导数的概念第一课时教案（推荐五篇）

第一篇：导数的概念第一课时教案

数学归纳法第二课时教案（2010年4月7日）

课题 导数的概念第一课时

授课人

康玉梅

学校

三河市第二中学

1、知识目标：掌握数学归纳法的定义，理解数学归纳法原理的两个步骤，教学目标： 会用数学归纳法证明简单的与自然数有关的等式

2、能力目标：培养学生的观察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目标：从理解学习数学归纳法的必要性和重要性激发学生的求知欲

教学重点 教学难点 教学方法 教师活动

1、复习引入 明确数学归纳法的两个原理缺一不可 对原理的准确理解 讲练结合

教

学

过

程

学

生活动

回顾 理解 记忆 记笔记

思考并回答问题

教具：多媒体

问题圆的切线与圆的关系

问题

2能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该

点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。

问题

3为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？ 11111n12121223n(n1)n1

三、布置作业。练习册 P337.338

四、板书设计

第二篇：《导数的概念》第一课时的教学反思6

《导数的概念》第一课时的教学反思

陈吾婷

在备《导数的概念》第一课时，对课本内容作了一定的调整，设计了这样的过程：由芝诺著名的一个悖论“飞矢不动”引入，然后利用瞬时速度来解释飞矢在某一点的速度是存在的，然后再转到曲线切线的讨论上来。

应该说，这样的思路很自然，也很有趣。但是在第一节课实际的实施过程中，出现一些问题，使得学生在芝诺悖论之后，就慢慢地变成了“无声”的状态，这主要是一些推导中复杂的符号使然。第一节下课后，很快地做了一个反思，总结了如下几点：

1．在推导瞬时速度时，应该先讲清楚牛顿的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求极限。这样再进行推导，学生就有了方向，而不会象第一节课那样，听得慢，看着复杂的符号就头晕。

在学习理论中，有个“先行组织者”的概念，“先行组织者”是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。可能在对于这样牵涉到复杂符号的推导时，更需要有这样的一个前提准备。要不然学生就弄不清方向，从而被符号所困。

2．也是在推导瞬时速度时，应该做一个图解，使学生更清楚地看到增量的意义。第一节课正是没有给出图解，虽然对增量做了一定的强调，但是学生对增量的理解依然是抽象而非具体的。

3．推导完瞬时速度后，应该点出对“飞矢不动”悖论的反驳，即在某一点是有速度的。第一节课中忘了说明这一点了，就使得学生不知道“飞矢不动”这个情境有什么用，也不知道与瞬时速度有什么联系。

4．在介绍完曲线的切线后，给出一个很好的例子，即y=|x|在x=0处有没有切线，可以先增加另一个变式——求x=1处的切线，这会使学生认识得更深刻一点。最后最好能指出正如某一点的瞬时速度只有一个一样，某一点的切线也应该只有一条。

经过课间几分钟的反思与调整，第二节课果然清晰了许多，也生动了许多。学生听得也饶有兴致。

课后，有两个学生也分别提出了两个很好的问题。第一个问题是在刚才这一例子中，没有斜率难道就没有切线吗？第二个问题是如果切线垂直于x轴，按导数的解释，如果斜率无穷大——即以前通常所说的极限不存在，那么切线不是也不存在吗？

当时给出了这样的解释：导数不存在，切线就不存在；导数无穷大实际上还是存在的，只不过是无穷大，而上面的例子中的在x=0的导数是真的不存在，这是有区别的。回家路上想了一下，并不敢保证这样的解释的正确性，尤其是导数不存在，切线就不存在。到家一查，同济大学应用数学系主编的《高等数学》（第五版上册）第82页中就有切线的定义，包括了导数无穷大时的切线情况，在第85页中就有y=|x|在x=0处切线不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一个问题是：怎样才能更加直观地说明上例中的切线不存在呢？它又哪里去了呢？

第三篇：导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：

一）导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极 限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即

f'(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式： f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf'(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解 由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx'2xx2limlim(2x)2 x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

(x)

f(x)f(x)证

f(x)f 又f(0)lim

limx0'x0f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xxf(0)0

注意：f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x) 在x0处的连续性，可导性。0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：

x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在 limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答 f(x) n1,2,3，即可。

