2011全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)

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第一篇:2011全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)

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§14不等式的证明

课后练习

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有().(A)一组(B)二组(C)三组(D)四组

(2)在0,1,2,…,50这51个整数中,能同时被2,3,4整除的有().(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个

2.填空题

(1)的个位数分别为_________及_________.45422(2)满足不

________.等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1,则x的值

(3)已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.(4)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.3.求三个正整数x、y、z满足

3.4.在数列4,8,17,77,97,106,125,238中相邻若干个数之和是3的倍数,而不是9的倍数的数组共有多少组?

5.求的整数解.6.求证可被37整除.7.求满足条件的整数x,y的所有可能的值.数学教育网http://

8.已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米,斜边长为n厘米,且l,m,n均为正整数,l为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数.9.如果p、q、、都是整数,并且p>1,q>1,试求p+q的值.课后练习答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.2

23.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.5.分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法...

略解:ab2ab,同理bc2bc,ca2ca;三式相加再除以2即得证.评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.如x1222232

2x2x22x3xn2x1x1x2xn,可在不等式两边同时加上

x2x3xnx1.再如证(a1)(b1)(ac)(bc)256abc(a,b,c0)时,可连续使用基本不3322

3等式.(2)基本不等式有各种变式如(ab

2)2ab

222等.但其本质特征不等式两边的次

数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.6.8888≡8(mod37),∴8888

33332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888

238+7=407,37|407,∴37|N.223+77773333≡(8+7)(mod37),而237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0

及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.2222

29.易知p≠q,不妨设p>q.令

(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,则m>n由此可得不定方程

第二篇:2011全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)

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§14不等式的证明

课后练习

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有().(A)一组(B)二组(C)三组(D)四组

(2)在0,1,2,…,50这51个整数中,能同时被2,3,4整除的有().(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个 2.填空题

(1)的个位数分别为_________及_________.4

5422(2)满足不________.等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1,则x的值(3)已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.(4)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.3.求三个正整数x、y、z满足

23.4.在数列4,8,17,77,97,106,125,238中相邻若干个数之和是3的倍数,而不是9的倍数的数组共有多少组?

5.求的整数解.6.求证可被37整除.7.求满足条件的整数x,y的所有可能的值.数学教育网http://www.xiexiebang.com 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http://www.xiexiebang.com 8.已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米,斜边长为n厘米,且l,m,n均为正整数,l为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数.9.如果p、q、、都是整数,并且p>1,q>1,试求p+q的值.课后练习答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.5.分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法...

略解:ab2ab,同理bc2bc,ca2ca;三式相加再除以2即得证.评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.22xnx12x2如x1x2xn,可在不等式两边同时加上x2x3x1222322x2x3xnx1.再如证(a1)(b1)(ac)(bc)256abc(a,b,c0)时,可连续使用基本不

33223等式.ab2a2b2)(2)基本不等式有各种变式

如(等.但其本质特征不等式两边的次22数学教育网http://www.xiexiebang.com 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http://www.xiexiebang.com 数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.222

229.易知p≠q,不妨设p>q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,则m>n由此可得不定方程数学教育网http://www.xiexiebang.com

第三篇:2011全国高中数学竞赛讲义-抽屉原理(练习题)

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§23抽屉原理

课后练习

1.幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.2.正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.3.把1到10的自然数摆成一个圆圈,证明一定存在在个相邻的数,它们的和数大于17.4.有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,蓝袜6双(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有黑袜或黄袜2双.5.在边长为1的正方形内,任意给定13个点,试证:其中必有4个点,以此4点为顶点的四边开面积不超过

(假定四点在一直线上构成面积为零的四边形).6.在一条笔直的马路旁种树,从起点起,每隔一米种一棵树,如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位),这是为什么?

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1.解 从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:

(兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)

把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原则1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.原则1可看作原则2的物例(m=1)

2.证明把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原则二,至少有三个面涂上相同的颜色.3.证明 如图12-1,设a1,a2,a3,„,a9,a10分别代表不超过10的十个自然数,它们围成一个圈,三个相邻的数的组成是(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a3,a4,a5),„,(a9,a10,a1),(a10,a1,a2)共十组.现把它们看作十个抽屉,每个抽屉的物体数是a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,„a9+a10+a1,a10+a1+a2,由于

(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+„+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)=3(a1+a2+„+a9+a10)=3×(1+2+„+9+10)

根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17.原则

1、原则2可归结到期更一般形式:

原则3把m1+m2+„+mn+k(k≥1)个物体放入n个抽屉里,那么或在第一个抽屉里至少放入m1+1个物体,或在第二个抽屉里至少放入m2+1个物体,„„,或在第n个抽屉里至少放入mn+1个物体.数学教育网http://www.xiexiebang.com 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http://www.xiexiebang.com 证明假定第一个抽屉放入物体的数不超过m1个,第二个抽屉放入物体的数不超过m2个,„„,第n个抽屉放入物体的个数不超过mn,那么放入所有抽屉的物体总数不超过m1+m2+„+mn个,与题设矛盾.4.证明 除可能取出红袜、白袜3双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取出4双,根据原理3,必在黑袜或黄袜、蓝袜里取2双.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.制造抽屉是运用原则的一大关键

