方程的根与函数零点的说课稿

第一篇：方程的根与函数零点的说课稿

“方程的根与函数的零点”说课稿各位老师，你们好！我说课的课题是 “方程的根与函数的零点” 说课内容分为六个部分，首先对教材进行简要分析

一、教材分析

方程的根与函数的零点是普通高中课程标准实验教科书必修数学 1 数学（A 版）第三章第一节 第一课时的内容，学生学习了基本初等函数的图象和性质以及一元二次方程根的求解方法为本节奠 定了基础，本节课有着承上启下的作用，且承载建立函数与方程数学思想的任务；同时本课的内容 将为下一节用二分法求方程的近似解提供了理论依据。方程的根与函数的零点在高考中一般以选择 题或填空题的形式出现，且一般与其他知识点结合起来进行考查，像 20xx年全国及各省高考考查函 数与导数的题目中大约有 5%涉及到函数的零点，所以本节是函数的应用内容中的基础及重点之一。

二、教学目标

根据上述教材分析，结合课程标准的要求，本节课的教学目标为以下三个方面： 1．知识与技能目标 理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点的存在条件；掌握函数在某 个区间上存在零点的判定方法。

2.过程与方法目标 让学生经历探究函数零点与方程根的联系和函数在某区间存在零点的判别方法，使学生领悟方 程与函数的区别与联系，进一步体会数形结合方法。

3.情感态度与价值观目标 通过探究过程逐步形成用函数处理问题的意识。

三、教学重点、难点

为了实现上述教学目标，根据上述教材分析，结合内容特点，本节课的教学重点是函数的零点 与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 重点 函数的零点与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 由于高中生年龄特点及现阶段的认知能力，通过函数图象的直观认识得到其中所蕴含的某种性 质具有一定的难度，所以本课的教学难点是函数在某区间存在零点的判别方法。

难点 函数在某区间存在零点的判别方法。

四、教法与学法

针对教学内容的特点结合高中生具有探究原理心理愿望和有一定逻辑推理能力的特点，我采用 探究式的教学模式。在教学过程中通过数形结合的方法，并按照由特殊到一般的认知过程，突出教 学重点；运用实例的探究分析来突破教学难点。

根据以上的分析，我的教学过程是：

五、教学过程

1.导入 首先，我将一同与学生回顾以前所学习的一元二次方程根个数的判定方法。即根的判别式 ?，以此来引起学生的求知欲。

接下来我将向学生提出问题：一元二次方程根与相应二次函数图象之间有什么关系，先让学生 思考一下。2.新课教学 为了解决这个问题我将利用三个具体实例： ① ② ③x2 ? 2x ? 3 ? 0x2 ? 2x ?1 ? 0x2 ? 2x ? 3 ? 0 且它们的 ? 值分别是大于零、等于零、小于零的情况。为了突出重点，我将一同与学生对第一个方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 进行探讨。结和函数图象。通过与学生一同对方程根的求解和二次函数的观察得到当 ? ? 0 时一元二次方程的根就是 相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。

然后利用这种方法类比分析第二个和第三个方程，总结归纳以上三个方程得到一元二次方 程的根就是相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。接下来再与学生继续来分析第一个方程，通过函数 y ? x ? 2 x ? 3 当 y ? 0 时即得到了其对应的方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,与学生共同进行探讨，并且将函数对应方程的根叫做函数的零点，即引出本节课所要学习的函数零点的概念——函数零点为其对应方程的根。

进一步与学生对函数零点进行分析，结合之上的三个具体的实例以及函数零点的概念得到 函数零点的存在条件，即假设方程 f(x)? 0 有实数根可以得到其对应的函数 y ? f(x)的图象 与 x 轴有交点，同时等价于函数 y ? f(x)有零点。

为了加深学生对函数零点概念的理解和掌握，我将让学生求解上一章所学习的指数函数y ? a x 和对数函数 y ? loga x（其中 0 ? a ? 1或a ? 1）的零点，通过这个课堂练习，使学生进一步回顾上一章所学习的指数函数和对数函数的相关性质，体会了知识之间的联系。

