第一篇:用导数证明不等式
用导数证明不等式
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边,然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导,判断这个函数这各个区间的单调性,然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导,f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1,+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+
12..证明:a-a^2>0其中0
F(a)=a-a^
2F'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此,F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明:不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时,sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数,那么它一定<在0点的值0,求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数,它在0点有最大值0,知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时,它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数,它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系,令x=0时,x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0sinx
x²/2-cosx-1是减函数,在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数,在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0,X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x²x∈
则f'(x)=1-2x
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得,最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n为正整数,且1
求证(1+m)^n>(1+n)^m
方法一:利用均值不等式
对于m+1个数,其中m个(2+m),1个1,它们的算术平均数大于几何平均数,即
/(m+1)>^
即1+m>(2+m)^
即(1+m)^(1/m)>^
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
方法二:导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f'(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2
为了考察f'(x)的正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
令A*B*C=K的3次方
求证(1+A)的-(1/2)次方加(1+B)的-(1/2)次方加(1+C)的-(1/2)次方>=(1+K)的-(1/2)次方
化成函数,f(x),求导,可知其单调区间,然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做,但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
对A求导,f'(A,B)A=0,可得一个方程,解出即得。
第二篇:导数证明不等式
导数证明不等式
一、当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
f(x)=x-ln(x+1)
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
x>1,所以f'(x)>0,增函数
所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0
f(x)>0
所以x>0时,x>ln(x+1)
二、导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。
例1.已知x∈(0,),求证:sinx
第三篇:用导数证明不等式举例
用导数证明不等式举例
函数类不等式证明的通法可概括为:证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0),进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x),然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。例1 已知x(0,
2),求证:sinxxtanx
分析:欲证sinxxtanx,只需证函数f(x)sinxx和g(x)xtanx在(0,
2)上单调
递减即可。证明:
令f(x)sinxx,其中x(0,
2)
则f/
(x)cosx1,而x(0,
2)cosx1cosx10
所以f(x)sinxx在(0,
2)上单调递减,即f(x)sinxxf(0)0
所以sinxx;
令g(x)xtanx,其中x(0,
2)
则g/(x)1
1cos2xtan2
x0,所以g(x)xtanx在(0,2)上单调递减,即g(x)xtanxg(0)0 所以xtanx。
综上所述,sinxxtanx
评注:证明函数类不等式时,构造辅助函数比较容易,只需将不等式的其中一边变为0,然后另一边的函数作为辅助函数,并利用导数证明其单调性或其最值,进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性,本例也可以构造辅助函数为在(0,
2)上是单调递增的函数(如:
利用h(x)xsinx在(0,
2)上是单调递增来证明不等式sinxx),另外不等式证明时,区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值(比如此例中的f(0)也可以不是0,而是便于放大的正数也可以)。因此例可变式为证明如下不等式问题: 已知x(0,
2),求证:sinx1xtanx1
证明这个变式题可采用两种方法:
第一种证法:运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大,即证明不等式
sinxx以后,根据sinx1sinxx来证明不等式sinx1x;
第二种证法:直接构造辅助函数f(x)sinx1x和g(x)xtanx1,其中x(0,
2)
然后证明各自的单调性后再放缩或放大(如:f(x)sinx1xf(0)10)例2 求证:ln(x1)x
分析:令f(x)ln(x1)x,经过求导易知,f(x)在其定义域(1,)上不单调,但可以利用最值证明不等式。证明:令f(x)ln(x1)x 函数f(x)的定义域是(1,),f'(x)=
1x
1.令f'(x)=0,解得x=0,当-1
练习:求证:1
x1x31,其中x1,.例3:当x0时,证明不等式ex
1x
x2
成立。
证明:设fxex1x
1x2,则f'xex2
1x.令g(x)ex
1x,则g'(x)ex
1.当x0时,g'xex
10.g(x)在0,上单调递增,而g(0)0.gxg(0)0,g(x)0在0,上恒成立,即f'(x)0在0,恒成立。f(x)在0,上单调递增,又f(0)0,ex1x
x0,即x0时,ex1x
x成立。利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也成为高考的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点函数值与0的关系,其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式。21.(本题满分12分)
已知函数f(x)
(1x)
n
aln(x1),其中nN*,a为常数.(I)当n2时,求函数f(x)的极值;
(II)当a1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x1.【标准答案】
(Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为x|x1,当n2时,f(x)1
(1x)
aln(x1),所以f(x)2a(1x)2(1x)3.(1)当a0时,由f(x)
0得x11
1,x211,此时f(x)
a(xx1)(xx2)
(1x)3
.
当x(1,x1)时,f(x)0,f(x)单调递减; 当x(x1,)时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)当a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n2时,当a0时,f(x)在x1
f1a1ln2
2a.当a0时,f(x)无极值.(Ⅱ)
证法二:当a1时,f(x)
(1x)n
ln(x1).
