2013年高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学 新人教版

第一篇：2013年高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学 新人教版

利用几何画板探索轨迹的教学

——研究性学习一得

研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。

下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。

教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。

问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子： 如图1，过椭圆xa22yb221(ab0)的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。

轨迹1 过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。

图1 图2 几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。如图2 “怎样求出这个小圆的方程？”

学生：按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，则AB的垂线的斜率为1k，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M的坐标，最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇！好复杂。

学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？” 学生：“我在想„„这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：

因为OM⊥AB，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若设点M的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(c，0)，则

用心 爱心 专心

教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键——寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦AB上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。”

学生们立即投入到探索中。一位学生：

轨迹3 “在弦AB上任意取一点Q，跟踪点Q，动画„„哇！怎么点Q的轨迹是这样的？” 不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦AB上任取一点Q，跟踪点Q，拖动主动点A，取到如下几何图形(如图5～7所示)：

图5 图6 图7 “呀！这是什么图形？” “怎么会有这样的图形？”

“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。” “该给这个轨迹起个什么名字呢？”

学生们发出惊叹。

拖动点Q，发现点Q的轨迹也发生变化。当点Q接近中点P时，点Q的轨迹图形接近于中点P的轨迹——小椭圆(如图6)，而当点Q接近于点A或B时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。

轨迹4 “老师，我发现，如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来，则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。

“老师，点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点C的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”

教师：“试试看吧。”

采取常规方法“交轨法”求解： 设直线AA2、BA1的方程分别为

y = k1(x－a)，y = k2(x+a)，将AA2的方程代入椭圆方程整理得

(ak1b)x2ak1xak1ab02222324222, 此方程的两根是A、A2的横坐标x1与a，故可求得A(x1，y1)点坐标为

A(ak1aba22k1322b2,2abk1a22k12b2), 图8 同理可求得B(x2，y2)点坐标为 B(ak2abak2b223222,2abk2ak2b2222)。

用心 爱心 专心

由A、F1、B三点共线可得kAFkBF，即

11y1x1cy2x2c，将A、B两点坐标代入并整理得

222222a(a+c)k1k2 + a(c-a)k1k2 + b(a+c)k1 + b(c-a)k2 = 0，将k1yxa2，k22yxa2代入上式得

2222a(ac)ya(ca)yb(ac)(xa)(xa)b(ca)(xa)(xa)0，分解因式得 [(ac)(xa)(ca)(xa)][a2y2b2x2a2b2]0，因为直线AA2、BA1的交点在椭圆外，所以b2x2a2y2a2b20，a故(ac)(xa)(ca)(xa)0，即 xc2。

即为直线AA2、BA1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。

“同样的道理，直线A2B与A1A的交点 D也在准线上。”

“老师，不管C、D两点在左准线上怎 样运动，∠CF1D是一个定值90。如图9所 示。”又一个学生发现了一个结论。同学们利

用上个问题的解决方法，很快证明了出来。

教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图9 结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什

么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。”

轨迹5 “老师，如图10作ΔOAB的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。

(以下是学生课后提供的解答过程： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中点为M(x0，y0)，则

2x0x1x2，2y0y1y2，xx1x23，yy1y23，x2x03，y2y03，22222由b2x12a2y12a2b2，b2x2ay2ab，得y1y2x1x2ba22x1x2y1y2bxay22，此即为直线AB的斜率k，图10 y0x0c3y232xcyx23cbxay22又 k，∴ y2xc3，整理得

222b(xcx)ay0.故Δ322(xOAB重心G的轨迹方程为：

c2)32()3c(ybc21)2。)

3a用心 爱心 专心

下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线：

轨迹6 “ΔOAB的内心的轨迹是一条‘鸡蛋形’曲线(如图11所示)。” 轨迹7 “ΔOAB的垂心的轨迹是一条‘’形状的曲线(如图12所示)。”

图11 图12

轨迹8 “ΔOAB的外心的轨迹是一条‘反’形状的曲线(如图13所示)。”

轨迹9 “ΔOAB中，过点A作OB的垂线，垂足的轨迹是‘两叶花卉形’(如图14所示)。”