为了使学生对函数零点进行进一步的认识，我将假设函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是 一条连续不断的曲线，且区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，形如：引导学生分析，区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，即说明 f(a)、f(b)的函数值异号，从而得到 f(a)? f(b)? 0，同时结合函数图象的分析可以得到函数图象在区间 ?a, b? 内一定得穿过 x 轴，由函数零点的概念得函数在区间 ?a, b? 内一定存在零点，引导学生总结得到函数在某 区间存在零点的判定方法。即函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，且有f(a)? f(b)? 0，则有函数在区间 ?a, b ? 内一定存在零点。为了加深学生对判定条件的理解，我将利用学生所熟知的二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间?? 2,1? 和 ?2,4?进行探究，同时提出疑问：对于函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不 断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在零点，是否一定有 f(a)? f(b)? 0 呢？带着疑问我将与学生共同探究二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1，得到判定条件的一个注意事项，即对于函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在 零点，不一定有 f(a)? f(b)? 0。

3.例题 为了加深学生对本节课知识的掌握，我将共同与学生对教材中的例题一进行探讨，例一为 了求函数零点的个数。通过例题一的探究，加深了学生对函数零点概念和存在条件的理解，引 导学生得出要求函数零点的个数可以通过函数图象与 x 轴的交点个数得到，并且让学生体会函 数在某区间存在零点的判定条件。

4.小结 为了使学生对本节课的知识形成一个系统的知识，我将带领学生对本节课进行小结，与学 生一同回顾本节课所学习的函数零点的概念及其存在条件，以及函数在某区间存在零点的判定 条件。

5.作业 为了巩固本节课的知识，加深学生对函数零点的理解，我将教材 P88、2 布置为课外作业。

六、板书设计

最后根据本节课的教学内容，按照中学黑板结构，将板书设计如下： 3.1.1 方程的很与函数的零点y=ax y=logax2．零点的存在条件 方程根与函数图象的分 3． 判定方法 小结 作业： 我说课的内容到此为止，请各位老师批评指正，谢谢！析分享到: 分享到： 使用一键分享，轻松赚取财富值，嵌入播放器：普通尺寸(450*500pix)较大尺寸(630*500pix)

第二篇：《方程的根与函数的零点》说课稿

3.1.1方程的根与函数的零点教学设计说明

各位尊敬的老师，下午好。今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》。下面我将从教材的地位与作用、学情分析，教学目标与重难点分析，教法和学法指导、教学过程设计五个方面来阐述我对本节课的构思。

【教材的地位与作用】

本节课是选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个去件上存在零点的判定方法。为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．

对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。【教材目标】

根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：

（一）认知目标：

1．理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；

2．理解零点存在条件，并能确定具体函数存在零点的区间．

（二）能力目标：

培养学生自主发现、探究实践的能力．

（三）情感目标：

在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值

【教材重难点】

本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点： 教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件及应用．

教学难点：探究发现函数零点的存在性.【教法分析】充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.指导学生比较对照区别方程的根与函数图象与X轴的交点的方法，指导学生按顺序有重点地观察函数零点附近的函数值之间的关系的方法，并比较采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.这样的教法有利于突出重点——函数的零点与方程的根之间的联系与零点存在的判定条件及应用

【学法分析】

1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。【教学过程】

（一）创设情景，提出问题 由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．

以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。培养学生的归纳能力。理解零点是连接函数与方程的结点。

（二）启发引导，形成概念

利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．

（三）初步运用，示例练习

巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．

（四）讨论探究，揭示定理

通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。

（四）讨论辨析，形成概念

引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，有些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点；定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。定理的逆命题不成立．

（五）观察感知，例题学习

引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.（六）知识应用，尝试练习

对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.（八）课后作业，自主学习

巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维

第三篇：《方程的根与函数的零点》教案设计

《方程的根与函数的零点》教案设计

1、教学设计的理念

本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。

2、教学分析

在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.3、教学目标

（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；

（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；

（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。

4、教学重点、难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

5、教学过程

环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题

环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系

环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件（即函数的零点存在性定理）

环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点

教学过程与操作设计： 环节

教学内容设置 师生双边互动 创

设

情

境

《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程与函数 方程与函数 方程与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

