勾股定理（推荐阅读）

第一篇：勾股定理

勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理．

在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形

+b²=c²两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²，即α*α+b*b=c*c

第二篇：勾股定理范文

勾股定理

勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。它是几何学中一颗闪亮的明珠。

所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。

勾股定理、证明、解决实际问题 什么是勾股定理？

又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了

庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也；”“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的发现

相传毕达哥拉斯在在一次散步中，偶然看见了地上由几块三角形瓷砖拼成的一个长方形瓷砖，如图：

毕达哥拉斯灵机一动，用手在上面比划了起来。大家看，以直角三角形各边为正方形的边长，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜边为正方形边长，可拼出一个这样的正方形：

其面积为：直角三角形斜边的平方

其中有四块直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形边长，可拼出一个这样的正方形： 其面积为：底边（高）的平方 其中有两块直角三角形。

因为长方形瓷砖面积不变，所以所有第二种正方形面积和与所有第一种正方形面积和相等。因此毕达哥拉斯得出这样一个结论：在一个直角三角形中，底边的平方+高的平方=斜边的平方。这就是勾股定理。

勾股定理的证明

勾股定理证明方法有很多，下面这种是一位名叫茄菲尔德的美国总统证明的：

勾股定理的运用

说了这么多，也许有人会问“勾股定理有什么用呢？”

其实，勾股定理对我们的生活帮助可不小！尤其是在测量、建筑方面。下面，让我们来解决一下实际问题吧！

有一座山，高500米。在山脚下，有两个登山口，它们之间的距离是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如图），我们从左面的登山口上山，到山顶的距离是多少？

这道题看似与勾股定理没什么关系，但是仔细看图，这是一个直角三角形！

已知直角三角形的斜边是2400米，要求其中一条直角边，我们应先做辅助线，将这座山分成两半：

这样，问题就转化成了求这左边这半直角三角形的斜边。原底边的长度是2400，现在是一半，即为1200，另一条直角边是500。根据勾股定理，底边²+高²=斜边²，计算时，把1200写成12，把500写成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因为前面的1200和500缩小了100倍，所以13要扩大100倍，即1300。所以登山路的长度是1300米。总结

这就是勾股定理的妙用，还不止这些。尤其是测量三个地方之间的距离时，勾股定理是我们的一大帮手。总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

第三篇：勾股定理[推荐]

定义

在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

勾股定理(6张)。

简介

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是：命题1：以已知线段为边，求作一等 边三角形。命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。命题5：等腰三角形两底角相等。他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理指出

直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾

三、股

四、弦五）就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广

1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理

曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页。《周髀算经》 文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊于《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。李国伟：论《周髀算经》“商高曰数之法出于圆方”章。刊于《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。李继闵：商高定理辨证。刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29至41页。

第四篇：勾股定理复习

《勾股定理复习》说课稿

李小英

一、教学内容与学情分析

1、本课内容在教材、新课标中的地位和作用

本节内容是《勾股定理》的复习。本章是以“勾股定理——平方根——立方根——实数——近似数与有效数字——勾股定理的应用”为线索展开的，沟通勾股定理、平方根、立方根、实数之间的联系，力图体现本套教材“数与代数”和“空间与图形”内容整合设计思路，本节是复习的第一课时，主要内容是勾股定理的复习。

勾股定理是初中数学中的重要内容，它不仅沟通了数与形之间的联系，而且也是解决其他许多数学问题和实际问题的有力工具，历来都是考试的重要知识点。新课标对这一内容明确要求：会运用勾股定理解决简单问题；会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。因此，学生对这一内容的熟练掌握是至关重要的。

2、学生已有的知识基础和学习新知的障

本章新授内容共14课时，其中勾股定理及其应用占4课时，学生对基础知识基本掌握，但可能时间隔的比较长会有所遗忘，不能构建知识体系；另外本章的应用问题非常多，也非常重要，而学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意。因此如何通过本节课帮助学生进一步巩固基础知识，构建知识体系；提高学生分析解决实际问题的能力是本节课所要面临的两大问题。学生解答问题的条理性，书写的规范性也是一个问题。

二、目标的设定

1、目标的设定 根据本课在教材及新课标中的地位和作用，结合学生现有的知识基础将本节课的教学目标设定如下：

（1）知识与技能：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理以及简单应用；（2）过程与方法：通过对本节内容的复习，培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力；感悟数形结合的数学思想。

（3）情感、态度与价值观：通过简单的基础题的训练，提高学生学数学的信心和热情；通过师生间的互动调动学生学习的积极性，让学生体会成功的快乐。

2、重、难点的确立及依据

基于本节课所复习的内容的重要地位，将本节课的重点设定为：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题。由于学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意，故将本节课难点设定为：综合运用知识分析问题和解决问题

三、教法选择：

1、教学结构及教学基本思路

用导学案的形式组织教学，通过学生课前对几道基础题的训练，使学生对勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用有一定的认识；然后再通过对四个例题的分析和总结，使学生体会和解决问题的一般方法和思路；最后在时间允许的情况下，完成部分达标测试题加以巩固和提高。基本思路：①学生分析基础训练题，教师点评和归纳；

②黑板显示典型例题，师生合作共同分析，学生板演解题过程，教师评讲，并及时总结解题思路和方法；

③学生总结本节课所复习的内容以及有何收获； ④学生完成部分达标测试题，教师评讲并及时进行补标。

2、重难点的突破方法： 运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题是本节课的重点，因此，课前完成的训练题复习勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用，通过四个例题的分析和解决突出重点，并突破难点。由于学生的分析问题和解决问题的能力欠缺，所以通过师生合作共同分析解决问题的策略，并及时总结解题方法，进一步突破难点。通过达标测试来消化重点和难点。