图13 图14

轨迹10 “老师，如图15作ΔABF2的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”

(以下是学生课后的解答：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，则由F2(c，0)与G(x，y)可得AB中点M的坐标为(因为 y1y2x1x2ba223xc3,y)，22x1x2y1y2bxay22，所以 bxay223y212(3xc)c22，整理得 b2xay222bc3，即

xc22y222bc9a 1。

32此即为ΔABF2的重心G的轨迹方程。)图15 又是几条奇妙的曲线：

轨迹11 “ΔABF2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图16所示)。”

轨迹12 “ΔABF2的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图17所示)。”

轨迹13 “ΔABF2的外心的轨迹是一条‘反’形状的曲线(如图18所示)。”

轨迹14 “ΔABF2中，过点A作BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图19所示)。”

用心 爱心 专心

篇幅，本文略去解题过程)：

轨迹19 如图24，过双曲线

xa22yb221 的右焦点F2作弦AB，则弦AB的中点M的轨 图24 迹是以OF2为实轴即实半轴长为的双曲线，c2)22c2其方程为(xcy(bc21，其解答过程与)2()22a椭圆相似，这里略去。并且此双曲线与原双曲 线的离心率相同。若在弦AB上任取一点P，则点P的轨迹图形如图25～26，并且当点P 图25 接近中点M时，P点轨迹接近中点M的轨迹 ——双曲线；当点P接近点A或B时，P点 轨迹接近原双曲线。

轨迹20 如图27，ΔOAB的重心G的轨

(xc3)2迹是一双曲线，其方程为

c2()3y2bc2()3a1。

轨迹21 如图28，ΔABF1的重心的轨迹是 一双曲线，其方程为xc22y222bc9a1 图26

图27 图28

轨迹21 如图28，ΔABF1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为

xc22y222bc9a1。

32轨迹22 如图29，过抛物线y22px的焦点F作弦AB，则弦AB的中点M的轨迹是以F为顶点的抛物线，其方程为y2

用心 爱心 专心

p(xp2).同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。”

课后对学生进行了调查。以下是一些 学生的感受：

“今天这堂课收获很大。以往很多想 不通的‘知其然而不知其所以然’问题，通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。”

“今天这堂课真有意思。通过几何画

板这个工具，不仅掌握了如何研究问题，图35 同时也知道了如何去发现问题。”

“通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。”

“我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的产生过程。”

记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过，在数学方面的研究性学习，不必将问题搞得太大，可以让学生对某个小问题进行讨论，进行深入的研究。因此，研究性学习重在探索过程，注重知识的产生过程，改变学生在教室里等老师教知识，学生在课堂上被动接受知识的学习方式；教会学生学会学习，学会寻找解决问题所需的信息、资料、数据并不断提高思维能力，进一步增强主体意识；引导学生学会利用多种方法思考问题，尝试用相关学科知识分析和解决问题；引导学生在亲身体验成功与失败、发现与创造中初步获得科学研究的一般方法；培养学生的团队精神与合作意识。总之，研究性学习强调：开放性、自主性、实践性、探索性。

用心 爱心 专心

第二篇：利用几何画板进行探索性教学

利用“几何画板”进行探索性教学

————《一次函数的图象》教学案例

温州四中

王克局

[案例背景] “几何画板”是美国Key Curriculum Press公司制作的教育软件，他给师生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜想和验证结论。在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生对数学的学习和理解。

“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法在初中数学中就有了一定的要求；同时函数是用运动变化的观点对显示世界数量关系的一种刻划，这就决定了它是对学生进行素质教育的重要材料，也是新的课程标准理念所在。正如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数少入微。”函数的两种表达方式（解析式和图象）之间常常又需要进行对照，解决数形结合的问题。在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图“列表---描点---连线”，但手工绘图不精确、速度慢。利用“几何画板”就能快速直观地显示其形成和变化过程，克服手工绘图的弊端，提高课堂效率，进而达到事半功倍的目的。

