第一篇：几何画板在高中数学教学中的应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》是观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台
《校本课程开发与实施有效性研究》课题组
雷作明
校本课程自编教材
《几何画板》
—观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。
《几何画板》最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。
请注意：上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动态的黑板”。《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。另一方面，利用它的动态性和形象性，还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。
《几何画板》的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在《几何画板》中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容。例如几何问题、部分物理、天文问题等。
用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5-10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。
由此可见，《几何画板》是一个“个性化”的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有老师在教学中使用现代教育技术，也能帮助学生更好地把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。可以认为，《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。目录
第一篇 《几何画板》基本操作
一、画板工具
二、编辑
三、按钮设置
四、显示/隐藏
五、构造
六、变换
七、度量
八、绘图
第二篇 边学边作
示范1.动画制作（线性规划，动点轨迹）示范2.制作太阳、地球、月亮相对运动 示范3.指数函数、对数函数、幂函数图象比较 示范4.二分法求方程的零点（计算器与几何画板比较）示范5.分段函数图象制作(符号函数利用)示范6.某区间（可动）上二次函数的值域
第三篇 深化学习
一、深度迭代
二、圆锥曲线制作
三、旋转生成圆台、圆柱、圆锥 四、一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹
五、投掷硬币模拟试验 第一篇
《几何画板》基本操作
要想用几何画板来开发一些简单但又实用的课件，就得先认识几何画板的工具及命令。
一、画板工具与菜单 1.工具与菜单：
2.点击【文件】：
其中下设：
【新建文件】新建一个几何画板文件(.gsp)【画板课堂链接】
3【打开】打开一个或多个(.gsp或.gss)文件
若勾选“包括工作过程”，则可保留上次工作过程，并对前面工作步骤进行“撤消”或“重复”(在编辑菜单中有此项目)，对画板进行加工，对于初学者可从别人的工作过程中获益。【保存】保存当前文件(.gsp或.gss)【另存为】换名保存或存为图象文件(.wmf)
在此标签中的“文件名：”后输入所存的文件名。若要将画板当前状态存为图像文件，则只须将“保存为元文件[.wmf]”前勾选，按下确认后再次确认，即存有一幅图元文件，可在word等字处理软件中调用。下面就是调用的：波的干涉的画板图元文件：(由于是矢量图形，所以任意缩放均不会出现变花现象)
【关闭】关闭当前文件(.gsp或.gss)【文档选项】
【打印预览】预览当前文件(.gsp或.gss)的打印效果，也可在此处对打印的情况进行调整。在标签中，显示了要打印图形(左方)及有关属性右上、进一步对打印机的设置(如纸张大小、打印质量等)“尺寸”可选“实际尺寸”(按实际尺寸打印)、充满整页(使图象按纸张大小充满整页打印)、“其它”(按给定比例打印)等，可根据需要，打印出合适的图形来。【打印】按前面的设置打印图形。