首先要指出的是,对于同一问题,常可依据情况,从不同角度设计抽屉,从而导致不同的制造抽屉的方式.5.证明如图12-2把正方形分成四个相同的小正方形.因13=3×4+1,根据原则2,总有4点落在同一个小正方形内(或边界上),以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,也就不超过整个正方形面积的.事实上,由于解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分,所以还可以把正方形按图12-3(此处无图)所示的形式分割.合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上.6.解如图12-4(设挂牌的三棵树依次为A、B、C.AB=a,BC=b,若a、b中有一为偶数,命题得证.否则a、b均为奇数,则AC=a+b为偶数,命题得证.下面我们换一个角度考虑:给每棵树上编上号,于是两棵树之间的距离就是号码差,由于树的号码只能为奇数和偶数两类,那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数,它们的差必为偶数,问题得证.数学教育网http://www.xiexiebang.com 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http://www.xiexiebang.com 后一证明十分巧妙,通过编号码,将两树间距离转化为号码差.这种转化的思想方法是一种非常重要的数学方法

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第四篇:不等式证明练习题

不等式证明练习题

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开,得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式,得

>=19>=18用柯西不等式:(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的,用基本不等式要考虑等号什么时候成立,而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于:

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是:x7x+7,-1-7x-7,x>-2,因此有:-20的解,∵a<0,不等式变形为x2+x-<0,它与不等式x2+x+<0比较系数得:a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是,值域是,函数y=arccosx的定义域是,值域是,函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开,得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式,得

>=19>=18用柯西不等式:(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的,用基本不等式要考虑等号什么时候成立,而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于:

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是:x7x+7,-1-7x-7,x>-2,因此有:-20的解,∵a<0,不等式变形为x2+x-<0,它与不等式x2+x+<0比较系数得:a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是,值域是,函数y=arccosx的定义域是,值域是,函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.

第五篇:不等式证明练习题

11n恒成立,则n的最大值是()abbcac

A.2B.3C.4D.6 1.设abc,nN,且

x22x22. 若x(,1),则函数y有()2x

2A.最小值1B.最大值1C.最大值1D.最小值

13.设P

Q

RP,Q,R的大小顺序是()

A.PQRB.PRQC.QPRD.QRP

4.设不等的两个正数a,b满足abab,则ab的取值范围是()

A.(1,)B.(1,)C.[1,]D.(0,1)

5.设a,b,cR,且abc1,若M(1)(1)(1),则必有()332243431

a1b1c

A.0M11B.M1C.1M8D.M8 88

6.若a,b

R,且ab,M

NM与N的大小关系是A.MNB.MNC.MND.MN

1.若logxy2,则xy的最小值是()

33223A.B.C.22

32.a,b,cR,设S3D.232 abcd,abcbcdcdadab

则下列判断中正确的是()

A.0S1B.1S2C.2S3D.3S

43.若x1,则函数yx116x的最小值为()xx21

A.16B.8C.4D.非上述情况

4.设ba0,且Pab,M N,RQ112ab2

则它们的大小关系是()

A.PQMNRB.QPMNR

C.PMNQRD.PQMRN

二、填空题

1.函数y3x(x0)的值域是.2xx

12.若a,b,cR,且abc1,则a的最大值是

3.已知1a,b,c1,比较abbcca与1的大小关系为4.若a

0,则a1a5.若x,y,z是正数,且满足xyz(xyz)1,则(xy)(yz)的最小值为______。

1.设x0,则函数y33x1的最大值是__________。x

2.比较大小:log34______log67

3.若实数x,y,z满足x2y3za(a为常数),则x2y2z2的最小值为

4.若a,b,c,d是正数,且满足abcd4,用M表示

abc,abd,acd,bcd中的最大者,则M的最小值为__________。

5.若x1,y1,z1,xyz10,且xlgxylgyzlgz10,则xyz_____。

1.若ab0,则a1的最小值是_____________。b(ab)

abbman, , , 按由小到大的顺序排列为baambn2.若ab0,m0,n0,则

223.已知x,y0,且xy1,则xy的最大值等于_____________。

1111,则A与1的大小关系是_____________。210210121022111

125.函数f(x)3x2(x0)的最小值为_____________。x4.设A

三、解答题

1.已知abc1,求证:abc

2221 3

.解不等式x73x40

3.求证:ababab1

.证明:1)1

1.如果关于x的不等式x3x4a的解集不是空集,求参数a的取值范围。

22...abc2

3

3.当n3,nN时,求证:2n2(n1)

4.已知实数a,b,c满足abc,且有abc1,a2b2c21,求证:1ab

1. 设a,b,cR,且abc,求证:abc

2.已知abcd,求证:

3.已知a,b,cR,比较abc与abbcca的大小。3332224 32323231119 abbccaad

.求函数y

5.已知x,y,zR,且xyz8,xyz24

求证:

222444x3,y3,z3 333

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