第一篇：狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明
单位符号单位符号
坐标：m(x, y, z)力： NF(f)
时间：st(T)质量:kgm(M)
位移：mr动量:kg*m/s p(P)
速度：m/sv(u)能量: JE
加速度： m/s^2 a冲量：N*sI
长度：ml(L)动能：JEk
路程：ms(S)势能：JEp
角速度： rad/s ω力矩：N*mM
角加速度:rad/s^2α功率：WP
一：
牛顿力学（预备知识）
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt
(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)
二：
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc2
(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)
三：
三维证明：
(一)由实验总结出的公理，无法证明。
(二)洛仑兹变换：
设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故
△t=γ△T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)
牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2
=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2
=Mc2-mc2
即E=Mc2=Ek+mc2
(十)能量动量关系：
E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c
2四：
四维证明：
(一)公理，无法证明。
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)
令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）
四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
(九)质能方程：
fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2
故E=Mc2=Ek+mc2
关于第六条：
通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E'=γE(1-u*v/c2)
(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E'=γE(1-uv（x）/c2))
上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：
ν'=γν（1-ucosθ/c）(普遍公式)
对于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）)（特例）
利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：
p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))
p(y)'=p(y)
p(z)'=p(z)
动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。
第二篇：狭义相对论公式及证明(幽灵蝶)
狭义相对论公式及证明
单位符号单位符号
坐标：m(x,y,z)力： NF(f)
时间：st(T)质量:kgm(M)
位移：mr动量:kg*m/s p(P)
速度：m/sv(u)能量: JE
加速度： m/s^2 a冲量：N*sI
长度：ml(L)动能：JEk
路程：ms(S)势能：JEp
角速度： rad/s ω力矩：N*mM
角加速度:rad/s^2α功率：WP
一：
牛顿力学（预备知识）
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)
二：
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc^2
(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)
三：
三维证明：
(一)由实验总结出的公理，无法证明。
(二)洛仑兹变换：
设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)
牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量动量关系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四：
四维证明：
(一)公理，无法证明。
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类
光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）
四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
(九)质能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2
第三篇：公式及证明
初中数学几何定理
1。同角（或等角）的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
5。同位角相等，两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。
9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。
10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
21。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。
22。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