[案例描述] ■ 教学目标

1、了解一次函数图象的意义；

2、会画一次函数的图象；

3、会求一次函数的图象与坐标轴的交点。■ 教学重点：一次函数的图象

■ 教学难点：验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不容易理解其意义。■ 教材分析

对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。本节课，函数的图象直观地反映了函数的性质，为后续学习函数的性质打好基础，并且函数图象本身在解决实际问题中有许多应用，因此学好本节课显得至关重要。

[教学过程]

一、创设情境

我的妈妈有一个激励我学习数学的好方法：每次我数学成绩考满分，就奖励我2元人民币。在5次考试后，我得到x次满分。求：我得到的y元人民币关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

y2x(x0,1,2,3,4,5)。但有些学生会错认为是y2x(0x5)），教师提示让学生自己说出：x只能取整数。

回顾函数的三种表达方法：解析法；表格法；图象法。

（板书其表格法）函数的解析法和表格法我们都会，而函数的图象应该怎么画呢？（引起学生学习函数图象法的兴趣，使之有强烈的欲望去将其弄明白。）

二、探索图象

学生自主分组讨论，并动手画图。大部分学生画出来的是一条线段，也有一部分学生画出来的是六个点，教师提示：

除这六个点以外的其他点取得到吗？这是由什么决定的？生：x的取值范围。教师利用“几何画板”操作：［列表---绘制点］（如图１）。

图１

图２

变形1：请画出函数y2x(0x5)的图形？这时，学生都能马上说出这个函数的图形是一条线段。教师操作演示：画线段。（如图２）

师：实际上这里函数图象有多少个点组成？（无数个）（让学生体会“线是有点构成的”）变形2：请画出函数y2x的图形？（直线）师：函数图形是由什么基本元素构成的呢？（点）

得出函数的图象概念（板书）：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，这些点组成的图形叫做该函数的图象。

师：从而我们得到了当自变量为任意实数的时候，正比例函数的图象是一条直线，那么是不是所有的一次函数的图象都是一条直线呢？（这时学生的积极性极高，教师趁热打铁给出一个一次函数。）

变形3：请画出一次函数y2x2的图象？（直线）

三、研究画法

师：画一次函数的图象基本步骤应该是怎么样呢？（先…然后…最后…）生：先找点。师：怎么找？（随意）

师：非常对。同学们回答的都非常好。刚才大家取的点的坐标都是整数，取小数可以吗？(可以)大家会不会这样去做？(不会)为什么？(麻烦)所以我们习惯都是取整数点。

总结画一次函数图象的步骤：（1）列表（找点）（2）描点（3）连线。这种方法叫做描点法。师：函数y2x和y2x2的图象有什么关系？ 生：平行，可以通过平移得到。

师：对，非常正确。但是具体是经过怎么平移的呢？我们以后会学到，如果有兴趣的同学可以在课余时间去查阅资料。

师：是不是满足一次函数y2x的点都在直线y2x上吗？y2x2呢？反过来在直线y2x上取一些点的坐标都满足y2x吗？（通过使用“几何画板”精确地描出任意给出的点坐标在图象上的位置［表格---绘制点］，以及能够读出在图象上任意描出的点的坐标［右击---坐标］。）如图３、４。

图３

图４

结论：满足一次函数的解析式的点都在图象上，图象上的每一个点的坐标都满足一次函数解析式。想一想，说一说：

1、下列各点中，哪些点在函数y=4x+1的图象上?哪些点不在函数y=4x+1的图象上?为什么？

(2，9)，(5，1)，(-1，-3)

2、若函数y=2x-4 的图象经过点(1，a)，(b，2)两点，则a=_______，b=_________。

3、点已知M(1，4)在一次函数y=ax+1的图象上，则a的值是________。

四、例题分析

例1。在同一坐标系作出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴的交点坐标:

1y3x，yx2

3分析：回顾画函数图象的基本步骤：（1）列表（找点）（2）描点（3）连线。师：要找几个点？很多很多个？生：只用两个就可以。师：为什么？生：两个点确定一条直线。教师介绍“两点法”。

