换底公式的两种证明方法5篇

第一篇：换底公式的两种证明方法

换底公式的几种证明

1、定义法

令 logcbq,logcap，则cqb,cpa

logablogcpcq

2、恒等式法 qqlogcb logccpplogca∵logablogcalogca∴logablogablogcb

logcb logca

第二篇：换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿

瀛湖中学 李善斌

教材分析

本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的.教学目标

一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.二、过程与方法

1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.三、情感态度与价值观

1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.教学重点

1换底公式得出的过程及其应用.教学难点

推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。换底公式的灵活应用.教具准备

多媒体课件、投影仪、教学过程

一、引入新课

1、复习回顾：

（1）对数式与指数式的互化（2）对数的基本性质

（3）积、商、幂的对数运算法则: 设计意图：对数的恒等式和对数的运算性质是学习本节课的基础。通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫。

2求新 问题：

（1）你能使用科学计算器计算：log215?计算器可以计算底数为多少的对数？

（2）对数的运算性质只能对同底数幂进行运算，那么对于不同底数的对数集中一起如何运算呢？如：

设计意图：通过一实例引入让学生发现问题，然后大胆探索、分析、归纳。

师：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？（产生认知冲突，激发学生的学习欲望）

二、讲解新课 问题（1）、通过计算器的计算，问题（1）可看成 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 求log215？

设计意图：进一步体现“解指数方程常用的方法是两边取对数的方法”

（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用，提问（2）、由上述计算你可得出什么结论？合作探究换底公式及证明 方法引导：关于对数换底公式的证明方法有很多，证明的基本思路就是借助指数式.设计意图：通过证明换底公式，①使学生掌握证明换底公式的基本思路就是借助指数式。②培养学生勇于探索、分析、归纳的能力。

合作探究1：常用推论及变形 logablogba? logablogbclogca?

nlogab（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0.m合作探究：换底公式有什么重大作用？ 合作探究2：证明logambn结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：

（二）换底公式的应用（多媒体显示如下例题，）

例1(1)log927(2)log89log2732 方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.设计意图：进一步熟练应用换底公式进行计算。充分体现换底公式的作用，提高学生灵活解题能力。

知识拓展：

例2 已知 log189a,18b5 求log3645的值（用a, b表示）考察学生对本节课的掌握情况

（三）对数的实际应用问题

合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.（四）小结提升

设计意图：①培养学生善于全面总结,自觉归纳的好习惯。②使知识更加系统,有利于学生掌握。

课堂练习与作业 练习:P86 2、3、4 作业：课本 P88 B组3，4

设计意图：通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。

(五)教学反思

对于课本中的“两边取对数”方法，我认真反思了很久，有些个人的感受。课本这样做的理由是此前课本中有这样的说法：“对任何正数N，log a N是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以log a N也是唯一的。”这就保证了“对两个相等的正数，两边取相同底数的对数后仍相等”是站得住脚的，也就保证了“两边取对数”的方法是有据可依的。

个人认为，课本这样做也是合理的。但这种做法不太适宜学生的接受，因为它的思维跨度较大，多数学生不宜想到这样做的理由，所以效果不一定会好。如果能过渡一下就好了。我想改变一下做法，让它仍然能够解决问题，同时学生也容易接受。大家知道，在“指、对互化”中，指数幂的底数就是对数的底数，所以我们可以把对数转化为指数，而后对指数幂进行换底，再把指数幂换回到对数，就达到了目的。这样做，也可以引出指数幂的换底公式，为学生的思考与拓展作了铺垫。

再者，课本的引入较为简单，突然出现一个对数让学生去计算，没有来龙，也不好确定去脉。个人在同行们的建议下，把引入变成了一个实际问题，从实际问题中提出关于一个对数的计算，从而引出问题，导入主题。当然，还有很多不成熟的地方，有待同行批评指正。

课后反思：

上课后，出乎我的意料，学生在最困难的“换底”处理上，还是首先想到的“两边取对数”的思想方法。看来，教材编排是有科学根据的，对“两边取对数”的思想方法实现作铺垫是很有必要的。

其实，关于变换指数幂的底数，教材在此之前也有铺垫，学生已经学过了公式。但从学生的实际出发，学生更愿意接受“两边取对数”的方法。

（六）板书设计

3.4.2 换底公式

一、换底公式 1.换底公式

2.换底公式的推导过程

3.使用换底公式应注意的地方

二、对数的应用问题 例1 例2

三、巩固练习

四、课堂小结与布置作业

第三篇：对数的换底公式教案

对数的换底公式

一、教学目标：

1.知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，以及科学分析问题的精神和态度

2.过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，并应用换底公式简便运算 3.情感、态度与价值观

通过对数的运算法则、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质

二、重点、难点

重点：对数的运算性质、换底公式及应用

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式

三、教学设计

1、课题引入

在前两节课，我们已经学习了对数的定义及性质，从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可以作为对数的底。并且科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，这样我们求任何对数都只需将它们的底数转换为以10或e为底的对数就行了。可是应该怎样转换呢，这就需要一个换底公式，也就是我们今天所要学习的内容————对数的换底公式。

