用数学归纳法证明不等式教案

第一篇：用数学归纳法证明不等式教案

用数学归纳法证明不等式

在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．

例1 已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．

证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．

(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)

(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．

师：现在要证的目标是(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．

+

师：现将命题转化成如何证明不等式

(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．

提问：证明不等式的基本方法有哪些？

(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是

左边=(1＋x)k1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2； 右边=1＋(k＋1)x． +

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k

＋＋1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．

(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)

例2 证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．

证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．

(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．

现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k1＋2＞(k＋1)2成立．

+

师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．

由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．

师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？

师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书)

(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k1＋2=2·2k＋2=2(2k

+＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)

≥k2+2k＋1=(k＋1)2． 所以2k1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根

+据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．

师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证

n=1．扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

例3 求证：当n≥2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k＋1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)

问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：

题的转化途径是：

师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k＋1命

要注意：这里S＇(k)不一定是一项，应根据题目情况确定．

第二篇：用比较法证明不等式·教案

用比较法证明不等式·教案

北京二十五中 冯睿

教学目标

1．理解，掌握比较法证明不等式．

2．培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力． 3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）． 教学重点与难点

求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．

教学过程设计

（一）不等式证明的含义

师：前面我们已经学习了不等式性质．今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明．

什么是不等式证明呢？（板书）1．什么是不等式证明 我们通过具体题说明．

例1 求证：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 这道题含量是什么？（学生迟疑，教师给以启发）

师：同学们可以想一想恒等式证明的含义．

生：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立．

（二）引入比较法证明不等式，理解、认识比较法 师：很好，那么如何证明这个不等式呢？（让学生稍作思考）生：求差．

（学生口述，教师板书）

证明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，则（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）． 师：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比较两个实数大小时曾经用过这种方法．

（学生回答虽较为肤浅，但教师仍应鼓励并进一步引导学生思考）师：在这里用“求差”有什么好处？（学生思考片刻回答）

生：直接证这个不等式有困难，转化为一个一般式子与0比大小比较容易证明．

师：是的，在这里，通过“求差”将不等问题转化为恒等问题；将二个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

这种证明的依据又是什么呢？ 生：依据是a-b＞0

a＞b，所以要证a＞b，只要证a-b＞0．

师：这种证明的理论依据是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0来推a＞b是证明不等式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法不妨称作求差比较法．（板书）2．不等式证明的常用方法（1）比较法（求差比较法）

（三）在求差比较法中，求差后对“差式”适当变形并判断符号的方法 师：下面我们将通过例题来归纳、总结求差比较法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．

例2 求证：x2＋3＞3x．

（学生口述解题过程，教师板书）

师：求差后，进行等价变形时用的什么方法？ 生：配方法．

师：为什么用配方法？

生：因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．

师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法． 例3 已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 师：这道题含义是什么？

生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立． 师：请同学们考虑如何用比较法证明．（学生口述，教师板书）

证明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈R＋，则a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0． 因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．

师：这道题是用什么方法对差式进行等价变形． 生：对差式进行因式分解． 师：这样变形的目的是什么？

生：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．

师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，b∈R+范围内每个因式符号．

师：这道题含义是什么？

生：对任意实数x，不等式都成立．（此时有的学生有异议）

生：我觉得应该考虑左式分式有意义的条件． 师：左式分式有意义的条件是什么？ 生：x∈R．

师：对．这道题忽视分式有意义的条件是不对的．只不过在这道题中条件就是x∈R，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立．请证明这道题．

（学生口述，教师板书）

师：这道题又是如何变形的呢？

生：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号． 师：通过以上例题，用比较法证明不等式可以归纳为哪些步骤． 生：有三步：（1）求差；（2）变形；（3）判断符号． 师：在这些步骤中哪一步最重要． 生：我认为变形最重要． 师：为什么？