教师在讲函数图象与坐标轴的交点时必须严格板书其步骤，让学生注意格式。

引导学生自己说出：正比例函数ykx与坐标轴的交点只有一个：原点。一次函数ykxb(k,b0)与坐标轴有两个交点。

五、练习巩固

在同一坐标系中画出下列函数的图象；

y=3x-1，y=-2x+4

六、课堂小结

说说你的收获„„

1、知道了什么是函数图象。

2、画函数图象的方法。

3、一次函数ykxb(k，b都为常数，且k0)的图象跟自变量的取值范围有关。

[案例分析和思考]

1、突出数学课堂教学中的探索性。

真知的形成往往来源于真实的自主探究，只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

本节课，关于一次函数图象的引出，笔者没有像教材那样直接给出一个图象，然后求出它就是一次函数的图象；而是由引例的一个函数只有几个点的出发，让学生去画一画、讨论讨论的方式，使学生通过对直观图象观察、归纳和猜想，自己去发现结论，然后在自变量的取值范围上设计了几个一次函数，其图象是由点线段直线，让学生感受一次函数图象跟自变量的取值范围息息相关。

2、引进计算机《几何画板》技术

本课在验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式）时，通过使用《几何画板》精确地描出任意给出的点坐标在图象上的位置，以及能够读出在图象上任意描出的点的坐标，这样使得初中平面几何教学发生了重大的变化，充分调动了学生的直觉思维。这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，设想今后通过计算机技术的进一步开发与应用，初中平面几何能够给学生更多动手的机会，让学生以研究的方式利用计算机来学习几何，进一步突出学生在学习中的主体地位。

3、开放课堂，张扬学生的自主能力。

尊重学生的思维主体和独特感受，相信学生的生活经验和数学能力。给学生更多的自主思考、自由表达和自我感受。本着这一教学理念，本课无论对情境信息的交流，还是一次函数图象的认识，无论是对数形结合思想的理解，还是对描点法注意事项的说明，都给学生以充分的时间和空间，畅所欲言，尽情展示，最终达到“答案由学生找，结论由学生说”的理想境界。

第三篇：利用几何画板辅助教学的体会

利用几何画板辅助教学的体会 长沙市十二中学 王幼珍

近年来，不少教师，特别是年轻教师，利用《几何画板》辅助教学作了许多有益的探索与实践，受到了较好的教学效果，本文谈谈笔者的体会。

1、《几何画板》具有学习容易，操作简单，功能强大的特点

作为教师，如果已经有了操作WINDOWS的基础，要掌握《几何画板》的基本功能是不难的，只要认真阅读它的《参考书册》就可以了，若能经过三、四天的培训，就可以比较熟练地掌握它，还可以象圆规、三角板一样，十分方便地使用它，并可以“完美地”实现自己的“创意”，《几何画板》。不同于其他的计算机绘图软件，他所作出的图形、图象都是动态的，而且注重数学表达的准确性，最突出的优点就是使图形、图象在变动的状态下，保持不变的几何关系，线段的中点永远是中点，平行的直线永远是保持平行。这样就可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数学关系与空间关系。它是培养跨世纪创新人才不可多得的辅助教学的软件，是中学数学教师理想的CAI工具之一。

2、利用《几何画板》是提高知识的形成过程，培养学生的探索发现能力

2.1 《几何画板》提供了测量和计算功能，能够对作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等，还能对测量的值进行计算，并把结果动态地显示在屏幕上，用鼠标拖动任意一个对象，使其变动时，显示出这些几何对象大小的量也随之改变，对学生发现问题，讨论问题提供了很好的园地。例如：传统的教学方法是把三角形内角和定理告诉学生，然后再加以证明。利用《几何画板》我们可以在屏幕上展示，无论拖动三角形的一个顶点怎么移动，虽然这个三角形的三个内角的大小动态地改变着，但是显示三内角和的数值不变，并且可以以表格形式展示在屏幕上（如下表）。46.5 81.5 105.1 123.2 46.2 19.2 25.3 34.4 87.3 79.3 49.6 22.4 180.0 180.0 180.0 180.0 A B C A+B+C

学生经过直观地观察，探索归纳出三角形内角和的性质，然后再引导学生证明。又如在学习相交弦定理时，任意改变圆内相交弦AB、CD的交点P的位置时，屏幕上显示AP•PB、CP•PD的数值总保持相等，准确地表达了定理。如果把这点拖到圆外，又可以表现为割线定理。

