课题.勾股定理

第一篇：课题.勾股定理

课题：

14.1

勾股定理（第1课时）

教材：华东师大版

教师：衡阳市第十六中学 曹冬梅

电话*** 一

教学目标： ㈠知识目标：

⑴掌握勾股定理所揭示的本质，理解直角三角形三边之间的数量关系。（2）能够利用勾股定理熟练求解直角三角形的未知第三边 ㈡能力目标：

⑴培养学生合作探索与自主学习的能力及动手操作能力 ⑵培养学生运用所学知识解决生活中实际问题的能力 ㈢情感目标：

⑴通过介绍数学人文知识激发学生的爱国情感和民族自豪感 ⑵体会自主学习及合作探索的乐趣，增进同学之间的信任度 二

教学重点难点： 重点：

体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.难点：

运用勾股定理解决简单问题.三

教学过程：

㈠

学生动手探索

导入新知

1.画直角边长为3cm,4 cm的一个直角三角形,并量出其斜边长． 2.画直角边长为5cm,12cm 的一个直角三角形,并量出其斜边长。可以发现

345 51213222222

得出结论：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。引入课题。

（二）介绍勾股定理的历史，激发同学们的爱国热情和民族自豪感 1

最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.2

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法.详细证明。

给出了勾股定理的3

西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.5

我国至今可查的有关勾股定理的最早记载比毕达哥拉斯要早发现500多年。

（三）勾股定理的证明 1

利用面积拼凑法来证明

并给出勾股定理的文字表述及对应图形的符号表述。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 解决简单的问题： 试一试：

1)（1）若a,b,c是△ABC的三边,则

abc222即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

abc22222（2）若a,b,c是直角△ABC的三边,则

abc222（3）若a,c分别是直角△DEF的一条直角边和斜边，则另一直角边b有

bca2

3)、填空：

（1）已知：在∆ABC中，∠C=90◦,AC=5,BC=12, 则AB=

,（2）、已知：在∆ABC中，∠A=90◦,AC=40,BC=41, 2 则AB=

，A

B C

B C 3 结论变形 ：

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.2abc222acb

（四）例题讲解

2bca2

2cab22

(进一步强调勾股定理是在直角三角形中).例：为了求出位眼于湖两岸的两点A，B之间的距离，一个观察者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？

（五）练习解题，巩固新知 如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的顶点间加一条小路,则小路的长为()

A．8米

B．9米

C．10米

D．14米 在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹来，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平3 距离为2米，问这里水深多少？

3.课后探索

已知△ABC的两边为3和4，请问你能求出它的第三边吗？若能请求出，若不能，请你给题目加上一个条件，并求出它的第三边．

补充条件是：若△ABC是直角三角形，那第三边是多少？周长又是多少呢?

（六）课堂小结，回顾新知 本节课你有什么收获？

（七）布置作业：

（1）课本５1页，第１、２题；

（2）查阅有关勾股定理的历史资料,关注验证勾股定理的方法.四

教学设计说明： 教材分析：

勾股定理是一个古老而又年轻的定理，其在数学学习中有着至关重要的作用。它是数形结合的代表，是用数学方法来解决几何问题的基础桥梁。在中学数学学习中，也为在后面三角函数的学习及一些图形的计算打下必要的基础。

学生分析：

学生已有了整式乘法，和实数的混合运算的基础。具有良好的协作学习习惯及自主学习能力。对勾股定理的学习有较浓厚的兴趣。

本节课的教学分四步：学生动手探索结论，介绍勾股定理的历史，由面积拼凑法验证结论，应用结论解决实际问题。

2007-12-8

1米 2米

第二篇：勾股定理范文

勾股定理

勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。它是几何学中一颗闪亮的明珠。

所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。

勾股定理、证明、解决实际问题 什么是勾股定理？

又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了

庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也；”“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的发现

相传毕达哥拉斯在在一次散步中，偶然看见了地上由几块三角形瓷砖拼成的一个长方形瓷砖，如图：

毕达哥拉斯灵机一动，用手在上面比划了起来。大家看，以直角三角形各边为正方形的边长，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜边为正方形边长，可拼出一个这样的正方形：