组

织

探

究

二次函数的零点： 二次函数

．

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

环节

教学内容设置 师生双边互动 组

织

探

究 函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

函数零点的求法： 求函数的零点：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

代数法；

几何法．

环节

教学内容设置 师生互动设计 探 究 与 发 现

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

在区间上有零点______； _______，_______, ·_____0（＜或＞）．

在区间上有零点______； ·____0（＜或＞）．

由以上探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 环节

教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究

例1．求函数的零点个数． 问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

《方程的根与函数的零点》教学设计

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

6、小结与反馈：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．

第四篇：方程的根与函数零点的教案设计

用几何图形巧解向量问题

北京市垂杨柳中学 刘占峰

一、教材分析

本节是在复习完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂专题研讨课．教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量．如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征．所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应具备数形结合思想．本节课让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，因此本节课既是对前面所学的向量知识的巩固也为以后学生运用向量来解决数学问题奠定了基础，起到了承上启下的作用．

二、教学目标

根据上面对教材的分析，依据教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：

知识目标：能根据向量的线性运算及相关条件构造恰当的几何图形，解决向量有关问题．

情感目标：感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性．

能力目标：提高运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力．

三、教学重点和难点

根据本节课的作用制定了教学重点是：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机结合，构造恰当的几何图形解决向量问题；渗透数形结合思想，转化思想；提高学生的构造能力和对所学知识的整合能力．

根据学生的实际情况制定了教学难点是：如何构造恰当的几何图形．

四、教学手段和主要教学方法及学法

教学方法：采用引导对比法、启发式探索讨论相结合的教学方法．

教学手段：运用学案、借助几何画板和实物投影来辅助教学．

通过探究、启发、引导学生对于用数的方法和形的方法来解向量问题形成对比，体会到用形的好处，培养用图的意识；采用启发式讲解、互动式讨论及操作的授课方式，培养学生的分析与解决问题的能力；借助几何画板、实物投影的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围．

学情分析：我任教的两个文科班学生的学习愿望强烈、学习习惯较好，但是理解能力，空间想象能力，思维能力等方面良莠不齐．

解决措施： 根据学生的不足和本节课的难点，设置了用几何图形对向量六个基本关系的描述，更通过试一试来搭台阶及能力提高的环节使学生学会对所学的基本知识的迁移和整合．

五、教学过程

1．探究引入

探究：（05年北京）若，且，求与的夹角．

设计意图：这道北京高考题既可以用数的方法求解，也可用形的方法求解．通过比较两种解法的优劣让学生感受数形结合的简捷美．更通过此题引出本节课的课题《用几何图形巧解向量问题》

已知：平面内任意两个非零的不共线向量、（1）（4）；（5）

；（6）

． ；（2）

；

（3）

；，用几何图形描述下列运算关系．

设计意图：学生用数形结合解决向量问题，最大的困难在于如何根据提议挖掘隐含条件构建恰当的几何图形，因此设计了这六个基本运算关系的向量表示，帮助学生在此基础上提高构图的能力，从而达到突破教学难点的目的．另外这六个题让学生从具体实例中发现结论．符合学生认知规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力．

2．讲练结合

试一试：

（1）已知非零向量、，的夹角为________．

（2）若非零向量、A.B.C.D.满足，则()，则

_________，与

（3）已知向量与

（4）设、的夹角为，，则__________．、满足，,，则____________．

设计意图：这四个题是对前面所介绍的六个图形的迁移与整合，培养学生的构图意识，提高学生的构图能力；处理方式采用学生相互协作在学案上完成构图，并用实物投影演示，教师点评，培养学生动手操作能力和合作，探究意识．也为下面的能力提高作铺垫．

能力提高

（１）若、（２）已知向量

变式：若_____________．

（3）(2005浙江)已知向量（）．

A． B．

C．

D．，对任意，恒有，则，则的最大值为，则求的最大值． 都是单位向量，则的取值范围是______________．

设计意图：此组题既能从数的角度解之，也能从形的角度解之．从数的角度能达到复习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和培养学生构图能力的目的，让学生感受数形结合方法的简捷，激发学生的学习热情．更通过试一试和能力提高达到了突出重点的目的．

