导数的概念教学设计

第一篇：导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点M处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。

即 f'(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f'(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

'f(x)f(x)f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f'(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为(A)x2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f'(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1)(2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim(4)lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。2

第二篇：导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：

一）导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极 限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即

f'(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式： f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf'(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解 由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx'2xx2limlim(2x)2 x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

(x)

f(x)f(x)证

f(x)f 又f(0)lim

limx0'x0f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xxf(0)0

注意：f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x) 在x0处的连续性，可导性。0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：

x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在 limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答 f(x) n1,2,3，即可。

0,x0四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf'(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf'(x0)xo(x)，所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五）单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。证明 limx0f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。例5 设f(x)解 由于 1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x , f'(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0 x0xxf(x0x)f(x0)xlim1 x0xxf'(0)limx0从而f'(0)f'(0)，故f(x)在x0处不可导。

六）小结: 本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

② 注意f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

第三篇：数学说课稿：导数概念

数学说课稿：导数概念

作为一位兢兢业业的人民教师，就不得不需要编写说课稿，说课稿有助于学生理解并掌握系统的知识。说课稿要怎么写呢？以下是小编收集整理的数学说课稿：导数概念，欢迎阅读与收藏。

导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲。《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正。

一、教材分析

1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解。从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效。

1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心。不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。导数的出现推动了人类事业向前发展。

1.3教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：

表1、知识主体结构比较

通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限。因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法。

1.4重、难点剖析

重点：导数的概念的形成过程。

难点：对导数概念的理解。

为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f（x）在点x0可导→f（x）在开区间（，b）内可导→f（x）在开区间（，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”。事实上：

（1）f（x）在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的极限，是一个常数，区别于导函数。

（2）f（x）的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率的极限，是f（x）在任意点的变化率，其中渗透了函数思想。

（3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f（x）在x0处可导、再定义f（x）在开区间（，b）内可导、最后定义f（x）在开区间的导函数。

（4）y=f（x）在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，表示为这也是求f′（x0）的一种方法。初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f（x）在点x0可导”、“f（x）在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比。

二、目的分析

2.1学生的认知特点。在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度。

2.2教学目标的拟定。鉴于这些特点，并结合教学大纲的要求以及对教材的分析，拟定如下的教学目标：

知识目标：

①理解导数的概念。

②掌握用定义求导数的方法。

③领悟函数思想和无限逼近的极限思想。

能力目标：

①培养学生归纳、抽象和概括的能力。

②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力。

情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点。接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

三、过程分析

设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成，发展和应用过程，帮助学生主动建构概念。

一、教材分析

导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率

问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点

二、教学目标

1、知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：

①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.三、重点、难点

重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

四、教学设想(具体如下表)

教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片

回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

(1)运动员在这段时间里是静止的吗?

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

首先回顾上节课留下的思考题：

在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢?

引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲初步探索、展示内涵

根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：

结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度?

提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化

理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算的'值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的动手操作能力

问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想;另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美

问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢?

引导学生继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示?学生意识到将代替2,可类比得到

与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法

借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢?

类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示

积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义

问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢?

在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数在处的瞬时变化率即在处的导数,记作

(也可记为)

引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃;同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。

循序渐进、延伸

拓展例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时候，原油温度(单位：)为

(1)计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

(2)计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤：

①启发学生根据导数定义，再分别求出和

②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗?

③大家是否能用同样方法来解决问题二?

④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

步步设问，引导学生深入探究导数内涵

发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用

变式练习：已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)=-2t2+5t(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度

(2)求物体在t时刻的瞬时速度

(3)求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动?

