循环小数的计算
教学目标
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
知识点拨
1.的“秘密”，,…,2.推导以下算式
⑴；；；；
⑵；；；
⑶；
以为例，推导．
设，将等式两边都乘以100，得：；
再将原等式两边都乘以10000，得：，两式相减得：，所以．
3.循环小数化分数结论
纯循环小数
混循环小数
分子
循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧；
；；，……
例题精讲
模块一、循环小数的认识
【例
1】
在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】
因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
【答案】
【巩固】
给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为，于是得到不等式：
【答案】
【例
2】
真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，，，．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．
【答案】
【巩固】
真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成。，而，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“”，因此这个分数应该为，所以。
【答案】
【巩固】
真分数化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则是多少？
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，因此只需判断当为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得。
【答案】
【巩固】
（2009年学而思杯4年级第6题）所得的小数，小数点后的第位数字是
．
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
……个数一循环，……5，是4
【答案】4
【例
3】
写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______。
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】小希望杯，4年级
【解析】
0.6+0.06+0.006+……===2002÷3003
【答案】
【例
4】
下面有四个算式：
①0.6+0.②0.625=；
③+===；
④3×4=14；
其中正确的算式是（）.（A）①和②
(B)
②和④
(C)
②和③
(D)
①和④
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
对题中的四个算式依次进行检验：
①
0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
②
0.625=是正确的；
③
两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过﹥即可判断出其不正确；
④
×=×==，所以④不正确。
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。
【答案】
【例
5】
在混合循环小数的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是。
【答案】
【例
6】
将化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为，是纯循环小数；将化成小数等于0.1666……，简记为，是混循环小数。现在将2004个分数，，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】
凡是分母的质因数仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.【答案】
模块二、循环小数计算
【例
7】
计算：（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
原式。
【答案】
【巩固】
计算：0．3+0．=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
原式=
【答案】
【巩固】
请将算式的结果写成最简分数．
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式.【答案】
【例
8】
计算:
（结果用最简分数表示）
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，一试
【解析】
原式＝
【答案】
【例
9】
将的积写成小数形式是____.【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
【答案】
【例
10】
计算：
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
方法一：
=
方法二：
【答案】
【巩固】
计算
（1）
（2）
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
（1）原式
（2）原式
【答案】（1）
（2）
【例
11】
⑴
⑵
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
⑴
法一：原式．
法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是，化为分数即是．
⑵
原式
【答案】⑴
⑵
【巩固】
⑴计算：
⑵________．
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1试
【解析】
⑴
原式；
⑵
原式．
【答案】⑴
⑵
【巩固】
⑴；
⑵
(结果表示成循环小数)
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
⑴原式
⑵，所以，【答案】⑴
⑵
【例
12】
（）。
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】中环杯，五年级，决赛
【解析】，所以括号中填
【答案】
【例
13】
计算
(结果表示为循环小数)
【考点】循环小数计算
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
由于，所以，而，所以，【答案】
【例
14】
某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
由题意得：，即：，所以有：．解得，所以
【答案】
【例
15】
计算：，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
方法一：
方法二：
【答案】
【例
16】
将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?
【考点】循环小数计算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
×
循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【答案】9
【例
17】
有8个数，，,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，,显然有即，8个数从小到大排列第4个是，所以有．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是．
【答案】
【例
18】
和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.【考点】循环小数计算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
【解析】
如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们发现，而，则第100位上的数字和为9.【答案】9
【例
19】
将循环小数与相乘，小数点后第位是。
【考点】循环小数计算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】，所以乘积为，所以第位是。
【答案】
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