欧拉公式的证明方法和应用（优秀范文五篇）

第一篇：欧拉公式的证明方法和应用

欧拉公式

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

e

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy(x,yR)，有

ii（证完）ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完）eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n； 证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina))xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina))xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n!cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

e

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，，ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③）sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析 下册 第三版 华东师范大学数学系 编 第十四章 幂级数 2001

[2] 复变函数论 第三版 钟玉泉 编 第二章 解析函数 2004

[3] 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析 下册 华东师大第三版 同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|

有意义的。因为f(x)

ixcos2xsinx1所以cosxisinx0。因此，函数f(x)2ixcosxisinx是ixcosxisinx所以 ix

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x0

又根据lagrange中值定理可得 f(x)cc 为实常数，又因为f(0)i0

cos0isin0=1则有

f(x)1，所以有f(x)ix

cosxisinx1，所以ecosxisinx

7.3附件③复函中规定：sinhz

zix2z,coshzz2z

第二篇：复变函数中的欧拉公式的证明

复变函数中的欧拉公式的证明

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a)将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b)将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c)将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d)将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix

2icosx=2 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅱ Ⅳ

第三篇：欧拉常数的证明（本站推荐）

调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于ln(1+1/n)<1/n（n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.5772***86060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

欧拉常数发现的历史

著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De

Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。

第四篇：Taylor公式的证明及应用

Taylor公式的证明及应用

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

列式.一、

第五篇：关于中国邮递员问题和欧拉图应用

关于中国邮递员问题和欧拉图应用

中国邮递员问题：

1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。

这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G，（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。

（2）求G*的Euler 环游。

人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。[1]

欧拉图：

图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。

无向图欧拉图判定：

无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。

有向图欧拉图判定：

有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图[2]连通，且所有顶点的入度等于出度。

欧拉回路性质：

性质1 设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。

性质2 设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。

欧拉回路算法： 1

在图G中任意找一个回路C；

将图G中属于回路C的边删除；

在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；

将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。

由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。

如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。

如果图 是有向图，我们仍然可以使用以上算法。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径

中国邮递员问题①： 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。

分析：

双向连通，即给定无向图G。

如果G不连通，则无解。

如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。

如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点[3]。奇点都是成对出现的，证明从略。

对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。

证明：u和v加上了一条边，度加一，改变了奇偶性。而R中其他点度加二，奇偶性不变。

由此可知，加一次R，能够减少两个奇点。推广到k个奇点的情况，加k/2个R就能使度全为偶数。

接下的问题是求一个k个奇点的配对方案，使得k/2个路径总长度最小。

这个就是无向完全图最小权匹配问题。有一种Edmonds算法，时间复杂度O（N^3）。[4]

也可转换为二分图，用松弛优化的KM算法，时间复杂度也是O（N^3）。

完整的算法流程如下：

如果G是连通图，转2，否则返回无解并结束；

检查G中的奇点，构成图H的顶点集；

求出G中每对奇点之间的最短路径长度，作为图H对应顶点间的边权；

对H进行最小权匹配；

把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径，加入到图G中得到图G’；

在G’中求欧拉回路，即所求的最优路线。

中国邮递员问题②：

和①相似，只是所有街道都是单向通行的。

分析：

单向连通，即给定有向图G。

和①的分析一样，我们来讨论如何从G转换为欧拉图G’。

首先计算每个顶点v的入度与出度之差 d’（v）。如果G中所有的v都有d’（v）=0，那么G中已经存在欧拉回路。

d’（v）>0 说明得加上出度。d’（v）<0说明得加上入度。

而当d’（v）=0，则不能做任何新增路径的端点。

可以看出这个模型很像网络流模型。

顶点d’（v）>0对应于网络流模型中的源点，它发出d’（v）个单位的流；顶点d’（v）<0对应于网络流模型中的汇点，它接收-d’（v）个单位的流；而d’（v）=0的顶点，则对应于网络流模型中的中间结点，它接收的流量等于发出的流量。在原问题中还要求增加的路径总长度最小，我们可以给网络中每条边的费用值 设为图 中对应边的长度。这样，在网络中求最小费用最大流，即可使总费用最小。

