复习讲义—二面角复习课

第一篇：复习讲义—二面角复习课

复习讲义（4）二面角复习课

一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．

二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．

三、教学过程

1．复习二面角的平面角的定义．

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益． 看右图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便． 例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”． 例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．

如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角． 另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”． 课堂练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．

为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？

分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．

例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．

延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．

略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH． 显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小． 例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

四、作业：

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．

第二篇：复习讲义—二面角复习课

复习讲义（4）

二面角复习课

一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．

二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．

三、教学过程

1．复习二面角的平面角的定义．

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．

看右图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD

β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．

例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而

且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．

如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如

图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

课堂练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．

为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？

分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．

例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶

FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．

延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与 到的一个二面角．

因为 AB∥平面CPD，AB

平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

四、作业：

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．

第三篇：高中数学教案：二面角复习课

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二面角复习课

一、教学目标：

1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．

二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．

三、教学过程

1．复习二面角的平面角的定义．

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分

析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在

面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导

致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．

看右图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任 意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l． 这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面 角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．

例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给 进一步定量创造了得天独厚的条件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l 垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β 的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com

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A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

这是一道由平面图形折叠成立体 图形的问题，解决问题的关键在于搞 清折叠前后的“变”与“不变”．

如果在平面图形中过A作 AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关 系不变．但OA与OE此时变成相交

两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连 结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就 是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

课堂练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的条件背景表明，面B1D1E

与面BB1C1C构成两个二面角，由特

征（2）可知，这两个二面角的大小

必定互补．

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为创造一完整的三垂线定理的环境背

景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交

B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面

D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何

体呈现几个面？

分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解

题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维

的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足

P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为

BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考

虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角

A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR

为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同

理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该

是5个面．

例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．

延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．

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在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．

略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．

显见平面FGH∥平面A′B′C′D′． 则二面角B′-FH-G的平面角度数等于

所求二面角的度数．

过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角 B′-FH-G的平面角，其大小等于所求 二面角平面角的大小．

例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在

平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值． 分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出

两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD

平面CPD，AB

平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com

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小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

四、作业：

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距

离．

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．

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第四篇：二面角练习课

二面角练习课

教学目标

1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点

重点：使学生能够作出二面角的平面角；

难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角． 教学设计过程

重温二面角的平面角的定义．

（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）

教师：二面角是怎样定义的？

学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角． 教师：二面角的平面角是怎样定义的？

学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：请同学们看右图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．

例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，课堂练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．

为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？

分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．

OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以这道题的正确答案应该是5个面．

（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）

由例

1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．

例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．

在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1． 延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．

例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与

显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．

则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．

过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小． 例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．

我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

作业

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．

第五篇：三角函数专题第二轮复习经典讲义

三角函数专题复习

1、三角恒等变换

典型例题

1、已知函数fx2sinxxxcos2sin2 44

4（1）求函数fx的最小正周期和最值。（2）令gxfx

2、已知为第二象限角，sin

，判断并证明gx的奇偶性。334，为第二象限角，tan。求tan()，cos2

533、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bsinA，求cosAsinc的取值范围。

4、已知0

4，为fxcos2x

1tan,1的最小正周期，，cos,2且84

2cos2sin2的值。m，求cossin

2、三角函数图像与性质

典型例题

1、已知函数fxAsinx,A0,0的最大值是1.其图像过点M1,。32

（1）求fx；（2）已知,0,312且f,f，求f的值。5132

2、已知asinwx,coswx,bsinwx,2sinwx3coswx,w0。若fxab，并且fx的最小正周期为。（1）求fx的最大值及取得最大值时x的集合。（2）将函数fx图像按向量

m,0,m0平移后的函数gx2sin2x的图像，求m的最小值。3

3、已知函数fx3sinwxcoswx0,w0为偶函数，且函数yfx图像的两相邻对称轴间距离为

。（1）求

2

（2）将函数yfx的图像向右平移个单位后，再将得到的f。

68

图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图像，求ygx的单调区间。

三、解三角形 典型例题

1、在ABC中，已知AC2,BC3,cosA

4

.求sin2B的值。56

2、在ABC中，a23,tan

ABcA

tan4,sinBsinCcos2。求A,B及b,c。22

2

ABC3、设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足(2ac)BCBAcCACB0.

