第一篇：方程的根与函数的零点教学设计
方程的根与函数的零点教学设计
【教材分析】
函数是中学数学的核心概念。核心的原因之一就在于函数与其知识据有关烦的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要． 【教学目标分析】
根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：
知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科
学态度。
【教学重点分析】
教学重点：因为函数的零点与方程的关系至关重要，为下面二分法的学习奠定基础，因此我把本节教学重点定为判定函数零点存在及其个数的方法。
教学难点：为了培养学生的探究精神，让学生体验学习的快乐和成果，故本节难点定为探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。
【教法分析和学法指导】
结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。
【教学过程设计】
为了突出重点，突破难点，在教学上我做如下设计。
问题1：求方程的实数根，画出函数观察他们之间的联系？
学生通过观察分析易得：方程的实数根就是函数的图像；并的图像与x轴交点的横坐标
[设计意图说明]通过学生熟悉的二次函数的图像和二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。
初步提出零点的概念：-1，2既是的根，又是函数在y=0时x的值，也是函数图象与x轴的交点横坐标。-1,2在方程中称为实数根，在函数中称为零点。
问题2：对于一般的一元二次方程和相应方程这种关系是否成立？ [设计意图说明]利用几何画板，学生从动态的角度体会方程的跟与函数的零点之间的关系。引出函数零点的定义
对于函数y=f(x)，我们把使f(x）=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0有实数根<=>函数y=f(x)的图像与x轴有交点<=>函数y=f(x)
有零点
问题3：求函数零点
(1)(2)(3)
对于（1）（2）小题，学生容易求的函数零点，而（3）小题学生则意识到无论用代数还是几何方法入手，再不借助计算机的前提下，不易求得函数
零点。
[设计意图说明] 借助这个练习题既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课题，为新课的教学作好铺垫。
问题4：请同学们观察动画《小马过河》
将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会
有交点。
通过观察，学生不难发现只要满足A、B两点在X轴两侧这种位置关系就可以达到要求，这种位置关系引申为f(a)·f(b)<0来表示。
结合图像，请同学们用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否
存在零点？
学生容易表述为：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函
数y=f(x)在区间（a,b）内有零点
[设计意图说明] 将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，同时由原来的图形语言抽象成数学语言，再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归纳创造的能力。
问题5：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？
引导学生构造反例：
强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线。
[设计意图说明] 让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。同时问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发现缺陷，完善方法的过程，利于知识的理解和掌握，也培养了学生归纳概
括能力。
通过上述研究，学生可以自己概括出函数零点存在的定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c也是
方程f(x)=0的根。
为了加深对概念的认识，我设计如下三个问题，请同学们分组讨论：
（1）函数具备了哪些条件，就可确定它有零点存在呢？
（2）若函数f(x)在区间内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？（3）如果函数具备上述两个条件时，函数零点的个数是惟一吗？ [设计意图说明]这四个问题对学生而言存在一定的挑战，但对定理的解却至关重要，通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。同时鼓励学生相互之间合作交流，培养学生的合作学习的能力。
问题6：为了加深概念，提高学生的应用意识，我们再次回到问题3第三小
题
已知函数f(x)=lnx+2x-6试判断函数零点的个数？并说明。[设计意图说明]针对疑难学生进一步领悟，并学会初步利用函数的单调性判断零点的个数。教师可结合几何画板作出相应函数的图象分析其零点问题，让学生对函数的零点判断形成更加直观认识．
题组练习
题组1 1.函数的零点是（）A．（-1，0）
B.（3，0）
C.x=3
D-1和3 2.函数的零点是（）
A 1
B 2
C 3
D 不确定
题组2 已知函数
(1)m为何值时，函数有两个零点？
(2)若函数恰有一个再远点右侧，求m的值
[设计意图说明] 立足教材，选取难易适当且适量的习题，给学生提供一个完整运用知识的平台，从而帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力。
归纳小结
（1）方程f(x)=0有实数根<=>函数y= f(x)的图像与x轴有交点<=>函
数y= f(x)有零点
（2）f(x)连续且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在（a,b）内存在零点
（3）f(x)连续且f(a)·f(b)<0且f(x)单调，则函数f(x)在（a,b）内存
在唯一零点
[设计意图说明]小结是一堂课的概括和总结，有利于优化学生的认知结构，能把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学
生的归纳概括能力。课后作业，自主学习
[设计意图说明]对课后作业实施分层设置，分必做和选做，利于拓展学
生的自主发展的空间。
【教学反思】 方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。
第二篇：方程的根与函数的零点教学设计