当x2时,对任意的正整数n,恒有
(1x)n
1,故只需证明1ln(x1)≤x1. 令h(x)x1(1lnx(1))x
2xln,(x2,,则h(x)1
1x2
x1
x1,当x2时,h(x)≥0,故h(x)在2,上单调递增,因此当x2时,h(x)h(2)0,即1ln(x1)x1成立. 故当x2时,有1
(1x)n
ln(x1)x1.
即f(x)x1.
第四篇:应用导数证明不等式
应用导数证明不等式
常泽武指导教师:任天胜
(河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000)
摘要: 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用,证明方法很多,本文以函数的观点来认识不等式,以导数为工具来证明不等式。
关键字: 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式
中图分类号: O13
Application derivative to testify inequality
ChangZeWu teachers: RenTianSheng
(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula
1.利用微分中值定理来证明不等式
在数学分析中,我们学到了拉格朗日中值定理,其内容为:
定理1.如果函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b上可导,则至少存在一点a,b,使得f'()
拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具,我们可以根据以下两种方法来证明。
(1)首先,分析不等式通过变形,将其特殊化。其次,选取合适的函数和范围。第三,利用拉格朗日中值定理。最后,在根据函数的单调性和最大值和最小值。
(2)我们可根据其两种等价表述方式
①f(b)f(a)f'(a(ba))(ba),01
②fahfaf'ahh,01
我们可以的范围来证明不等式。f(b)f(a)。ba
11(x0)例1.1证明不等式ln(1)x1x
证明第一步变形1 ln(1)ln(1x)ln(x)x
第二步选取合适的函数和范围
令f(x)lnttx,1x
第三步应用拉格朗日中值定理
存在x,1x使得f'()f(1x)f(x)(1x)(x)
即ln(1x)ln(x)1
而 <1+x 1 1x
1x1)而0x 即ln(x1xln(1x)ln(x)
例 1.2证明:h>-1且h0都有不等式成立:
hln(1h)h 1h
证明:令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理,0,1使得
ln(1h)f(h)f(0)f'(h)h
当h>0时有
1h11h,当1h0时有
11h1h0,即h.1h1hh;1h1h1hh.1h1h
2.利用函数单调性证明不等式
我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法:一种是判断它们差的正负,另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。
定理:设函数f(x)在a,b上连续,在a,b可导,那么
(1)若在a,b内f'(x)0则f(x)在a,b内单调递增。
(2)若在a,b内f'(x)0则f(x)在a,b内单调递减。
使用定理:要证明区间a,b上的不等式f(x)g(x),只需令F(x)f(x)。g使在(x)a,b上F'(x)>0(F'(x)<0)且F(a)=0或(F(b)=0)例2.1 设x0证明不等式ln(1x)xex
证明:令F(x)ln(1x)xex(x>0)
显然F(0)0
1exx21xx(x>0)F'(x)exex1x(1x)e
现在来证明exx210
令f(x)exx21显然f(0)0
当x0时f'(x)ex2x0
于是得f(x)在x0上递增
故对x0有f(x)f(0)f(x)0
而(1x)ex0
所以F'(x)0故F(x)递增
又因为F(0)0
所以F(x)0
所以ln(1x)xex成立
3.利用函数的最大值和最小值证明不等式
当等式中含有“=”号时,不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)) g(x)f(x)0(或g(x)f(x)0),亦即等价于函数G(x)g(x)f(x)有最小值或F(x)f(x)g(有最大值。x)
证明思路:由待正不等式建立函数,通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值,在求出最大值或最小值,从而证明不等式。
1例3.1证明若p>1,则对于0,1中的任意x有p1xp(1x)p1 2
证明:构造函数f(x)xp(1x)p(0x1)
则有f'(x)pxp1p(1x)p1p(xp1(1x)p1)
令f'(x)0,可得xp1(1x)p1,于是有x1x,从而求得x1。由于2
函数f(x)在闭区间0,1上连续,因而在闭区间0,1上有最小值和最大值。
由于函数f(x)内只有一个驻点,没有不可导点,又函数f(x)在驻点x1和2
111p1)p1,f(0)f(1),区间端点(x0和x1)的函数值为f())p(1所以2222
1f(x)在0,1的最小值为p1,最大值为1,从而对于0,1中的任意x有2
11f(x)1xp(1x)p1。,既有p1p122
4.利用函数的泰勒展式证明不等式
若函数f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶的各阶导数,又在x0处有n阶导数f(n)(x0),则有展式: f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)f(x)f(x0)1!2!n!
在泰勒公式中,取x0=0,变为麦克劳林公式
f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)Rn(x)1!2!n!
在上述公式中若Rn(x)0(或0)则可得
f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x),1!2!n!
f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)(x)(x)。或f(x)f(0)1!2!n!