生：因为变形适当才能判断差式符号． 师：怎么就叫“变形适当”？

生：通过变形将差式化为容易判断符号的式子．

师：对．求差后，把所得差式进行合理变形，化为容易判断符号的式子是求差比较证明不等式的关键．在变形中，有哪些具体方法呢？

生：变形时可以用配方法、因式分解、通分．

师：当然，除了这些主要的方法，在今后学习中还要不断积累方法．

（学生审题，考虑片刻）

师：这道题问的是两个式子大小关系，如何判断？

生：可以利用求差比较法证明不等式的方法．先求差，再变形，转化为能与0比大小的式子，就可以判断这两个式子的大小关系．

（学生口述，教师板书）

师：先通分，再对分子进行因式分解，现在如何判断符号呢？（让学生先讨论，再回答）生：需要分类讨论？ 师：为什么要分类讨论？

生：因为分子中国式a-b的符号随着a，b大小关系的不同而有不同的符号．

师：如何分类？

生：分为a＞b，a=b，a＜b三类讨论．（学生口述，教师板书）

由于a，b＜0，则a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，进而2ab＞0，a2＋b2＞0，则（a2＋b2）（a＋b）＜0．

师：这道题在判断符号时用分类讨论，分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类？怎么分类？分类时要不重不漏．

（四）小结

在了解不等式证明的含义的基础上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，比较法（或称求差比较法）证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法．要明确求差比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法． 比较法证明不等式除了求差比较法，还有没有其他方式呢？请同学们课下思考研究．

（五）布置作业

用比较法证明下列不等式：

（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））

4．已知a，b∈R＋，求证：aabb≥abba．（此题可用求商比较法证明）课堂教学设计说明

1．本节课是不等式证明的第一节课，因此需要了解不等式证明的含义，在这里是通过具体例题说明的并不需要研究不等式证明的一般定义． 2．例1是一道很简单的题，学生会很自然地使用求差．这时教师引导学生深入思考这种方法正确性的依据以及这种方法中所蕴含的数学思想方法，提高学生对求差比较法的认识，同时使学生感受到浅显、平淡知识中仍有一些值得思索和注意的地方，逐渐培养学生良好思维品质，有利于学生能力提高． 3．例2，例3，例4三道题主要目的在于让学生归纳、总结，求差后对差式变形，并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．例5带有一些综合性，加强学生对求差比较法认识和掌握，并考查对分类讨论思想的认识，例题设计目的在于突出重点，突破难点．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，教师通过设疑、暗示，课堂讨论等多种教学形式和方法，启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

第三篇：用数学归纳法证明不等式教案

用数学归纳法证明不等式·教案

教学目标

1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程． 2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．

3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点

重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．

难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧． 教学过程设计

（一）复习回顾

师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？

生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．

（讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键）

作业中用数学归纳法证明： 2+4+6+8+„+2n=n（n+1）． 如采用下面的证法，对吗？

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+„+2k=k（k+1）． 当n=k+1时，2+4+6+„+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设． 师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）

（二）讲授新课

师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．

（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx． 师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑． 生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k

k（1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 显然，上式中“=”不成立．

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？

生甲：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．

（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）

生乙：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx2-1-kx-x =kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生丙：也可采用综合法的放缩技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．

因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生丁：„„

（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

（板书）将例1的格式完整规范． 当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，于是

左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2； 右边=1+（k+1）x．

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据（1）和（2），原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．（通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的）

师：下面再举例子，来说明合理放缩的重要性．（板书）例2证明：2n+2＞n2，n∈N+．

师：（1）当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．

（2）假设n=k时（k≥1且k∈N）时，不等式成立，即2k+2＞k2． 现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立． 生：利用归纳假设2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2·k2-2．

师：将不等式2k2-2＞（k+1）2，右边展开后得：k2+2k+1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3．

由此不难看出，只需证明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立． 生：因为k2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立．

师：不成立的条件是什么？

生：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立．

师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？ 生：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立．

师：（补充板书）

当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右； 当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右． 因此当n=1，2，3时，不等式成立．（以下请学生板书）

（2）假设当n=k（k≥3且k∈N）时，不等式成立．即2k+2＞k2．因为2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，则k-3≥0，k+1＞0）≥k2+2k+1=（k+1）2．

所以2k+1+2＞（k+1）2．故当n=k+1时，原不等式也成立． 根据（1）和（2），原不等式对于任何n∈N都成立．

师：通过例2可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

（板书）例3求证：当n≥2时，（由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设，教师应重点讲解n=k到n=k+1命题的转化过程）

师：当n=k+1时，不等式的左边表达式是怎样的？ 生：当n=k+1时，k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k

在3k后面还有3k+1、3k+2．最后才为3k+3即3（k+1），所以正确

（在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．）

运算，应针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：

（板书略）

师：设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：

要注意：这里 S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定．

（三）课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．

错误解法：

（2）假设n=k时，不等式成立，即

当n=k+1时，则n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）（2），原不等式对n∈N+都成立．