教师的工作就不是原来的意义的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要点拨给学生学习的方法，帮助学生解疑析难，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。例如：方程的根与函数的零点 ①首先开门见山地提出问题
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数b=ax2+bx+c(a≠0)图象有什么关系? ②要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般：即通过具体的函数与方程来讨论。③分组实施 ④交流汇报结果 ⑤老师精点 ⑥引导猜想 方程f(x)=0有实根零点。
⑦引导学生去总结出：函数y=f(x)有零点的特征(见课本P102)⑧应用
学生完成P102的例题、P103的练习⑨小结：(1)探问题的方法(2)得到的结果(3)能解决什么问题(4)解决问题的步骤 3
y=f(x)的图象与x轴有交点
y=f(x)有零点。从而定义函数的要实现教法的改变，必须转变学法，这更需学生树立正确态度和思想：我要学习、我急需学习，由一段时间努力和体会，学法会形成的。16.在感受中发现，在领悟中升华——“函数的概念与图象”教学的一点随想深圳市平冈中学孙文彩当我拿着精美的新教材，看着一幅幅优美的图片时，给我最大的感触就是：图文并茂，内容丰富，叙述形式充满浓厚的人文时代气息……，特别是当我上完“函数的概念与图象”这部分内容后，感慨很多，在此略加采撷，旨在抛砖引玉，恳请同行指正!(一)让学生感受数学，体会数学的价值。
数学对是客观世界的数量关系和空间形式的描述，它来源于客观世界的实际事物，学生们的生活中处处有数学。教学时如能善于挖掘生活中的数学素材，从生活实际出发，结合学生的生活实际，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，引入数学知识，让数学贴近生活，使学生感受数学的实用性，对数学产生亲切感。
教材中“函数的概念与图象”内容就是把学生身边的素材：国民生产总值，一天的温度变化曲线，自由落体运动函数，等等，教者如能把它制成幻灯片作为课堂引入，或者再因地制宜地举出一些其它的实例，如飞机票价表，数学用表，股市走势图，家庭生活用电数……，使学生对熟悉的生活场景的回顾，感受到函数与我们现实生活的密切关系，消除同学们对函数这一概念的陌生感、恐惧感。堂课的背景材料取材于学生最熟悉的资料，当学生看到自己非常熟悉的材料出现在课堂上时，那种油然而生的亲切感会使他们的情绪空前高涨，从而激发主动学习的愿望。有了学生情感的积极参与，课堂将会一片生机盎然。
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”，用数学眼光去观察生活实际，从而让学生感受生活化的数学，体验数学化的生活，教材为我们提供了一定的让学生进行主动探索的材料，同时更需要发挥教师的主导作用，创造性地使用教材，发挥教师的主观能动性，使数学更贴近学生，拉近学生与书本，与数学的距离。(二)让学生体验数学，涵养数学的灵气
体验就是个体主动亲历和虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动。新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”。对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。所以数学教学必须引导学生通过主动参与和亲身实践，或独立思考、或与同学教师合作探究，让他们发展能力，感受自己的价值，从而激发对学习数学的兴趣。
“函数的概念与图象”设计了一个小组讨论，让学生举出自己生活中遇到，见到的函数实例。同学们的热烈讨论，举出许多生活中的函数实例，实实在在地体验到数学就在自己身边，原来函数就是如此!数学起源于生活，但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识来的难以接受。如课本中的函数的概念，函数的三种表示，分段函数等等，学生觉得数学难懂、难学，一个重要的原因就是课程知识与生活的经验严重脱节，把学生死死地捆绑在课本里，死记那些学生认为枯燥的概念和公式。新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活，让学生在生活的问题情境中，学会应用数学的思想方法去观察、分析；同时教师要把丰富的，贴近学生生活的素材展现在学生面前，并以此为基点，延伸，拓展，这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们掌握，理解，同化以致于转化成学生的一种数学能力。(三)领悟数学，升华思想，呈现本质
新的课程理念认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。课堂上让学生亲历体验，有助于学生通过多种活动探究和掌握数学知识，达到对知识的深层理解，更重要的是学生在体验中能够逐步发现规律、认识数学的一般方法。
案例：某种笔记本每个5元，买x(x∈｛1，2，3，4｝)个笔记本的钱数记为y(元)，试分别用解析法，列表法，图象法将y表示成x的函数。
学生通过自主探究，给出函数的三种表示，领悟到一个函数有时可以用不同方法表示，同时不同方法的表示又有助于对函数的本质的深层理解。学生学习数学的过程不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习的过程，它是一种在已有经验和原有认识的情况下解决问题，形成技能，巩固新知识的有意义的过程，让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，才能把新知识纳入到原有知识中去，内省为有效知识。(四)让学生应用数学
新教材内容特别注意加强数学应用意识的培养，这是因为随着社会主义市场经济的发展，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在很多方面可以直接为社会创造价值。让学生学会数学 认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，在这个过程中以数学知识为载体的数学，不能仅仅追求知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维，体会数学的思想方法，感悟数学的精神并形成积极的数学态度。
案例：一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结。现有一只江欧从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江欧距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。
这是课本中的一个问题，从中可以看出数学在建筑设计中的应用，教者引导学生完成对问题的分析，提取，抽象，解剖，计算，总结，导出了数学建模，分段函数，二次函数的解析式，待定系数等到数学概念，把学生的创造力发挥得淋漓尽致，学生学数学的过程成了“做数学”、“用数学”的过程。
