2017专题4：圆与相似(含答案)

专题：圆与相似(1)

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC∥EF，FB＝1，求⊙O的半径．

2．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

3．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。

（1）求证：GC⊥OC．

（2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

4．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

5．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM

：MD

=3

：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．

求：（1）⊙O的半径；

（2）求CE·CF的值．

6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．

（1）当BD=3时，求线段DE的长；

（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；

（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

9.如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧

上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．

（1）求证：PM=PN；

（2）若BD=4，PA=

AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

10.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．

（1）求证：DE∥CF；

（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；

（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．

11.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2=CD•2OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

专题：圆与相似答案

1．（1）相切，理由见解析；（2）4.（1）如图，连接OG．

∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．

∵KE＝GE，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切．

（2）∵AC∥EF，∴∠F＝∠CAH，∴Rt△AHC∽

Rt△FGO．

∴.∵在Rt△OAH中，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．

∴.∴.∵FB＝1

∴，解得：OG＝4．

∴圆O的半径为4

.考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质．

2．（1）证明见解析；（2）EF2=4OD•OP，证明见解析；（3），.【解析】

试题解析：（1）如图，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.（2）EF2=4OD•OP，证明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴，即OA2=OD•OP.又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP.（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理）.设AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5.∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°.又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=.∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=.3.试题解析：

（1）证明：如图，连结OC，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，∴∠1=∠2，∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=AF=1，∴AD=DF=，∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，∴AG=．

4.（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．

（2）过点C作CG⊥AB于

G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==，∴sin∠2==，cos∠2==，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=．

考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．相似三角形的判定与性质；

5．试题解析：（1）如图，连接AO，∵OM

:

MD=3:2，∴可设OM=3

k，MD=2

k

(k

>0)，则OA=OD=5

k.又∵弦AB=8，直径CD⊥AB于M，∴AM=4.在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1

．

∴圆O的半径为5

．

（2）如图，连接AE，由垂径定理可知：ÐAEC=ÐCAF，又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA.∴，即AC2=CE×CF.在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80，∴CE×CF=80.6．解：（1）证明：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。

∴∠CAD+∠ADC=90°。

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。

∴PA⊥OA。

又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。

（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。

又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。

又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。

∴，即AC2=AG•AB。

∵AG•AB=12，∴AC2=12。∴AC=。

（3）设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12。

解得；x=2。

∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，∴根据勾股定理得：。

由（2）知，AG•AB=12，∴。

连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。

7.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴DEAC=BDAB，即DE3=35，∴DE=；

（2）证法一：连接OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∴∠AEF=∠DEO，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形；

证法二：连接OE

∵EF为切线，∴∠AEF+∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形．

8.证明：（1）如图，连接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF=32+12=10，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴EFBF=HFEF，即10BF=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5-1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=，∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA=，∴=，∴OA=254，∴AF=254-5=．

9.（1）证明：连接OM，∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，∴∠OMD+∠DMP=90°，∵OA⊥OB，∴∠OND+∠ODM=90°，∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，∴∠DMP=∠MNP，∴PM=PN．

（2）解：设BC交OM于E，∵BD=4，OA=OB=BD=2，∴PA=3，∴PO=5；

∵BC∥MP，OM⊥MP，∴OM⊥BC，∴BE=BC；

∵∠BOM+∠MOP=90°，在直角三角形OMP中，∠MPO+∠MOP=90°，∴∠BOM=∠MPO；

∵∠BEO=∠OMP=90°，∴△OMP∽△BEO，∴OMOP=BEBO，即=BE2，解得：BE=，∴BC=．

10.（1）证明：连接OF，∵AB切半圆O于点F，OF是半径，∴∠OFB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠OFB=∠ABC，∴OF∥BC，∵BC=OE，OE=OF，∴BC=OF，∴四边形OBCF是平行四边形，∴DE∥CF；

（2）解：若△OBF∽△ACB，∴OBOF=ACAB，∴OB=，∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，∴AC=4，AB=23．

又∵OF=OE=2，∴OB=4脳223=；

若△BOF∽△ACB，∴OBOF=ACBC，∴OB=，∴OB=4脳22=4；

综上，OB=或4；

（3）解：画出移动过程中的两个极值图，由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．

11.（1）证明：连接OC．

∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切线．

（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：

连接AE．

∵点D在劣弧AC中点位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE•DF．

（3）解：连接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH=OD2-OH2=8=22．

∵点D在劣弧AC中点位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=42．

12.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；

（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴BCCD=ACBC，即BC2=AC•CD．

∴BC2=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=BCAC=，又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=15．

又∵AC=2OE，∴OE=AC=152．