数学竞赛教案讲义(9)——不等式

第一篇：数学竞赛教案讲义(9)——不等式

第九章 不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0；

（2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；

（4）a>b, c>0ac>bc；

（5）a>b, c<0ac

（6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+an>bn;

（8）a>b>0, n∈N+nanb;（9）a>0, |x|ax>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥

2xy, x+y+z33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；

nn再证性质（8），用反证法，若nanb，由性质（7）得(na)(nb)，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以nanb；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2xy(x一不等式，令3y)2≥0，所以x+y≥2xy，当且仅当x=y时，等号成立，再证另xa,3yb,3zc，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等号当且仅当x=y=z2时成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A

例1 设a, b, 22

2A（A，B>0）与1Bx，y，z，有

c∈R+，试证：对任意实数

ababcbccaxyyzxzx+y+z2.(ab)(bc)(ca)cab

例2 若a

例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-33abc≥a+b2ab.（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.（4）反证法。

例6 设实数a0, a1,„,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,„, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,„, n-1).（5）分类讨论法。

x2y2y2z2z2x20.例7 已知x, y, z∈R，求证：

yzzxxy+

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,„,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求证：1

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：111nn(n2).2321abc.ambmcm

（7）引入参变量法。

b3例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=22的最小值。

xy+

a3

例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：

例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：

（9）利用函数的思想。

例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。

2．几个常用的不等式。

33xyz.21x21y21z2abc≤2。bc1ca1ab1111的最小abbcca（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi，ai2变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则()bi1in(ai)2(bi)2i1i1nn.等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, „, n)。

变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, „, n)，则

aibi1in(ai)2nabii1i1n.i等号成立当且仅当b1=b2=„=bn.（2）平均值不等式：设a1, a2,„,an∈R+，记Hn=

n111a1a2an, Gn=na1a2an, aa2an,QnAn=1n22a12a2an，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤

n算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2=„=an.【证明】

由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记1ka1a2akak1=Gk+1.k1因为a1+a2+„+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2akkkak1Gk1 k12k≥2k2ka1a2ak1Gk12k2kGk12kGk+1，所以a1+a2+„+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤„≤an且b1≤b2≤„≤bn，则对于b1, b2, „, bn的任意排列bi,bi,,bi，有a1bn+a2bn-1+„+anb1≤a1bia2bianbi≤a1b1+a2b2+„+anbn.12n12n【证明】

引理：记

A0=0，Ak=

ai1ki(1kn)，则

abii1ni

(si1nisi1)bi=si(bibi1)snbn（阿贝尔求和法）。

i1n1证法一：因为b1≤b2≤„≤bn，所以bibibi≥b1+b2+„+bk.12k记sk=bibibi-(b1+b2+„+bk)，则sk≥0(k=1, 2, „, n)。

12k所以a1bia2bianbi12k-(a1b1+a2b2+„+anbn)=

aj1nj(bibj)

jsj1nj(ajaj1)+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, „, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：（调整法）考察a1bia2bianbi，若bibn，则存在。

12kj若bibn(j≤n-1)，则将bi与bi互换。

jnj因为

banbnajbi(anbiajbn)(anaj)bn(ajan)bi(anaj)(bnbi)≥0，nnnn所 调整后，和是不减的，接下来若bin1bn1，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

222anana12a21a1+a2+„+an.例15 已知a1, a2,„,an∈R，求证；

a2a3ana1+

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

a2b21．已知0m，则m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

11；②≤a3+b3<1；8411112③22；④ab2；⑤a22abab8．已知0<<，若sinb12ab；⑥

b1lgablga.22(1cos)43，则=____________.99．已知xx1x2xn，p=(x1-x)2+(x2-x)2+„+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+„

n+(xn-a)2, 若ax，则比较大小：p___________q.10．已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.113n.22n22n1112．已知0

四、高考水平训练题

1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.3．若ab,a,bR+，且a3，b________.4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则

a3ab，将3,a,b,从小到大排列为a12b的取值范围是________.a5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6．设函数f(x)=2x3x12(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.7．对x1>x2>0, 1>a>0，记y1x1x2________y1y2.8．已知函数yx1axaxx2,y212，比较大小：1a1a1a1aasinx4的值域是,，则实数a的值为________.1cosx39．设a≤b

五、联赛一试水平训练题

1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-b1=a2c2b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：P_______Q.2已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3．二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________.4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5．已知xi∈R, i=1, 2, „,n且+