其面积为：直角三角形斜边的平方

其中有四块直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形边长，可拼出一个这样的正方形： 其面积为：底边（高）的平方 其中有两块直角三角形。

因为长方形瓷砖面积不变，所以所有第二种正方形面积和与所有第一种正方形面积和相等。因此毕达哥拉斯得出这样一个结论：在一个直角三角形中，底边的平方+高的平方=斜边的平方。这就是勾股定理。

勾股定理的证明

勾股定理证明方法有很多，下面这种是一位名叫茄菲尔德的美国总统证明的：

勾股定理的运用

说了这么多，也许有人会问“勾股定理有什么用呢？”

其实，勾股定理对我们的生活帮助可不小！尤其是在测量、建筑方面。下面，让我们来解决一下实际问题吧！

有一座山，高500米。在山脚下，有两个登山口，它们之间的距离是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如图），我们从左面的登山口上山，到山顶的距离是多少？

这道题看似与勾股定理没什么关系，但是仔细看图，这是一个直角三角形！

已知直角三角形的斜边是2400米，要求其中一条直角边，我们应先做辅助线，将这座山分成两半：

这样，问题就转化成了求这左边这半直角三角形的斜边。原底边的长度是2400，现在是一半，即为1200，另一条直角边是500。根据勾股定理，底边²+高²=斜边²，计算时，把1200写成12，把500写成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因为前面的1200和500缩小了100倍，所以13要扩大100倍，即1300。所以登山路的长度是1300米。总结

这就是勾股定理的妙用，还不止这些。尤其是测量三个地方之间的距离时，勾股定理是我们的一大帮手。总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

第三篇：勾股定理[推荐]

定义

在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

勾股定理(6张)。

简介

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是：命题1：以已知线段为边，求作一等 边三角形。命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。命题5：等腰三角形两底角相等。他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理指出

直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾

三、股

四、弦五）就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广

1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理

曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页。《周髀算经》 文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊于《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。李国伟：论《周髀算经》“商高曰数之法出于圆方”章。刊于《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。李继闵：商高定理辨证。刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29至41页。

第四篇：课题学习利用拼图验证勾股定理)

拼图与勾股定理教学设计

教学目标：

1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；

2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过利用微机进行丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。

4、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。

教学重点

1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

教学难点

1．利用“直角三角形”，“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的思想方法验证勾股定理。

教学用具

电脑及使用flash软件制作的课件

教学过程

一、创设情境——勾股史话环节

师：前面我们已经学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么呢？（提问学生）

师：你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？你想了解更多的勾股定理的知识吗？请同学们跟我一起点击屏幕上的“开始”按钮，进入勾股史话环节，去了解古今中外人们对勾股定理的研究和设想，感受一下勾股定理的文化内涵。（让学生自主学习）

师：同学们看完之后有什么感想呢？

（提出问题让学生自主思考再提问学生）

师：让我们动起手来利用拼图验证勾股定理吧！

二、尝试拼图，验证定理

（一）“动手拼一拼”环节

师：观察勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2和c2你想到了什么？

（引导学生说出是正方形，为后面的拼图要拼成正方形打下伏笔。）师：我们只要拼成边长分别是多少的正方形即可？

（生会回答出： a,b,c）

师：进入“动手拼一拼”环节，大家利用拼版中提供的全等的直角三角形根据操作说明进行拼图验证勾股定理，现在将鼠标放在三角形上可将三角形任意拖动，拼版右边设置了六个旋转按钮，能使选中的三角形按顺时针或逆时针旋转450或50或10，单击“恢复”按钮可使所有三角形返回原来的位置。同学们先自主完成，若有困难可以点击屏幕上的“小博士”请教。点击“返回”按钮继续根据提示进行拼图即可。俗话说：“敢拼就会赢”，相信只要你敢于动手拼，一定会成为拼图能手！