学生独立完成，上台板演，第三次体会逼近思想

目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律归纳总结、内化知识

1、瞬时速度的概念

2、导数的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

作业安排、板书设计(必做)第10页习题A组第2、3、4题

(选做)：思考第11页习题B组第1题作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教

附后板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

五、学法与教法

学法与教学用具

学法：

(1)合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。(如问题2的处理)

(2)自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。(如问题3的处理)

(3)探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。(如例题的处理)

教学用具：电脑、多媒体、计算器

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动--师生互动、共同探索。②导--教师指导、循序渐进

(1)新课引入--提出问题,激发学生的求知欲

(2)理解导数的内涵--数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义

(3)例题处理--始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识

(4)变式练习--深化对导数内涵的理解，巩固新知

六、评价分析

这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。

新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。

通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，学生容易理解;

这样定义导数的优点：

1.避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;

2.将更多精力放在导数本质的理解上;

3.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.(附)板书设计

第四篇：“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

1教学预设

1.1教学标准

（1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性；

（2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；

（3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值；

（4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率.1.2标准解析

1.21内容解析

本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率.1.22学情诊断

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生是在充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数的起始课学习过程，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，必能激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.教学难点如何从两个具体的实例归纳总结出函数平均变化率的概念，对生活现象作出数学解释.1.23教学对策

本节作为导数的起始课，同时也是个概念课，如何自然引入导数的概念是至关重要的.为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等.①在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.②通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律.1.24教学流程设置情境→提出问题→知识迁移→概括小结→课后延伸

2教学简录

2.1创设情境，引入课题

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：（课件演示相关问题情境）

（1）已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

（2）求曲线的切线；

（3）求已知函数的最大值与最小值；

（4）求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.评析充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣.2.2提出问题，探求新知

问题1气球膨胀率（课件演示“吹气球”）

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是V（r）=43πr3；

如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=33V4π.师：当V从0增加到1时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/L）.师：当V从1增加到2时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/L）.师：非常好！可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.归纳到一般情形，当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

生：r（V2）-r（V1）V2-V1.师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.评析通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习氛围，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师.问题2高台跳水（观看多媒体视频）

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？

师：请同学们分组，思考计算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.生：（第一组）在0≤t≤0.5这段时间里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二组）在1≤t≤2这段时间里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对第（2）小题的答案说明其物理意义.评析高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率――运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰.通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景.师：（探究）计算运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

（1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）.评析通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法.（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上；

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态.思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时，运动员的平均速度是多少？

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性.评析把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，同时为归纳函数平均变化率概念作铺垫.2.3知识迁移，把握本质

（1）上述问题中的变化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率.（2）若设Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）.（这里Δx看作是对于x1的一个“增量”，可用x1+Δx代替x2）.（3）则平均变化率为ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+Δx）-f（x1）Δx.思考：观察函数f（x）的图象，平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲线y=f（x）上两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率（割线的斜率）.生：（补充）平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），即在某个区间上曲线陡峭的程度.师：两位同学回答得非常好！那么，计算平均变化率的步骤是什么？

生：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δy=f（x2）-f（x1）；③求平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1.评析通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想.为进一步加深理解变化率与导数作好铺垫.2.4知识应用，提高能力

例1已知函数f（x）=-x2+x图象上的一点A（-1，-2）及临近一点B（-1+Δx，-2+Δy），则ΔyΔx=.例2求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2.5课堂练习，自我检测

（1）质点运动规律为s=t2+3，则在时间（3，3+Δt）中相应的平均速度为.（2）物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作运动，求在4s附近的平均变化率.（3）过曲线f（x）=x3上两点P（1，1）和P′（1+Δx，1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.评析概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律.2.6课堂小结，知识再现

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合.评析复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构.2.7布置作业，课后延伸

（1）课本第10页：习题A组：第1题.（2）课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

3教学反思

在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受问题情境中提出的问题，并以此作为突破口，启发、引导学生得出函数的平均变化率.成功之处：通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题.这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.改进之处：课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导”具有明显的“牵”的味道.在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多.整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够.4教学点评

采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，营造生动活泼的课堂教学气氛，充分发挥学生的主体地位，通过实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解变化率问题.4.1注重情境创设，适度使数学生活化、情境化

注重情境创设，适度使数学生活化、情境化而又不失浓厚的数学味，可以激发学生学习的内在需要，把学生引入到身临其境的环境中去，自然地生发学习需求.因此，本节课以两个实际问题（吹气球和高台跳水）为情景，在激发主体兴趣的前提下，引导学生在生活感受的基础之上从数学的角度刻画“吹气球”和“高台跳水”，并注重数形结合思想方法的渗透.4.2准确定位，精心设问，注重学生合作交流

