方程的根与函数的零点教学设计修改稿(刘彩凤)

第一篇：方程的根与函数的零点教学设计修改稿(刘彩凤)

《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案

山西省汾阳中学

刘彩凤

一、内容和内容解析

内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。

方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。

本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习的平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。

方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。本课的教学重点是

体会函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。掌握求函数零点的方法。

二、目标和目标解析

1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生的抽象和概括能力。

2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.三、教学问题诊断分析

本节课的学习障碍是零点概念的认识，本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，初步具备了学习所需的函数与方程的思想能力所以零点的概念从一元二次方程与其相应的一元二次函数出发，在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置得到一个形象的概念，不仅可以较容易的建立起它们之间的关系，而且一元二次方程的根的情况具有代表性，这样由具体到一般很自然地使问题得到推广。

在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。基于上述分析，确定本课时的教学难点：

发现函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系。四．教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，借助计算机或计算器来参与运算，通过多媒体课件演示提高课堂效率加大容量容量大就好吗？教学中的辩证法要掌握好。，提高生动性，提高学习兴趣。计算机（几何画板软件），计算器，展台 五．教学过程设计

（一）引言

在高次代数方程解的探索历程中，不少伟人作出了杰出的贡献：

1：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

2：数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14 x3+11x=20，„„；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。

3：阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。..................................................................方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！

（设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。）

（二）创设情景，引入课题

问题1：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？（学生独立思考）（设计意图：从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，诱导学生发现用函数思想解决方程问题非常必要，进一步引发学生思考方程与函数到底有怎样的联系？）预设的回答：学生发生认知冲突，陷入困境。此时教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。教师讲解：把求方程的根转化为两个函数的交点问题，即：转化为函数y =lnx与函数y=-2x+6的交点问题，也就是我们可以用函数的思想解决方程问题，那么方程与函数到底有怎样的联系呢？下面我们从熟悉的二次函数来研究。

问题2：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标的关系。（学生独立完成）

方程

x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0

函数

y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3

函 数 的 图 像 / / /

方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实根

图像与轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点

（设计意图：引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的联系作准备。）

预设的回答：学生填表并得出结论：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

问题3： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠ 0)的根与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象与x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？其判别式(＝b2－4ac.（类比）(＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0(a≠ 0)的根

y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象与x轴交点(>0 两个不相等的实数根x1、x2(x1,0),(x2,0)(=0 两个相等的实数根x1 =x2(x1,0)

(<0 无实根 无交点

（设计意图：由具体的一元二次方程和一元二次函数到一般的一元二次方程与一元二次函数，设置学生的最近思维发展区，既利于学生掌握知识又利于学生抽象思维能力的形成。）预设的回答：学生填表，并交流归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

（三）归纳推广，形成概念

问题4：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？（类比）（设计意图：遵循由特殊到一般的认识规律，由具体的二次方程和二次函数到一般的二次方程和二次函数，再到一般的方程，函数，使学生感受函数零点概念的来龙去脉，体验自主发现的过程，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。）（活动方式：教师通过几何画板作出以下函数的图像：

（1）f(x)=-x３-３x＋５=0

（2）f(x)=lnx+2x-6

（3）f(x)=-ex-4x

学生观察图像归纳总结。）

（教师提示：由一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出方程f(x)=0，由一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出函数y=f(x)。）

预设的回答：学生归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0的解的个数和函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的。教师给出函数零点定义：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。追问：函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现？在函数的图像中又如何体现？试论述三者之间的关系？（师生共同讨论归纳）

（设计意图：理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。）

小结：函数的零点不是一个点，而是一个数，函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标它们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，并引导学生得出零点的三个重要的等价关系： 方程f(x)=0有实数根

/函数y=f(x)的图像与X轴有交点

/ 函数y=f(x)有零点

给出零点概念后，教师向学生指出：借助方程可以研究相应函数的性质，反之借助函数也可以研究方程根的情况。可以揭示其中蕴含的数学思想。

（四）初步应用，自主练习

问题4：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a> 0)的零点的情况怎样？ 填下列表格。（学生完成）(＝b2－4ac 方程的根 函数的图像 图象与x轴交点 函数的零点

(>0

(=0

(<0

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）活动过程：

师：引导学生利用函数零点的意义，探索二次函数零点的情况。

生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。

问题5：分别指出问题2，问题3中涉及到的函数的零点。

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）

预设的回答：学生学生容易把函数的零点写成点的形式。

问题6：1：求下列函数的零点.（独立思考）(1)f(x)=2x-3

(2)f(x)=Lnx-1

(3)f(x)=

（4）f(x)=2x+x（设计意图：

将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。）预设的回答：学生容易把函数的零点写成点的形式。2：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根。（独立思考）(1)-x2+3x+5=0

