第一篇：高二_不等式的证明讲义
高二数学不等式同步辅导讲义
第1讲 不等式的证明
一、辅导内容
不等式证明的方法与技巧
二、学习指导
不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。
不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。
根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。
三、典型例题
【例1】 设a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b-1。
解题思路分析：
思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。
作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a =(ab123)(b1)2≥0 2
422222
222
b123233)bb 2424思路二：注意到不等式两边式子a+b与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。
因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次项系数为正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0 根据已知条件：a+b+c+abc>0，首先将题目结论改造为1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。 其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，1-c这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。 解题思路分析： 因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。 由ad=bc得：dbcbcbcac A-B=a+d-(b+c)=a bcabaaa1abbcca≥1。 abcabc 22222222222 =abc(ab)(ab)(ac)0 aabc d(bd)(cd)bcbccd A-B=adbc dbc(bd)=ddd下面是判断b-d与c-d的符号，即比较a、c与d的大小：应从条件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出发才挖掘隐藏条件。又：若不慎消去了a，该怎么办呢？ 由ad=bc得：aac bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求证：a+b+c≥(a+b+c)。 解题思路分析： 不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。 11左=(2a42b42c4)[(a4b4)(b4c4)(c4a4)] 21≥(2a2b22b2c22c2a2)a2b2b2c2c2a2 2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。a2b2b2c2c2a21(2a2b22b2c22c2a2)24 441[(a2b2b2c2)(b2c2c2a2)(c2a2a2b2)]21≥(2ab2c2abc22a2bc)ab(abc)2 【例5】（1）a，b，c为正实数，求证： 111111； ≥ abcabbcaca2b2c2abc（2）a，b，c为正实数，求证：≥。bcacab2解题思路分析： （1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。 （2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？ a2 【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥。 2解题思路分析： 思路一；根据x+y和x+y的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。x2y2xy∵ ≤ 22(xy)2a2∴ xy≥ 222222思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径： 途径1：用均值换元法消元： 令 xaam，ym 22 a2aaa2222则 xy(m)(m)2m≥ 2222途径2：代入消元法： 22y=a-x，0 222222222途径3：三角换元法消元： 22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，] 222244222222则 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ] a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥ 222 注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想2是高中数学常用的重要方法。 (ab)2ab(ab)2ab 【例7】 已知a>b>0，求证：。8a28b解题思路分析： 所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，1次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即2执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。 abab2ab(ab)2ab 222ab(ab)(ab)(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2所证不等式可化为 8a28b∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0 (ab)2(ab)21∴ 不等式可化为： 4a4b2(ab)4aab2a即要证 只需证 24b(ab)2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=解题思路分析： 不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。 22x34x8，求证：对任意实数a，b，恒有f(a) 211.2112f(a)2a3482a82a(2)8a282a82a≤ 822a82a8422 令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥ 22232 ∴ g(b)>f(a)2注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。 解题思路分析： 这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。 从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b[f(1)f(1)] 2111∴ |b||f(1)f(1)|≤[|f(1)||f(1)|]≤(11)≤1 222（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。 2当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。思路二：直接利用绝对值不等式 为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时 |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论 ① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。 评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。 同步练习 （一）选择题 1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是（）1111111≤ B、≤≤ ab44ab211111C、≤≤1 D、≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 3、设m不等于n, x=m-mn y=nm-n，则x , y的大小关系为（） A、x>y B、x=y C、y>x D、与m ,n的取植有关 43344、已知a，b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数：x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn，b成等比数列，并给出下列不等式： ① ② 1ab2(x1x2xn)ab()n21nn(x1x2xn)ab2 ③ y1y2ynab ④ y1y2ynnabab2()22那么，其中为真命题的是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M= abc，N=，则MN的大小关系是 4abc4cA、M>N B、M=N C、M 6、已知函数f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（） A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能 111117、若a>0，b>0，x()，y，z，则（） 2abababA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题 9、设a>0，b>0，a≠b，则ab与ab的大小关系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。 11、设n个正数x1，x2，„，xn的算术平均数是x，若a是不等于x的任意实数，并记ab ba22 3aa12D、a+b≥2(a-b-1)bb1p(x1x1)2(x2x)2(xnx)2，q(x1a)2(x2a)2(xna)2，则p与q大小关系是__________。 1t112、当0 22nnn13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则a+b与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。 （三）解答题 14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：ababba。 15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1abc2。bcacab1116、已知a≥0，b≥0，求证：(ab)2(ab)≥aaba。 243317、已知a，b为正数，a+b=2，求证：a+b≤2。 111a8b8c818、若a，b，c为正数，求证：≤。 