（四）课后作业

1．课本P121：5，P122：6． 2．证明不等式：

（提示：

（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即

那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立． 根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．）3．对于任意大于1的自然数n，求证：

（提示：

（2）假设n=k时，不等式成立，即

这就是说，n=k+1时，原不等式成立．

根据（1），（2）可知，对任意大于1的自然数n，原不等式都成立．）

用数学归纳法证明①式：（1）当n=3时，①式成立．

（2）假设 n=k（k≥3，k∈N）时，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k·2＞2（2k+1）

=2（k+1）+1+（2k-1）

＞2（k+1）+1（因k≥3，则2k-1≥5＞0）． 这就是说，当n=k+1时，①式也成立．

根据（1）（2）可知，对一切n∈N，n≥3①式都成立，即f

课堂教学设计说明

1．数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完全归纳法．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想．在教学中应使学生明确这两个步骤的关系：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，缺一不可，否则就会导致错误．为了取得良好的教学效果，不妨利用“多米诺骨牌”游戏来加深这两步骤之间的关系的理解，在演示时，应分三种情况：（1）推倒第一张，接着依次倒下直至最后一张；（2）推倒第一张，中途某处停止，最后一张不倒；（3）第一张不倒，后面不管能否推倒，都不会全部倒下．通过具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．

2．用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明． 3．要注意：在证明的第二步中，必须利用“n=k时命题成立”这一归纳假设，并且由f（k）到 f（k+1），并不总是仅增加一项，如例2，4．要教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答者解答问题的整个过程上，培养学生构作问题解答过程的框图，因为用文字、符号或图表简明地表达解答过程或结果的能力，叙述表达自己解题思路的能力，这也是问题解答所必需的．

第四篇：用均值不等式证明不等式

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a1、a2、、an 是 n 个 正数，则不等式H(a)G(a)A(a)Q(a)称为均值不等式[1]．其中

H(a)

n

1a

11a

2

1an，G(a)

a1a2a1aan，A(n)

a1a2an

n

22，2

Q(n)

a1a2an

n

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a1、a2、值．

例1设a1、a2、…、an均为正，记

(n)n（a1a2an

n



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n（a1a2an

n



n

a1a2an)(n1)（a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，n1

(a1a2an1)n1，有 将G(a)A(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

n

(a1a2an)n，即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题． 息找a1、a2、例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，所以

I6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用G(a)A(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

I54xyz54（xyz

2)2(xyz)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)A(a)，便得

I54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3，2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a1、a2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2

x

2

x

22

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由G(a)A(a)，得

x2

x

x

2

x

22

x

2

x

22，又

x2

x

1111

(x12x4)2x6，即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [M]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[M]．上海：上海科学技术出版社，1987．38-49

第五篇：不等式·用综合法证明不等式

不等式·用综合法证明不等式

教学目标

1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式．

2．了解综合法的意义．

3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力．

教学重点和难点

用综合法证明定理及推论的教学． 教学过程设计

（一）新课引入

师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．请完成以下练习．

1．证明：x2＋2＞2x（x为实数）．

2．请问：x2＋1与2x的大小关系是什么？并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上）1．证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

证法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x．

师：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a≥R）．在证法上有区别吗？请大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

证法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 证法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，则x2+1≥2x． ② 师：同学们得到的结论几乎是一致的，是x2+1≥2x．主要证法已列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？

生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是„„

师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的．

生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明．

师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法．

对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的． 今天我们一起研究如何用综合法证明不等式（板书课题）．

（二）用综合法证明不等式 1．综合法

师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推导

师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左边展开，得a2-2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab．这就是课本P8中介绍的定理1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法加以证明的．

（把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处需实物投影仪）

证明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

当a≠b时，（a-b）2＞0；当a=b时，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊情况应予以重视．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？ 生：是a=b．

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理1表述为：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．（板书）

师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构．

生：公式a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和．

师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的次数降下来？

师：大家都同意他的作法吗？有什么不同意见吗？

师：同学们思考问题已越来越严谨了，的确，从学生甲的方法应得到学生乙的结论，学生丙提到的条件是不可缺少的．由于有这个条件，的情况单独提出来，做为定理1的推论．

“＝”号）．（板书）

生丁：我与学生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab对任意

师：学生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推论，这个推论十 的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数． 3．定理的初步应用

