微积分上重要知识点总结（五篇范文）

第一篇：微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换

2、关于邻域：邻域的定义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）；左右邻域、空心邻域、有界集。

3、初等函数：正割函数sec是余弦函数cos的倒数;余割函数是正弦函数的倒数；反三角函数：定义域、值域

4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。

5、无穷小量与无穷大量：无穷小量的定义、运算性质、定理（无穷小量与极限的替换）、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。

6、极限的性质：局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。

7、极限的四则运算法则。

8、夹逼定理（适当放缩）、单调有界定理（单调有界数列必有极限）。

9、两个重要极限及其变形

10、等价无穷小量替换定理

11、函数的连续性：定义（增量定义法、极限定义法）、左右连续

12、函数的间断点：第一类间断点和第二类间断点，左、右极限都存在的是第一类间断点，第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点。

13、连续函数的四则运算

14、反函数、复合函数、初等函数的连续性

15、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。

16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。

17、求导法则与求导公式：函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、19、20、21、隐函数的导数。

高阶导数的求法及表示。

微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx.1 / 4

22、微分形式的不变性

23、微分近似公式：

24、导数在经济问题中的应用（应用题）：

（1）边际（变化率，即导数）与边际分析：

总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润

（2）弹性（书78页）及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系

25、中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限（89页）

27、函数单调性

28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别，最大利润、最小平均成本、最大收益问题，经济批量问题。（注意书100页）

29、曲线的凹凸性的定义及判定（二阶导数）、拐点。

/ 4

30、曲线的渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线

31、利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、定义域、奇偶性、根及

/ 4 其他变化趋势作图

32、不定积分（积分号、被积函数、积分变量被积表达式、积分常数）、原函数、连续则有原函数、不定积分的几何意义及性质

33、基本积分表

34、换元积分法：第一换元法（凑微分法）和第二换元法（变量替换法）35、36、分部积分法 有理数的积分

/ 4

第二篇：微积分知识点小结

第一章 函数

一、本章提要

基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数

第二章 极限与连续

一、本章提要

1.基本概念

函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.2.基本公式

(1)limsin口口1口口01，(2)lim(1口0)口e(口代表同一变量).3.基本方法

⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求

00形式的极限；

⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.4.定理

左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.第三章 导数与微分

一、本章提要

1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．

2.基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．

3.基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

第四章 微分学的应用

一、本章提要 1.基本概念

未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．

2.基本方法

⑴ 用洛必达法则求未定型的极限； ⑵ 函数单调性的判定； ⑶ 单调区间的求法；

⑷ 可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法； ⑻ 曲线的渐近线的求法； ⑼ 一元函数图像的描绘方法． 3.定理

柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．

第五章 不定积分

一、本章提要

1.基本概念 原函数，不定积分． 2.基本公式不定积分的基本积分公式（20个）；分部积分公式．

３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

第六章 定积分

一、本章提要

1.基本概念

定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分.2．基本公式 牛顿-莱布尼茨公式.3．基本方法

积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法.4．定理

定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理.第七章

定积分的应用

一、本章提要

1.基本概念

微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数．

2． 基本公式平面曲线弧微元分式．

3.基本方法

(1)用定积分的微元法求平面图形的面积，(2)求平行截面面积已知的立体的体积，(3)求曲线的弧长，(4)求变力所作的功，(5)求液体的侧压力，(6)求转动惯量，(7)求连续函数f(x)在a,b区间上的平均值，(8)求平面薄片的质心，也称重心．

第八章

常微分方程

一、本章提要

1． 基本概念

微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．

2． 基本公式

一阶线性微分方程

yP(x)yQ(x)的通解公式:

yP(x)dxdxCeP(x)dx． Q(x)e3． 基本方法

分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理

齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构．

第九章

空间解析几何

一、本章提要

1．基本概念

空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分．

2．基本公式

两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公

式，平面与直线间的夹角公式． 3．方程

直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程．

第十章

多元函数微分学

一、本章提要

１．基本概念

多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．

２．基本方法

二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函 数求导法则求偏导数．

隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理

混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．

第十一章

多元函数积分学

一、本章提要

1． 基本概念

二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分与路径无关． 2． 基本公式

(1)格林公式：PdxQdyLQPxydxdy；

DRdVz(2)高斯公式：PxQyPdydzQdzdxRdxdy．

3． 基本方法

将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法；计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法；计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法；计算对坐标的曲面积分，有对坐标的曲面积分法，高斯公式法．