【退出】全部退出几何画板。
二、【编辑】
点选编辑栏,弹出如下菜单:
1．撤销与重做操作：
(1)U撤消[Ctrl+R] 复原前一次操作(也就是撤消前一次操作)。(2)[R重做[ Ctrl+R] 重复前一次操作（将已撤消的操作重复出来）2．.编辑操作：
(1)[X剪切 Ctrl+X]将选中对象剪切到剪贴板(2)[C复制 Ctrl+C]将选中对象复制到剪贴板
(3)[P粘贴图片 Ctrl+V]将剪贴板上的内容粘贴到当前文件上(4)[E清除 Ctrl+Del]清除全部选中对象等。
三、按钮设置
1.M运动：命令点由这一位置运动到另一位置。
操作：①依次选定起点、终点；②启动下拉菜单中[编辑]→[操作类按钮]→[动画]命令；③运动方式设置：如下图，有急速、快速、中速及慢速等四档。
于是在画板中出现按钮2.，当双击该按钮时，动点就会按要求移动。
A动画：动点按照给定的路径(线段、直线、射线、圆等)运动。
操作：①选定一个动点、一条轨迹；②执行[编辑]→[按钮]→[动画]命令，弹出上图所示对话框，进行动画设置；③一切设定完毕，按下“动画”按钮，在画板中出现按钮，双击此按钮，动点就按给定的轨迹运动起来。3.H隐藏/显示：对选定对象设置“隐藏/显示”按钮。
操作：①选择需要隐藏的对象；②执行[编辑]→[按钮]→[隐藏/显示]命令，画板上出现按钮，双击△隐藏按钮，被选择对象隐藏起来，双击▲显示按钮，显示被隐藏对象。4.Q序列：按选定动作序列设置新的动作按钮。
操作：①依次选择几个需要顺序完成的动作；②执行[编辑]→[按钮]→[序列]命令，在画板中出现按钮，双击此按钮，画板就依次执行设定的动作。5.执行按钮：执行选择按钮的动作。6.选择按钮(1)[A选择全部 Ctrl+/]选择活动窗口中的全部内容。(2)[N选择父母 Ctrl+U]选择父母对象。(3)[H选择子女 Ctrl+D]选择子女对象。7．[O插入] 【链接】
【O插入】可插入各种对象：声音、动画、图形、图像、文字、„。设置标签如图：
从插入目标类型看，理论上可在几何画板中插入Windows资源管理器中存在的各种媒体文件，究竟有哪些媒体能在你的计算机中插入，希望通过实践来摸索(声音是可以的)。
四、显示/隐藏
1．[L线类型]定义所选择的线的类型：粗线、细线、虚线等。
2．[C颜色]定义线或面的颜色。面的颜色只有7种(前一列中的7种);面的颜色共有28种。
3．[Y字号/字形?]、[F字体?]
对选定的文字进行字号、字形与字体的定义。
4．[H隐藏(对象)Ctrl+H]、[S显示所有隐藏]
对选定的对象(点、线、文本、图像等)进行隐藏；将所有隐藏对象全显示出来。
5．[B显示符号 Ctrl+k]、[R更改符号(对象)]
显示所选对象的符号；对所选对象的符号进行更改。6．[T轨迹跟踪(对象)Ctrl+T]、[A动画„]
跟踪对象(点、线、内圆、内多边形等)移动的轨迹；定义动画(与前面编辑中动画定义相比，这里只有一次，且无按钮)。7．
设置显示参数。其设置标签如图所示。
五、构造
构造菜单由五部分够成：构造点、构造线、构造圆或圆弧、内部、轨迹等。
1．构造点：(1)[O目标上的点](2)[I交点 Ctrl+I]构造两相交线(直线或弧线)的交点。
操作：①依次选择两条相交的直线或弧线；②执行该命令或按下[Ctrl+I]键。(3)[M中点 Ctrl+M]构造某一线段的中点。
操作：①选定一条或多条线段；②执行该命令或按下[Ctrl+M]键。2．构造线：
(1)[S线段 Ctrl+L]根据选定的点依次构造线段(直线、射线)，具体由“工具”给定。操作：①选定两点或依次选定几点；执行该命令或按下[Ctrl+L]键。
(2)[D垂直线]过直线(或线段)外(或直线上)一点构造该直线(或线段)的垂直线。操作：①选择一个(或多个)点和一条(或多条)直线；②执行该命令。(3)[P平行线]过直线外一点构造该直线的平行线。
操作：①选择一个点(或多个点)和一条(或多条直线)；②执行该命令。(4)[B角平分线]构造一个角的平分线。
操作：①依次选定三点A、B、C代表∠ABC；②执行该命令，便作出∠ABC的平分线。3．构造弧线：
(1)[T以圆心和一点划圆]以选定的第一点为圆心，过选定的第二点画一圆。(2)[R以圆心和半径划圆]以选定的点为圆心、选定的线段为半径画圆。
(3)[E圆上的弧]根据选定的三点，构造圆上的弧(有一点为圆心，另有一点不一定在圆弧上)(4)[A构造过三点的圆弧(三点均在圆弧上)4．构造轨迹：根据条件，构造点的轨迹(以后在讲)。
