不等式第二次课讲义

第一篇：不等式第二次课讲义

不等式讲义Ⅱ

1、排序不等式：anan1a1，bnbn1b1，则：

n

n

k

n

k

a

k

1bk

a

k1

bik

a

k1

k

bnk1(其中i1,i2,,in是1,2,,n的一个排列)

212

1例1：x,y,zR,求证：○



yzx



zxy



xyz

2xyz；○

x

yz



y

zx



z

xy

x

y

z102、均值不等式：MMaxa1,a2,,an,mMina1,a2,,an，则：

a1a2an

n

M

a1a2an

n



a1a2an

n

1a

11a2



1an

m

aaax

，注：记fxn

x

1x2xn

以上不等式即：ff2f1f0f1f 可猜测fx是单增函数，这就是幂均值不等式。



1例1○1；○2x,y,zR,且xyz1求：S例2：○

3x23y23z2

Txy2z3的最大值。例3：求ft48t

1t

3,t0的最小值。

例4：a,bR,ab1求Sa







11

b的最小值。ab

22

3、柯西不等式：akbkakbk

k1k1k1

n

akk1

n

nnn

n

最重要的变形：

k1

akbk

，(bi0)当且仅当a1:a2::anb1:b2::bn时取等。

b

k12

k

例5：求Sxyyx的最大值。

a

1例6：a1,b1，求证：○

b1



b

a1

28；○

a

a1



b

b1

8。

例7：x1,y1,求证：

例8：,为锐角，且

11x



11y



21xy

cossin





sincos

1，求证：



例9：a,b,cR,abc1，求证：

1abc



1bca



1cab



例10：a,b,c,d,e都是实数，且abcde8,a2b2c2d2e216求e的取值范围。

nakk1

n

n

通过以上例子，我们感受到了柯西不等式的推论：

k1

akbk

非常好用，我们把它

b

k1

k

推广。以下给出几个引理或定理，它们的证明你可以在教程中找到。切比雪夫不等式：

1

10aaa,0bbb，则：akbk○12n12n

nk1n

1

b1，则：akbk

nk1n

n

n

1

aknk11

aknk1

n

nn

b

k1n

k



 

20aaa,0bb○12nnn1

n



bk k1



1x1，nN，则：1x1nx 贝努力不等式：○

2x1，且x0，r1或r0，则：1x1rx○

r

3x1，且x0，0r1，则：1x1rx○

r

赫尔德不等式：ai,biR,p0,q1,1p



1q

1,则：

n

pqpq1当p1有：○ababkkkk

k1k1k1

n

n

p

n

nn

qpq2当0p1有：○akbkakbk

k1k1k1

n

1当m0或m1，则：权方和不等式：xi,yiR，○

k1



xk

m1m

yk



n

xkk1

n

m1

ykk1

m1

m

n

2当1m0，则：○

k1

xk

m1m

k

y



nxkk1

n

ykk1

m

q

注：当且仅当x1:x2::xny1:y2::yn时取等。证明时只需令：xkakbk,ykbk

pm1,直接运用赫尔德不等式。

nakk1bkk1

n

p

n

推论：ai,biR,p,qN,pq，则：

k1



akb

p

qk

n

1qp



q

注：证明可参考教程P311习题11

1例11：a,b,cR，且abc3，求证：○

1 12ab12bc12ca11132○

1ab1bc1ca2





222

例12：a,b,cR，求证：



abc



bca



cab



abc

例13：a,b,cR，求证：

aa8bc



bb8ca



cc8ab

1

例14：a,b,cR，且abc1求证：

例15：a,b,cR，求证：

abc

a1bc



b1ca



c1ab



910



bca



cab

1112 abc

n

例16：已知：a1,a2,,an是两两互异的正整数，求证：

k1

akk

n





k1

1k

第二篇：专题1、不等式讲义

“登峰”辅导伴你行

专题

1、不等式性质及解不等式讲义

类型

一、不等式性质

基本知识点要求：能熟练应用不等式性质.题型

1、不等式性质考查.例1．若,满足

2

2，则2的取值范围是（不等式性质）

b，则2ab的取值范围是的范围.（不等式性质）练习1.若a,b满足2a3and1b4且aa2例2．已知1a3and2b4，求ab,ab,b

练习2.已知1a3and2b4，求ab,ab,a2b的范围.（不等式性质）

2ab4，求2a3b的取值范围.题型

2、不等式性质+待定系数法以及整体构造思想构造题.例3．已知1ab3and

练习3.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围.练习4.已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围.类型