abca3b3c3112519、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a)(b)≥。 ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。 第2讲 含有绝对值的不等式 一、辅导内容 含有绝对值的不等式证明 二、学习指导 1、绝对值的性质 （1）基本性质：①x∈R时，|x|≥x，|x|≥-x；②|x| （2）运算性质：|ab|=|a||b|，|a|a||，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„+an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。b|b| 222（3）几何意义：|x-a|表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。 2、与绝对值有关的不等式的证明 其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是||a|-|b||≤|a|±|b|这一条性质。 在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。 3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。 三、典型例题 【例1】 设|a|<ε,|a-b|<2ε，求证：|b|<3ε。 解题思路分析： 根据解题的“结论向条件靠拢”的原则，本题主要思考如何用a，a-b表示b，从而利用|a|及|a-b|的条件得到|b|的范围。 ∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε 注：本题还涉及到了化简变形中的整体思想，即将a-b看作一个整体。 实际上根据|a-b|的结构特点，也可用绝对值的基本不等式对其缩小：||a|-|b||≤|a-b|，关键是不等式的左端是选择|a|-|b|，还是|b|-|a|，尽管两个不等式都成立，但由本题的消元要求，应消去a，保留b，故选|b|-|a|≤|a-b|。 ∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε ∴ 两不等式同向相加得|b|<3ε 【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解题思路分析： 因f的对应法则已知，故首先对不等式左边化简：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下来的变形向条件|x-a|<1靠拢，即凑出因式x-a： |f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化简有两种途径：从结论向条件凑，或从条件向结论凑。 途径一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途径二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途径二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||时，涉及到是选择|x-a|≥|x|-|a|，还是|x-a|≥|a|-|x|，应根据与|x|有关的不等号方向选择。本题是要将|a|放大，故选择|x-a|≥|x|-|a|。 |ab||a||b| 【例3】 求证≤。 1|ab|1|a|1|b|解题思路分析： 思路一：三个分式的结构特点完全一致，可构造函数f(x)=2 222 x，利用f(x)的单调性放缩。1xx(x≥0)1x易证f(x)在[0，+∞）上递增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|) ∴ |ab||a||b||a||b|≤ 1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b||a||a||b||b|，1|a||b|1|a|1|a||b|1|b||a||b||a||b| 1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|根据结论要求，采用缩小分母增大分式的放缩技巧 ∵ ∴ ∴ 由不等式传递性，原不等式成立 思路二：用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩。但不等式左边分式的分子、分母均含有|a+b|，必须转化为只有一项含|a+b|的分式。 ∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥ |ab||a||b| 111|ab|111|ab|≤111|a||b||a||b| 1|a||b|下同思路一。 【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求证|ax解题思路分析： 本题考虑去绝对值符号后进行证明。 b|≥2ab。xb思路一：不等号两边均为非负，原不等式(ax)2≥(2ab)2 xb2即 ax22ab≥4ab x22b2∵ ax2≥2a2b22ab x22b2∴ ax2≥4ab x2ab22b|≥0，|ax|≥0，显然成立 ab当a≠0且b≠0时，由a、b>0知，(ax)()>0 x思路二：当a=0，或b=0时，原不等式为|∴ |axbbb||ax|||≥2|ax|||2|ab|2ab xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于解思路分析： （1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。 这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以确定有几个，故采用反证法。 假设|f(x)|< 1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 22211122 222 则 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。 【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求证：| 解题思路分析： 本题用分析法较为方便。 1ab|>1。ab1ab1ab2|1()1(1ab)2(ab)21a2b2a2b20 ab ab(1a2)(1b2)0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立 【例7】 设x，y∈R，x+y≤1，求证：|x+2xy-y|≤2。 解题思路分析： 也许有同学会这样解： |x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放缩过度，不能满足本题要求。 根据条件“平方和”的特征，考虑用三角换元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 则 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222 222 222 22222222)|≤2r≤2 4同步练习 （一）选择题 1、已知函数f(x)=-2x+1对任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一个充分但不必要条件是 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是实数，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2| 3、设a，b C、|a-b|<||a|-|b|| D、|a-b|<|a|+|b| 4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，则 a0a0A、 B、ab0 C、 D、ab0 b0b011且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命题甲；两个实数a,b满足|a-b|<2h；命题乙：两个实数a，b满足|a-1| C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 |ab| 6、不等式≤1成立的充要条件是 |a||b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0 7、设a，b∈R，则|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 8、已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|< （二）填空题 9、若|x+y|=4，则xy最大值是________。 |a||b| 10、若a≠b，a≠0，b≠0，则______|a||b|（填>、≥、<、≤）。|b||a| 11、a，b∈R，则|a+b|-|a-b|与2|b|的大小关系是______________。 12、关于x的不等式|x+2|+|x-1| 22 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23 3（三）解答题 2 13、已知|a+b|<，|a-b|<，求证|a|<。 233cbcb|x1|，|x2|。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意义，且f(0)=f(1)，对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的两个实根x1，x2，求证：2求证：|f(x1)-f(x2)<1。2a2b2|a||b| 16、求证：≥（a，b∈R）。 2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求证：|1+ab|<|a+b|。 18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证： （1）|abc|1； |1abc|（2）a+b+c 19、求证 220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求证方程x+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1。 21、在一条笔直的街道上住着7位小朋友，他们各家的门牌分别为3号，6号，15号，19号，20号，30号，39号，这7位小朋友准备凑在一起玩游戏，问地点选在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定数字相连的两个门牌号码的房子间的距离相等）。 不等式的证明方法 一、比较法 1.求证：x2 + 3 > 3x 2.已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：ama bmb ab 23.