5．构造内部：→(三种方式)
根据选定的对象构造内圆(选择对象是圆时)、内多边形(按依次选定的点)、扇形内(按选定的圆弧)、弧弦内6．构造轨迹：按约束条件构造轨迹。
六、变换
(按选定的圆弧)
1．变换方式：(1)执行[变换]→[平移„]后出现定义标签：
可选择“根据标识的距离”平移、根据“直角坐标向量”平移、根据“极坐标向量”平移、根据“标识的向量”平移等多种定义，不同的定义方式，移动的用处不同。(2)执行[变换]→[R旋转„]后，出现如下对话框：
这里，可给定要旋转的角度或选择“根据标识的角度”事先设定进行旋转。(3)执行[变换]→[D缩放„]，出现下图对话框：
这里，你可自己给定缩放的比例，或选择“根据标识的比例”(事先设定)进行缩放。(4)执行[变换]→[F反射]命令，将选择对象按标识的镜面进行反射。
2．标识：(1)
在进行旋转、缩放等操作时，需标识中心。选择一个点，执行[变换]→[C标识中心* Ctrl+F]或用鼠标双击该点，即标识此点为中心，即可进行旋转、缩放等变换。(2)
在进行反射时，需标识镜面。选择一条直线或线段，执行[变换]→[M标识镜面 Ctrl+G]或用鼠标双击该直线或线段，即标识此直线或线段为镜面，此后可进行反射变换。(3)标识从起点到终点的向量。顺次选择两个点，执行[变换]→[V标识向量]，即标识一个从起点到终点的向量，在进行平移变换时，可选择“按标识的向量”进行，则平移的距离大小、方向均与该向量一致。
12(4)标识一个距离。选定一个已测算的长度，执行[变换]→[I标识距离]，即按已测算的长度标识一个距离，在进行平移时，可选择按“标识的距离”平移，其平移的方式就是在X轴或Y轴上按次距离平移一段。(5)标识一个角度。依次选定三个点(如A、B、C)，执行[变换]→[A标识角度]，则标识一个角度∠ABC，在进行旋转变换时，可选择“按标识的角度进行旋转。(6)标识一个比例。依次选定两条线段(如k、j)，执行[变换]→[O标识比例”k/j”]，则标识一个以线段k和线段j的长度之比的比例，在执行缩放变换时，可选择“按标识的比例”进行缩放。
七、度量 测算：
1．：测算两点间、一点和另一条线之间的距离。先选定两点或一个点和另一条线段(直线)，执行[测算]→[D距离]，画板中显示被测算的距离。2．测算线段的长度、线段所在直线或选定的直线的斜率。选定一条线段，执行[测算]→[L长度]，即测出所选线段的长度并显示于画板中；执行[测算]→[S斜率]，即测出所选线段或直线的斜率。
3．测算一个圆的半径、圆周、和面积。选定一个圆，执行[测算]→[R半径]([F圆周]、[A面积])，即测出所选定的圆的半径(圆周、面积)。
4．测算内多边形的面积、周长。选定一个内多边形，执行[测算]→[A面积]([P周长])，即测出内多边形的面积(周长)。5．测定所选角的角度。依次选定三点(A、B、C)，执行命令[测算]→[N角度]，所测角度(∠ABC)便显示于画板中。
6．测定所选弧的弧度或弧长。选定一段圆弧，执行命令[测算]→[G弧度]([H弧长])，所测弧度或弧长显示于画板中。7．中。依次选定两条线段(l1、l2)，执行命令[测算]→[O比例]，则比例l1/l2算出并显示于画板8．画板中。9．程式。10．测算点的坐标。选定一个或多个点，执行命令[测算]→[I坐标]，则测算出各点的坐标并显示于测算圆、直线的方程。选定一个圆或直线，执行[测算]→[Q方程式]，则测算出该圆或直线的方
执行命令[测算]→[C计算„ Ctrl+=]，出现如下对话框：
分离坐标：将一个点的坐标分离为单独的横坐标和纵坐标。根据需要编写一个简单的计算公式或由系统内部提供的函数进行数值计算。
11．将测算出来的一组数固定成表格。
例如：设计一反映折射定律的小课件：
拖动“入射光线”上端的点，可改变入射角，折射角发生相应改变，这时，我们将入射角、折射角、入射角与折射角的比值，入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值固定成表格，通过对比就可得相应的结论。
八、绘图
1．2．3．4．5．
显示或隐藏坐标轴。显示或隐藏格栅。
点的移动只能按照格栅进行而不能连续移动。
选择是按直角坐标还是极坐标方式显示格栅。
按给定坐标画点，可设定所画点的属性是定点还是自由点。设置如下。
6．设定坐标的形式：