⑵2x(x-2)=-3

⑶x2=4x-⑷5x2+2x=3x2+5

(5)x3-x=3

(6)（设计意图：培养学生对知识的转化应用能力。）预设的回答：学生可能会直接解方程求解。

此时教师提示：要用函数的观点解决方程的问题，注意对知识的转化。

问题6：如何求函数y=f(x)的零点？（小组讨论形式）（设计意图：进一步理解零点概念，领会其实质，体现“化归”和“数形结合”的数学思想。）（活动方式：先由学生做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份，之后再在学生回答的基础上引导学生得出结论。）

预设的回答：学生想不到从哪些角度归纳。

教师启发性讲解：注意零点概念，以及三个重要的等价关系，从数与形的角度思考。教师小结：求函数y=f(x)的零点的方法：（1）（代数法）求方程f(x)=0有实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（五）反思小结，培养能力 问题6：：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，数学思想，经验等方面谈谈。（设计意图：充分发挥学生的自主性，培养学生地归纳概括能力，归纳整理本节所学的知识和重要思想方法，优化学生的认知结构。）预设的回答：

知识方面：函数零点概念，函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系，求函数y=f(x)的零点的方法。

数学思想：数形结合，类比，化归等数学思想。

经验：今天所学的知识源于已有的知识经验，所以在学习过程中要注意知识间的联系。

（六）目标检测设计

练习1：求下列函数的零点

（1）y= x2－5x+6；

（2）y= 2x－1（3）y=lg(x-1)

（4）

练习2: 函数y=x2-5x+6的零点是（）

A（3，0），（2，0）；B x=2；

C x=3

D 2和3．

练习2：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有几个零点？// 练习3: 已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是1，求m的值．

（设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，同时反应教学效果，便于教师在教学中查漏补缺。）

（七）布置作业，分层落实

1．若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求

loga25 + b2 2．请判断方程lnx=x2-4x+3的零点个数.（要求简单说明，并画出必要的图象）3．思考：函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（）（设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。）

（八）后记――一点感想

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。

一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性 教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时发现，当提问“方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？”时，学生的反应都很平淡，对这个问题都不感兴趣，因为他们对如何解一元二次方程早就熟练了，因此没必要再问这么简单的问题。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。最好是选择学生用已学方法不能求解的方程的例子，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。

二、教学要把握内容结构，突出思想方法

教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：

?

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导： 1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。所以在教学时要留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而不是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。此外本节课涉及多种数学思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题。

第二篇：方程的根与函数的零点教学设计

教师的工作就不是原来的意义的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要点拨给学生学习的方法，帮助学生解疑析难，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。例如：方程的根与函数的零点 ①首先开门见山地提出问题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数b=ax2+bx+c(a≠0)图象有什么关系? ②要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般：即通过具体的函数与方程来讨论。③分组实施 ④交流汇报结果 ⑤老师精点 ⑥引导猜想 方程f(x)=0有实根零点。

⑦引导学生去总结出：函数y=f(x)有零点的特征(见课本P102)⑧应用

学生完成P102的例题、P103的练习⑨小结：(1)探问题的方法(2)得到的结果(3)能解决什么问题(4)解决问题的步骤 3

y=f(x)的图象与x轴有交点

y=f(x)有零点。从而定义函数的要实现教法的改变，必须转变学法，这更需学生树立正确态度和思想：我要学习、我急需学习，由一段时间努力和体会，学法会形成的。16.在感受中发现，在领悟中升华——“函数的概念与图象”教学的一点随想深圳市平冈中学孙文彩当我拿着精美的新教材，看着一幅幅优美的图片时，给我最大的感触就是：图文并茂，内容丰富，叙述形式充满浓厚的人文时代气息……，特别是当我上完“函数的概念与图象”这部分内容后，感慨很多，在此略加采撷，旨在抛砖引玉，恳请同行指正!(一)让学生感受数学，体会数学的价值。

数学对是客观世界的数量关系和空间形式的描述，它来源于客观世界的实际事物，学生们的生活中处处有数学。教学时如能善于挖掘生活中的数学素材，从生活实际出发，结合学生的生活实际，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，引入数学知识，让数学贴近生活，使学生感受数学的实用性，对数学产生亲切感。