（让生自己动手去拼图，然后小组交流）

师：有请2组展示他们的拼图图案。哪组还有补充？

师：看来我们同学都是名副其实的拼图高手。

师：那你能继续发挥聪明才智，用你的拼图验证勾股定理吗？每小组选择一种完成，并派代表展示你们小组的验证过程。

（让学生展示他们的验证过程）

第一种：（b－a）2 + 4×ab=c2，a2 ＋ b2 =c

2师：大家知道吗？这就是弦图，它最早是由三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的。弦图还是2002年在北京召开的国际数学大会的会标图案，它标志着中国古代的数学成就，它更像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。这充分显示了中国人对数学的热爱和探索精神。今天，我在你们身上也看到了这种精神。

第二种：（a+b）=c + 4×ab，a ＋ b =c 第三种：（a+b）=ab + c+ab，a ＋ b =c

师：你们知道吗？这种方法也是美国总统加菲尔德的验证方法，这种方法也

被称为总统证法。同学们的聪明劲一点不亚于美国总统。

（二）“五巧板验证”环节

师： 大家都知道七巧板吧，那你知道数学中有五巧板吗？我们能利用五巧板验证勾股定理吗？请同学们跟我一起进入“五巧板验证”环节。点击“步骤”按钮，观察五巧板的制作流程，从而熟悉五巧板的构成。我们尝试一下能否用一副五巧板进行拼图验证勾股定理。请同学们动手拼一拼。

师：通过拼图同学们有何发现？先自主思考然后小组交流一下。

师：这位同学总结的非常好，以直角三角形三边画三个正方形，只要把以斜边为边的正方形制成五巧板，把这五块拼在另两个正方形中就可以验证勾股定理。

师：会用一副五巧板验证勾股定理，那你会用两幅五巧板拼图验证勾股定理吗？同学们先自主完成，有困难的同学可以向小博士请教。我们比一比谁是拼图高手？（让学生展示作品）

师：看来同学们都是心灵手巧的人。

师：通过刚才的展示你能总结一下利用五巧板拼图的要点吗？小组总结。利用五巧板拼成三角形或任意四边形能验证勾股定理吗？ ***2212222

（让学生进一步理解拼图验证勾股定理必须拼成正方形）

三、了解学习其他验证方法

（一）“青朱出入图”环节

师：大家想不想再进一步了解古今中外还有哪些验证方法？

师：进入“青朱出入图”环节。学习一下三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注时，用“出入相补法”证明勾股定理的方法。证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。

（二）“达芬奇验证“环节

师：领略了中国古人的验证方法，再让我们再来了解一下外国人的验证方法。我们都知道达﹒芬奇是一位著名的画家，但很少有人知道他对勾股定理也有研究，让我们一起进入“达芬奇验证“环节，了解一下他是如何验证勾股定理的。

四、总结提升

师： 学习和了解了这些验证勾股定理的方法，你能不能总结一下可分为几种类型？

（小组讨论并展示，师最后总结）

师：可分为两种类型：一是：以赵爽的“弦图”为代表用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，除了勾股定理，还有我们学过的平方差公式和完全平公式。二是：以刘徽的“青朱出入图”为代表的无字证明。以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。

五、分享收获

师：时间过的真快，相信每位同学都满载而归，每组派个代表，将你们组获得的知识与大家一起分享吧！(让学生自己展示)

六、拓展延伸

师：最后请同学们欣赏一颗美丽而神奇的树。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的勾股定理树也称为“毕达哥拉斯树”。它使我们大家深刻的感受到了几何之美。在欣赏之余思考最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等？

七、结束语

勾股定理的发现、验证过程蕴涵了丰富的文化价值，古今中外已经发现了有370多种证明方法，希望同学们课后能通过上网查阅相关资料，一起走进神秘的勾股世界，去了解更多的验证方法。

第五篇：勾股定理复习

《勾股定理复习》说课稿

李小英

一、教学内容与学情分析

1、本课内容在教材、新课标中的地位和作用

本节内容是《勾股定理》的复习。本章是以“勾股定理——平方根——立方根——实数——近似数与有效数字——勾股定理的应用”为线索展开的，沟通勾股定理、平方根、立方根、实数之间的联系，力图体现本套教材“数与代数”和“空间与图形”内容整合设计思路，本节是复习的第一课时，主要内容是勾股定理的复习。

