整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式
(1)
(2)
例题精讲
【例
1】
=_________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
这是整数的裂项。裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。
设S=
1×2×3=1×2×3
2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3
3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4……
49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50
3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51
S=49×50×51÷3=41650
【答案】
【巩固】
________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算.对于项数较多的情况,可以进行如下变形:,所以原式
另解:由于,所以
原式
采用此种方法也可以得到这一结论.
【答案】
【例
2】
=_________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
设S=
1×4×9=1×4×7+1×4×2
4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7
7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10
………….49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52
9S=49×52×55+1×4×2
S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572
【答案】
【例
3】
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】,所以,原式
从中还可以看出,【答案】
【例
4】
计算:
.
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
可以进行整数裂项.,,所以原式
也可适用公式.
原式
而,所以原式.
【答案】
【巩固】
计算:
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
可进行整数裂项:
原式
【答案】
【巩固】
计算:
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算.
记原式为,再设,则,现在知道与的和了,如果能再求出与的差,那么、的值就都可以求出来了.
所以,.
【答案】
【例
5】
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
其中也可以直接根据公式得出
【答案】
【例
6】
【考点】整数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
观察发现,……,可见,原式
【答案】
【例
7】
计算:
【考点】整数裂项
【难度】5星
【题型】计算
【解析】
设原式=
【答案】