教材中“函数的概念与图象”内容就是把学生身边的素材：国民生产总值，一天的温度变化曲线，自由落体运动函数，等等，教者如能把它制成幻灯片作为课堂引入，或者再因地制宜地举出一些其它的实例，如飞机票价表，数学用表，股市走势图，家庭生活用电数……，使学生对熟悉的生活场景的回顾，感受到函数与我们现实生活的密切关系，消除同学们对函数这一概念的陌生感、恐惧感。堂课的背景材料取材于学生最熟悉的资料，当学生看到自己非常熟悉的材料出现在课堂上时，那种油然而生的亲切感会使他们的情绪空前高涨，从而激发主动学习的愿望。有了学生情感的积极参与，课堂将会一片生机盎然。

《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”，用数学眼光去观察生活实际，从而让学生感受生活化的数学，体验数学化的生活，教材为我们提供了一定的让学生进行主动探索的材料，同时更需要发挥教师的主导作用，创造性地使用教材，发挥教师的主观能动性，使数学更贴近学生，拉近学生与书本，与数学的距离。(二)让学生体验数学，涵养数学的灵气

体验就是个体主动亲历和虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动。新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”。对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。所以数学教学必须引导学生通过主动参与和亲身实践，或独立思考、或与同学教师合作探究，让他们发展能力，感受自己的价值，从而激发对学习数学的兴趣。

“函数的概念与图象”设计了一个小组讨论，让学生举出自己生活中遇到，见到的函数实例。同学们的热烈讨论，举出许多生活中的函数实例，实实在在地体验到数学就在自己身边，原来函数就是如此!数学起源于生活，但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识来的难以接受。如课本中的函数的概念，函数的三种表示，分段函数等等，学生觉得数学难懂、难学，一个重要的原因就是课程知识与生活的经验严重脱节，把学生死死地捆绑在课本里，死记那些学生认为枯燥的概念和公式。新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活，让学生在生活的问题情境中，学会应用数学的思想方法去观察、分析；同时教师要把丰富的，贴近学生生活的素材展现在学生面前，并以此为基点，延伸，拓展，这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们掌握，理解，同化以致于转化成学生的一种数学能力。(三)领悟数学，升华思想，呈现本质

新的课程理念认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。课堂上让学生亲历体验，有助于学生通过多种活动探究和掌握数学知识，达到对知识的深层理解，更重要的是学生在体验中能够逐步发现规律、认识数学的一般方法。

案例：某种笔记本每个5元，买x(x∈｛1，2，3，4｝)个笔记本的钱数记为y(元)，试分别用解析法，列表法，图象法将y表示成x的函数。

学生通过自主探究，给出函数的三种表示，领悟到一个函数有时可以用不同方法表示，同时不同方法的表示又有助于对函数的本质的深层理解。学生学习数学的过程不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习的过程，它是一种在已有经验和原有认识的情况下解决问题，形成技能，巩固新知识的有意义的过程，让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，才能把新知识纳入到原有知识中去，内省为有效知识。(四)让学生应用数学

新教材内容特别注意加强数学应用意识的培养，这是因为随着社会主义市场经济的发展，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在很多方面可以直接为社会创造价值。让学生学会数学 认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，在这个过程中以数学知识为载体的数学，不能仅仅追求知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维，体会数学的思想方法，感悟数学的精神并形成积极的数学态度。

案例：一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结。现有一只江欧从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江欧距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。

这是课本中的一个问题，从中可以看出数学在建筑设计中的应用，教者引导学生完成对问题的分析，提取，抽象，解剖，计算，总结，导出了数学建模，分段函数，二次函数的解析式，待定系数等到数学概念，把学生的创造力发挥得淋漓尽致，学生学数学的过程成了“做数学”、“用数学”的过程。

在教学中，充分挖掘其人文的、科学的和应用的价值，让学生通过对身边具体的事例研究，体会数学和生活的紧密联系，感受数学在科学决策中的价值，从而提高学习数学的兴趣。学生在学习过程中因为数学的抽象性，数学问题解决经常伴随着困难，但难度只要不超过学生的能力，总有可能获得成功。美国著名的数学教育家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”但在失败后的成功是更令人兴奋的，心中的愉悦是无法形容的，当学生有了这种情感体验后，就会不断地去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学是伟大。

第三篇：“方程的根与函数的零点”教学设计

一.内容和内容解析

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标.由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步.零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了数形结合思想及转化与化归思想.方程的根与函数零点的关系研究，不仅为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法函数与方程思想的理论基础.可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位.本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.二.目标和目标解析

通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间.1.能够结合具体方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;

2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能不止一个;

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数;

4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器).三.教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过当函数值为0时，求相应自变量的值的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会.在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质.教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用.以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难.学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数(或方程)，能求出存在零点(或根)的区间.教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系;而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续;②;③，函数在区间上不单调;④，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解.四.教学支持条件分析

本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系;另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器.五.教学过程设计

1.方程的根与相应函数图象的关系

复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：

一元二次方程根的个数

图象与轴交点个数

图象与轴交点坐标

意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.问题

一、上述结论对其他函数成立吗?为什么?