二、解不等式

基本知识点要求：（1）知道不等式、方程及函数之间的关系；

（2）知道不等式解与方程的根之间的关系；

（3）能用数轴标根法求解不等式.题型

1、解不等式基本知识考查.例4．解不等式：2xx30.练习5．解不等式：xx60.例5．解不等式：22x10.x2

x23x2x10.练习7．20.练习6．解不等式：2xx2x3

总结高次不等式求解步骤：（1）最高次系数化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）数轴标根

法写出答案.题型

2、解含参不等式.例6．解关于x的不等式：(x2)(ax2)0.练习8.关于x的不等式axb0的解集为1,，求

练习9.解关于x的不等式：x(1a)axa0.总结：（自己填写）

会当凌绝顶，一览众山小——成功者的领地.江西省、南昌市、西湖区

联系电话：***徐（数学老师）23axb0的解集.x2

第三篇：高二_不等式的证明讲义

高二数学不等式同步辅导讲义

第1讲 不等式的证明

一、辅导内容

不等式证明的方法与技巧

二、学习指导

不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。

不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。

根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。

三、典型例题

【例1】 设a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b-1。

解题思路分析：

思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。

作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a =(ab123)(b1)2≥0 2

422222

222

b123233)bb 2424思路二：注意到不等式两边式子a+b与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。

因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次项系数为正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0

根据已知条件：a+b+c+abc>0，首先将题目结论改造为1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。

其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，1-c这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。

1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。

解题思路分析：

因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。

由ad=bc得：dbcbcbcac A-B=a+d-(b+c)=a bcabaaa1abbcca≥1。

abcabc

22222222222

=abc(ab)(ab)(ac)0 aabc d(bd)(cd)bcbccd A-B=adbc dbc(bd)=ddd下面是判断b-d与c-d的符号，即比较a、c与d的大小：应从条件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出发才挖掘隐藏条件。又：若不慎消去了a，该怎么办呢？ 由ad=bc得：aac bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求证：a+b+c≥(a+b+c)。

解题思路分析：

不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。

11左=(2a42b42c4)[(a4b4)(b4c4)(c4a4)]

21≥(2a2b22b2c22c2a2)a2b2b2c2c2a2

2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。a2b2b2c2c2a21(2a2b22b2c22c2a2)24

441[(a2b2b2c2)(b2c2c2a2)(c2a2a2b2)]21≥(2ab2c2abc22a2bc)ab(abc)2

【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：

111111； ≥

abcabbcaca2b2c2abc（2）a，b，c为正实数，求证：≥。bcacab2解题思路分析：

（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。

（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？ a2

【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥。

2解题思路分析：

思路一；根据x+y和x+y的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。x2y2xy∵ ≤

22(xy)2a2∴ xy≥ 222222思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：

途径1：用均值换元法消元： 令 xaam，ym 22

a2aaa2222则 xy(m)(m)2m≥

2222途径2：代入消元法： 22y=a-x，0

222222222途径3：三角换元法消元：

22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，]

222244222222则 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ]

a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥

222 注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想2是高中数学常用的重要方法。

(ab)2ab(ab)2ab

【例7】 已知a>b>0，求证：。8a28b解题思路分析：

所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，1次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即2执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。

abab2ab(ab)2ab 222ab(ab)(ab)(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2所证不等式可化为

8a28b∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0

(ab)2(ab)21∴ 不等式可化为：

4a4b2(ab)4aab2a即要证 只需证

24b(ab)2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立

【例8】 已知f(x)=解题思路分析：

不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。

22x34x8，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)

211.2112f(a)2a3482a82a(2)8a282a82a≤

822a82a8422

令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥

22232 ∴ g(b)>f(a)2注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。

解题思路分析：

这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。

从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b[f(1)f(1)] 2111∴ |b||f(1)f(1)|≤[|f(1)||f(1)|]≤(11)≤1 222（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。

2当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。思路二：直接利用绝对值不等式

为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论

① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。

评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。

同步练习

（一）选择题

1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是（）1111111≤ B、≤≤ ab44ab211111C、≤≤1 D、≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

3、设m不等于n, x=m-mn y=nm-n，则x , y的大小关系为（）

A、x>y B、x=y C、y>x D、与m ,n的取植有关

43344、已知a，b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数：x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn，b成等比数列，并给出下列不等式：