直角坐标还是极坐标。
7．给定直线或圆的方程式的形式。第二篇
边学边作
线性规划：
动点轨迹：
太阳、地球、月亮相对运动： 指数函数、对数函数、幂函数图象比较：
二分法求方程的零点：
分段函数图象制作： 某区间（可动）上二次函数的值域： 第三篇
深化学习
【深度迭代】
【操作步骤】先选中圆上起始点，再选中参数n-1,按住shift不放，【变换】出现【深度迭代】(否则只出现【迭代】)，对话框中出现“？”，点圆上第二个点，点击对话框中【迭代】（可连接第一与第二两个点得线段, 选中圆上起始点，再 选中参数n-1,按住shift不放进行迭代得正多边形）。点击参数n，【操作类按钮】，【动画】，范围改成3到18（太大不明显），连续改为【离散】，动画参数n，迭代成功。选择起始点，【操作类按钮】，【动画】，可使圆旋转起来。（注：n-1可变为n+1）
【圆锥曲线制作】
制作定长线段绕轴旋转中点的轨迹是圆：
按椭圆定义制作椭圆：
画双曲线：
画抛物线：
【旋转生成圆台、圆柱、圆锥】 【一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹】
【投掷硬币模拟试验】
第二篇：《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》
在高中数学教学中的应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图
byA象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位
2TO置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象
ͼ1x也相应地变化，如在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲二面角的定义时（如图2），当拖 动点A时，点A所在的半平面也随之转动，A A 图2 ͼ3ͼ4即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时，运用动画Oͼ5和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。再比如在讲椭圆的定义时，可以由
（1）图6yAOxB2Oxy（2）“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如图7，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图7（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|F1F2|，如图7（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|AB|<|F1F2|时）的情形。经过这个过AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）图7（3）程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
第三篇：《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可
y以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如b在2
3A同一个直角坐标系中作出函数y=x、y=x和Ty=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳
O幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数x图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学ͼ1只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲二面角的定义时（如图2），当拖 动A A 点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学
生建