教师的角色始终是数学活动的组织者，参与并引导学生从事有效的学习活动，并在学生遇到困难时，适时点拨，让学生体会到学习数学的过程是人生的一种有意义的经历和体验，从而发挥学生学习数学的能动性和创造性.教师精心设计好问题，从而更好地激发每个学生积极主动地参与到数学学习活动中来，让学生在解决问题时又不断产生新的思维火花，在解决问题的过程中达到学习新知识的目的和激发创新的意识.因此，本课采用自主探索、合作交流的探究式学习方式，使学生真正成为学习的主人.4.3借用信息技术辅助，强化直观感知

在信息技术环境下，可以使两个实例（吹气球和高台跳水）的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.同时帮助学生发现规律，使探究落到实处.作者简介杨瑞强，男，1979年生，湖北黄冈人，中学一级教师.主要从事数学教育与中学教学研究.发表论文60余篇.

第五篇：《导数的概念》第一课时的教学反思6

《导数的概念》第一课时的教学反思

陈吾婷

在备《导数的概念》第一课时，对课本内容作了一定的调整，设计了这样的过程：由芝诺著名的一个悖论“飞矢不动”引入，然后利用瞬时速度来解释飞矢在某一点的速度是存在的，然后再转到曲线切线的讨论上来。

应该说，这样的思路很自然，也很有趣。但是在第一节课实际的实施过程中，出现一些问题，使得学生在芝诺悖论之后，就慢慢地变成了“无声”的状态，这主要是一些推导中复杂的符号使然。第一节下课后，很快地做了一个反思，总结了如下几点：

1．在推导瞬时速度时，应该先讲清楚牛顿的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求极限。这样再进行推导，学生就有了方向，而不会象第一节课那样，听得慢，看着复杂的符号就头晕。

在学习理论中，有个“先行组织者”的概念，“先行组织者”是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。可能在对于这样牵涉到复杂符号的推导时，更需要有这样的一个前提准备。要不然学生就弄不清方向，从而被符号所困。

2．也是在推导瞬时速度时，应该做一个图解，使学生更清楚地看到增量的意义。第一节课正是没有给出图解，虽然对增量做了一定的强调，但是学生对增量的理解依然是抽象而非具体的。

3．推导完瞬时速度后，应该点出对“飞矢不动”悖论的反驳，即在某一点是有速度的。第一节课中忘了说明这一点了，就使得学生不知道“飞矢不动”这个情境有什么用，也不知道与瞬时速度有什么联系。

4．在介绍完曲线的切线后，给出一个很好的例子，即y=|x|在x=0处有没有切线，可以先增加另一个变式——求x=1处的切线，这会使学生认识得更深刻一点。最后最好能指出正如某一点的瞬时速度只有一个一样，某一点的切线也应该只有一条。

经过课间几分钟的反思与调整，第二节课果然清晰了许多，也生动了许多。学生听得也饶有兴致。

课后，有两个学生也分别提出了两个很好的问题。第一个问题是在刚才这一例子中，没有斜率难道就没有切线吗？第二个问题是如果切线垂直于x轴，按导数的解释，如果斜率无穷大——即以前通常所说的极限不存在，那么切线不是也不存在吗？

当时给出了这样的解释：导数不存在，切线就不存在；导数无穷大实际上还是存在的，只不过是无穷大，而上面的例子中的在x=0的导数是真的不存在，这是有区别的。回家路上想了一下，并不敢保证这样的解释的正确性，尤其是导数不存在，切线就不存在。到家一查，同济大学应用数学系主编的《高等数学》（第五版上册）第82页中就有切线的定义，包括了导数无穷大时的切线情况，在第85页中就有y=|x|在x=0处切线不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一个问题是：怎样才能更加直观地说明上例中的切线不存在呢？它又哪里去了呢？