整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式
(1)
(2)
例题精讲
【例
1】
=_________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S＝
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650
【答案】
【巩固】
________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：，所以原式
另解：由于，所以
原式
采用此种方法也可以得到这一结论．
【答案】
【例
2】
=_________
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
设S＝
1×4×9＝1×4×7＋1×4×2
4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S＝49×52×55＋1×4×2
S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
【答案】
【例
3】
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，所以，原式
从中还可以看出，【答案】
【例
4】
计算：
．
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
可以进行整数裂项．，，所以原式
也可适用公式．
原式
而，所以原式．
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
可进行整数裂项：
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．
记原式为，再设，则，现在知道与的和了，如果能再求出与的差，那么、的值就都可以求出来了．
所以，．
【答案】
【例
5】
【考点】整数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
其中也可以直接根据公式得出
【答案】
【例
6】
【考点】整数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
观察发现，……，可见，原式
【答案】
【例
7】
计算：
【考点】整数裂项
【难度】5星
【题型】计算
【解析】
设原式=
【答案】
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