图2 立空间观念和ͼ4ͼ3空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问Oͼ5题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2）中
yy的点B时，可以相应的看到一组斜率为
1BA的平行直线和过定点（0，2）的一组直2线（不包括y轴）。再比如在讲椭圆的OOxx定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如（2）（1）图7，令线段AB的长为“定值”，在线
图6段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图7（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|F1F2|，如图7（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|AB|<|F1F2|时）的情形。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）图7（3）
第四篇：几何画板在高中数学教学中的运用
几何画板在高中数学教学中的运用
[摘要]几何画板的应用为数学实验提供广阔空间，为数学探究提供有力工具，为“以学生为主体”的教学思想的体现提供条件，使个别化教学成为可能，能使抽象的教学内容形象化，有利于知识的获取和保持。
[关键词]数学教学 信息技术 课程整合
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2009）0720148－01
信息技术与高中数学有效整合，首先应该构建一个适合教学的现代信息技术平台，我们选择了“几何画板”、“立体几何画板”和“数学实验室”等辅助教学。“几何画板”提供了数值运算、函数运算、平面图形、函数图象的绘制等强大的功能，并有较大的开放性和二次开发空间。下面结合教学实际谈谈几何画板在高中数学教学中的运用。
一、几何画板的应用为数学实验提供了广阔空间
如：已知集合A＝｛y|y=2x，x∈R｝，B＝｛y|y=x2，x∈R｝，则A∩B的集合个数为。我们知道，此题的关键是确定曲线y=2x与y=x2的交点个数，大多数同学都认为只有一个，但实际上是两个，这两个交点的坐标为（1，1）和（2，4）。为了说明更一般的情况下函数y=ax与y=xa（a>0且a≠1）有几个交点，我用“几何画板4.07”做了一个课件，通过拖动点P改变a的值从而得到不同的交点情况。实验的结果是：当a∈（0，1）时恰有一个交点；当a>1时除了在（2.7，2.8）内某个值时只有一个交点外，其它情况都是两个交点。再通过对这两个函数的定量分析，可知此值为e。如果没有计算机强大的数据处理功能，这里的数学实验是不可想象的。
二、几何画板的应用为数学探究提供了有力工具
“几何画板”能在不断变化的几何图形中得到不变的几何规律，利用它可以做成动态的而且具有数学表达的准确性的课件。如2003年全国高中数学联赛第15题：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a。折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕。当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。这道题是联赛试题的压轴题，从命题者对此题的命制意图看，无疑是一道难题，竞赛结果也充分印证了这一点。学生为什么会觉得这道题难呢？我认为根本原因在于学生对求轨迹的思维定势。在他们看来，要求轨迹就要先求轨迹方程，而要求轨迹方程就要先设轨迹上的任一点的坐标为（x，y），再得到x，y之间的关系。而此题要得到x，y之间的关系比较困难，思维极易受阻，当然就觉得难了。我们不妨用“几何画板4.07”来探求一下所求点的集合。（1）用“点”工具画点O、M，并使|OM|=R；（2）用“作图”菜单中的“以圆心和圆周上的点画圆”命令画以O为圆心，R为半径的圆，并“隐藏点”M；（3）用“点”工具在⊙O内画点A，使｜OA｜＝a；（4）在⊙O上任取一点A′，用“线段”工具作线段AA′、OA′；（5）分别用“作图”菜单中的“线段”、“中点”、“垂线”命令得到线段AA′的中垂线l；（6）选定直线l，并用“显示”菜单中的“追踪直线”命令；（7）同时选定点A和直线l，用“作图”菜单中的“轨迹”命令即可得到点A′的集合。它是以点O、A为焦点，以a为焦距，以R为长轴长的椭圆及其外部。若要用动画显示，则只需在完成以上步骤（1）――（6）后实施步骤；（8）同时选定A′和⊙O，并用“编辑”菜单中的“操作类按钮”和“动画”命令即可。有了此探究过程，我们便可得到本题的比联赛命题组提供的“参考答案”更简单的妙解了。