在教学中，充分挖掘其人文的、科学的和应用的价值，让学生通过对身边具体的事例研究，体会数学和生活的紧密联系，感受数学在科学决策中的价值，从而提高学习数学的兴趣。学生在学习过程中因为数学的抽象性，数学问题解决经常伴随着困难，但难度只要不超过学生的能力，总有可能获得成功。美国著名的数学教育家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”但在失败后的成功是更令人兴奋的，心中的愉悦是无法形容的，当学生有了这种情感体验后，就会不断地去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学是伟大。
第三篇：“方程的根与函数的零点”教学设计
一.内容和内容解析
本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标.由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步.零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了数形结合思想及转化与化归思想.方程的根与函数零点的关系研究，不仅为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法函数与方程思想的理论基础.可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位.本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.二.目标和目标解析
通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间.1.能够结合具体方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;
2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能不止一个;
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数;
4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器).三.教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过当函数值为0时，求相应自变量的值的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会.在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质.教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用.以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难.学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数(或方程)，能求出存在零点(或根)的区间.教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系;而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续;②;③，函数在区间上不单调;④，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解.四.教学支持条件分析
本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系;另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器.五.教学过程设计
1.方程的根与相应函数图象的关系
复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：
一元二次方程根的个数
图象与轴交点个数
图象与轴交点坐标
意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.问题
一、上述结论对其他函数成立吗?为什么?
在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。
函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标.意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。
2.函数零点概念
对于函数，把使的实数叫做函数的零点.说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值.3.方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程思想的基础.4.零点存在性定理 问题
二、观察图象(气温变化图)片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么?(假设气温是连续变化的)
意图：通过类比得出零点存在性定理.给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.问题
三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。
在《几何画板》下结合函数的图象说明。
问题
四、若，函数在区间在上一定没有零点吗?
问题
五、若，函数在区间在上只有一个零点吗?可能有几个?
问题
六、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点?
在《几何画板》下结合函数的图象说明问题四、五、六。
意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理.5.例题：求函数的零点的个数.问题
七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点.问题
八、该函数有几个零点?为什么?
意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法.六.目标检测设计
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点?为什么?
x
2 3 4 6 10
f(x)20-5.5-2 6
2.函数在区间[-5，6]上是否存在零点?若存在，有几个?
3.利用函数图象判断下列方程有几个根
(1)
(2)
4.指出下列函数零点所在的大致区间
(1)
(2)
最后，师生共同小结(略)
思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出这个零点?设计意图：为下一节二分法的学习做准备.
