数学竞赛中的局部调整策略
局部调整法,就是为了解决某个问题,从与问题有实质联系的较宽要求开始,然后充分利用已获得的结果作为基础,逐步加强要求,逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题的一种解题方法。
这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用,本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。
例1
已知锐角三角形中,在的内部(包括边界)上找一点,使得到三边的距离之和最小。[来源:学§科§网Z§X§X§K]
分析
先对在边界上时,研究点在什么位置时,到三边距离之和最小,然后再对在的内部时进行研究。
A
B
C
P
图1
解
(一)先研究在的边界上时
(1)若在边上
如图1,记的顶点对应的边分别是,边上的高分别为,到边的距离分别为,连。
由面积关系得,时取等号)。即在点处时,到三边距离之和最小。
(2)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。
A
B
C
E
P
F
H
G
图2
(3)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。
综合(1),(2),(3),当点在点处时,到三边距离
之和最小。
(二)再研究在内部时
如图2,过作的平行线交于,交
于,固定,由(一)知,让变化,有,.综合(一)(二)知,当点在处时,最小。
评注
本题先对在边界上进行调整,获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整,逐步逼近目标,最终得到问题的整体解决。
例2
已知正实数,满足,求证:.[来源:学科网]
分析
从特殊情形入手,时不等式成立,然后研究一般情况,通过局部调整解决问题。
证明
当时不等式成立。
当中不全为1时,其中必有一个属于(0,1),一个属于,据对称性,不妨设.[来源:Zxxk.Com]
(1)若。
(2)若,即
作第一次调整:令下证.即证
①.令,则.记,,①的左边=右边=。①
成立。
=,其中
再继续调整,可得.评注
本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为,应注意每次调整应使各变量的积为1,而且放大。
例3
在1,2,3,…,1989每个数前添上,使其代数和为最小的非负数,并写出算式(全俄1998年数学竞赛题)
解
先证其代数和为奇数。
从简单情形考虑:全添上“+”,此时是奇数。[来源:Z#xx#k.Com]
对一般情况,只要将若干个“+”调整为。
奇偶性相同,故每次调整,其代数和的奇偶性不变,即总和为奇数。
而,因此这个最小值是1。[来源:Z*xx*k.Com]
评注
在不断调整,变化过程中,挖掘不变量(或不变性质)使问题迎刃而解。
例4
空间有2003个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,问要使这种三角形的总数为最大,各组的点数应为多少?
分析
设分成的30组的点数分别是,其中互不相等,则满足题设的三角形的总数为
。问题转化为在其中为互不相等的正整数的条件下,求的最大值。
解
设分成的30组的点数分别是,其中互不相等,则满足题设的三角形的总数为。由对称性,不妨设,(1)在中,让变化,其余各组的点数不变,因为的值不变,注意到
①,要使的值最大,只需的值最大。如果,令,则,的值变大。因此要使的值最大,对任何都有。
(2)若中,使()的的值不少于2个,不妨设
。类似(1),令,其余各组的点数不变,则的值变大。因此要使的值最大,至多有一个使。
(3)若对任何。设这30组的点数分别是,则,这是不可能的。
综上,要使的值最大,对任何在中恰有一个为2,其余均为1。设这30组的点数分别是(,则,即,解得所以当分成的30组的点数分别是52,53,…,73,75,…,82时,能使三角形的总数最大。
评注
解决本题的关键是把多元函数视为二元函数,通过调整两个变量的取值,使的值最大,最终获得问题的解决。
以上例题说明,局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手,寻求问题的局部解决,通过逐步调整,获得问题的全部解决,体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、多元不等式的证明及操作性问题时常用.以下问题供读者练习:
1.求和为2003的正整数之积的最大值。(答案:)
2.设为空间四点,连线段中至多有一条长度大于1,试求这6条线段长度之和的最大值。(1985年美国数学竞赛题)(答案:)