2.2 利用《几何画板》可让学生参入教学过程，实现了对知识意义的主动建构，较深刻地理解了所学的内容，有效地化解了难点。如在平行线分线段成比例定理的推出是个难点，教材是通过平行线等分线段的定理举例，说明它的正确性，学生没有足够的体验，很难达到对定理的理解，如利用《几何画板》做好课件，在网络教室中，让学生在电脑上亲自去度量线段的长，计算线段的比，然后验证线段的比是否相等，这样做，教学中发现了“定理”。另外，通过平行移动图中线段的位置，学生很容易“发现”该定理的两个推论，即它的两个变示图形。

a A D A a D A

b B E b B E B c C F c c C F C F 图1 图2 图3

这样的课件设计，突出了学生的主体地位和探索观察的实验意识，从一般到特殊，从形象到抽象，学生经过这样一番试验、观察、猜想、证实之后，再引导学生给出证明，这样较难讲清的问题，就在学生的试验中解决了。

3、利用《几何画板》的辅助教学，有利于学生素质的提高

把《几何画板》引入中学数学教学，学生主动参与讨论，做“数学试验”，参与教学实践活动，他们不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的研究者，《几何画板》的运用使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变为对数学的喜爱，有效地激发他们的学习兴趣，增强他们学好数学的信心，调动了学习的积极性，特别是需要反复认识的概念，反复学习的内容，少数学生课堂上弄不清楚的，可以把软件拷贝回家，再反复观察、反复认识、反复学习，给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上。

实践证明，《几何画板》给数学教学带来了新型的教学模式，对于数学教学有着十分重要的意义。

第四篇：借助几何画板,探索一次函数教学解读

我们所能经历的最美好的事情是神秘，它是所有真正的艺术和科学的源泉。借助几何画板 探索函数教学 宝坻三中 陈立军

几何画板是优秀的数学教学软件 它具有动态的图形功能 丰富的变换功能 强大的动画功能 方便的函数图象功能 它通过对点、线、圆等基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等 构造出较为复杂的图形演示

几何画板为探索函数教学提供了有力工具 解决了学生在函数有关概念性质上难于理解的困难 克服了函数应用中的诸多难点 通过对函数图象的研究和分析 让学生深刻理解函数中蕴含的数形结合思想

一、利用几何画板理解函数图象的动态形成过程

函数是研究运动变化的重要数学模型 函数概念的实质就是运动变化与联系对应 几何画板在这一方面具有独到的优势 它可以动态地表现图象的变化过程 满足数学教学中化抽象为形象直观的要求

函数的图象采用描点法 锻炼了学生的动手能力 让学生亲历实践过程 但学生初接触函数通常有几个误区：取点过少、取点不具有代表性、描点不准确 描出图象不光滑、对无数个点和无限延伸难以理解 利用几何画板绘制函数图象 通过追踪点得到函数图象的踪迹动画 通过运动点让学生清楚看到点动成线的动态过程

二、利用几何画板探索函数的性质

一次函数的性质是初中段的重点和难点 利用几何画板我制作了教学软件探索这一个性质的形成过程 使学生经历从特殊到一般的认识过程 体验知识产生、发展、形成的过程 逐步培养学生抽象概括能力 激发学生求知的欲望

①．画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象 观察两条图象的相同与不同点平行移动y=-6x 使它与y=-6x+5重合 在y=-6x设置一点P 反复演示观察点P平行移动了几个单位

②.如图：按平移键 y=kx平行移动与y=kx+b重合 观察点P由点A移到点B 点Q由O移到点N OQ＝PA 得到一般性结论：y=kx+b实际上是对y=kx上所有点进行了平移