第四篇：方程的根与函数的零点教学设计
方程的根与函数的零点教学设计 教学内容与任务分析 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修一第三章第一节3.1.1方程的根与函数的零点。本节课的主要内容为方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法，是以之前的函数图象、性质为基础，为之后学习用二分法其方程的近似解提供理论支持。学习者分析
学生已经学习了函数的图象及性质，会画基本的函数图象，能通过图象了解函数的性质，但学生对一些特殊的方程还不熟悉，解题可能会感到困难。教学重难点
教学重点：方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点：函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标
知识与技能目标
（1）理解零点的定义
（2）方程的零点与函数的根的联系
（3）掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标
（1）在合作探究的过程中，体会从特殊到一般，数形结合，转化化归的数学思想（2）培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标
通过方程的根与函数零点的学习，产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程
问题引入，激发兴趣
师：提出问题1：求的实数根，画出函数的图象；并观察他们之间的联系？
【学情预设】学生能够解出方程的根，并从图象上能获得与方程的根的一些联系。【设计意图】通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。组织探究，得出概念 1.方程的根与函数的零点
师：我们可以发现1，2既是的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标。那现在我们来思考一下一般方程的情况。我们是如何去判断方程的个数的呢？是不是借助Δ，那大家通过小组合作一起来完成ppt上的这张表格。填表
Δ>0 Δ<0 Δ=0
方程实数根
函数图象与x轴的交点
【设计意图】通过合作填表的过程，让学生体会方程的根与函数图象的x轴的坐标的关系，通过对比教学，揭示知识点的联系。
师：从表格中我们可以得出这样的等价关系：
方程f(x)=0有实数根<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点
那我们再来思考一下，假如我们求出函数y=f(x)的图象与x轴的交点坐标为（x0,0），这个x0 是不是就是令y=0的x的值啊？
这个x0在方程中我们定义它为方程的根，那在函数中我们也给它一个定义，叫做函数的零点。师：现在老师给出函数零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
那函数的零点他是不是一个点呢？
大家一起来再将概念缩一下句，实数x叫做零点，那说明零点时一个数。【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼，加深对概念的理解。师：那现在我们又可以得出另一个等价关系：
函数y=f(x)的图象与x轴有交点<==>函数y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价，因而可以得出 方程f(x)=0有实数根
<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点 <==>函数y=f(x)有零点
【设计意图】通过上述过程，让学生领会求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点这一关键。
2.零点的存在性探究 师：探究
【设计意图】通过层层递进的问题链，教师引导学生探索，归纳总结函数的零点存在性定理，培养归纳总结的能力。师：一般的，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程y=f(x)=0的根。
提问：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？ 引导学生构造反例：
【设计意图】通过反例，强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线，加深 对概念的认知。巩固练习，提升能力 例1：
【设计意图】通过例题，对所学知识进行及时巩固，归纳小结，布置作业
学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理
【设计意图】建立自主的知识体系，形成知识网络，加深对知识的巩固，培养总结归纳的能力。
布置分层作业：基础题和提高题
【设计意图】通过分层作业，注重学生的个体差异，因材施教，是每个层次的学生都有所进步。
第五篇：“方程的根与函数的零点”教学反思
《方程的根与函数的零点》教学反思
巴里坤县第三中学教师 李晓莹
本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫，教学过程中还需要妥善处理其中的一些问题。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用“提出问题——引导探究——得出结论——讲练结合”的教与学模式。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的联系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学。
一、新课的引入
本堂课是用对实际问题的探讨来引入函数的零点，通过这样一个问题激发学生的学习兴趣，由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程，在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。再复习巩固一元一次方程和一元二次方程的解法，由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。接着让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题，并且，利用了教材中的方程提出了下列问题：方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？结果，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，快速解决了问题。由此看来，这堂课一开始引入熟悉的例子，最能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。
二、重难点的突破
零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。给出6个问题：问题 1、2是学生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，问题3、4是方程的根和函数图象与x轴的交点之间有何联系与区别，问题5、6上升到抽象连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)f(b)<0。从课后了解到，学生都以为只要观察到图象与x轴是否有交点，就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，教学却没有对证明的必要性展开讨论。忽略了在研究函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点，再进行证明。所以，在课后向学生提出如何判断函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，就有学生认为，只需看函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点即可。这样看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。我们也可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。这6个问题设计精巧，层层递进，引发了学生积极思考、探索与交流，将教学推向高潮。如此寻求函数零点存在的条件，符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，既弄懂了问题又使数学方法得到提升。
三、教学内容结构，突出思想方法
首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课按照下列主线来展开教学：
（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题。
教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就从学生熟悉的知识点入手，用方程的求解出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例当学生陷入困境时，再逐步提出下面的问题进行引导：
1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？
以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。
（二）怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。由学生作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后学生自己总结出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，在一定程度上也能体现数形结合的思想方法。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。
（三）如何从直观到抽象
教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：
1．如何引导学生用f(a)f(b)<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点？
教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)f(b)<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)f(b)<0。
2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数？
（1）要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。
当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)f(b)<0只能说明函数f(x)在（a，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。
（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程
证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。
本课的实际教学中还存在着不足: 1.在探究新知识时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但时间问题，最终舍弃了；
2.想自在的调控课堂而不尽得。我所期望的课堂是学生既自主又合作，既数学又生活的。这需要对数学史与知识点较透彻的理解，这需要语言表达的精确，这些都是我的不足。3.在课件制作方面还是存在不足，水平不够高，有待提高。4.在板书方面，板块意识有了，也算工整，但是字迹不够美观。
本节课零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式。高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务。在这一任务的达成度方面，本课还需更突出。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多引方面也是我今后教学中努力的方向。
《方程的根与函数的零点》教学反思
巴里坤县第三中学教师
李晓莹
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