① ② 1ab2(x1x2xn)ab()n21nn(x1x2xn)ab2

③ y1y2ynab ④ y1y2ynnabab2()22那么，其中为真命题的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M=

abc，N=，则MN的大小关系是 4abc4cA、M>N B、M=N C、M

6、已知函数f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（）

A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能

111117、若a>0，b>0，x()，y，z，则（）

2abababA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题

9、设a>0，b>0，a≠b，则ab与ab的大小关系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。

11、设n个正数x1，x2，„，xn的算术平均数是x，若a是不等于x的任意实数，并记ab

ba22

3aa12D、a+b≥2(a-b-1)bb1p(x1x1)2(x2x)2(xnx)2，q(x1a)2(x2a)2(xna)2，则p与q大小关系是__________。

1t112、当00且t≠1时，logat与loga的大小关系是__________。

22nnn13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则a+b与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。

（三）解答题

14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：ababba。

15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1abc2。bcacab1116、已知a≥0，b≥0，求证：(ab)2(ab)≥aaba。

243317、已知a，b为正数，a+b=2，求证：a+b≤2。

111a8b8c818、若a，b，c为正数，求证：≤。

abca3b3c3112519、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a)(b)≥。

ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。

第2讲 含有绝对值的不等式

一、辅导内容

含有绝对值的不等式证明

二、学习指导

1、绝对值的性质

（1）基本性质：①x∈R时，|x|≥x，|x|≥-x；②|x|a，或x<-ax>a。

（2）运算性质：|ab|=|a||b|，|a|a||，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„+an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。b|b|

222（3）几何意义：|x-a|表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。

2、与绝对值有关的不等式的证明

其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是||a|-|b||≤|a|±|b|这一条性质。

在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。

3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。

三、典型例题

【例1】 设|a|<ε,|a-b|<2ε，求证：|b|<3ε。

解题思路分析：

根据解题的“结论向条件靠拢”的原则，本题主要思考如何用a，a-b表示b，从而利用|a|及|a-b|的条件得到|b|的范围。

∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε

注：本题还涉及到了化简变形中的整体思想，即将a-b看作一个整体。

实际上根据|a-b|的结构特点，也可用绝对值的基本不等式对其缩小：||a|-|b||≤|a-b|，关键是不等式的左端是选择|a|-|b|，还是|b|-|a|，尽管两个不等式都成立，但由本题的消元要求，应消去a，保留b，故选|b|-|a|≤|a-b|。

∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε

∴ 两不等式同向相加得|b|<3ε

【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。

求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解题思路分析：

因f的对应法则已知，故首先对不等式左边化简：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下来的变形向条件|x-a|<1靠拢，即凑出因式x-a：

|f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化简有两种途径：从结论向条件凑，或从条件向结论凑。

途径一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途径二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途径二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||时，涉及到是选择|x-a|≥|x|-|a|，还是|x-a|≥|a|-|x|，应根据与|x|有关的不等号方向选择。本题是要将|a|放大，故选择|x-a|≥|x|-|a|。

|ab||a||b| 【例3】 求证≤。

1|ab|1|a|1|b|解题思路分析：

思路一：三个分式的结构特点完全一致，可构造函数f(x)=2

222

x，利用f(x)的单调性放缩。1xx(x≥0)1x易证f(x)在[0，+∞）上递增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)

∴ |ab||a||b||a||b|≤

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b||a||a||b||b|，1|a||b|1|a|1|a||b|1|b||a||b||a||b|

1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|根据结论要求，采用缩小分母增大分式的放缩技巧 ∵ ∴

∴ 由不等式传递性，原不等式成立

思路二：用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩。但不等式左边分式的分子、分母均含有|a+b|，必须转化为只有一项含|a+b|的分式。

∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥

|ab||a||b|

111|ab|111|ab|≤111|a||b||a||b|

1|a||b|下同思路一。

【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求证|ax解题思路分析：

本题考虑去绝对值符号后进行证明。

b|≥2ab。xb思路一：不等号两边均为非负，原不等式(ax)2≥(2ab)2

xb2即 ax22ab≥4ab

x22b2∵ ax2≥2a2b22ab

x22b2∴ ax2≥4ab

x2ab22b|≥0，|ax|≥0，显然成立 ab当a≠0且b≠0时，由a、b>0知，(ax)()>0

x思路二：当a=0，或b=0时，原不等式为|∴ |axbbb||ax|||≥2|ax|||2|ab|2ab

xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于解思路分析：

（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。

这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以确定有几个，故采用反证法。

假设|f(x)|<

1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 22211122 222 则 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。

