【教学论文】关于“频率与概率”关系的思考

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关于“频率与概率”关系的思考

频率与概率是两个不同的概念,它们之间既有区别,又有联系,学习时要关注以下几个方面:

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一、频率与概率定义不同

1.对事件发生可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率,即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值。由于观察的时间有长短,随机事件的发生与否也有随机性,所以在不同的试验中,同一个事件发生的频率可以彼此不相等。

2.概率被用来表示一个事件发生的可能性的大小。

如果一个事件是必然事件,它发生的概率就是1,如果一个事件是不可能事件,它发生的概率是0,随机事件发生的概率通常大于0且小于1。

例如:抛掷一枚均匀的硬币,硬币落地后“正面朝上”的概率是。当试验次数较少的时候,“正面朝上”的频率有可能是0,也有可能是1或其它数,但是经过多次重复试验后,“正面朝上”的频率会稳定在。

二、频率与概率的联系

即用频率来估计概率。

谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生,但是在相同的条件下进行多次重复试验后,事件出现的频率会逐渐稳定,稳定后的频率可以作为概率的估计值。反之,如果知道一个事件发生的概率,就可以由此推断:在多次重复试验后该事件发生的频率将接近其概率。

值得注意的是:用试验的方法得出的频率只是概率的估计值,要想得到近似程度较高的概率估计值,通常需要经过大量的重复试验。

三、典型题例

1.频率与概率的关系

例1

(1)

从一批准备出厂的电视机中,随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,能否就说这批电视机的次品的概率是0.10?

(2)

某厂产品的次品率是2%,问“从该厂产品中任意抽取100件,其中一定有2件是次品”这一说法是否正确?为什么?

分析

“频率”是单次具体试验时,某事件表现出来的结果。不同时、不同次的试验该事件发生的频率往往也是不同的;而“概率”是在大量重复试验中,该事件发生的频率所表示出来的规律性结果,它是固有的、客观的和不变的。

解:(1)

不能说这批电视机的次品的概率是0.10,只能说在这次试验中出现次品的频率是0.10。

(2)

次品率是2%,即现出次品的概率是2%,是在多次或大量重复质检的基础上表现出来的规律性的结果,并不是说在每一次具体的试验中,随机抽取100件恰有2件次品,也不能说恰有2件次品的可能性最大。

例2

甲、乙两人轮流抛掷一普通的正六面体骰子,甲已经抛了5次,一次也没掷得6点;乙也抛了5次,有2次掷得了6点,下一次抛掷时谁掷得6点的机会比较大?

析解

抛掷一个普通的正六面体骰子,骰子落地后“6点朝上”的概率是。在每一次抛掷中,这个概率是不变的。因此,下一次抛掷时两人掷得6点的机会是一样大。

例3

下列说法中,合理的是________。(填序号)

(1)

买彩票中奖是个随机事件,因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%。

(2)

小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,据此他说钉尖朝上的概率一定是30%。

(3)

在一次课堂进行的试验中,甲乙两组同学估计一枚硬币光荣称号地后正面朝上的概率分别为0.48和0.51。

(4)

抛掷一枚普通的正六面体骰子,骰子落地后出现6的概率是,但有人连续两次掷得了6点。

解析随机事件发生的概率有大有小,并不都是50%,因此(1)说法不对。

小明进行的试验次数太少了,因此估计值缺乏可信度,所以说法(2)不合理。

因为随机事件的发生与否有随机性,在不同的试验中随机事件发生的频率有可能不同,所以两组同学的估计值不同是可能的,说法(3)是合理的。

概率是,并不能决定频率也是,因此说法(4)也是合理的。

综上所述,填(3)、(4)。

2.用频率估计概率

例4公园里有一生意人设计了游戏摊位,游客只需抛掷一枚正方体骰子,如果出现6点,就可获得价值10元的奖品,要抛掷一次骰子需付一元的费用。小明在摊位前观察了很久,记下了游客们的中奖情况:

看了小明的记录,你有什么想法?

解析对于一个普通正方体骰子来说,6点出现的频率应为,小明记录抛掷的次数为161次,中奖的次数应在27次左右,而实际中奖次数只有4次。可以怀疑生意人所用的骰子质量分布不均匀。要进一步证实这处怀疑,可以通过更多的试验来完成。

例5甲乙两人分别抛掷两个正方体骰子,并将骰子落地后出现点数之和大于6的频率描述如下:

根据折线图,甲估计骰子落地后出现点数之和大于6的概率为60%,乙估计骰子落地后出现点数之和大于6的概率约为56%。小明说:甲图的折线比较平稳,乙图的折线波动较大,因此甲的估计比较好。小强说:乙的试验次数多,应该是乙的估计较好。你怎么看?

解:小强的说法是正确的。

仔细观察会发现两图的纵轴刻度大小不同,如果将两人的数据绘制在同一幅图上,将会发现乙数据的波动较小。

(责任编辑

钱家庆)

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