4． 定理

格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理．

第十二章 级数

一、本章提要

1．基本概念

正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域．

2．基本公式

(1)f(x)在xx0处的泰勒级数系数：a0f(x0)，akf(k)(x0)k!；

(2)傅里叶系数： an1πππf(x)cosnxdx(n0,1,2,),bn1πππf(x)sinnxdx(n1,2,)．

3．基本方法

比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法．

4．定理

比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．

第三篇：高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上）重要知识点归纳

第一章 函数、极限与连续

一、极限的定义与性质

1、定义（以数列为例）

limxna0,N,当nN时，|xna|

n

2、性质

f(x)Af(x)A(x)，其中(x)为某一个无穷小。(1)limxx0f(x)A0，则0,当xU(x0,)时，(2)(保号性）若limxx0of(x)0。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具

1、*两个重要极限公式

(1)lim0sin1

1(2)lim(1)e 

2、两个准则

(1)*夹逼准则

(2)单调有界准则

3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0时

（1)sin~

（2）tan~

（3）arcsin~

（4)arctan~（5）ln(1)~

（6）e1~（7）1cos~

2（8）n11~

12 n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定积分定义

三、无穷小阶的比较*

高阶、同阶、等价

四、连续与间断点的分类

1、连续的定义*

f(x)在a点连续

limy0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)

x0xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）

2、间断点的分类 无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他

3、曲线的渐近线*(1)水平渐近线：若limf(x)A,则存在渐近线：yAx(2)铅直渐近线：若limf(x),则存在渐近线：xaxa

五、闭区间连续函数性质

1、最大值与最小值定理

2、介值定理和零点定理

第二章 导数与微分

一、导数的概念

1、导数的定义* y|xaf(a)dyyf(ax)f(a)f(x)f(a)|xalimlimlimx0x0xadxxxxa

2、左右导数

左导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa右导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa

3、导数的几何意义* y|xa曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k

4、导数的物理意义

若运动方程：ss(t)则s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）

5、可导与连续的关系:

可导连续，反之不然。

二、导数的运算

1、四则运算(uv)uv

(uv)uvuv

()uvuvuv

2vdydyduu

2、复合函数求导 设yf[(x)]，一定条件下 yuxdxdudx3、反函数求导 设yf(x)和xf1(y)互为反函数，一定条件下：yx1 xy4、求导基本公式*（要熟记）

5、隐函数求导* 方法：在F(x,y)0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y

xx(t)

6、参数方程确定函数的求导* 设，一定条件下

yy(t)y(t)tdyytdyytxtytxtxxt（可以不记）y,yxx3dxxtdxxt(xt)

7、常用的高阶导数公式（1）sin(n)xsin(x),(n0,1,2...)

n（2）cosxcos(x),(n0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1x)(1)(n)n1(n1)!,(n12...)n(1x)1n(1)nn!),(n0,1,2...)（4）(n11x(1x)（5）（莱布尼茨公式）(uv)Cnku(nk)v(k)

(n)k0n

三、微分的概念与运算

1、微分定义 * 若yAxo(x)，则yf(x)可微，记dyAxAdx

2、公式：dyf(x)xf(x)dx

3、可微与可导的关系* 两者等价

4、近似计算 当|x|较小时，ydy，f(x)f(xx)f(x)x

第三章 导数的应用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)0,则：f()f(b)f(a)（a,b),使得：g()g(b)g(a)当取g(x)x时，定理演变成：

2、拉格朗日中值定理*

（a,b),使得：f()f(b)f(a)f(b)f(a)f()(ba)

ba当加上条件f(a)f(b)则演变成：

3、罗尔定理* （a,b),使得：f()0

4、泰勒中值定理 在一定条件下：

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)nRn(x)

n!f(n1)()(xx0)n1o((xx0)n),介于x0、x之间.其中Rn(x)(n1)!当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.当x00时，公式变成:

f(n)(0)n5、麦克劳林公式 f(x)f(0)f(0)x...xRn(x)

n!

6、常用麦克劳林展开式

x21n（1）e1x...xo(xn)

2!n!xx3x5(1)n12n1xo(x2n)（2）sinxx...3!5!(2n1)!x2x4(1)n2nxo(x2n1)（3）cosx1...2!4!(2n)!x2x3(1)n1n（4）ln(1x)x...xo(xn)

23n

二、罗比达法则* 记住：法则仅能对,型直接用，对于0,,1,00,0,转化后用.幂指函数恒等式*fgeglnf

三、单调性判别*

1、y0y,y0y

2、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*

1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法* 找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.00 7

六、凹凸性与拐点*

1、y0y,y0y

2、拐点：曲线上凹凸分界点(x0,y0).横坐标x0不外乎f(x0)0,或f(x0)不存在，找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径

1、曲率公式K|y|(1y2)

12、曲率半径R

K32

第四章 不定积分

一、不定积分的概念* 若在区间I上，F(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx，则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为f(x)dx.二、微分与积分的互逆关系