【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求证：| 解题思路分析：

本题用分析法较为方便。

1ab|>1。ab1ab1ab2|1()1(1ab)2(ab)21a2b2a2b20 ab ab(1a2)(1b2)0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立

【例7】 设x，y∈R，x+y≤1，求证：|x+2xy-y|≤2。

解题思路分析： 也许有同学会这样解：

|x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放缩过度，不能满足本题要求。

根据条件“平方和”的特征，考虑用三角换元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 则 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222

222

222

22222222)|≤2r≤2 4同步练习

（一）选择题

1、已知函数f(x)=-2x+1对任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一个充分但不必要条件是

 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是实数，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|

3、设a，b|a-b|

C、|a-b|<||a|-|b||

D、|a-b|<|a|+|b|

4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，则

a0a0A、 B、ab0 C、 D、ab0

b0b011且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命题甲；两个实数a,b满足|a-b|<2h；命题乙：两个实数a，b满足|a-1|

C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件

|ab|

6、不等式≤1成立的充要条件是

|a||b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0

7、设a，b∈R，则|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

8、已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|<

（二）填空题

9、若|x+y|=4，则xy最大值是________。

|a||b|

10、若a≠b，a≠0，b≠0，则______|a||b|（填>、≥、<、≤）。|b||a|

11、a，b∈R，则|a+b|-|a-b|与2|b|的大小关系是______________。

12、关于x的不等式|x+2|+|x-1|

22

C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23

3（三）解答题

2

13、已知|a+b|<，|a-b|<，求证|a|<。

233cbcb|x1|，|x2|。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意义，且f(0)=f(1)，对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的两个实根x1，x2，求证：2求证：|f(x1)-f(x2)<1。2a2b2|a||b|

16、求证：≥（a，b∈R）。

2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求证：|1+ab|<|a+b|。

18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：

（1）|abc|1；

|1abc|（2）a+b+c

19、求证

220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求证方程x+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1。

21、在一条笔直的街道上住着7位小朋友，他们各家的门牌分别为3号，6号，15号，19号，20号，30号，39号，这7位小朋友准备凑在一起玩游戏，问地点选在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定数字相连的两个门牌号码的房子间的距离相等）。

第四篇：不等式证明方法讲义

不等式的证明方法

一、比较法

1.求证：x2 + 3 > 3x

2.已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：ama bmb

ab

23.已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2作商法1.设a, b  R，求证：ab(ab)+ababba

二、综合法

1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB

3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证例题：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

例题：已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：abc(abc)

例题：a , b, cR,求证：1(abc)(***19)92(abc)() abcabbcca

2三、分析法

例题： 求证37

2例题：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(ab)(cd)

例题：用分析法证明下列不等式:

(1)求证:571(2)求证:x1

(3)求证:a,b,c∈R,求证:2(+2222x2x3x4(x≥4)ababcab)3(abc)2

3四、换元法 三角换元：

若0≤x≤1，则可令x = sin(0

22)或x = sin2(222若xy1，则可令x = cos , y = sin(02 代数换元：“整体换元”,“均值换元”,例题： 求证：11xx2 2

2例题： 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：11322 xy

2例题：若xy1，求证：|x2xyy|2222

五、放缩法与反证法

abcd2 abdbcacdbdac

1111例题：求证：22222 123n例题：若a, b, c, dR+，求证：1

例题：（用反证法）设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

例题：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

4六、构造法

22222222例题：已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：ab(a1)ba(b1)(a1)(b1)2

2习题精选精解

例题：正数x,y满足x2y1，求1/x1/y的最小值。

例题：设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，求c的取值范围。

例题：已知函数f(x)axbx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。

例题：已知abc，求证：abbccaabbcca

例题：

222222222

例题：设fxxx13，实数a满足xa1，求证：fxfa2a1 2

注：式的最后一步省略了对a

0,a0,a0的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用 a,b同号|ab||a||b|||a||b|||ab|;a,b异号|ab||a||b|||a||b|||ab| 例题：a、b、c(0,)，abc1，求证：

