【全国百强校】浙江省杭州学军中学数学复习:竞赛中的局部调整策略

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数学竞赛中的局部调整策略

局部调整法,就是为了解决某个问题,从与问题有实质联系的较宽要求开始,然后充分利用已获得的结果作为基础,逐步加强要求,逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题的一种解题方法。

这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用,本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。

例1

已知锐角三角形中,在的内部(包括边界)上找一点,使得到三边的距离之和最小。[来源:学§科§网Z§X§X§K]

分析

先对在边界上时,研究点在什么位置时,到三边距离之和最小,然后再对在的内部时进行研究。

A

B

C

P

图1

(一)先研究在的边界上时

(1)若在边上

如图1,记的顶点对应的边分别是,边上的高分别为,到边的距离分别为,连。

由面积关系得,时取等号)。即在点处时,到三边距离之和最小。

(2)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。

A

B

C

E

P

F

H

G

图2

(3)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。

综合(1),(2),(3),当点在点处时,到三边距离

之和最小。

(二)再研究在内部时

如图2,过作的平行线交于,交

于,固定,由(一)知,让变化,有,.综合(一)(二)知,当点在处时,最小。

评注

本题先对在边界上进行调整,获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整,逐步逼近目标,最终得到问题的整体解决。

例2

已知正实数,满足,求证:.[来源:学科网]

分析

从特殊情形入手,时不等式成立,然后研究一般情况,通过局部调整解决问题。

证明

当时不等式成立。

当中不全为1时,其中必有一个属于(0,1),一个属于,据对称性,不妨设.[来源:Zxxk.Com]

(1)若。

(2)若,即

作第一次调整:令下证.即证

①.令,则.记,,①的左边=右边=。①

成立。

=,其中

再继续调整,可得.评注

本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为,应注意每次调整应使各变量的积为1,而且放大。

例3

在1,2,3,…,1989每个数前添上,使其代数和为最小的非负数,并写出算式(全俄1998年数学竞赛题)

先证其代数和为奇数。

从简单情形考虑:全添上“+”,此时是奇数。[来源:Z#xx#k.Com]

对一般情况,只要将若干个“+”调整为。

奇偶性相同,故每次调整,其代数和的奇偶性不变,即总和为奇数。

而,因此这个最小值是1。[来源:Z*xx*k.Com]

评注

在不断调整,变化过程中,挖掘不变量(或不变性质)使问题迎刃而解。

例4

空间有2003个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,问要使这种三角形的总数为最大,各组的点数应为多少?

分析

设分成的30组的点数分别是,其中互不相等,则满足题设的三角形的总数为

。问题转化为在其中为互不相等的正整数的条件下,求的最大值。

设分成的30组的点数分别是,其中互不相等,则满足题设的三角形的总数为。由对称性,不妨设,(1)在中,让变化,其余各组的点数不变,因为的值不变,注意到

①,要使的值最大,只需的值最大。如果,令,则,的值变大。因此要使的值最大,对任何都有。

(2)若中,使()的的值不少于2个,不妨设

。类似(1),令,其余各组的点数不变,则的值变大。因此要使的值最大,至多有一个使。

(3)若对任何。设这30组的点数分别是,则,这是不可能的。

综上,要使的值最大,对任何在中恰有一个为2,其余均为1。设这30组的点数分别是(,则,即,解得所以当分成的30组的点数分别是52,53,…,73,75,…,82时,能使三角形的总数最大。

评注

解决本题的关键是把多元函数视为二元函数,通过调整两个变量的取值,使的值最大,最终获得问题的解决。

以上例题说明,局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手,寻求问题的局部解决,通过逐步调整,获得问题的全部解决,体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、多元不等式的证明及操作性问题时常用.以下问题供读者练习:

1.求和为2003的正整数之积的最大值。(答案:)

2.设为空间四点,连线段中至多有一条长度大于1,试求这6条线段长度之和的最大值。(1985年美国数学竞赛题)(答案:)

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