1、[f(x)dx]f(x)df(x)dxf(x)dx

2、f(x)dxf(x)cdf(x)f(x)c

三、积分法*

1、凑微分法*

2、第二类换元法

3、分部积分法* udvuvvdu

4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章 定积分

一、定积分的定义 af(x)dxlimf(i)xi x0i

1二、可积的必要条件

有界.三、可积的充分条件

连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义

定积分等于面积的代数和.bn 9

五、主要性质*

1、可加性 aac

2、估值 在[a,b]上，m(ba)af(x)dxM(ba)

3、积分中值定理* 当f(x)在[a,b]上连续时：af(x)dxf()(ba),[a,b]

4、函数平均值：babcbbbf(x)dxba

六、变上限积分函数*

1、若f(x)在[a,b]连续，则F(x)af(t)dt可导，且[af(t)dt]f(x)

2、若f(x)在[a,b]连续，(x)可导，则：[a

七、牛-莱公式* 若f(x)在[a,b]连续，则af(x)dx[f(x)dx]|bF(b)F(a)

axx（x）f(t)dt]f[(x)](x)

b

八、定积分的积分法*

1、换元法

牢记：换元同时要换限

2、分部积分法

audvuv|avdu

babb3、特殊积分（1）aa0,当f(x)为奇函数时f(x)dxa

20f(x)dx,当f(x)为偶函数时（2）当f(x)为周期为T的周期函数时：

aanTf(x)dxn0f(x)dx,nZ

T（3）一定条件下:0xf(sinx)dx0f(sinx)dx

2 10

(n1)！，n是正奇数时（4）02sinnxdx02cosnxdxn!

(n1)！，n是正偶数时!2n！（5）0sinxdx202sinnxdx n

九、反常积分*

1、无穷区间上

a

其他类似 f(x)dxlimaf(t)dtF(x)|aF()F(a)xx2、p积分：ap1时收敛1 dx(a0):pxp1时发散

3、瑕积分：若a为瑕点：

b则af(x)dxlimf(t)dtF(x)|F(b)F(a)

其他类似处理

axaxbb

第六章

定积分应用

一、几何应用

1、面积（1）A（y上-y下）dxaA（x右-x左）dyabb

xx(t),(t),则A|y(t)x(t)|dt（2）C:yy(t)C:(),与，，（)围成图形面积（3）12A（）d2

2、体积*（1）旋转体体积*Vxay2dx

Vycx2dy

或Vy2axydx（2）截面面积为AA(x)的立体体积为VaA(x)dx

bbdb 11

3、弧长

（1）sa1y2dx(axb)（2）sx2(t)y2(t)dt,(t)（3）s22d,()

二、物理应用

1、变力作功

一般地：先求功元素：再积分waF(x)dx dwF(x)dx,x[a,b]，克服重力作功的功元素dw=体积g位移

2、水压力

dP=水深面积g

第七章

微分方程

一、可分离变量的微分方程

dy形式：f(x)g(y)

dxbb二、一阶线性微分方程*

1、线性齐次：yp(x)y0 通解公式*：yCep(x)dx

2、线性非齐次

yp(x)yq(x)通解公式*：ye

p(x)dxp(x)dx[eq(x)dxC)

第四篇：AP微积分BC考试知识点总结

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AP微积分BC考试知识点总结

AP微积分BC中用到的高中6大知识点总结，微积分中用到的高中知识主要是函数相关知识，主要有以下几方面内容：

1.函数的定义、函数的图像、分段函数、绝对值函数、定义域和值域等;

2.函数的运算及复合函数，函数图像的对称性;

3.x的n次幂的函数、反比例函数、多项式函数、有理函数、三角函数的定义、性质和图像分析;

4.反函数和反三角函数的图像和性质;

5.指数函数和对数函数;

6.参数方程(只是Calculus BC所要求的内容)

这些基础内容的讲解将主要以做题带动讲解的方式，通过一定数量的例题引导，加速学生对基础知识的回忆，为后面的微积分学习打下一定的坚实基础。

1.函数的基本知识

1.1.Definition

If a variable y depends on a variable x in such a way that each value of x determines exactly one value of y, then we say that y is a function of x.1.2.The vertical line test:

A curve in the xy-plane is the graph of some function f if and only if no vertical line intersects the curve more than once.三立教育www.xiexiebang.com

1.3.The absolute value function

2.函数的运算

2.1.Composition of f with g

Given functions f and g, the composition of f with g, denoted by f ο g, is the function defined by

(f。g)(x)=f(g(x))

The donation of f o g is defined to consist of all x in the domain of g for which g(x)is in the domain of f.2.2.Symmetry Tests

a)A plane curve is symmetric about the y-axis if and only if replacing x by –x in its equation produces an equivalent equation.b)A plane curve is symmetric about the x-axis if and only if replacing y by –y in its equation produces an equivalent equation.c)A plane curve is symmetric about the origin if and only if replacing x by –x and y by –y in its equation produces an equivalent equation