例题：xy1，求证：2xy

例题：已知1≤x＋y≤2，求证：

2222a2b2c213 2 122≤x－xy＋y≤3． 22

第五篇：第二次公文写作培训讲义

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西南财经大学校团委学生会内部公文写作培训

第二讲：事务文书概述

一、事务文书概述

事务文书是机关、团体、企事业单位在处理日常事务时用来沟通信息、安排工作、总结得失、研究问题的实用文体，是应用写作的重要组成部分。主要包括工作简报、计划与总结以及调研报告。

二、工作简报

（一）定义

工作简报就是以具体的事例、简捷的文字、灵活的形式，及时、迅速地向上级反应情况、汇报工作，对下级或平级指导工作，通报状况的一种汇报性、指导性和交流性的文书。它是信息类公文中最重要、最常用的一种。

（二）分类

1、综合简报。主要用于反映工作中的动态和一般工作进展情况。它大多常年定期编发，例某高校党委、校长办公室编《××工作动态》。

2、中心工作简报。它主要是为配合、推动当前某项中心工作，掌握思想动态、交流推广经验而编发。中心工作简报多在一定时期内不定期制发。例某市委路线教育工作领导小组编发《路教工作简报》。

3、会议简报。在某一会议召开期间，为交流代表观点、反映会议动态而缩写的简报。例某校学代会秘书组编发的《××学代会简报》

（三）工作简报的特点

1、快。及时迅速，有时候比报刊还快。

2、简。简报必须要短小精悍，典型精粹，简明扼要。

3、准。事实上要准确无误。即人名、地名、时间、地点都要真实可靠。如果是根据其他材料编写的简报，要说明“据XX材料反映”。

4、精。反映发生的新情况、新问题、新动向、新事物。

5、新。表达形式上可以新颖。可以做综合反映，也可以做专题反映。

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（四）工作简报的篇章结构和写作要领

简报由报头、文稿、报尾组成。

1、报头

简报首页上端1／3处由分割线将报头与文稿部分分开，报头由以下四个必备要素构成：①简报名称，一般套红、居中、字体稍大印刷； ②期数，印于简报名称正下方；

③编印机关，一般为制发简报单位的办公部门或中心工作领导小组及会议的秘书处（组），要求用全称或规范化简称印于分割线右上方；

④编印日期，印于分割线左上方，要求年月日齐全。除以上四个要素，视简报内容，保密要求，还可以增加简报编号、密级（或使用范围和要求）等要素。

2、文稿

根据文体性质和文稿来源，简报的体式可分四种：一是报道体，它及时、简明、准确地叙述、报告部门、行业、系统、领域内最新发生的新情况、新动态。其文体十分类似动态消息、动态信息；二是汇篇体，这是在众多稿源基础上剪辑而成的类似综合消息的简报文体，其信息量大面广，能做到点面结合反映全局性情况；三是总结体，其文章即一般意义的总结，但内容有典型性有推广价值，编入简报能发挥其指导一般的作用；四是转引体，即将他单位有参考借鉴意义的材料完整地或篇段地摘编转引。

（1）按语

按语是代简报编制机关立言，是对文稿及使用做出说明、评价，如说明材料来源、转引目的、转发范围，表明对简报内容的倾向性意见及表示对所提问题引起讨论研究

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宣传部 的希望等等。按语的位置在报头下，标题前。它视需要而使用，并非每篇必有。一般在转引体、总结体及重要的报道体、汇篇体简报文章前才配用按语。

（2）标题

根据简报的体式，标题也有不同写法。动态性较强的内容多采用单行式新闻标题，简短明快地交待事实、揭示中心，在总结体简报和其他体式简报中，一般使用文章化标题。

（3）目录

简报文稿通常是一期一篇，根据需要也可以是一期为一组性质接近的文章。如是一组文章，则须在报头下设计“目录”一栏，将各篇文章标题先印于此，然后依次刊出每篇文章。

（4）正文

因体式各异，简报正文格式相去甚远。报道体、汇篇体类消息结构往往前有导语，后有主体、背景等；总结体可完整地将“总结”刊于简报；转引体则因所引文章不同，正文或可能是片断章节，也可能是整篇文稿。

