《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案

第一章习题答案

1-1

试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令，则

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量

有电路原理可知：

既得

写成矢量矩阵形式为：

1-3

参考例子1-3（P19）.1-4

两输入，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有

相应的模拟结构图如下：

1-6

（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

解：

1-7

给定下列状态空间表达式

‘

（1）

画出其模拟结构图

（2）

求系统的传递函数

解：

（2）

1-8

求下列矩阵的特征矢量

（3）

解：A的特征方程

解之得：

当时，解得：

令

得

（或令，得）

当时，解得：

令

得

（或令，得）

当时，解得：

令

得

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

（2）

解：A的特征方程

当时，解之得

令

得

当时，解之得

令

得

当时，解之得

令

得

约旦标准型

1-10

已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果

解：（1）串联联结

（2）并联联结

1-11

（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数

解：

1-11（第2版教材）

已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数

解：

1-12

已知差分方程为

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为

（1）

解法1：

解法2：

求T,使得

得

所以

所以，状态空间表达式为

第二章习题答案

2-4

用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2）

A=

解：第一种方法：

令

则，即。

求解得到，当时，特征矢量

由，得

即，可令

当时，特征矢量

由，得

即，可令

则，第二种方法，即拉氏反变换法：

第三种方法，即凯莱—哈密顿定理

由第一种方法可知，2-5

下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

（3）

（4）

解：（3）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

2-6

求下列状态空间表达式的解：

初始状态，输入时单位阶跃函数。

解：

因为，2-9

有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。

图2.2

系统结构图

解：将此图化成模拟结构图

列出状态方程

则离散时间状态空间表达式为

由和得：

当T=1时

当T=0.1时

第三章习题答案

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？

（1）系统如图3.16所示：

解：由图可得：

状态空间表达式为：

由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式：

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。

3-2时不变系统

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：

方法二：将系统化为约旦标准形。，中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数

解：构造能控阵：

要使系统完全能控，则，即

构造能观阵：

要使系统完全能观，则，即

3-4设系统的传递函数是

（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

解：(1)

方法1

：

系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

（3）根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为

3-6已知系统的微分方程为：

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：

系统的状态空间表达式为

传递函数为

其对偶系统的状态空间表达式为：

传递函数为

3-9已知系统的传递函数为

试求其能控标准型和能观标准型。

解：

系统的能控标准I型为

能观标准II型为

3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

解：

3-11试将下列系统按能控性进行分解

（1）

解：

rankM=2<3，系统不是完全能控的。

构造奇异变换阵：，其中是任意的，只要满足满秩。

即

得

3-12

试将下列系统按能观性进行结构分解

（1）

解：

由已知得

则有

rank

N=2<3，该系统不能观

构造非奇异变换矩阵，有

则

3-13

试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解

（1）

解：由已知得

rank

M=3，则系统能控

rank

N=3，则系统能观

所以此系统为能控并且能观系统

取，则

则，3-14求下列传递函数阵的最小实现。

（1）

解：，，系统能控不能观

取，则

所以，所以最小实现为，，验证：

3-15设和是两个能控且能观的系统

（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；

（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。

解：

（1）和串联

当的输出是的输入时，则rank

M=2<3，所以系统不完全能控。

当得输出是的输入时，因为

rank

M=3

则系统能控

因为

rank

N=2<3

则系统不能观

（2）和并联，因为rank

M=3，所以系统完全能控

因为rank

N=3，所以系统完全能观

所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。

第四章习题答案

4-1判断下列二次型函数的符号性质：

（1）

（2）

解：（1）由已知得，因此是负定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：

试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。

即：

有解，且解具有负实部。

即：

方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。

取，令，则带入，得到

若，则此方程组有唯一解。即

其中

要求正定，则要求

因此，且

4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。

（1）

（2）

解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-6设非线性系统状态方程为：

试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：

取

很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-9设非线性方程：

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。

取

则，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。

（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

解：假设的梯度为：

计算的导数为：

选择参数，试选，于是得：，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：

如果，则是负定的，因此，是的约束条件。

计算得到为：

是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。

第五章习题答案

5-1已知系统状态方程为：

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。

解：依题意有：，系统能控。

系统的特征多项式为：

则将系统写成能控标准I型，则有。

引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较各对应项系数，可解得：则有：。

5-3有系统：

（1）

画出模拟结构图。

（2）

若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？

（3）

若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。

解（1）系统模拟结构图如下：

（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

对于系统有：，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。

（3）系统的特征多项式为：

则将系统写成能控标准I型，则有。

引入状态反馈后，系统的状态方程为：，设，则系统的特征多项式为：

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较各对应项系数，可解得：。

5-4设系统传递函数为

试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈，并画出系统结构图。

解：

由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。

能控标准I型为

令为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为

由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为

比较与的对应项系数，可得

即

系统结构图如下：

5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。

（1）

解：系统的能控阵为：，系统能控。

由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。

5-7设计一个前馈补偿器，使系统

解耦，且解耦后的极点为。

解：

5-10已知系统：

试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。

解：因为满秩，系统能观，可构造观测器。

系统特征多项式为，所以有

于是

引入反馈阵，使得观测器特征多项式：

根据期望极点得期望特征式：

比较与各项系数得：

即，反变换到x状态下

观测器方程为：

5-13

类似于5-12，设计略。