0,x0四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf'(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf'(x0)xo(x)，所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五）单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。证明 limx0f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。例5 设f(x)解 由于 1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x , f'(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0 x0xxf(x0x)f(x0)xlim1 x0xxf'(0)limx0从而f'(0)f'(0)，故f(x)在x0处不可导。

六）小结: 本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

② 注意f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

第四篇：《数列概念》(第一课时)教案

数列概念学案

学习目标：

设计人：李九根

了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。学习重点：数列概念

学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：

一、课前准备：阅读P3—4

二、新课导入：

①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评

1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。①3，3，3，3……

②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……

④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……

2、数列{an}中，an=log2(n2+3)-2,写出数列前五项，log32是这个数列的第几项 探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明

（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明

三、巩固应用

例1.P5 试一试：P6 T1-2 例2.P5 试一试：P6 T3、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……

②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777……

④3，5，9，17，33……

⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……

⑥11126,3,2,3……

四、总结提升

1、探究新知：

2、数列通项公式an与函数有何联系

五、知识拓展

数列前几项和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an 且

aa1(n1)nsnsn1(n≥2)

六、能力拓展

1、数列1g2101×2,1g2102×3,……1g210n(n+1),……中首次出现负值的项是第几项≥≤

2、已知数例{a2n}的通项公式an=n-5n+4（1）数列{an}中有多少项是负项？

（2）当n为何值时，an有最小值，最小值是多少？

3、已知数列{an}的前n项和sn=2n2+n+1，求数列{an}的通项公式？

自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？

作业：P9

A：T4

T6

B：T1

第五篇：《导数的概念》(第1课时)教案1

导数的概念（第1课时）

一、教学目标：

1．了解曲线的切线的概念．

2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．

3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．

二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．

教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程： 1．曲线的切线

如图，设曲线C是函数yf(x)的图像，点P(x0,y0)是曲线C上一点，点Q(x0x,y0y)是曲线C上与点P邻近的任一点．作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

问：怎样确定曲线C在点P处的切线呢？因为P是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率tan，即tanlim2f(x0x)f(x0)ylim.x0xx0x例题

求曲线yx1在点P（1，2）处的切线的斜率k．

解：yf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)(1x)21(11)x22x

yx22xx2 xx∴klimylim(x2)2，即k2．

x0xx02．瞬时速度

我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数ss(t)描述． 下面以自由落体运动为例进行分析． 已知s12gt． 2（1）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．（2）求t3秒时的瞬时速度．

解：（1）3,3.1,t3.130.1,t指时间改变量．

ss(3.1)s(3)v11g3.12g320.3059.s指位置改变量． 22s0.30593.059.t0.1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．

ss随t变化而变化，t越小，越接近tts于一个定值，由极限定义可知，这个值就是t0时，的极限．

t11g(3t)2g32ss(3t)s(3)2 vlimlimlim2t0tt0t0tt1 glim(6t)3g29.4（米/秒）

2t0s问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当t0时，平均速度的极限）

t（2）从（1）可见某段时间内的平均速度教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下： 非匀速直线运动的规律ss(t)

时间改变量t，位置改变量ss(t0t)s(t0)平均速度vss，瞬时速度vlim．

t0tt一般地，如果物体的运动规律是ss(t)，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到tt这段时间内，当t0时，平均速度的极限，即

vlimss(tt)s(t)lim

t0tt0t例题

若一物体运动方程如下：

2(0t3)(1)3t2 s 2(2)293(t3)(t3)求此物体在t1和t3时的瞬时速度．

2解：当t1时，s3t2 ss(tt)s(t)3(1t)223122vlimlimt0t0ttt 26t3t limlim(63t)6.t0t0t当t3时，s293(t3)2

ss(tt)s(t)293(3t3)2293(33)23(t)2vlimlimlimt0t0tt0ttt

lim3t0.t0所以，物体在t1和t3时的瞬时速度分别是6和0． 3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）

（1）求yx32x2在x2处的切线的斜率． 解：yf(x0x)f(x0)

f(2x)f(2)

(2x)32(2x)2(23222)

10x6(x)2(x)3y106x(x)2 xylim(106xx2)10.∴klimx0xx0（2）教科书第111页练习第1、2题． 4．课堂小结

（1）曲线的切线．（2）瞬时速度．

（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．

五、布置作业

1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．（1）yx2,x2处，（2）y231,x0处． x12．已知某质点按规律s2t2t（米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度． 解：1．（1）k12，（2）k1；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．