开头要直接点题。要尽可能运用简洁的语言将简报所要反映的核心内容放在开头部分，及早告诉给大家。开头要简短。

3、报尾

在简报末页下1/3处用分割线与文稿部分分开，分割线下与之平行的另一横线间内标本期简报的“报、送、发”单位名称，右侧注明本期印数。

（五）团委学生会内部工作简报写作注意事项

1、一事一报，强调活动内容而非准备过程。

2、字数严格控制，每篇简报200字左右。

3、要强化团队意识，将部门名称省去，只写校团委或校学生会。

4、时间地点人物事件要记清，领导名字必须准确无误。

6、意义要恰当升华。

例：

学生超市“巴巴购”电子商务平台正式启动

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11月19日，学生实验超市第一个全资子公司“巴巴购”电子商务平台在试运营一周后正式启动。团中央全国学联办公室主任张伟、校党委副书记杨继瑞、校学工部部长艾鸿、共青团西南财经大学委员会书记代光举、副书记杨熳霞、后勤服务总公司副经理严荣等领导和学生超市全体人员出席了此次启动仪式。这标志着超市业务范围的拓展迈出了跨越性的一步，在大学生创业的长卷上留下了浓墨重彩的一笔。

纪念改革开放三十年海报展

11月17日，“感受改革开放成果，我与祖国共奋进”海报展在我校学生街拉开帷幕。各学院制作的海报不仅展现了高超技艺，更体现了改革开放以来我国的巨大变化，对全校师生进行了一次生动形象的思想教育。其中，会计学院荣获一等奖；统计学院、国际商学院荣获二等奖；经济信息工程学院、财税学院、证券与期货学院荣获三等奖；其他学院荣获优秀奖。

“冰红茶杯”羽毛球大赛

11月25日，“冰红茶杯”羽毛球大赛在我校顺利举办。这次比赛不仅吸引了我校羽毛球社团成员、羽毛球爱好者，更引来大学城内众多院校同学的积极参与。此次比赛，不仅为羽毛球爱好者提供了交流的机会，更体现了良好的校园风貌。

第十六届寝室之星评比活动

11月28日，寝室之星评比活动圆满落下帷幕。检查人员本着“公平公正”的原则，从“寝室成员精神风貌”、“寝室卫生状况”和“寝室之星主题”三个方面对参赛寝室打分。经过全面审查和部分抽查后，11月21日，第十六届“寝室之星”最终获奖名单确定，并于11月28日向全校同学公示。此次活动为同学们搭建了发挥创意的平台，丰富了同学们的课余生活，极大地激发了同学们的创造热情。

三、工作计划

（一）定义

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计划是单位或个人对未来一定时间内要做的工作从目标、任务、要求到措施预先做出设计安排的事务性文书。

（二）计划的种类

从性质、内容、时间等角度可划分出不同种类的计划。从形式分有以下三种：文件式计划，分目标、要求、措施、步骤等环节，写作严谨具体，内容重大并有一定篇幅；条文式计划，以列出任务为主，较少涉及措施、步骤等；表格式计划，通常用于项目较多又具共性的内容，有时辅之适当文字说明，使计划简洁明了。

计划是个统称，像规划、纲要、设想、打算、要点、方案、意见、安排等都是根据计划目标远近、时间长短、内容详略等差异而确定的名称。

规划 是一种时间跨度长(三年以上)，范围广，内容较为概括的计划。例：《××市城市建设总体规划》。

纲要 和规划相同，它们都是各级领导机关根据战略方针，为实现总体目标对某个地区或某一事项做出长远部署。不同的是纲要比规划更为原则和概括，一般只对工作方向、目标提出纲领式要求和指导性措施。例：《××市2000年经济发展纲要》。

设想 是一种粗线条的、初步的、预备性的非正式计划。相对来讲，其适用时限较长。例：《××市拓展就业安置门路的设想》。

打算 也是一种粗线条的、其想法不太成熟的非正式计划。相对设想，它的内容范围不大且考虑近期要做的。例《××学校争创文明校园的打算》。

要点 是将计划的主要内容择要摘编，使之简明突出，它适用于时间相对较短的计划。例：《××局19××年工作要点》。

方案 从目的、要求、方式、方法、进度等都部署具体周密有很强可操作性的计划。方案一般适合专项性工作，其实施往往须经上级批准。例：《××市住房分配制度改革实施方案》。

意见 属粗线条计划，它适用于上级向下级布置工作任务并提供基本的思路、方法，交待政策，提出要求等。例：《××公司关于下属企业19××年扭亏增盈全面提高经济效益的意见》。