三、几何画板的应用为“以学生为主体”教学思想的体现提供了条件
“几何画板”可以在少花时间的情况下通过上网查找资料和请教名师，对教学内容中可能遇到的问题得到更多更好地解决。还如2003年全国高中联赛第15题，因为它的结论是“椭圆及其外部”，当我讲完后，接着就有学生问“有没有一个类似的命题，它的结论是双曲线及其外部呢”？我肯定后让学生思考和讨论，并选出代表回答。在学生代表类比原题得出引申题“一张纸上画有半径为R的圆O和圆外一定点A，且OA=a。折叠纸片，使圆周上某一点A´刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕。当A´取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合。我当场利用“几何画板”做了一个课件，并现场进行动画演示。当学生提出结论是“抛物线及其外部”的命题时，我用同样的方法进行处理。这时，又有学生提出，能否用类似的方法画圆锥曲线――椭圆、双曲线和抛物线呢？我说可以，并利用“几何画板”的轨迹功能将课件略加修改后进行演示，收到了很好的效果。由此我们可以看到，“几何画板”为“以学生为主体”的教学思想的体现提供了优越的条件。
四、几何画板的应用使个别化教学成为可能
几何画板”的“显示/隐藏”按钮，能实现对同一教学内容的不同教学设计的切换，也可以实现对同一数学对象的不同结构侧面的切换，还可以实现对同一数学问题的不同解法的切换，从而满足各类学生的需要。例如，在讲解函数图象的作法中的伸缩变换时，为了便于比较，我在同一坐标系中作出y=sinx、y=sin2x、y=sin、y=2sinx和y=sinx的图象。并给每个函数图象都设计了“显示/隐藏”按钮。我在利用y=sinx、y=sin2x和y=sin的图象说明横向伸缩变换时，我首先将y=2sinx和y=sinx的图象隐藏起来；而利用y=2sinx和y=sinx的图象说明纵向伸缩变换时，又先将y=sin2x和y=sin的图象隐藏起来。我们还可以根据不同学生的需要随心所欲地对所作的函数图象进行显示/隐藏操作。
五、几何画板的应用能使抽象的教学内容形象化
如在讲解立体几何中三棱锥体积公式的推导时，我通过一个课件，把已知三棱锥和在此基础上补成一个三棱柱的另外两个三棱锥通过按钮的操作使它们拉开和重叠，并用颜色来说明每一组两个三棱锥同底等高（如图5），从而得到这三个三棱锥体积相等的结论，因而得到三棱锥体积公式。又如函数y=f（|x|）的图象的作法。我们可以先利用“几何画板4.07”作两个具体函数f（x）=（x－2）－6与f（|x|）=（|x|－2）－6的图象，再通过这两个函数图象的关系的分析得到更一般的函数y=f（x）与y=f（|x|）的图象的关系。
六、几何画板的应用有利于知识的获取和保持
实验心理学家赤瑞特拉的实验表明：人们一般能记住自己阅读内容的10%，自己听到内容的20%，自己看到内容的30%，自己听到和看到内容的50%，在交流过程中自己所说内容的70%。利用几何画板提供的外部刺激不是单一的，而是多种感官的综合刺激，这对于知识的获取和保持是非常重要的。
其实实验过程就是一个科学研究的过程、探索真理的过程。因此，数学实验必然能更高效地培养学生的探索能力和科学创新精神，激发学生的好奇心，也更有利于学生的个性发展。
第五篇：几何画板在数学教学中的应用
几何画板在数学教学中的应用
正安县杨兴中学：秦月
【摘要】在信息技术突飞猛进的今天，传统的教学方式已不能适应现代教育教学的要求。尤其是在数学教学这样一个比较抽象的学科教学中显得尤为突出，那么如何利用现代信息技术为现在的数学教学服务呢！几何画板是当今数学教师运用最为广泛的软件之一，本文将从以下几个方面作介绍几何画板在数学教学中的应用：几何画板在一次函数教学中的应用、在轴对称图形教学中的应用、在勾股定理教学中的应用、在求解实际问题中的简单应用。希望能起到抛砖引玉的作用。
【关键词】几何画板 函数 参数 动点