带有拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化,他是一个定量估计式,该公式在不等式证明和微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有广泛的应用。
用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简,其中函数用此公式,在把公式右边放大或缩小得到所证不等式。
例4.1若函数f(x)满足:(1)在区间a,b上有二阶导函数f''(x),(2)
f'(a)f'(b)0,则在区间a,b内至少存在一点c,使
f''(c)4f(b)f(a)。2(ba)
证明:由f(x)在xa和xb处的泰勒公式,并利用f'(a)f'(b)0,得f(x)f(a)f''()(xa)2
2!f''()f(x)f(b)(xb)2,于是2!
abf''()(ba)2abf()f(a)(a),22!42
abf''()(ba)2abf()f(b)(a),22!42
f''()f''()(ba)2
相减,得f(b)-f(a)=,24
4f(b)f(a)1(ba)2
即f''()f(),(ba)224
当f''()f''()时,记c否则记c=,那么
f''(c)4f(b)f(a)(abc)(ba)2
参 考 文 献
《数学分析》上册,高等教育出版社,1990.1郑英元,毛羽辉,宋国栋编,2赵焕光,林长胜编《数学分析》上册,四川大学出版社,2006。3欧阳光中,姚允龙,周渊编《数学分析》上册,复旦大学出版社,2004.4华东师范大学数学系编《数学分析》上册,第三版,高等教育出版社2001.
第五篇:利用导数证明不等式
利用导数证明不等式
例1.已知x>0,求证:x>ln(1+x)分析:设f(x)=x-lnx。x[0,+。考虑到f(0)=0,要证不等式变为:x>0时,f(x)>f(0),这只要证明:
f(x)在区间[0,)是增函数。
证明:令:f(x)=x-lnx,容易看出,f(x)在区间[0,)上可导。
且limf(x)0f(0)x0 由f'(x)11x 可得:当x(0,)时,f'(x)f(0)0 x1x1 即x-lnx>0,所以:x>0时,x>lnx 评注:要证明一个一元函数组成的不等式成立,首先根据题意构造出一个
函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利 用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要 证的不等式。
例2:当x0,时,证明不等式sinxx成立。证明:设f(x)sinxx,则f'(x)cosx1.∵x(0,),∴f'(x)0.∴f(x)sinxx在x(0,)内单调递减,而f(0)0.∴f(x)sinxxf(0)0, 故当x(0,)时,sinxx成立。
点评:一般地,证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)f(x)g(x),如果F'(x)0,,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x)。
x练习:1.当x0时,证明不等式e1x12x成立。2证明:设fxe1xx12x,则f'xex1x.2xxx令g(x)e1x,则g'(x)e1.当x0时,g'xe10.g(x)在0,上单调递增,而g(0)0.gxg(0)0,g(x)0在0,上恒成立,f(x)在即f'(x)0在0,恒成立。0,上单调递增,又f(0)0,ex1x1x20,即x0时,ex222.证明:当x1时,有ln(x1)lnxln(x2).1x12x成立。2分析 只要把要证的不等式变形为
ln(x1)ln(x2),然后把x相对固定看作常数,并选取辅助函
lnxln(x1)数f(x)ln(x1).则只要证明f(x)在(0,)是单调减函数即可.lnx证明: 作辅助函数f(x)ln(x1)(x1)lnxlnxln(x1)xlnx(x1)ln(x1)于是有f(x)x12x
lnxx(x1)ln2x因为 1xx1, 故0lnxln(x1)所以 xlnx(x1)ln(x1)
(1,)因而在内恒有f'(x)0,所以f(x)在区间(1,)内严格递减.又因为1x1x,可知f(x)f(x1)即 ln(x1)ln(x2)lnxln(x1)所以 ln2(x1)lnxln(x2).利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也成为高考的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点函数值与0的关系,其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式。
x2例3.证明不等式xln(1x)x,其中x0.2x2分析 因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差ln(1x)(x),则发现作差以后
21x)求导得不容易化简.如果对ln(1,这样就能对它进行比较.1xx2证明: 先证 xln(1x)
2x2设 f(x)ln(1x)(x)(x0)
21x210)00 f(x)则 f(0)ln(1x1x1x' x0 即 1x0 x20
x2 f(x)0 ,即在(0,)上f(x)单调递增
1xx2 f(x)f(0)0 ln(1x)x
21x)x;令 g(x)ln(1x)x 再证 ln(则 g(0)0 g(x)11 1x1ln(1x)x x0 1 g(x)0 1xx2 xln(1x)x 练习:3(2001年全国卷理20)已知i,m,n是正整数,且1imn
证明:(1m)n(1n)m
分析:要证(1m)n(1n)m成立,只要证
ln(1m)nln(1n)m
即要证11ln(1m)ln(1n)成立。因为m 11ln(1m)ln(1n); mn从而:(1m)n(1n)m。 评注:这类非明显一元函数式的不等式证明问题,首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题,只要将这个函数式找到了,通过设函数,求导判断它的单调性,就可以解决不等式证明问题。难点在于找这个一元函数式,这就是“构造函数法”,通过这类数学方法的练习,对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的,这也是进一步学习高等数学所需要的。