在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。

函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标.意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2.函数零点概念

对于函数，把使的实数叫做函数的零点.说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值.3.方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程思想的基础.4.零点存在性定理 问题

二、观察图象(气温变化图)片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么?(假设气温是连续变化的)

意图：通过类比得出零点存在性定理.给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.问题

三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。

在《几何画板》下结合函数的图象说明。

问题

四、若，函数在区间在上一定没有零点吗?

问题

五、若，函数在区间在上只有一个零点吗?可能有几个?

问题

六、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点?

在《几何画板》下结合函数的图象说明问题四、五、六。

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理.5.例题：求函数的零点的个数.问题

七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点.问题

八、该函数有几个零点?为什么?

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法.六.目标检测设计

1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点?为什么?

x

2 3 4 6 10

f(x)20-5.5-2 6

2.函数在区间[-5，6]上是否存在零点?若存在，有几个?

3.利用函数图象判断下列方程有几个根

(1)

(2)

4.指出下列函数零点所在的大致区间

(1)

(2)

最后，师生共同小结(略)

思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出这个零点?设计意图：为下一节二分法的学习做准备.

第四篇：方程的根与函数的零点教学设计

方程的根与函数的零点教学设计 教学内容与任务分析 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修一第三章第一节3.1.1方程的根与函数的零点。本节课的主要内容为方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法，是以之前的函数图象、性质为基础，为之后学习用二分法其方程的近似解提供理论支持。学习者分析

学生已经学习了函数的图象及性质，会画基本的函数图象，能通过图象了解函数的性质，但学生对一些特殊的方程还不熟悉，解题可能会感到困难。教学重难点

教学重点：方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点：函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标

知识与技能目标

（1）理解零点的定义

（2）方程的零点与函数的根的联系

（3）掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标

（1）在合作探究的过程中，体会从特殊到一般，数形结合，转化化归的数学思想（2）培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标

通过方程的根与函数零点的学习，产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程

问题引入，激发兴趣

师：提出问题1：求的实数根，画出函数的图象；并观察他们之间的联系？

【学情预设】学生能够解出方程的根，并从图象上能获得与方程的根的一些联系。【设计意图】通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。组织探究，得出概念 1.方程的根与函数的零点

师：我们可以发现1，2既是的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标。那现在我们来思考一下一般方程的情况。我们是如何去判断方程的个数的呢？是不是借助Δ，那大家通过小组合作一起来完成ppt上的这张表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程实数根

函数图象与x轴的交点

【设计意图】通过合作填表的过程，让学生体会方程的根与函数图象的x轴的坐标的关系，通过对比教学，揭示知识点的联系。

师：从表格中我们可以得出这样的等价关系：

方程f(x)=0有实数根<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点

那我们再来思考一下，假如我们求出函数y=f(x)的图象与x轴的交点坐标为（x0,0），这个x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

这个x0在方程中我们定义它为方程的根，那在函数中我们也给它一个定义，叫做函数的零点。师：现在老师给出函数零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

那函数的零点他是不是一个点呢？

大家一起来再将概念缩一下句，实数x叫做零点，那说明零点时一个数。【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼，加深对概念的理解。师：那现在我们又可以得出另一个等价关系：

函数y=f(x)的图象与x轴有交点<==>函数y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价，因而可以得出 方程f(x)=0有实数根

<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点 <==>函数y=f(x)有零点

【设计意图】通过上述过程，让学生领会求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点这一关键。

2.零点的存在性探究 师：探究

【设计意图】通过层层递进的问题链，教师引导学生探索，归纳总结函数的零点存在性定理，培养归纳总结的能力。师：一般的，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程y=f(x)=0的根。

提问：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？ 引导学生构造反例：

【设计意图】通过反例，强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线，加深 对概念的认知。巩固练习，提升能力 例1：

【设计意图】通过例题，对所学知识进行及时巩固，归纳小结，布置作业

学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理

【设计意图】建立自主的知识体系，形成知识网络，加深对知识的巩固，培养总结归纳的能力。

布置分层作业：基础题和提高题

【设计意图】通过分层作业，注重学生的个体差异，因材施教，是每个层次的学生都有所进步。

第五篇：方程的根与函数的零点教学设计

方程的根与函数的零点教学设计

【教材分析】

函数是中学数学的核心概念。核心的原因之一就在于函数与其知识据有关烦的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要． 【教学目标分析】