2、探究

现在就来看一个具体的对数㏒215，如何使用科学计算器计算出它的值？如何对它进行转换？

设㏒215=x，写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以x=lg15 lg2lg15≈3.9068906.lg2ln15≈3.9068906.ln2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=同理也可以使用科学计算器计算ln键算出㏒215=大家观察一下㏒215=x =

lg15 lg这个等式有什么特点

特点：① ㏒215是用 lg15与lg2 的商来表示的② ㏒215 转换为以10为底的对数 好了，这是一些特殊的情况，那一般的情况呢？如果是任意的对数b呢？它是否可以转换为以10为底的对数呢，或者更一般的情况，它是否可以转换为任意不等于1的正数为底对数呢？比如我们设任意的对数为㏒b N，它又是否可以转换为以a为底的对数呢？

3、对数的换底公式

我们可以先猜想㏒b N=

logaN(a,b>0,a,b≠1,N>0).logab下面就来具体的证明一下

证明：设㏒b N=x,根据对数定义，有

x N=b两边取以a为底的对数，得

x㏒aN=㏒ab

故 x㏒ab =㏒aN，由于b≠1则㏒ab≠0，解得

x=logaN

logablogaN

logab1

logba故㏒b N=由换底公式易知㏒ab=

这样就证明了我们的猜想是正确的，而这就是对数的换底公式

大家要注意它是将 ㏒b N转换为以a为底数N为真数的对数与以a为底数b为真数的对数的商

这样我们就把一个数的对数变换成了与原来对数的底数不同的两个对数的商

4、例题

例1：㏒89㏒2732

分析：大家观察，在这一个问题中，两对数底数不同，要计算它，就要利用对数的换底公式统一底数的问题，先换为以10为底，再换以e为底，再换其它，总结

lg3221g351g210lg9解：原式=·=·=.lg2731g231g39lg8

下面我们来看这个对数式具体有什么特点？（8和32,9和27，分别可以写为以2为底，以3为底的对数，这样的话底数任意选取）例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的

84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

四、课堂小结

在这一节课中，我们主要学习了换底公式，学习了它的推导过程，它的意义在于把对数的底数改变，把不同底的问题转换为同底问题，对于换底公式，大家重在它的运用掌握，关键在找准底数，从而为简便我们的运算创造条件。

五、作业：

本节练习题2 B组4题

第四篇：基于高中数学的单摆周期公式的两种证明

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基于高中数学的单摆周期公式的两种证明 作者：顾爱芬 许忠艳 陈晓斌

来源：《中学物理·高中》2014年第02期

单摆的周期公式是高中物理的重要公式，是教学的重点.课标对单摆实验的要求有两条：一是要求“通过实验探究单摆的周期与摆长的关系”，二是“会用单摆测定重力加速度”，通过这两个实验从数据处理、减少实验误差来全面提高学生的实验素养.学生经过实验探究后能得到单摆的周期与摆长的二次方根成正比，而与振幅、摆球的质量无关.对于周期公式的得出，教材一带而过：“荷兰物理学家惠更斯曾经详尽地研究过单摆的振动...确定了计算单摆的周期的公式.”这个公式到底是怎么推导得来的，教材中没说，而求知欲强的学生却对此问题饶有兴趣，会追问是如何推导的.教学实践表明有必要引导学生根据现有的知识和经验主动建构物理知识，以满足学生的需求，因为学生获取知识的过程比获取知识的结果更为重要.上面的推导，一个是从运动学的角度，另一个是从动力学的角度，表面看是不同，结果殊途同归，正体现了物理当中力和运动的联系与统一.学习推导的过程不仅促进了知识的生成、满足了他们的求知欲和好奇心，更让学生感受到看似不同的各种现象之间的内在联系，体会到物理世界以至自然界的一种统一的整体美！

第五篇：高一数学教案：3.4.2 换底公式(北师大版必修1)

对数换底公式

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log56=?

像log56这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来

二、新课讲解： *logaNlogbNlogab 公式：x证明：设xlogbN，则bN

xlogablogaNxlogaNlogaNlogbNlogab,即logab。

1、成立前提：b>0且b≠且a≠

12、公式应用：“换底”，这是对数恒等

10为底。

3eNe=2.71828

例11：logablogba

1nlogablogabm2：n

m

例

2、求下列各式的值。X k b 1.c o m

（1）、log98•log3227

（2）、（log43+log83）•(log32+log92)

(3)、log49•log

32(4)、log48•log39

(5)、（log2125+log425+log85）•(log52+log254+log1258)

例

3、若log1227=a,试用a表示log616.解：法

一、换成以2为底的对数。

法

二、换成以3为底的对数。

法

三、换成以10为底的对数。

练习：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例

4、已知12x=3,12y=2,求812x

1xy的值。

22logalogb5,logbloga•b的8484练习：已知

值；

例

5、有一片树林，现有木材220002.5%，求1

5解：设15年后约有木材 A=22000（×1.02515

∴答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用含有a、b、t的式子表示x。logaNlogbN

三、小结：对数换底公式：

logab