安排 是短期内要做的，且范围不大、内容单

一、布置具体的一类计划。例：《××系第×周工作安排》。

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（三）计划的写法

1、标题。计划标题一般由四个部分组成：计划的制订单位名称、适用时间、内容性质及计划名称。视计划文本的成熟程度，有可能出现第五个部分，即在标题尾部加括号注明：草案、初稿、征求意见稿、送审稿等。如《××市19××年再就业工程实施方案（讨论稿）》。

2、引言。计划通常有一个“前言”段落，主要点明制订计划的指导思想和对基本情况的说明分析。前言文字力求简明，以讲清制订本计划的必要性、执行计划的可行性为要，应力戒套话、空话。

3、主体。如果说引言回答了“为什么做”的问题，那么主体要回答“做什么”、“怎么做”、“何时做”等问题。

目标与任务 首先要明确指出总目标和基本任务，随后应根据实际内容进一步详细、具体地写出任务的数量、质量指标。必要时再将各项指标定质、定量分解，以求让总目标、总任务具体化、明确化。

办法与措施 以什么方法，用什么措施确保完成任务实现目标，这是有关计划可操作性的关键一环。所谓有办法、有措施就是对完成计划须动员哪些力量，创造哪些条件，排除哪些困难，采取哪些手段，通过哪些途径等心中有数。这既需要熟悉实际工作，又需要有预见性，而关键在于有实事求是的精神。唯有这般，制订的措施、办法才是具体的，切实可行的。

时限与步骤 工作有先后、主次、缓急之分，进程又有一定的阶段性，为此在计划中针对具体情况应事先规划好操作的步骤、各项工作的完成时限及责任人。这样才能职责明确、操作有序，执行无误。

4、落款。在正文右下方署名署时即可。

四、工作总结

（一）定义

总结是应用写作的一种，是对已经做过的工作进行理性的思考。它要回顾的是过去做了些什么，如何做的，做得怎么样。总结与计划是相辅相成的，要以工作计划为依据，订计划总是在总结经验的基础上进行的。其间有一条规律，就是：计划——实践——总结——再计划——再实践——再总结。

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（二）特点

1、自我性。采用的是第一人称写法。

2、回顾性。总结是回顾过去，对前一段的工作进行检验，但目的还是为了做好下一段的工作。

3、客观性。所列举的事例和数据都必须完全可靠，确凿无误，任何夸大、缩小、随意杜撰、歪曲事实的做法都会使总结失去应有的价值。

4、经验性。这一特性要求总结必须按照实践是检验真理的唯一标准的原则，去正确地反映客观事物的本来面目，找出正反两方面的经验，得出规律性认识。

（三）工作总结种类

1、按总结的时间分，有总结、半年总结、季度总结、学期总结。进行某项重大任务时，还要分期总结或叫阶段总结。

2、按总结的范围分，有单位总结、个人总结、综合性总结、专题总结等。

3、按总结的性质分，有工作、生产、教学、科研、实习总结等。

（四）工作总结的写法

1、标题。总结的标题大体上有两类构成形式：一类是公文式标题；一类是非公文式标题。公文式标题由单位名称、时间、事由、文种组成，如《××村2008工作总结》、《××镇2008年党建工作总结》，有的只写《工作总结》等。非公文式标题则比较灵活，有的为双行标题，如《增强体质，全面贯彻执行教育方针——开展多种形式的体育活动》，有的为单行标题，如《推动人才交流，培植人才资源》等。

2、正文。

（1）情况回顾

这是总结的开头部分，叫前言或小引，用来交代总结的缘由，或对总结的内容、范围、目的作限定，对所做的工作或过程作扼要的概述、评估。这部分文字篇幅不宜过长，只作概括说明，不展开分析、评议。

（2）经验体会

这部分是总结的主体，在第一部分概述情况之后展开分述。有的用小标题分别阐明成绩与问题、做法与体会或者成绩与缺点。如果不是这样，就无法让人抓住要领。专题性的总结，也可以提炼出几条经验，以起到醒目、明了。

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运用这种方法要注意各部分之间的关系。各部分既有相对的独立性，又有密切的内在联系，使之形成合力，共同说明基本经验。