勾股定理是初中数学中的重要内容，它不仅沟通了数与形之间的联系，而且也是解决其他许多数学问题和实际问题的有力工具，历来都是考试的重要知识点。新课标对这一内容明确要求：会运用勾股定理解决简单问题；会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。因此，学生对这一内容的熟练掌握是至关重要的。

2、学生已有的知识基础和学习新知的障

本章新授内容共14课时，其中勾股定理及其应用占4课时，学生对基础知识基本掌握，但可能时间隔的比较长会有所遗忘，不能构建知识体系；另外本章的应用问题非常多，也非常重要，而学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意。因此如何通过本节课帮助学生进一步巩固基础知识，构建知识体系；提高学生分析解决实际问题的能力是本节课所要面临的两大问题。学生解答问题的条理性，书写的规范性也是一个问题。

二、目标的设定

1、目标的设定 根据本课在教材及新课标中的地位和作用，结合学生现有的知识基础将本节课的教学目标设定如下：

（1）知识与技能：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理以及简单应用；（2）过程与方法：通过对本节内容的复习，培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力；感悟数形结合的数学思想。

（3）情感、态度与价值观：通过简单的基础题的训练，提高学生学数学的信心和热情；通过师生间的互动调动学生学习的积极性，让学生体会成功的快乐。

2、重、难点的确立及依据

基于本节课所复习的内容的重要地位，将本节课的重点设定为：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题。由于学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意，故将本节课难点设定为：综合运用知识分析问题和解决问题

三、教法选择：

1、教学结构及教学基本思路

用导学案的形式组织教学，通过学生课前对几道基础题的训练，使学生对勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用有一定的认识；然后再通过对四个例题的分析和总结，使学生体会和解决问题的一般方法和思路；最后在时间允许的情况下，完成部分达标测试题加以巩固和提高。基本思路：①学生分析基础训练题，教师点评和归纳；

②黑板显示典型例题，师生合作共同分析，学生板演解题过程，教师评讲，并及时总结解题思路和方法；

③学生总结本节课所复习的内容以及有何收获； ④学生完成部分达标测试题，教师评讲并及时进行补标。

2、重难点的突破方法： 运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题是本节课的重点，因此，课前完成的训练题复习勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用，通过四个例题的分析和解决突出重点，并突破难点。由于学生的分析问题和解决问题的能力欠缺，所以通过师生合作共同分析解决问题的策略，并及时总结解题方法，进一步突破难点。通过达标测试来消化重点和难点。

3、导入和过渡的设计

由学生的课前对几道基础题的训练来复习勾股定理及其逆定理导入本课，使学生体会到本节课所复习的主要内容，过渡到典型例题的讲解师生合作共同分析解题的方法和技巧，并及时总结。最后通过达标测试进一步巩固所学的知识。各个环节环环相扣，有机的形成一个整体。

4、教辅手段的使用

本节课用导学案的形式组织教学，先做后导，提高教学效果，增大课堂容量。用小黑板展示例题，有利于学生集中精力进行观察分析问题。

5、尊重学生个体差异，因材施教

由于学生间存在较大的差异，因此课堂教学中注重激发学生的学习兴趣和参与热情，鼓励学生大胆发言，尊重学生的差异，让每个学生都有所发展，增强他们学习的兴趣。

四、学法指导

勾股定理学生已经学过，因此通过课前训练让学生自己回忆出勾股定理和勾股定理的逆定理，使学生自己进入复习的角色。学生可能遇到的障碍是如何构建直角三角形然后利用勾股定理解决，先由学生讨论并请个别学生进行分析，教师作适当的补充和说明，突破学生的障碍。

五、作业设计

一组基础题的训练帮助学生回忆和复习知识点；达标测试中的大部分题目是巩固所复习的知识，个别题用来提高学生综合运用知识解决问题的能力。