在传统的数学教学中，教师靠的主要是一张嘴、一支粉笔、一块黑板进行教学。直到今天，尤其是在我们落后乡村学校，由于各种各样的原因，这种教学方式依然主宰当前的数学课堂，显然这种方式已经不能适应当前的教育发展大趋势，如何改变这种现况，那就得借助现代信息技术，找一个适合数学教学的平台。纵观现在常用的软件，几何画板具有操作简单、功能强大的特点，是广大数学教师进行现代化数学教学理想工具。在现代的数学教学中已发挥着越来越重要的作用。
几何画板又不同于其他绘图工具，它能动态地保持给定的几何关系，便于学生自行动手在变化的图形中发现其不变的几何规律，从而打破传统纯理论数学教学的局面，成为提倡数学实验，培养学生创新能力的新新工具。把它和数学教学进行有机地整合，能为数学课堂教学营造一种动态的有规律的数学教学新环境。
一、在一次函数教学中的应用
在几何画板中，可以新建参数（即变量），然后在函数中进行引用并绘制函数图像，通过改变参数的值来观察函数图像的变化，这在传统教学中无法办到。
如在讲解一次函数y=kx+b的图像一节中，如何向学生说明函数图像与参数“K”、“b”的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用语言文字表达清楚；在作图时，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上画出多个不同的函数图像，再进行观察比较。整个过程十分繁琐，且费时费力。教师和学生的主要精力放在了重复的计算和作图上，而不是通过观察、比较、讨论而得出结论上。整个过程显得不够直观，重点不突出，学生理解起来也很难。然而在几何画板中，只需改变参数“K”、“b”的值，函数图像便可一目了然。如图：
通过不断改变参数“k”、“b”的值，从而得到不同的函数图像，引导学生观察一次函数图像变化的规律。
①当k>0时，函数值随x的增大而增大；②当k<0时，函数值随x的增大而减小；③当b>0时，函数图像相对于b=0时向上移动；④当b<0时，函数图像相对于b=0时向下移动；⑤当|k|越大时，函数图像变化越快，图像越陡峭；⑥当|k|越小时，函数图像变化越慢，图像越平滑；
经过我们改变一次函数的参数“K”、“b”的值，函数的图像会随之发生变化，这样学生就很容易理解函数图像变化的规律，从而使学生从更深层次理解一次函数的本质。
二、在轴对称图形教学中的应用
几何画板提供了四种“变换”工具，包括平移、旋转、缩放和反射变换。在图形变换的过程中，图形的某些性质始终保持一定的不变性，几何画板能很好地反应出这些特点。
在讲解轴对称图形的教学中，可充分利用几何画板中提供的图形变换功能进行讲解。首先，画一个任意三角形△ABC，然后在适当的位置画一条线段MN，并把双击它即可将其标识为镜面，这时就可以作△ABC关于对称轴MN的轴对称图形。
△ABC和△A′B′C′关于MN轴对称。任意拖动△ABC的顶点、边、对称轴，虽然图形的位置、形状和大小在发生变化，但两个图形始终关于对称轴MN对称。同时可以观察到△ABC与△A′B′C′沿MN对折后完全重合。
三、在勾股定理教学中的应用
几何画板能动态地保持平面图形中给定的几何关系，利用这一特点便于在变化的图形中发现恒定不变的几何规律。如平行、垂直，中点，角平分线等等都能在图形的变化中保持下来，不会因图形的改变而改变，这也许是几何画板中最富有魅力的地方。在平面几何的教学中如果能很好地发挥几何画板中的这些特性，就能为数学教学增辉添色。如在勾股定理的教学中，直角三角形的三边之间有着必然的联系。要弄清楚它们之间的关系，借助于几何画板，则一目了然。
在几何画板里，先画一个直角△ABC，∠C=900。从图右方的度量值可以发现，AB和AC、BC的长度已经知道，观察AB2与AC2+BC2的关系：
如果拖动顶点A（从a图到b图），我们通过改变直角三角形边的长度，从中观察边的平方的关系，发现这样一个定理：在直角三角形中，始终有斜边的平方等于两条直角边的平方和。
再如，在讲解“赵爽弦图”时，传统的教学方法只能教师在黑板上演算过程，而用几何画板更容易发现其中的不变的规律。
首先，在几何画板中构造一个正方形，然后将经过一个顶点作直线，再通过另一相邻的顶点作这条直线的垂线，得到一个交点。用同样的方法，可得出另外几个关键点，再将这几条垂线隐藏，连接对应的点，即可得到下面这个图形。分别度量AB、AF、FB的长度，最后用不同的方法来计算这个正方形的面积：⑴、直接利用正方形的面积公式；⑵、正方形的面积等于其中四个直角三角形和中间的那个小正方形的面积之和；⑶、直接使用几何画板提供的量度面积命令。这三种方法都可得出这个正方形的面积，注意观察得到的结果都是一样的。