（3）今后打算

这是总结的结尾部分。它是在上一部分总结出经验教训之后，根据已经取得的成绩和新形势、新任务的要求，提出今后的设法、打算，成为新一年制订计划的依据。内容包括应如何发扬成绩，克服存在问题及明确今后的努力方向。也可以展望未来，得出新的奋斗目标。

3、结尾。作为总结的结束语可以归纳呼应主题、指出努力方向、提出改进意见或表示决心信心等语作结，要求简短利索。

4、落款。一般在正文右下方署名署时。如是报刊杂志或简报刊用的交流经验的专题总结，应在标题下方居中署名。

（五）撰写总结应注意的问题

1、首先要有实事求是的态度。总结的特点之一“回顾的理论性”，正是反映在如实地、一分为二地分析、评价自己的工作上，对成绩，不要夸大；对问题，不要轻描淡写。

2、总结要写得有理论价值。一方面，要抓主要矛盾，无论谈成绩或谈存在问题，都不要面面俱到。另一方面，对主要矛盾要进行深入细致的分析，谈成绩要写清怎么做的，为什么这样做，效果如何，经验是什么；谈存在问题，要写清是什么问题，为什么会出现这种问题，其性质是什么，教训是什么。

3、总结要用第一人称。即要从本单位、本部门的角度来撰写。表达方式以叙述、议论为主，说明为辅，可以夹叙夹议说。

五、调查报告

（一）定义

调查报告，是对社会上某一个问题或事件进行专门调查研究之后，将所得的材料和结论加以整理而写成的书面报告。在标题中，凡以“考察报告”、“调查”、“考察”、“调查记”、“调查汇报”为文体名称的，均属调查报告一类。

（二）特点

1、内容真实，观点鲜明。

2、材料性强，夹叙夹议。

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3、结构严谨，有条不紊。

4、语言简洁，笔调明快。

（三）分类

调查报告的种类很多，按不同的分类标准可大体分为以下几类：按时间类别分为历史情况调查报告、现实情况调查报告；按范围分为单项调查报告、多项调查报告；按调查报告的内容分社会情况调查报告、经济情况调查报告、科学文化调查报告；按作用分情况性调查报告、经验性调查报告、判断性调查报告、科研型调查报告。

（四）调查报告的写法

一般来说，调查报告的内容大体有：标题、导语、概况介绍、资料统计、理性分析、总结和结论或对策、建议，以及所附的材料等。根据这些内容所形成的调查报告的结构，就包括标题、导语、正文、结尾和落款。

1、标题

调查报告的标题有单标题和双标题两类。所谓单标题，就是一个标题。其中又有公文式标题和文章式标题两种。公文标题为“事由+文种”构成，如《浙江省农村中学语文教学情况的调查报告》。文章式标题，如《××市的校办企业》；其二是标明作者通过调查所得到的观点的标题，如《调整教育政策 增加教育投入》。所谓双标题，就是两个标题，即一个正题、一个副题。如《为了造福子孙后代——××县封山育林调查报告》。

2、导语

导语又称引言。它是调查报告的前言，简洁明了地介绍有关调查的情况，或提出全文的引子，为正文写作作好铺垫。常见的导语有：

一、简介式导语。对调查的课题、对象、时间、地点、方式、经过等作简明的介绍。

二、概括式导语。对调查报告的内容（包括课题、对象、调查内容、调查结果和分析的结论等）作概括的说明。

三、交代式导语。即对课题产生的由来作简明的介绍和说明。

3、正文

正文是调查报告的主体。它对调查得来的事实和有关材料进行叙述，对所作出的分析、综合进行议论，对调查研究的结果和结论进行说明。正文的结构有不同的框架。

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根据逻辑关系安排材料的框架有：纵式结构、横式结构、纵横式结构。这三种结构，以纵横式结构常为人们采用。

按照内容表达的层次组成的框架有：“情况——成果——问题——建议”式结构，多用于反映基本情况的调查报告；“成果——具体做法——经验”式结构,多用于介绍经验的调查报告；“问题——原因——意见或建议”式结构，多用于揭露问题的调查报告；“事件过程——事件性质结论——处理意见”式结构，多用于揭示案件是非的调查报告。

4、结尾

结尾的内容大多是调查者对问题的看法和建议，这是分析问题和解决问题的必然结果。调查报告的结尾方式主要有补充式、深化式、建议式、激发式等。

5、落款

调查报告的落款要写明调查者、单位名称、个人姓名以及完稿时间。如果标题下面已注明调查者，则落款时可省略。

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