23。相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；
初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等
12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角
10.等于同一角的两个角相等
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行
3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边
5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角
4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条
6.两条直线相交成直角则两直线垂直
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上
8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）
证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理
3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理
5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论
6.利用比利式或等积式化得
证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆
二、空间与图形
A：图形的认识：
1：点，线，面
点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
3视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。
2：角
线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3：相交线与平行线
角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。
4：三角形
三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。
图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。
5：四边形
平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。
多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）
平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。
中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
B：图形与变换：
1：图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
2:图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似
比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应
边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
D：证明
定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。
公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。
第四篇：狭义相对论读后感论文
题目三• 你从狭义相对论中学到了哪一点是对你是印象深刻的？
《狭义相对论》我中学就有耳闻，那时候虽然什么都不懂，只知道《狭义相对论》是很厉害的理论，也让我体会到了世界的奇妙，宇宙万物的高深，启发了我对科普知识的浓厚兴趣。
简洁来说狭义相对论有两条原理1.所有的物理定律在各个不同的惯性坐标系中都相同2.光速恒定不变E=MC2(平方)是根据这两条原理得出的，只是狭义相对论的一部分 简单的讲就是除了物理定律和光速任何物质都是相对变动的，包括时间和空间。最让我印象深刻的就是狭义相对论的时空观，它让我对物质世界的理解又到了一种层次。俗话说“覆水难收“意思是倒出去的水很难再收回来，时间也是这样，时间流逝了就很难再回来。但是爱因斯坦的相对论彻底的推翻了这些俗语，当达到光速的时候就有可能做得到穿越时空。
这些观点衍生出来了很多推论和假设，最出名和最让人感兴趣的就是双生子佯谬问题。
时钟佯谬或双生子佯谬
一对双生子A和B，A在地球上，B乘火箭去做星际旅行，经过漫长岁月返回地球。爱因斯坦由相对论断言，二人经历的时间不同，重逢时B将比A年轻。许多人有疑问，认为A看B在运动，B看A也在运动，为什么不能是A比B年轻呢?由于地球可近似为惯性系，B要经历加速与减速过程，是变加速运动参考系，真正讨论起来非常复杂，因此这个爱因斯坦早已讨论清楚的问题被许多人误认为相对论是自相矛盾的理论。如果用时空图和世界线的概念讨论此问题就简便多了，只是要用到许多数学知识和公式。在此只是用语言来描述一种最简单的情形。不过只用语言无法更详细说明细节，有兴趣的请参考一些相对论书籍。我们的结论是，无论在哪个参考系中，B都比A年轻。为使问题简化，只讨论这种情形，火箭经过极短时间加速到亚光速，飞行一段时间后，用极短时间掉头，又飞行一段时间，用极短时间减速与地球相遇。这样处理的目的是略去加速和减速造成的影响。在地球参考系中很好讨论，火箭始终是动钟，重逢时B比A年轻。在火箭参考系内，地球在匀速过程中是动钟，时间进程比火箭内慢，但最关键的地方是火箭掉头的过程。在掉头过程中，地球由火箭后方很远的地方经过极短的时间划过半个圆周，到达火箭的前方很远的地方。这是一个“超光速”过程。只是这种超光速与相对论并不矛盾，这种“超光速”并不能传递任何信息，不是真正意义上的超光速。如果没有这个掉头过程，火箭与地球就不能相遇，由于不同的参考系没有统一的时间，因此无法比较他们的年龄，只有在他们相遇时才可以比较。火箭掉头后，B不能直接接受A的信息，因为信息传递需要时间。B看到的实际过程是