③．改变K的取值 观察K的正负对图象的影响；K的大小对图象的影响 明确探究方向 揭示正比例函数和一次函数在性质上的一致性

④．进一步探究：K的大小变化对倾斜度的影响 改变k、b值 让学有余力的学生有较为深入的认识

一系列富有层次性和探究性的问题揭示了知识的形成过程 体现从特殊到一般的思想方法及归纳能力

学生可以理解特殊图象 但对图象的一般性存有疑虑 让学生亲自上机操作 自己输入k、b值 观察图象的变化 摸索k、b值对图象的影响 在电脑图形 的不断变化、同学之间的互相讨论、教师的点拨指导等反馈中 观察发现图象的规律 得出关于数值大小的性质 一般性得到验证 学生在实践中逐渐形成自己的知识体系

三、利用几何画板解决函数的综合应用

应用函数观点分析问题和解决问题 需要一个相当长的过程 用函数的观点认识数学问题 目的是加强知识间的联系 学习用变化和对立的眼光分析问题

1.应用函数解方程、不等式和不等式组

例如用画函数图像的方法解不等式5x+4<2x+10解法2的教学：

利用几何画板能准确快捷地画出一次函数图象y=5x+4和y=2x+10 由图像可知它们交点的横坐标为2 观察当x取何值时 直线y=5x+4在y=2x+10的下方 用彩色线明显地画出来 找到此时所对应的x的取值范围x<2 这一教学难点轻松地解决了

根据函数图象和交点 使学生能直观地看到怎样用图像来表示方程与不等式的解 能够用函数观点认识解方程和不等式的实质 加强了知识间的融会贯通 学生看问题的角度和高度都发生了变化 认识更深刻了

2.应用函数寻求最佳方案

应用函数观点可以把许多数学概念统一起来 教材第六章74页活动2 是综合运用一次函数图像和性质分析解决实际问题的例子 是本册书最难难以理解的活动 表格中各种收费方案尽管不同 但它们所对应的函数类型基本一致 根据表中数据 确定相应的函数关系式 用几何画板做出函数图像 能够顺利用函数值及图像解决问题 根据图像交点确定最优方案

四、利用几何画板可以很好的解决动点问题

七年级学生对动点的理解较为困难 比如教材62页10题 77页9题 质量检测56页2题 71页15题等 运用几何画板观察动点的运动路程 从运动变化的角度加深对线性函数的理解

已知△ABC中 ∠C=90 AB=10cm BC=6cm AC=8cm 若动点P从点C出发 以每秒1cm的速度沿CA、AB运动到B点 设点P从点C开始运动的路程为xcm时 △BCP的面积为yc㎡ 把y表示成x的函数；从点C出发几秒时 S△BCP=S△ABC.用几何画板制作课件效果如图所示 单击“运动点P”按钮 点P由点C开始沿CA运动 线段PB设置了追踪 和PC、CB构成S△BCP 当0≤x≤8时 y=3x S△BCP=S△ABC.当点P从点A向点B运动时 8≤x≤18 y=（18-x）（直角△ABC斜边上的高为=）

当点P分别在CA、AB上运动时 S△BCP=S△ABC 两种情况看运动过程的面积图形 列方程求得S△BCP=6时 对应的x值 求得t=2秒或t=15.5秒 借助几何画板这道函数应用较为复杂的动点问题得以解决

五、利

用几何画板深刻理解函数中蕴含的数形结合思想

数学思想方法是数学知识的灵魂 是通过知识 的载体来体现的 对于它们的认识需要一个相当长的过程 它需要学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等等一系列的数学活动和学习实践中不断的感受和理解

数学的灵魂是数形结合 数形结合的精髓是函数 函数的核心是运动变化 在函数教学过程中 我安排了较多的通过图象分析函数解析式、通过解析式分析函数图象的题目 引导学生运用函数图像解决问题 使学生在实践中逐步形成函数的思想方法 应用函数图像顺利开展数学活动 是几何画板对数形结合思想的最完美的诠释！

一年多的教学实践使我深刻感受到几何画板与数学课堂整合的巨大魅力 几何画板给函数教学赋予了新的内涵和生命力 使数学课堂成为充满探索性、趣味性和挑战性的精彩世界 1

第五篇：利用几何画板探索反比例函数的性质

利用几何画板探索反比例函数的性质教学设计

福州聋哑学校

魏苏珊

杨帆

【课题】利用几何画板探索反比例函数的性质

【教学内容】形如y=k/x（k≠0）的函数叫做反比例函数，利用描点法可以画出反比例函数的图象，描出的点越多，画出的图象就越准准确。利用数学软件可以快速准确的画出反比例函数图像，而且能够帮助我们研究反比例函数的性质。本节课拟用几何画板作为工具探索反比例函数图象的对称性、以及k对函数图象形状的影响等方面的性质。【教学目标】