3、导入和过渡的设计

由学生的课前对几道基础题的训练来复习勾股定理及其逆定理导入本课，使学生体会到本节课所复习的主要内容，过渡到典型例题的讲解师生合作共同分析解题的方法和技巧，并及时总结。最后通过达标测试进一步巩固所学的知识。各个环节环环相扣，有机的形成一个整体。

4、教辅手段的使用

本节课用导学案的形式组织教学，先做后导，提高教学效果，增大课堂容量。用小黑板展示例题，有利于学生集中精力进行观察分析问题。

5、尊重学生个体差异，因材施教

由于学生间存在较大的差异，因此课堂教学中注重激发学生的学习兴趣和参与热情，鼓励学生大胆发言，尊重学生的差异，让每个学生都有所发展，增强他们学习的兴趣。

四、学法指导

勾股定理学生已经学过，因此通过课前训练让学生自己回忆出勾股定理和勾股定理的逆定理，使学生自己进入复习的角色。学生可能遇到的障碍是如何构建直角三角形然后利用勾股定理解决，先由学生讨论并请个别学生进行分析，教师作适当的补充和说明，突破学生的障碍。

五、作业设计

一组基础题的训练帮助学生回忆和复习知识点；达标测试中的大部分题目是巩固所复习的知识，个别题用来提高学生综合运用知识解决问题的能力。

第五篇：勾股定理

《勾股定理》说课稿

尊敬的各位评委、老师，您们好，今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。

从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。

（二）重点与难点

为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。

二、教学与学法分析

教学方法 叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。

学法指导 为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。

三、教学过程

我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。

首先，情境导入 古韵今风

给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。第二步 追溯历史 解密真相

勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。

从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。巧妙的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转化的思想。观察发现虽然直观，但面积计算更具说服力。将图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积，体现了数形结合的思想。学生会想到用“数格子”的方法，这种方法虽然简单易行，但对于下一步探索一般直角三角形并不适用，具有局限性。因此教师应引导学生利用“割”和“补”的方法求正方形C的面积，为下一步探索复杂图形的面积做铺垫。突破等腰直角三角形的束缚，探索在一般情况下的直角三角形是否也存在这一结论呢？体现了“从特殊到一般”的认知规律。教师给出边长单位长度分别为3、4、5的直角三角形，避免了学生因作图不准确而产生的错误，也为下面 “勾三股四弦五”的提出埋下伏笔。有了上一环节的铺垫，有效地分散了难点。在求正方形C的面积时，学生将展示“割”的方法，“补”的方法，有的学生可能会发现平移的方法，旋转的方法，对于这两种新方法教师应给于表扬，肯定学生的研究成果，培养学生的类比、迁移以及探索问题的能力。

使用几何画板动态演示，使几何与代数之间的关系可视化。当为直角三角形时，改变三边长度三边关系不变，当∠α为锐角或钝角时，三边关系就改变了，进而强调了命题成立的前提条件必须是直角三角形。加深学生对勾股定理理解的同时也拓展了学生的视野。

以上三个环节层层深入步步引导，学生归纳得到命题1，从而培养学生的合情推理能力以及语言表达能力。

感性认识未必是正确的，推理验证证实我们的猜想。第三步 推陈出新 借古鼎新

教材中直接给出“赵爽弦图”的证法对学生的思维是一种禁锢，教师创新使用教材，利用拼图活动解放学生的大脑，让学生发挥自己的聪明才智证明勾股定理。这是教学的难点也是重点，教师应给学生充分的自主探索的时间与空间，让学生的思维在相互讨论中碰撞、在相互学习中完善。教师深入到学生中间，观察学生探究方法接受学生的质疑，对于不同的拼图方案给予肯定。从而体现出“学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者”这一教学理念。学生会发现两种证明方案。

方案1为赵爽弦图，学生讲解论证过程，再现古代数学家的探索方法。方案2为学生自己探索的结果，论证之巧较方案1有异曲同工之妙。整个探索过程，让学生经历由表面到本质，由合情推理到演绎推理的发掘过程，体会数学的严谨性。对比“古”、“今”两种证法，让学生体会“吹尽黄沙始到金”的喜悦，感受到“青出于蓝而胜于蓝”的自豪感。板书勾股定理，进而给出字母表示，培养学生的符号意识。

教师对“勾、股、弦”的含义以及古今中外对勾股定理的研究做一个介绍，使学生感受数学文化，培养民族自豪感和爱国主义精神。利用勾股树动态演示，让学生欣赏数学的精巧、优美。

第四步 取其精华 古为今用

我按照“理解—掌握—运用”的梯度设计了如下三组习题。（1）对应难点，巩固所学；（2）考查重点，深化新知；（3）解决问题，感受应用 第五步 温故反思 任务后延 在课堂接近尾声时，我鼓励学生从“四基”的要求对本节课进行小结。进而总结出一个定理、二个方案、三种思想、四种经验。

然后布置作业，分层作业体现了教育面向全体学生的理念。

四、教学评价

在探究活动中，教师评价、学生自评与互评相结合，从而体现评价主体多元化和评价方式的多样化。

五、设计说明

本节课探究体验贯穿始终，展示交流贯穿始终，习惯养成贯穿始终，情感教育贯穿始终，文化育人贯穿始终。

以上就是我对《勾股定理》这一课的设计说明，有不足之处请评委老师们指正，谢谢大家。