3.常见的函数

3.1.Inverse function

A variable is said to be inversely proportional to a variable x if there is a positive constant k, called the constant of proportionality, such that，3.2.Polynomials 三立教育www.xiexiebang.com

A polynomial in x is a function that is expressible as a sum of finitely many terms of the form cxn, wherec is a constant and n is a nonnegative integar.3.3.Rational function

A function that can be expressed as a ratio of two polynomials is called a rational function.4.反函数

4.1.Inverse function

If the function f and g satisfy the two conditions：

g(f(x))=x for every x in the domain of f

f(g(x))=y for every y in the domain of g

then we say that f is an inverse of g and g is an inverse of f or that f and g are inverse functions.4.2.The Horizontal Line Test

A function has an inverse function if and only if its graph is cut at most once by any horizontal line.5.指数函数、对数函数

5.1.A function of the form f(x)=bx, where b>0, is called an exponential function with base b.5.2.The basic characteristic of exponential function 三立教育www.xiexiebang.com

5.3.The basic characteristic of logarithmic function

5.4.If b>0 and b≠1, then bx and logbx are inverse functions.6.参数方程

6.1.Definition

Suppose that a particle moves along a curve C in the xy-plane in such a way that its x-and y-coordinates, as functions of time, are

x=f(t), y=g(t)

We call these the parametric equations of motion for the particle and refer to C as the trajectory of the particle or the graphs of the equations.The variable t is called the parameter for the equations.上海新托福精讲班多少钱？

一、整体情况

培训对象：英语基础薄弱大学生或未接触过托福考试的高中生

培训目的：通过对托福基础听说读写的巩固及强化训练，帮助学员提高托福基础和应试技巧，顺利通过考试。

目标分数：80-90分

课程时长：根据学员需要而定

课程学费：依照学员学习水平而定

二、课程安排

课程课程：主讲托福词汇、托福语法、托福听力、托福阅读、托福口语、托福写作；

辅导课程：梳理课程知识，解疑答惑，查漏补缺；

测评课程：托福全真模考及考试分析点评； 三立教育www.xiexiebang.com

三、模考安排

第一次：课程中间，安排一次托福全真模拟考试及点评

第二次：课程结束，安排一次托福全真模拟考试及点评

备

注：除以上安排，学员结课后可根据自己的考试时间自行预约TPO小站模考

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第五篇：微积分总结

第一章知识点

1.极限的定义(ε-δ定义）：

（重在理解)2.两边夹法则

先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。

但要注意：夹的时候一定要保证不等关系一直成立 3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题（P9 例题3）

4.复合函数问题中Df∩Zg≠Φ对于一个复合函数f(g(x)),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必须要有交集（小错误）

5.有基本初等函数(反对幂指三）经过有限次变换得到的函数均为初等函数（定理：初等函数在其定义域内均连续）6.邻域均为开区间

7.用ε-ε-δ定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的δ，并要充分利用lim=n这一条件。P30 例1 8.Limf(x)=∞时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线

9.左右极限存在且相等==> 函数在这一点极限存在 10.函数极限存在则必有唯一性（反证法，与定义矛盾)11.连续可推出极限存在

12.连续性的条件：1.f(x0)有意义

2.f(x0)在此处的极限存在 3.此处limf（x）=f（x0）13.换元要换限，取值范围要跟着变。

14.无穷小性质：

1.有限个无穷小之和与乘积是无穷小

2.有界函数和常数 与无穷小的乘积是无穷小

（用于简化求极限的式子）

15.利用无穷小求极限就是丢掉不影响的无穷小（高阶无穷小），再用等价无穷小替换。

16.若f(x)在x0处可微，则f(x)在处连续，其极限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段点出的微商的步骤是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.连续点处或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求极限（极限为无穷则称其不可微）20.切线方程，法线方程 21.求极限时注意谁是变量。

22.无穷小等价代换 乘除可换 加减不能

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

23.间断点类型：第一类间断点：1.左右极限存在且相等但不等与

f(x0)(可取间断点）

2.左右极限不等（跳跃间断点）第二类间断点：

左右极限至少有一个不存在 24.极限比值为常数且分子或分母也为0，则另一个也为0（分子分母为同阶无穷小）25.(1)limsinx1x0x1x比较limxsinx0x(2)lim(1x)x0e或lim(1x1x)ex

26.极限的性质：1.唯一性 2.局部保号性 3.两边夹法则 4.比值极限性质 27.仅个人小小理解，当作总结，若有错误还请及时与我交流，愿大家共同进步！！