1、探索利用动点研究反比例函数性质的方法，并获得反比例函数对称的性质；

2、培养学生动手动脑的实践能力，观察、分析、抽象、概括等数学思维能力；

3、培养学生利用计算机技术理解数学和解决数学问题的能力，使学生在体验中获得成功的乐趣。

【教学过程】

一、复习

复习反比例函数的图象以及不同k值反比例函数图象的性质。

二、探索反比例函数y

打开“探索一”

画出反比例函数y

在反比例函数y1x1x1x的图象关于直线y=x轴对称。的图象。的图象上选定A（1,1），B（－1,－1）.过A、B两点作一条直线，即正比例函数y=x的图象.并画出直线y=x。

把直线y=x选定为对称轴。在反比例函数yy=x的对称点C'.做出点C'后，显示点C和C'的坐标，运动点C，观察这两点坐标的变化。（也可以直接拖动点C）

1x上任意选取一点C，再作点C关于直线 可以得到结论1：反比例函数y1x的图象关于直线y=x轴对称。

（操作结束后，返回页面，继续“探索二”）

三、探索反比例函数y

以及反比例函数y1xkx关于直线y=－x对称 的图象关于直线y=±x对称。

1、打开“探索二”

做出对称直线y=－x，并在图象上任意选定C点。并做出点C的对称点C'点。运动点C，观察点C和C'的坐标变化。（也可以直接拖动点C）得到结论2：反比例函数y1x图象关于直线y=－x轴对称。

2、操作结束后，选择“下一页”。

探索“反比例函数y

①探讨反比例函数ykxkx的图象是否关于直线y=±x对称。” 的图象关于直线y=x对称。

”。

单击“探讨不同的k值，反比例函数的性质”，出现“

可在方框中输入任意的k值，探讨反比例函数关于直线y=x的对称性。

在反比例函数上任意选定点C，并做出点C关于直线y=x对称的对称点C'，运动点C，并观察两点坐标的变化情况，可得出结论：反比例函数y

②探讨反比例函数ykxkx的图象关于直线y=x对称。的图象关于直线y=－x对称。

隐藏直线y=x，显示直线y=－x。

在方框中输入任意的k值，探讨反比例函数关于直线y=－x的对称性。

在反比例函数上任意选定点C，并做出点C关于直线y=－x对称的对称点C'，运动点C，并观察两点坐标的变化情况，可得出结论：反比例函数ykx的图象关于直线y=－x对称。

kx综合以上两个结论，即“反比例函数y的图象关于直线y=±x对称。”

kx

四、探索“随着|k|的增大，反比例函数y越近还是越来越远？”

选择“探索三”

讨论：随着|k|的增大，反比例函数ykx图象的位置是否相对于坐标原点的距离是越来

图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越近还是越来越远？

以下是对不同的k值进行探讨，将k值分为大于0和小于0这两类：

①当k>0时，可输入不同的k1和k2值，显示直线y=x，并显示直线y=x与反比例函数图象的交点到原点的距离，比较这四段距离的大小，可得到结论：当|k|增大时，反比例函数ykx图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越远。（操作结束后，隐藏直线y=x，并选择“返回”）②当k<0时，可输入不同的k3和k4值，显示直线y=－x，并显示直线y=－x与反比例函数图象的交点到原点的距离，比较这四段距离的大小，可得到结论：当|k|增大时，反比例函数ykx图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越远。（操作结束后，隐藏直线y=－x，并选择“返回”）

综合上述两个结论，可知：随着|k|的增大，反比例函数y原点的距离是越来越远。

五、小结 反比例函数ykxkx图象的位置相对于坐标 的图象关于直线y=±x对称。

kx随着|x|的增大，反比例函数y

图象的位置想对于坐标原点的距离越来越远。