3．巩固检测

（1）已知向量

（2）求与向量

和，求的值

夹角相等，且模为的向量的坐标．

设计意图：通过几分钟的检测再现本节课的重难点，以此来反馈学生对本节课的掌握情况．

．小结

通过数形结合研究向量问题：

（1）要关注向量的大小（模）

（2）要关注向量的方向（夹角）．

（3）要关注自由向量的可平移性．

（4）构造几何图形解决问题是手段．

启发、引导学生归纳总结，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面培养学生的归纳总结能力．使知识系统化，条理化．

5．作业

◆ 必做题：

（1）已知

（2）设向量_________．

、，向量与的夹角为，则___________．、满足，且，则

（3）已知是平面内的单位向量，若向量

（4）设非零向量、、满足

◆ 选做题：，满足，则的取值范围．，则与的夹角为__________．

（5）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

◆ 思考题：

（6）你能用向量形式给出点O是的轨迹一定通过的（）． 的四心（即垂心，重心，内心，外心）的条件吗？

设计意图：通过作业中的分层变式训练，巩固所学概念，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，强化基础技能训练，提高分析问题、解决问题能力，通过分层满足不同层次学生需要，符合因材施教原则．从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果．

六、板书设计

第五篇：“方程的根与函数的零点”教学反思

《方程的根与函数的零点》教学反思

巴里坤县第三中学教师 李晓莹

本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫，教学过程中还需要妥善处理其中的一些问题。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用“提出问题——引导探究——得出结论——讲练结合”的教与学模式。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的联系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学。

一、新课的引入

本堂课是用对实际问题的探讨来引入函数的零点，通过这样一个问题激发学生的学习兴趣，由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程，在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。再复习巩固一元一次方程和一元二次方程的解法，由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。接着让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题，并且，利用了教材中的方程提出了下列问题：方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？结果，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，快速解决了问题。由此看来，这堂课一开始引入熟悉的例子，最能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。

二、重难点的突破

零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。给出6个问题：问题 1、2是学生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，问题3、4是方程的根和函数图象与x轴的交点之间有何联系与区别，问题5、6上升到抽象连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)f(b)<0。从课后了解到，学生都以为只要观察到图象与x轴是否有交点，就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，教学却没有对证明的必要性展开讨论。忽略了在研究函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点，再进行证明。所以，在课后向学生提出如何判断函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，就有学生认为，只需看函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点即可。这样看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。我们也可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。这6个问题设计精巧，层层递进，引发了学生积极思考、探索与交流，将教学推向高潮。如此寻求函数零点存在的条件，符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，既弄懂了问题又使数学方法得到提升。

三、教学内容结构，突出思想方法

首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课按照下列主线来展开教学：

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题。

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就从学生熟悉的知识点入手，用方程的求解出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例当学生陷入困境时，再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。由学生作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后学生自己总结出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，在一定程度上也能体现数形结合的思想方法。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

（三）如何从直观到抽象

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：

1．如何引导学生用f(a)f(b)<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点？

教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)f(b)<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)f(b)<0。

2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数？

（1）要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。

当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)f(b)<0只能说明函数f(x)在（a，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。

（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程

证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。

本课的实际教学中还存在着不足: 1.在探究新知识时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但时间问题，最终舍弃了；

2.想自在的调控课堂而不尽得。我所期望的课堂是学生既自主又合作，既数学又生活的。这需要对数学史与知识点较透彻的理解，这需要语言表达的精确，这些都是我的不足。3.在课件制作方面还是存在不足，水平不够高，有待提高。4.在板书方面，板块意识有了，也算工整，但是字迹不够美观。

本节课零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式。高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务。在这一任务的达成度方面，本课还需更突出。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多引方面也是我今后教学中努力的方向。

《方程的根与函数的零点》教学反思

巴里坤县第三中学教师

李晓莹