n4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为.答案

【训练3】

1、设等比数列{an}的前n项和为sn，s41,s817,则an=______________

2、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为sn，若sn2,s3n14,则s4n_______。

考向四等比数列的性质 【例4】►18.有等比数列中，①已知a33,a748,则a5__________.②若a52,a1010,则a15__________.③若a45,a86,则a2a10__________.16

22n

(81)7

且a1+a3+„+a49=30,则a1+a2+a3+„+a50=()2

A．35B．40C．45D．50

14.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3……a30=230,那么a3a6a9…a30等于 A.210B.220C.216D.215 【训练4】

考向五等比数列与等差数列的综合a3a

41a2,a3,a1

aa52【例5】►25.各项都是正数的等比数列｛an｝的公比q≠1，且成等差数列，则4的值是

1511511

A.2B.2C.2D.2或29、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则

a

1的值是（）a

4A．1B．2C．3D．4

【训练5】1.数列{an}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{bn}的相邻三项.若b2=5,则bn等于

14.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.例1等比数列{an}的前n项和为sn，已知a1an66，a2an1128，sn126，求n和公比q的值。

11、各项均为正的等比数列{an}中，q

553

3n1n1n1n

1A.5·(3)B.5·(5)C.3·(5)D.3·(3)

27.公差不为0的等差数列{an}中，a2,a3,a6依次成等比数列，则公比等于

A.2B.3C.2D.3

40.等比数列{an}的首项a1=1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q等于

11，那么当a6时，该数列首项a1的值为（）216

A.2B.3C.-3D.3或-3

A．1B．－1C．2D．－

24．三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数。

12、三个数成等比数列，其积为216，其和为26，则此三个数为

五、巩固练习

3．等比数列an中, a29,a5243,则an的前4项和为（）A． 81B．120C．168D．19

22.已知等比数列{an}中，已知a2a836,a3a715则q=______________

（3）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

19、等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为．

3.已知方程xmx

2a1a3a9

aa4a10的值为.12.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则2

14.在等差数列｛an｝中S6=0(d≠0)，如果am，am+1，a2m成等比数列，则m的值等于______.7.若an是等差数列，公差d0，a2,a3,a6成等比数列，则公比为（）A.1B.2C.3D.43、成等比数列的三个数的和等于65，如果第一个数减去1，第三个数减去19，那就成等差数列，求这三个数。

4、已知三个数a，b，c成等比数列，其公比为3，如果a，b8，c成等差数列，求这三个数。

【例6】►有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【训练6】、2、在2与9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数。3



x

nx20的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|=2

。答案：

3.2

2.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是.答案1

14．（四川理7）已知等比数列an中a21，则其前3项的和S3的取值范围是(D)（Ａ）,1（Ｂ）,01,（Ｃ）3,（Ｄ）,13, 10.（浙江卷6）已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1=C 4

（A）16（14n）（B）16（12n）（C）

3232nn

（14）（D）（12）33

SS6

=3，则9 =S6S3

8.（2009辽宁卷理）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn，若

（A）2（B）

（C）（D）3

例4 [2011·北京卷] 在等比数列{an}中，若a1a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋„

＋|an|＝________.a1a3a5a77.已知等比数列｛an｝的公比q=

1aa4a6a8.,则23

Sn为数列{an}的前n项和．3，a2，a34设{an}是公比大于1的等比数列，已知S37，且a13

构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．，2，，（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和T．