根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：

知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科

学态度。

【教学重点分析】

教学重点：因为函数的零点与方程的关系至关重要，为下面二分法的学习奠定基础，因此我把本节教学重点定为判定函数零点存在及其个数的方法。

教学难点：为了培养学生的探究精神，让学生体验学习的快乐和成果，故本节难点定为探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。

【教法分析和学法指导】

结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。

【教学过程设计】

为了突出重点，突破难点，在教学上我做如下设计。

问题1：求方程的实数根，画出函数观察他们之间的联系？

学生通过观察分析易得：方程的实数根就是函数的图像；并的图像与x轴交点的横坐标

[设计意图说明]通过学生熟悉的二次函数的图像和二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。

初步提出零点的概念：-1，2既是的根，又是函数在y=0时x的值，也是函数图象与x轴的交点横坐标。-1,2在方程中称为实数根，在函数中称为零点。

问题2：对于一般的一元二次方程和相应方程这种关系是否成立？ [设计意图说明]利用几何画板，学生从动态的角度体会方程的跟与函数的零点之间的关系。引出函数零点的定义

对于函数y=f(x)，我们把使f(x）=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0有实数根<=>函数y=f(x)的图像与x轴有交点<=>函数y=f(x)

有零点

问题3：求函数零点

(1)(2)(3)

对于（1）（2）小题，学生容易求的函数零点，而（3）小题学生则意识到无论用代数还是几何方法入手，再不借助计算机的前提下，不易求得函数

零点。

[设计意图说明] 借助这个练习题既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课题，为新课的教学作好铺垫。

问题4：请同学们观察动画《小马过河》

将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会

有交点。

通过观察，学生不难发现只要满足A、B两点在X轴两侧这种位置关系就可以达到要求，这种位置关系引申为f(a)·f(b)<0来表示。

结合图像，请同学们用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否

存在零点？

学生容易表述为：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函

数y=f(x)在区间（a,b）内有零点

[设计意图说明] 将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，同时由原来的图形语言抽象成数学语言，再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归纳创造的能力。

问题5：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？

引导学生构造反例：

强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线。

[设计意图说明] 让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。同时问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发现缺陷，完善方法的过程，利于知识的理解和掌握，也培养了学生归纳概

括能力。

通过上述研究，学生可以自己概括出函数零点存在的定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c也是

方程f(x)=0的根。

为了加深对概念的认识，我设计如下三个问题，请同学们分组讨论：

（1）函数具备了哪些条件，就可确定它有零点存在呢？

（2）若函数f(x)在区间内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？（3）如果函数具备上述两个条件时，函数零点的个数是惟一吗？ [设计意图说明]这四个问题对学生而言存在一定的挑战，但对定理的解却至关重要，通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。同时鼓励学生相互之间合作交流，培养学生的合作学习的能力。

问题6：为了加深概念，提高学生的应用意识，我们再次回到问题3第三小

题

已知函数f(x)=lnx+2x-6试判断函数零点的个数？并说明。[设计意图说明]针对疑难学生进一步领悟，并学会初步利用函数的单调性判断零点的个数。教师可结合几何画板作出相应函数的图象分析其零点问题，让学生对函数的零点判断形成更加直观认识．

题组练习

题组1 1.函数的零点是（）A．（-1，0）

B.（3，0）

C.x=3

D-1和3 2.函数的零点是（）

A 1

B 2

C 3

D 不确定

题组2 已知函数

(1)m为何值时，函数有两个零点？

(2)若函数恰有一个再远点右侧，求m的值

[设计意图说明] 立足教材，选取难易适当且适量的习题，给学生提供一个完整运用知识的平台，从而帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力。

归纳小结

（1）方程f(x)=0有实数根<=>函数y= f(x)的图像与x轴有交点<=>函

数y= f(x)有零点

（2）f(x)连续且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在（a,b）内存在零点

（3）f(x)连续且f(a)·f(b)<0且f(x)单调，则函数f(x)在（a,b）内存

在唯一零点

[设计意图说明]小结是一堂课的概括和总结，有利于优化学生的认知结构，能把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学

生的归纳概括能力。课后作业，自主学习

[设计意图说明]对课后作业实施分层设置，分必做和选做，利于拓展学

生的自主发展的空间。

【教学反思】 方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。