师：看到这个问题，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以证明．

师：若想定理帮忙，首先要看是否符合定理的条件．

师：再看是否符合定理的结构．

师：实际上，我们是用定理1的推论进行证明的．

（教师把证明过程板演到黑板上）师：使用定理时，应特别注意：等号何时成立，不过这只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推广

师：我们已研究得到两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这个结论可以推广到3，4，„，n（n∈N+）个正数，在中学只要掌握到三个正数的相应结论．请问应是什么？

生：应该是：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 师：用符号语言应如何表述？请写到黑板上．（学生书写在黑板上）

师：如何证明呢？ 生：„„

使式子看起来较为复杂，能否做适当变形使之简化呢？

师：想得好，它有条件吗？ 生：有．同样是a，b，c∈R+．

师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，想出多少说多少．

生甲：我觉得证a3＋b3＋c3≥3abc更容易点．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由条件只要证出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易证出．

师：虽然他们还没能把命题证出，但从他们的发言中我们得到了一点启发：三次的问题转化为二次的解决． 生丁：我证出来了．（学生口述，教师板书）

证明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，则a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

师：证得漂亮，你是怎么想出来的？

生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理1及推论．证题时我又借鉴了他们俩的经验，对a3，b3，c3的降次转化工作不是一个、成．

师：他还有两处处理得很好．一处是：a2-ab＋b2≥ab；另一处是对三式相加后的式子的重组．很明显，他是在努力创设条件、充分利用定理证题．这个问题是用什么方法加以证明的？

生：综合法．

师：刚才的证明过程不仅帮我们把问题得以解决，而且还帮助我们加深了对综合法的认识，从中可体会到应如何使用综合法证题． 证明此题还有其它办法吗？ 生：我是用求差比较法证的．（学生口述，教师板书）证明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，则a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

进而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

师：正确，而且思路很清晰．这个思路你是怎么想出来的？

生：我是一看到这个题目就想用比较法的．我本以为作差后，能因式分解，再用条件或定理1，就可断定式子的符号，题目也就证出来了，但我第一次两两分组就不成功，没分解出来．再试时，我看a3，b3，c3，3abc这四项都是3次的，就先凑出与之齐次的（a＋b）3再配平，结果就出来了．

师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的． 其实，课本中采用的就是这种证法．

这同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条件．从刚才的证明过程看，“=”出现在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，这是显然有：当且仅当a=b，b=c，c=a同时成立，即a=b=c时等号成立． 至此，我们已得到了定理2及其推论．（教师板书）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）．

时取“=”号）．

师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的．它的证明方法远不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试．

（三）小结

（引导学生归纳总结）

1．已学过的不等式证明方法：比较法、综合法． 2．用综合法证明不等式的依据是什么？（1）已知条件和不等式性质；（2）基本不等式：

“＝”号）．

3．综合法与比较法的内在联系．

本节课的课前两个练习与两个定理的证明都是既用了比较法，又用了综合法，这引起了我们对二者内在联系的思考． 由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

显然，对于需用基本不等式证明的问题，直接用结论要比再从头证一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的条件．

只有a2＋b2≥2ab是对任意实数a，b都成立，其余都要求在正数范围内．（2）定理中“=”号成立的条件．

（四）布置作业

《高级中学课本·代数·下册（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11练习1，2．

补充题：

（1）已知：a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

课堂教学设计说明

这节课是本章（第五章、不等式）的重点．在这堂课中不仅要讲授证明不等式的一种方法——综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等式定理及推论．在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们时又可采用综合法．因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想到，教师点拨起来也并不困难．而后顺着学生用综合法的需要，介绍了4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如何用综合法证明不等式．

从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而不是只支离破碎地记住了一些名词和公式． 表面上看，本节练习不够，但实际上，定理2及推论的证明正是最好的练习．构思这个证明，起点要高、思维跨度要大．这正是锻炼学生思维，培养学生推理论证能力的绝对机会．我们认为：最好的习题就是定理本身的推证过程．这里又是本节的一个难点，在此花点功夫、适当展开是应当的；同时学生对用综合法证明不等式会有更深刻的体验．因此讲透它比做几个练习更有意义． 对于几何证法、三角证法等基本不等式的证明方法，由于担心会冲淡学生对综合法的认识，在本节中并未提及．

在课堂教学过程中，学生有可能直接证出定理2的推论，这也无妨．一般来讲，它同样是要用到两项的结论（定理1或其推论）去证的．课上应就学生的实际，顺其自然．