（1）求角B的大小；（2）若bABCB的最小值.四、常考点训练

常考点一：三角函数的概念 1.已知函数f(x)cos(2x

)2sin(x)sin(x)

4

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数f(x)在区间[,]上的值域

2

2．已知函数f(x)2x2sin2x.（1）若x[

,]，求f(x)的值域.6

32

常考点二：三角函数的图象和性质

3.函数f(x)Asin(x)(A0,0,||部分图象如图所示．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)f(x)cos2x，求函数g(x)在区间x[0,]上的最大值和最小值．



常考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换 4．已知函数f(x)sin(2x



6)cos2x.（1）若f()1，求sincos的值；（2）求函数f(x)的单

调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

5.已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x（xR，0），相邻两条对称轴之间的距离等于



．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当

42

x0时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

2

6、已知函数f(x)2sinxsin（

x)2sin2x1(xR).2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（ππx0x(,)，求cos2x0的值.)04427、已知sin(A

πππ)A(,)．

424

5sinAsinx的值域．

2（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数f(x)cos2x

考点六：解三角形

8．已知△ABC中，2sinAcosBsinCcosBcosCsinB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m(cosA, cos2A)，n(小值时，tan(A

12, 1)，求当mn取最 5

)值.9．已知函数f(x)

sin2xsinxcosx

xR． 2

（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x(0,)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若AB，f(A)f(B)

BC

1，求的值．

AB210、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足大小；

（Ⅱ）若aABC面积的最大值．

2cbcosB

．（Ⅰ）求角A的acosA11、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)△ABC的形状．

12、.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求ABC的面积.3xxx

sincoscos2，当f(B)取最大值时，判断

222

1，tanC，且c1.23AB7

cos2C． 22

13在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4sin（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAsinB的最大值．

重点题型强化

1、在ABC中，边b2，角B

2、函数f(x)sin(2x

，sin2A2sin(AC)2sinB0，则边c

3

2x的最小正周期是__________________.3、已知函数f(x)=3sin(x-



6)(>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,

]，则f(x)的取值范围是。

4、设>0,函数y=sin(x+

4)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是_________

2125、已知xy42cos2,xy4sin2，则xy_____________

2sin2x3sinx6、函数fx的值域为_____________

22sinx

37、若动直线xa与函数fxsinx的最大值为_____________









则MN和gxcosx的图像分别交于M,N两点，44

三角函数高考真题练习

一、选择题：



ABAC

1.已知非零向量AB与AC满足()BC0且

ABACABAC1, 则△ABC为()ABAC

2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 2.已知sin（A）

4,则sincos的值为（）

5（B）51 5

（C）

（D）5D

．

3.sin330等于（）A

．

B．

C．2



4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a等于（）A

B．2

C

D

352sincos的值为()（A）0(B)(C)1(D)

44sin2cos

52110

6.若3sincos0,则的值为()（A）（B）（C）(D)2 2

33cossin2

3

7.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足PA2PM,则PA(PBPC)等于()

5.若tan2,则

4444（B）（C）(D) 9339



8.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP2PM,则PA(PBPC)等于()（A）（A）

4444

（B）（C）(D)

3993

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为()．A．锐

角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

二、填空题

1.cos43cos77sin43cos167的值为

2.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30

＝

1＝2.若＝(,R),则的值为.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a_______.

4.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的_______条件．

三、解答题

xR，·b，cos2x)，1、设函数f(x)a其中向量a(m，且yf(x)的图象经过点，b(1sin2x，1)，2．

π



4

（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．、已知函数f(x)2sin

xxx

cos2． 44

4（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)fx





π

，判断函数g(x)的奇偶性 3

3、已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0

）的图象与x轴的交点中，相邻

2,2).，且图象上一个最低点为M（2

3

(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[,]，求f(x)的值域.12

2两个交点之间的距离为

4、如图，A，B

是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B

点相距C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

5、叙述并证明余弦定理。

6、函数f(x)Asin(x对称轴之间的距离为

7、已知向量a＝cosx,，b＝

x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0,上的最大值和最小值．



1（A0,0）的最大值为3，其图像相邻两条

，（1）求函数f(x)的解析式；（2）设(0,)，则f()2，求的值． 222

1

2



π