22xy2yz的最大值。222xyz11，则x1x2„xn的最小值为__________（这里1xi1inn>1）.6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, „,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则__________.8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则

(ak12nkak1ak2)的最大值为

xyz的最大值为__________.yz1zx1xy19．已知3≤x≤5，求证：2x12x3153x219.2abc310abc.327=1。又0<λ1≤λ2≤„≤λn，求证：10．对于不全相等的正整数a, b, c，求证：

n11．已知ai>0(i=1, 2, „, n)，且

ai1inai(iai)i1i1in(1n)2≤.41n

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：

xyxyyzyzyzxzxzxzxy2.22．设整数x1, x2, „,xn与y1, y2, „, yn满足1y1+y2+„+ym，求证：x1x2xn>y1y2„ym.3．设f(x)=x2+a，记f'(x)f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, „)，M={a∈R|对所有正整数n, |fn(0)| ≤2}，求证：M2,。

414．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1, x2,„,xn，有M(λ)(xk1nk)xxk.nnkk1k1nn1119.5．已知x, y, z∈R，求证：(xy+yz+zx)222(yz)(zx)4(xy)+6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第二篇：数学竞赛教案讲义——数列

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和，求证：Sn<2。n2

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，32(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.n3(a1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx121<4对任一n均成立。（2）寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

第三篇：数学竞赛教案讲义——数列

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第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1 q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。

ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得2n2an1pan1·an+qancq0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111.+…+123234n(n1)(n2)an的前n项和，求证：Sn<2。n2高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2an1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xn

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.23xn21xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.23.数列{xn}满足x1=1，xn=4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1a2006=_____________.1x271x1，若数列{a}满足a=，an+1=f(an)(n∈N+)，则n

132(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1).(n2)3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.nn33(a1)6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。

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7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则1=__________.i0ai5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com n高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11limna1a2ann2________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存在10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

22x0xnx12（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使1≥3.999

x1x2xn均成立；

22x0xnx12（2）寻求这样的一个数列使不等式1<4对任一n均成立。

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 2232an14an2an1an2(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

第四篇：小学生数学竞赛讲义

小学生数学竞赛

上海市小学生竞赛简介



1、小机灵杯 

2、中环杯 

3、走美杯 

4、华罗庚杯 

5、希望杯 小机灵杯

 小机灵杯介绍：

 小机灵杯，是一项难度比较高的思维能力竞赛，从某种程度上来说难度较大，与中环杯相比，题目难度更深，但是灵活性没有中环杯大，中环杯的题目更具独创性，尤其是最后的图形的切拼割，更是考察学生的数学思维能力。小机灵杯的考试的题型来说，相对比较集中不零散，历年题目的类型都不会怎么改变，都是填空题型，不会对图形的切拼割进行考察。小机灵杯的复习主要还是分板块进行，不宜过高的难度，也不能太简单，主要还是要学生自己能够比较好的举一反三。

 竞赛特色：小机灵杯考试从某种程度上来说难度较大，与中环杯相比，题目难度更深，但是灵活性没有中环杯大。

 参加对象：全市各小学三至五年级学生；分三年级、四年级、五年级三个组别。

 赛程时间：初赛：每年12月；决赛：每年2月。

中环杯

 中环杯介绍

中环杯是一项难度较大的中小学数学竞赛，在江浙和上海受到广泛认可。分为初赛和复赛两个阶段，初赛主要考察奥数水平，复赛考察动手能力和思维能力等综合实力。

 参赛人群：小学四年级~中学八年级，爱好科学、数学的学生。

 竞赛时间：区选拔赛： 12月左右（四、五年级）

 市决赛： 3月左右 希望杯

 希望杯

这一邀请赛自1990年以来，已经连续举行了二一届。21年来，主办单位始终坚持比赛面向多数学校、多数学生，从命题、评奖到组织工作的每个环节，都围绕着一个宗旨：激发广大中学生学习的兴趣，培养他们的自信，不断提高他们的能力和素质。希望杯不涉及初

三、高三，不与奥赛重复。其他杯赛介绍

 走美杯：走进美妙的数学花园比赛的简称。

 “走美”始创于2003年（第一届没有笔试，仅仅是活动），现在已举行过7届，“走美”作为数学竞赛中的后起之秀，凭借其新颖的考试形式以及较高的竞赛难度取得了非常迅速的发展，近年来在重点中学选拔中引起了广泛的关注。客观地说“走美”

一、二等奖对小升初作用非常大，三等奖作用不大。

 华罗庚杯：

 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是以“华罗庚”名字命名的数学竞赛。始于1986年是纪念我国著名数学家华罗庚始创的，“华杯”数学竞赛活动至2010年以有16届。