这样构造网络N：

其顶点集为图G的所有顶点，以及附加的超级源 和超级汇 ；

对于图G中每一条边(u,v)，在N中连边(u,v)，容量为∞，费用为该边的长度；

从源点 向所有d’(v)>0的顶点v连边(s,v)，容量为d’(v)，费用为0；

从所有d’(v)<0的顶点 向汇点t连边(u,t)，容量为-d’(v)，费用为0。

完整的算法流程如下：

如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0，转2，否则返回无解并结束；

计算所有顶点v的d’(v)值；

构造网络N；

在网络N中求最小费用最大流；

对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v)，在图G中增加f(u,v)次得到G’；

在G’中求欧拉回路，即为所求的最优路线。

NPC问题：

如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。[5]

------------------[1] 大城市邮政投递问题及其算法研讨

[2] 忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。

[3] 度为奇数的顶点称为奇点。

[4] J.Edmonds, E.Johnson 《Matching, Euler tours, and the Chinese postman》

[5] C.Papadimitriou 《The complexity of edge traversing》

中国邮递员问题的C++实现源代码 //PKU 2337 #include #include #include #include #include using namespace std;

const int MAX = 1100;char str[MAX][25];int n, in[MAX], out[MAX];vector words[30];int vis[30];int f[30], ss, is, os, ps;

int seq[MAX], step;void find_euler(int pos)...{

int i,j;

while(out[pos])...{

for(;vis[pos] < words[pos].size();)...{

string snext = words[pos][ vis[pos] ];

j = snext[snext.length()-1]-'a';

out[pos]--;

vis[pos] ++;

find_euler(j);

}

}

seq[step ++] = pos;} void union_f(int s,int e)...{

int ts = s, te = e;

while(s!=-1 && f[s]!= s)...{

s = f[s];

}

if(s ==-1)...{

f[ts] = s = ts;

}

while(e!=-1 && f[e]!= e)...{

int t = e;

e = f[e];

f[t] = s;

}

if(e >= 0)...{

f[e] = s;

} }

int main()...{

int t,i,j;

scanf(“%d”, &t);

while(t--)...{

scanf(“%d”, &n);

getchar();

for(i=0;i<30;i++)words[i].clear();

memset(in,0,sizeof(in));

memset(out,0,sizeof(out));

memset(f,-1,sizeof(f));

ss = is = os = ps = 0;

for(i=0;i

gets(str[i]);

int len = strlen(str[i]);

int chs = str[i][0]-'a';

int che = str[i][len-1]-'a';

words[chs].push_back(string(str[i]));

in[che] ++;

out[chs] ++;

union_f(chs, che);

}

bool flag = true;

for(i=0;i<30;i++)...{

if(f[i] == i)ss ++;

if(in[i] == out[i] +1)os ++;

else if(in[i] +1 == out[i])is ++;

else if(in[i]!= out[i])flag = false;

}

if(ss > 1)flag = false;

if(!(os==0 && is==0)&&!(os==1 && is==1))flag = false;

if(!flag)...{

puts(“***”);

}

else...{

int spos;

if(os == 1 && is == 1)...{

for(i=0;i<30;i++)...{

if(in[i] +1 == out[i])...{

spos = i;

break;

}

}

}

else...{

for(i=0;i<30;i++)...{

if(f[i]!=-1)...{

spos = i;

break;

}

}

}

for(i=0;i<30;i++)sort(words[i].begin(), words[i].end());

step = 0;

memset(vis, 0, sizeof(vis));

find_euler(spos);

//memset(vis, 0, sizeof(vis));

for(i=step-1;i>0;i--)...{

spos = seq[i];

string snext;

for(j=0;j

snext = words[spos][j];

if(seq[i-1] == snext[snext.length()-1]-'a')...{

words[spos].erase(words[spos].begin()+j);

break;

}

}

printf(“%s”, snext.c_str());

if(i>1)putchar('.');

}

puts("");

}

} }