小学奥数1-2-2-2 整数裂项.教师版

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整数裂项

知识点拨

整数裂项基本公式

(1)

(2)

例题精讲

【例

1】

=_________

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

这是整数的裂项。裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。

设S=

1×2×3=1×2×3

2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3

3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4……

49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50

3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51

S=49×50×51÷3=41650

【答案】

【巩固】

________

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算.对于项数较多的情况,可以进行如下变形:,所以原式

另解:由于,所以

原式

采用此种方法也可以得到这一结论.

【答案】

【例

2】

=_________

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

设S=

1×4×9=1×4×7+1×4×2

4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7

7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10

………….49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52

9S=49×52×55+1×4×2

S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572

【答案】

【例

3】

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】,所以,原式

从中还可以看出,【答案】

【例

4】

计算:

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

可以进行整数裂项.,,所以原式

也可适用公式.

原式

而,所以原式.

【答案】

【巩固】

计算:

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

可进行整数裂项:

原式

【答案】

【巩固】

计算:

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算.

记原式为,再设,则,现在知道与的和了,如果能再求出与的差,那么、的值就都可以求出来了.

所以,.

【答案】

【例

5】

【考点】整数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】

原式

其中也可以直接根据公式得出

【答案】

【例

6】

【考点】整数裂项

【难度】4星

【题型】计算

【解析】

观察发现,……,可见,原式

【答案】

【例

7】

计算:

【考点】整数裂项

【难度】5星

【题型】计算

【解析】

设原式=

【答案】

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