再改变正方形的大小及其组成的直角三角形和小正方形的比例，再来观察这三种计算方法得到的结果是否一致，如下图：
四、在求解实际问题中的应用
利用几何画板不但可以给几何问题以准确生动的表达，成为教师教学上的得力“助手”，还可为教师和学生提供几何探索和发现的一个良好环境，动态是几何画板最主要的特点，也正是基于这一点，许多用一般方法不易解决的问题，用它解决起来就要容易得多，现在举例说明。
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C。
（1）求顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边行CDAN是平行四边行；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
分析：这道目，第（1）、（2）问都比较容易解决，第（3）问就是关于动点的，比较抽象，然而运用几何画板后，情况就变得很明显了，给解题帮助很大。
解：（1）因为二次函数经过点A、B、N，且三个点的坐标都已知，可解得二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。
（2）在几何画板中连接CN、AN、AD，如图： 由于已经知道C、M两点的坐标，直线y=kx+d又经过C、M两个点，可得直线的解析式为y=x+3。D点是直线与X轴的交点，可得D点的坐标为（-3，0），又因为A点的坐标为（-1，0），所以AD=2。再看C、N两点，其坐标都已知，且纵坐标都为3，可得CN与X轴平行，那么自然就与AD平行了。再由C、N两点的坐标可得CN=2，因此AD=CN；在四边形CDAN中两边AD、CN平行且相等，所以它是一个平行四边形。
（3）这个问题比较抽象，因为点P是动点。我们现在借助几何画板对这种情况进行分析。因为A、B两点是二次函数与X轴的交点，自然关于函数的对称轴对称，两点到对称轴上任意一点的距离相等。故以对称轴上的点为圆心作圆，经过其中一个交点，必定经过另外一个点，因此考虑一个点就行了。
先在二次函数的对称轴上任找一点P，连接AP，再以P为圆心，AP为半径作圆，不断的拖动P点，看看这个圆是否能与直线CD相切。如下图：
从上图中可以看出：图a中P点比较靠近X轴，所作圆与直线CD没有交点；图b中，P点离X轴较远，所作圆与直线CD相交，有两个交点。试想：图a中的P点向上移动的到达图b所在的位置过程中，中间肯定有一个点让圆与直线CD相切，如图c所示。
那么应该怎样求P点的坐标呢！看右图：
过P点作直线CD的垂线，垂足为K，要想使圆P与直线CD相切，实际上PK这时是圆P的半径。即PK=PA时，圆P与直线CD相切。
在△DEM中三个点的坐标都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一个等腰直角三角形。同样△PMK也是等腰直角三角形，有：
2KP2=MP2 又因为：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。
可解得：PE=264,P点的坐标为（1，264）。
解到这里，此题看似已完，但如果你够细心，把P点再上下拖动，会发现在X轴的下方还在一个点能使点圆P与直线CD相切，如下图：
相同的方法，可解得：PE=(264)。由于P点在X轴的下方，所以P点的坐标为（1，-(264)）。
因此满足这样的点P在对称轴上有两个点： 即P1(1，264)；P2（1，-(264)）。
从本题中不难看出，运用几何画板给我们在解决动点问题中提供了很大的帮助，在纸上或黑板上不容易发现的问题，在几何画板上只要轻轻拖动鼠标就很容易发现，从而有效的避免了漏解情况的发生。
几何画板在数学教学中应用远远不止这些，如画直观图，在黑板上画是很费时的，但在几何画板中可用鼠标一点完成。因此，只要我们熟练掌握几何画板功能，多实践，不断与数学教学相结合，相信就能使它在数学教学中发挥的作用。
【参考文献】
[1] 田延斌.《《几何画板》教学实例》.[2] 张淑俊.《《几何画板》在数学教学中的妙用》.
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