导数零点教学设计（精选5篇）

第一篇：导数零点教学设计

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数fxx22x3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案 函数零点的等价转化：

1、函数yfx的零点方程fx0的根函数yfx的图象与x轴（即y0）交点的横坐标。

2、推广：函数hxfxgx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数hxxlnx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数fxx3x1，求fx的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y1，y3，y2，y4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与ym有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程fxm0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ gxfxm___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答，此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。达标训练1、32已知函数fxx3x1，若直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象在1,3上有三个不同交点，求实数m的取值范围。2设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题 达标训练

2、已知函数fx

1312xx2x，若关于x的方程 322

1fxx32x2xm0在区间,2上恰有两不等实根，求实数m的范围。

2设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法 由学生自己完成，教师给予适当引导

三、拓展延伸：

已知函数fxx28x与函数gx6lnxm的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的总结，也能拓展学生思维，开拓学生的视野，完善学生的思维方法。

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成

四、小结归纳、（1）数形结合的思想

（2）函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：

第二篇：函数零点教学设计

一、【教案背景】

1、课题：函数的零点

2、教材版本：苏教版数学必修

（一）第二章2.5.1函数的零点

3、课时：1课时

二、【教学分析】 教材内容分析：

本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定。

函数的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。教学目标：

1、知识与技能

（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）了解函数零点与相应方程的根的联系，掌握零点存在的判定条件。

2、过程与方法

（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（2）渗透算法思想，运用算法解决问题，为后面系统学习算法做准备。

3、情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。教学重点： 零点的概念及零点存在性判定。

教学难点： 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。教学方法：

问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终；以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。

三、【教学过程】

（一）、问题情境

（1）画出二次函数的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过学生熟悉的二次函数图象入手，让学生体会二次函数图象与x轴交点的数值与方程根的对应关系，方程的实数根就是的函数值为0时自变量x的值,建立初步的数形结合数学思想。（课件展示函数图象）

（2）画出二次函数、与的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在x轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x轴相交时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程数学思想。

提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x称为二次函数的零点）。

（二）、合作探究

探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的图象的零点

说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题,让学生体会从具体到一般函数图象与x轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难，教师可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。板书课题:函数的零点

（三）、意义建构

函数的零点概念：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（zeropoint）。

注：（1）零点不是点。

等价关系

函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）

有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。

说明：通过对概念的陈述，让学生了解函数零点的概念及性质，对函数零点的概念有了完整的认识，达到质的飞跃。

（四）、数学运用

例1：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。①

② ③ ④

⑤

（师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）

说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。本题的五个小题都简单，主要考察学生零点概念的掌握情况，题目包含了我们从初中到目前已经学过的常见函数，目的让学生通过及时练习加强对函数零点的的认识。

通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用。为下面学习根的存在条件奠定基础。

例2 求证：二次函数有两个不同的零点。

说明：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，图象与x轴有两个不同的交点。几何画板演示画图象过程，引导学生观察当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示刺函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。板书证明过程

证明：设,则 f(1)=－2<0。

因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），这表明此图象一定穿过x轴，所以函数的图象与x轴有两个不同的交点。因此，二次函数有两个不同的零点。

从上面的解答知道，此函数有两个零点是。

问题（1）你能说明此函数在哪个区间[a，b]上存在零点（）吗？ 问题（2）如何判断一个函数在区间（a，b）上是否存在零点？

让学生自己思考、发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性判定。

如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点。

教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论。通过讨论认识问题的本质，升华对零点存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

（4）在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

（5）如果是二次函数y＝f(x)的零点，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？

为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图。

说明：设置成流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础。算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可。

例3．求证：函数在区间(－2，－1)上存在零点．

说明: 学生完成过程中，教师巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化。

（五）、归纳总结

说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础。

（六）、反馈练习

(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是

；

(2)二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是

；(3)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围；

(4)已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有

个；(5)在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为

；

说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.对做的好的及时给予表扬。

（七）、作业布置

1、完成苏教版必修1第76页练习1、2。

2、①有2个零点;②3个零点;③4个零点.四、【板书设计】

屏幕

函数的零点

一、函数零点的定义：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（零点不是点）.二、方程的根与函数零点之间的等价关系

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴有交点（形）零点存在性判定

例1

例2

五、【教学反思】

前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学。”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究。学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼。

本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性。

第三篇：导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点M处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。

即 f'(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f'(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

'f(x)f(x)f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f'(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为(A)x2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f'(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1)(2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim(4)lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。2

第四篇：常用函数的导数教学设计

几个常用函数的导数教学设计

一、课题引入

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数 知识点

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0 xxxylim00 所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1 因为xxxylim11 所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么?（2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？（3）函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为 xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数yf(x)21的导数 x11yf(xx)f(x)xxx因为 xxxx(xx)12

x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1练习作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以ylim线方程

5．函数yfxx的导数

xxx

x因为yf(xx)fxxx

=xxxxxxx1xxx xxx

=所以ylimy11 limx0xx0xxx2xnn16.推广：若fxxnQ，则f(x)nx

练习求下列函数的导数

（1）yx3（2）y1 x2（3）y三．例题讲解 3x（4）yx2x

3例1．曲线yx上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求，则 它的切线斜率为k3，∵f(x)3x，∴3x03，x01，∴P(1,1)或P(1,1)．

例2．证明：曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由xy1，得y∴y()221，x1x1，x2

∴kf(x0)1，2x0过点P(x0,y0)的切线方程为

yy01(xx0)，2x02，x0令x0得y令y0得x2x0，∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

S122x02是一个常数． 2x0四．课时小结

C0，xn

五、作业 nxnQ n

1六、板书设计

七、教学反思

第五篇：案例 零点定理的教学设计

过程与方法是这样体现的！

一、开放的情境更易于引导学生做数学

根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。这一片段的课堂教学实录如下：

问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？

生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？

生众：0到12之间。

师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。

师：函数存在零点的关键是什么？

生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。

从上述过程可见，通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：

问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。

上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，研究数学。

二、“预设”与“生成”结合的课堂更精彩

原问题给学生一个图，学生会用最方便直接的方法进行连接（一条直线段），在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看”，“独立思考几分钟”，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种„„没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示）。

1．让学生在表述结果中进行数学交流

教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：

(1)用线段连接（如图2、3等）。

(2)用曲线段连接，学生给出了很多连接方法，如图4、5、6、7等都是学生给出的。

学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调的、有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图5），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。

实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者。学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会思考。

2．课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源

构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务。在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。

（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与x轴重合，如图8，其图象是不间断的，显然该函数的零点为一个区间，有无限多个。

给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动”、“茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明”“出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。

（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+－；－+）；函数值同号（++；－－），这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。

（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：

问题1 若问题2 若，函数，函数

在区间在区间

上一定没有零点吗？ 上只有一个零点吗？ 内有且只有一个零点？ 问题3 能否增加条件，使得函数在区间是否一定有f(a)f(b)<0? 问题4 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上有一个零点，问题5 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)上零点个数一定是有限个吗? 老师在教学中的做法是：（在《几何画板》直接展示函数的图象，不给出函数解析式，如图9。引导学生改变区间的端点，通过观察，验证问题1、2。

师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。

师：能否增加条件，使得函数在区间生众：单调性。

师：具体说，可以增加这样的条件：函数在区间这里我们利用图7就能回答这几个问题。

这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促

内为单调函数。

内有且只有一个零点？ 使学习内容不断生成，知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思”。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘录自人民教育出版社网站：精彩的生成来自学生的自主研究）