竞赛时间安排及顺序

 小机灵杯

 2月28号左右  走美杯

 3月7号左右  中环杯  3月20日  华杯赛  4月10日  希望杯  4月11日 各杯赛常考问题

 数字问题：包括奇数偶数问题、整除余数问题、质（素)数问题、数列等问题等。 逻辑推理问题：包括数阵问题、说谎问题、逻辑判断问题等。

 应用问题：路程问题、行船问题、过桥问题、盈亏问题、牛吃草问题鸡兔同笼问题等。

 几何问题：数图形个数问题、周长面积问题、立体图形问题、图形切割问题等。 其他问题：时钟问题、定义新运算问题、十进制和二进制问题、抽屉原理、分类讨论问题等。

各杯赛试题分析：

 关于流水问题：  甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点后立即返回，共用了3个小时。已知第三小时比第一小时少行了12千米，那么这条河的水流速度为每小时多少千米？（五年级试题） 逻辑推理问题：

 例：四对夫妻，分为四组进行围棋比赛，设A、B、C、D为男士，E、F、G、H为女士，如果比赛的对决有下面的描述：B对H，A对C的妻子，E对F的丈夫，D对A的妻子，F对H的丈夫。那么B的妻子是谁？（五年级试题） 数字运算问题：

 例：如果6*2=6+7，5*3=5+6+7，4*4=4+5+6+7,…...,那么5*5+6*5+……+10*5等于多少？（四年级试题）

 余数问题：

 例：求4321×3275+2983-19×876除以17的余数（五年级试题） 数列问题：

 例：.小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20能长到32cm。问长到4cm时要用几天？（三年级试题） 应用问题：

 例：.乙丙三组工人参加锯圆木劳动，他们领取的分别是4米、3米和2米长的圆木，要求把这3中木材都锯成长为1米的木断，已知每组工人将一根木材锯成两段所需 

    的时间是6分钟，且甲乙丙3组最后分别锯出了28段、27段、34段，那么工作量最少的的一组共锯木多少分钟？（三年级试题）火车问题：

例：两列火车相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行58千米，两车交错时，甲车上一乘客从看见乙车的车头到车尾一共经过10秒钟，乙车全长为几米？（四年级试题）时钟问题：

例：8点——分的时候，分针与时针第一次形成75°角。（五年级试题）几何问题：

例题：下图是五个同样大小的小长方形（单位：厘米），则一个小长方形的面积是多少平方厘米？（四年级试题）

 总结：各杯赛其实是课本知识的一个延伸和拓展，参加杯赛能够使学生的思维开阔。杯赛题目难度相对较大，但是每种类型的题目都有其比较固定的方法，在学习时需要学生多加积累和总计，这些方法不仅仅用在参加竞赛上面，在以后的学习中很多地方都可以应用。

第五篇：专题1、不等式讲义

“登峰”辅导伴你行

专题

1、不等式性质及解不等式讲义

类型

一、不等式性质

基本知识点要求：能熟练应用不等式性质.题型

1、不等式性质考查.例1．若,满足

2

2，则2的取值范围是（不等式性质）

b，则2ab的取值范围是的范围.（不等式性质）练习1.若a,b满足2a3and1b4且aa2例2．已知1a3and2b4，求ab,ab,b

练习2.已知1a3and2b4，求ab,ab,a2b的范围.（不等式性质）

2ab4，求2a3b的取值范围.题型

2、不等式性质+待定系数法以及整体构造思想构造题.例3．已知1ab3and

练习3.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围.练习4.已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围.类型

二、解不等式

基本知识点要求：（1）知道不等式、方程及函数之间的关系；

（2）知道不等式解与方程的根之间的关系；

（3）能用数轴标根法求解不等式.题型

1、解不等式基本知识考查.例4．解不等式：2xx30.练习5．解不等式：xx60.例5．解不等式：22x10.x2

x23x2x10.练习7．20.练习6．解不等式：2xx2x3

总结高次不等式求解步骤：（1）最高次系数化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）数轴标根

法写出答案.题型

2、解含参不等式.例6．解关于x的不等式：(x2)(ax2)0.练习8.关于x的不等式axb0的解集为1,，求

练习9.解关于x的不等式：x(1a)axa0.总结：（自己填写）

会当凌绝顶，一览众山小——成功者的领地.江西省、南昌市、西湖区

联系电话：***徐（数学老师）23axb0的解集.x2