已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2作商法1.设a, b R，求证：ab(ab)+ababba 二、综合法 1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证例题：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc 例题：已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：abc(abc) 例题：a , b, cR,求证：1(abc)(***19)92(abc)() abcabbcca 2三、分析法 例题： 求证37 2例题：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(ab)(cd) 例题：用分析法证明下列不等式: (1)求证:571(2)求证:x1 (3)求证:a,b,c∈R,求证:2(+2222x2x3x4(x≥4)ababcab)3(abc)2 3四、换元法 三角换元： 若0≤x≤1，则可令x = sin(0 22)或x = sin2(222若xy1，则可令x = cos , y = sin(02 代数换元：“整体换元”,“均值换元”,例题： 求证：11xx2 2 2例题： 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：11322 xy 2例题：若xy1，求证：|x2xyy|2222 五、放缩法与反证法 abcd2 abdbcacdbdac 1111例题：求证：22222 123n例题：若a, b, c, dR+，求证：1 例题：（用反证法）设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a,不可能同时大于 例题：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 4六、构造法 22222222例题：已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：ab(a1)ba(b1)(a1)(b1)2 2习题精选精解 例题：正数x,y满足x2y1，求1/x1/y的最小值。 例题：设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，求c的取值范围。 例题：已知函数f(x)axbx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。 例题：已知abc，求证：abbccaabbcca 例题： 222222222 例题：设fxxx13，实数a满足xa1，求证：fxfa2a1 2 注：式的最后一步省略了对a 0,a0,a0的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用 a,b同号|ab||a||b|||a||b|||ab|;a,b异号|ab||a||b|||a||b|||ab| 例题：a、b、c(0,)，abc1，求证： 例题：xy1，求证：2xy 例题：已知1≤x＋y≤2，求证： 2222a2b2c213 2 122≤x－xy＋y≤3． 22 高二数学不等式的证明(二) [本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法： 1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。 2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。 3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式 [反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。 4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。 证明格式： (1)当n=n0时，命题成立； (2)假设当n=k时命题成立； 则当n=k+1时，证明出命题也成立。 由(1)(2)知：原命题都成立。 [本周教学例题] 一、换元法： 1.三角换元： 例1.求证： 证一：(综合法) 即： 证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π] 则 ∵-1≤sin2≤1 例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证： 分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。 证一： 证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设 则 例3.若x2+y2≤1，求证： 证：设 则 例4.若x>1，y>1，求证： 证：设 则 例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证： 证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设 则 小结：若0≤x≤1，则可令 若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π) 若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π) 若x≥1，则可令 2.代数换元：，若xR，则可令 例6：证明：若a>0，则 证：设 则 即 ∴原式成立 小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。 二、放缩法： 例7.若a,b,c,dR+，求证： 证：记 ∵a,b,c,dR+ ∴1 例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1 证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0 ∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1 例9.求证： 证： 三.反证法 例10.设0 证：设 则三式相乘： ① 又∵0 同理： 以上三式相乘： ∴原式成立 与①矛盾 例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0 证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，则b+c=-a>0 ∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾 又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0 同理可证：b>0，c>0 四.构造法： 1.构造函数法 例12.已知x>0，求证： 证：构造函数 由 显然 ∴上式>0 ∴f(x)在 上单调递增，∴左边 例13.求证： 证：设 用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1 例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。 证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0 则有两个实根。 例15.求证： 证：设 当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0 综上所述，原式成立。(此法也称判别式法) 例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd 证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数 ∴要证：(xy)≥ac+bd 只需证 即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd 展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd 即：a2d2+b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac+bd 证二：(综合法) 证三：(三角代换法) ∵x2=a2+b2，∴不妨设 y2=c2+d 2五.数学归纳法： 例17.求证：设nN，n≥2，求证： 分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。 证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。 当n=k时，命题成立，即：成立。 当n=k+1时，左边 又 ；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)； 于是可得： 即当n=k+1时，命题也成立； 综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。 [本周参考练习] 证明下列不等式： 1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。 2.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证： 提示：分 3.若x>0，y>0，x+y=1，则 提示：左边 令t=xy，则 在 上单调递减 4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。 5.设x>0，y>0，求证：a 放缩法 6.若a>b>c，则 10.左边 11.求证：高二数学不等式的应用 三.关于不等式的应用： 不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行： 1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。 (求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。 2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。 3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。 四、不等式的应用问题举例： 例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求 最大值。 分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。 解：由可得； 小结：如果本题采用 两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。 ；则出现了错误：“=” 例11.求函数的最小值。 