2016年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）
设集合，则
(A)
[2，3]
(B)（-，2]
[3,+）
(C)
[3,+）
(D)（0，2]
[3,+）
（2）
若，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）
已知向量BA，BC，则
（A）30°
（B）45°
（C）60°
（D）120°
（4）
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是
（A）各月的平均最低气温都在0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个
（5）
若，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）
已知，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）
执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3
否
是
n=0，s=0
输入a,b
输出n
开始
结束
a=b-a
b=b-a
a=b+a
s=s+a,n=n+1
s>16
（B）4
（C）5
（D）6
（8）
中，边上的高等于，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）
在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球．若，，则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）
已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左,右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）
定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数
.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个
（B）16个
（C）14个
（D）12个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）
若满足约束条件则的最大值为
．
（14）
函数的图像可由函数的图像至少向右平移
个单位长度得到．
（15）
已知为偶函数，当时,，则曲线在点处的切线方程是
．
（16）
已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）
（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若，求．
（18）
（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘数估计公式分别为：．
（19）
（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（20）
（本小题满分12分）
已知抛物线C：焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
（21）
（本小题满分12分）
设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC,PD分别交AB于E,F两点.（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD．
（23）
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.（24）
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数.当时，求的取值范围.2016年全国卷Ⅲ高考数学（理科）答案
一、选择题：
（1）D
（2）C
（3）A
（4）D
（5）A
（6）A
（7）B
（8）C
（9）B
（10）B
（11）A
（12）C
二、填空题：
（13）
（14）
（15）
（16）4
三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，学科.网于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科.网由题意知，，，，.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.（20）解：由题设.设，则，且
.记过两点的直线为，则的方程为......3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则
.所以.......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，因此，．
………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，． ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.当时，.当时，所以.当时，所以.（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.………………10分
（24）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.………………5分
（Ⅱ）当时，当时等号成立，所以当时，等价于.①
……7分
当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.………………10分
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