分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。 解： 即f(x)最小值为-1 此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。 例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一个 分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。 解： 当且仅当：4a2+2=3b2+6，即 时取等号，y的最大值为8。 小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号) 例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。 分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。 解：∵x>y>0 ∴x-y>0 又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。 也即；时，取等号。 例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。 分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。 2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。 解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1 当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。 小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得： 。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。 例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。 分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。 解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac 又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0 又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a 小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。 例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。 解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以 当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为 (Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式； (Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。 解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2； (Ⅱ) 因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，Bn>An。 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。 小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。 五、本周参考练习 1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明： 2.如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证： 3.已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证： 4.已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证： 5.已知a，b，c∈R+，求证： 6.已知a>0，求的最值。(答最小值为) 7.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？ (答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。)高二数学练习三 1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是() A.|x|<1 B.x<1 C.|x|>1 D.x<-1或|x|<1 2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值() A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.无法确定 3.已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（） A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 C.没有实数根 D.要依a，b，c的具体取值确定 4.设0 A.C.5.设a,bR+，则A，B的大小关系是（） B.D.A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A 6.若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是（） A.B.C.D.7.设a，b，cR+，则三个数 A.都大于2 B.都小于2 （） C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 8.若a，bR+，满足a+b+3=ab，则 9.设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则的取值范围是_____ 的最大值为_____ 10.使不等式 答案： 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1 都成立的a与b的关系是_____ “登峰”辅导伴你行 专题 1、不等式性质及解不等式讲义 类型 一、不等式性质 基本知识点要求：能熟练应用不等式性质.题型 1、不等式性质考查.例1．若,满足 2 2，则2的取值范围是（不等式性质） b，则2ab的取值范围是的范围.（不等式性质）练习1.若a,b满足2a3and1b4且aa2例2．已知1a3and2b4，求ab,ab,b 练习2.已知1a3and2b4，求ab,ab,a2b的范围.（不等式性质） 2ab4，求2a3b的取值范围.题型 2、不等式性质+待定系数法以及整体构造思想构造题.例3．已知1ab3and 练习3.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围.练习4.已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围.类型 二、解不等式 基本知识点要求：（1）知道不等式、方程及函数之间的关系； （2）知道不等式解与方程的根之间的关系； （3）能用数轴标根法求解不等式.题型 1、解不等式基本知识考查.例4．解不等式：2xx30.练习5．解不等式：xx60.例5．解不等式：22x10.x2 x23x2x10.练习7．20.练习6．解不等式：2xx2x3 总结高次不等式求解步骤：（1）最高次系数化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）数轴标根 法写出答案.题型 2、解含参不等式.例6．解关于x的不等式：(x2)(ax2)0.练习8.关于x的不等式axb0的解集为1,，求 练习9.解关于x的不等式：x(1a)axa0.总结：（自己填写） 会当凌绝顶，一览众山小——成功者的领地.江西省、南昌市、西湖区 联系电话：***徐（数学老师）23axb0的解集.x2 6.3 不等式的证明 （六）教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。 教学重点：熟练运用。 教学过程： 一、复习准备： 1.已知x≥4，求证：x1－ x2 解法：分析法，先移项再平方。推广：求x1－x2的单调性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求证：2a3＋2b3≤4（四种解法：估值配项；柯西不等式；均值不等式；分析法） 二、讲授新课： 1.教学典型习题： ①出示典型习题：（先不给出方法） 22 Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy＋y2yzz2>x＋y＋z 1x2x1 Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证 ≤2≤3（另解：拆分法） 3xx1 Ⅲ.用换元法证明： 已知a＋b＝4,求证：2≤a±ab＋b≤6 ②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习： Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)＋(z)2＝… 22x2x1 Ⅱ.判别式法，设2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。 xx1 Ⅲ.三角换元法，设a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。③再讨论其它解法： Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。2.练习：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函数y＝x＋21的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0两种情况；凑配法）x1③求函数y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x21)2 三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n＋2)>log(n2)(n＋3)2.课堂作业：书P31 2、5题。 （作商比）第二篇：不等式证明方法讲义
第三篇：高二数学不等式的证明
第四篇：专题1、不等式讲义
第五篇：高二数学不等式的证明6
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