在掉头过程中，地球的时间进度猛地加快了。在B看来，A现实比B年轻，接着在掉头时迅速衰老，返航时，A又比自己衰老的慢了。重逢时，自己仍比A年轻。也就是说，相对论不存在逻辑上的矛盾。
狭义相对论独特的见解颠覆了传统的经典力学的时空观。经典力学认为时间和空间都是绝对的, 同一个事件不同状态的人测量情况一样，而相对论认为同一个事件不同的人测量会得出不同的时间, 就象不同的人的表上的不一样.相对论认为,光速对于任何人是一样的,所以时间不同,经典力学则不。相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观条件下的物体。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念。
狭义相对论的四维时空观正是其中对狭义相对论的一个最形象典型的代表。四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。例如，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。
四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。
如果这些问题得到验证解决，将会对科学科技有着里程碑式的推进，将会解决现在不可以解决的问题，多维空间的确立甚至可以解决困扰人们至今灵魂学的问题。
《狭义相对论》是一个很著名的理论，爱因斯坦总结创新的狭义相对论更是造福了全人类，推动了科学发展的进程。在吴老师的精彩讲课中，生动有趣的课堂更是激发了我对科学的浓厚兴趣及源源不断的求知欲，让我体会到了这个造物世界的奥妙。
第五篇：狭义相对论20151017教案
一、经典力学的困难
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是说，我们看到的现象，或对事物的描述，往往随观测角度的不同而不同。在物理学中描述一个物理过程，离不开参考系。例如，在运动的车厢顶部落下一个包裹，在地面上和在车厢内看到它的轨迹是不同的，这就是所谓事物的相对性。
经典力学中，物体的速度与所选参考系有关，而利用经典电磁学的麦克斯韦方程组可以得出真空中电磁波的传播速度为真空介电常数ε0与真空磁导率μ0的几何平均数的倒数，是一个与参考系无关的量。
伽利略相对性原理和他的坐标变换，已经在超越个别参考系的描述方面，迈出重大的一步。它的一个重要结论，是速度的合成律，例如一个人以速度v相对自己掷出一个球，而他本人又以速度u相对地面运动，则球出手时相对地面的速度为u+v。按常识，这种算法是天经地义的；但把这种算法运用到光的传播问题上，就产生了矛盾。
设想两个人传球，甲将一个会发光的球传给乙。乙看到球，是因为球发出的光线到达乙的眼睛。设两人之间的距离为L，球发出的光相对它的传播速度为c。甲即将传球前，球处于静止状态，球发出的光相对地面的速度就是c，乙看到此情景的时刻比甲延迟L/c；在极短冲击力的作用下，球出手时速度达到v，按上述经典的合成律，此刻由球发出的光相对地面的速度为v+c，乙看到球出手的时刻比甲晚L/(v+c)，也就是说，甲先看到球出手，后看到甲传球。这种先后颠倒的现象谁也没看到过。
会有人说，由于光速非常大，两个时间差的差别微乎其微，在日常生活中是观察不到的，这个例子没有现实意义。那么来看一个天文上的例子。
1731年英国一位天文爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座发现蟹状星云。根据后来的观测推算，蟹状星云是在公元1060年左右（地球上观测到的时间）的一次超新星爆发抛出的气体壳层。这一点在我国的史籍《宋会要》中有以下记载：“嘉佑元年三月，司天监言，客星没，客去之兆也。初，至和元年五月晨出东方，守天关。昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”当一颗超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散，也就是说有些抛射物射向我们。如果光线服从经典速度合成律的话，从蟹状星云到地球的距离（约5000光年）和爆发中抛射物的速度（约1500千米/秒）来计算，两者发出的光到达地球的时间将相差25年，即地球将在25年内持续看到超新星开始爆发时发出的强光。而史书记载，客星从出现到隐没还不到2年。
大海中轮船激起的波浪的速度只与洋流的速度有关，而与船的速度无关。这给上述问题提供了另外一种可能的解释，即发光物体发出的光的传播速度与发光物体的速度无关，只与传播介质的运动状态有关。于是上述矛盾不复存在；但又出现了一个新的问题：传播光线的介质是什么？按照旧时的看法，是一种叫做“以太”（aether）的物质，那地球以怎样的速度在以太中运动？在地球上，如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于
v2以太的运动；实验的精度足够高时（达到2量级），可在地球上测定各个方向光速的差异。
c1881年，迈克耳孙和莫雷首次用迈克耳孙干涉仪做了观测实验；6年后，进行了更精密的测量。从理论上分析，将仪器旋转90o，应有0.4个条纹的移动；实验的结果却是：根本不存在条纹移动。
二、爱因斯坦狭义相对论的基本假设
当别人忙着在经典物理框架内用形形色色的理论来修补“以太说”时，爱因斯坦另辟蹊径，提出两个重要假设：
1、相对性原理
爱因斯坦的相对性原理与伽利略的思想基本上一致，即所有惯性系都是等价的，在它们之中所有的物理规律都一样。但伽利略变换只适用于经典力学，不保证电磁学（包括光）也满足相对性原理。爱因斯坦提出的相对性原理希望把一切物理规律都包括进去。
2、光速不变原理
在看到经典力学与电磁学存在的矛盾后，爱因斯坦大胆假设提出假设：在所有惯性系中测得的真空光速c的大小都是相同的。
三、洛伦兹变换推导
两个惯性系S系和S'系，其对应的坐标轴彼此平行。S'系相对S系以速率u沿x轴正方向运动，事件在两个坐标系的坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')。当t=t'=0时，两个坐标系的原点重合。经典力学中从S系到S'系的伽利略坐标变换式为
xxut yyzz逆变换为
xxut yyzz为调和经典力学和经典电磁学的矛盾，洛伦兹提出不同惯性系的物理方程应该具有相同的形式，为此必须放弃绝对时间的概念，即
xxut yyzzγ称为洛伦兹因子，逆变换为
xxut yyzz设任意事件从S'系到S系的变换为
任意事件从S系到S'系的变换为
xxut
（1）
xxut
（2）
将（1）改写为t'的表达式并把（2）带入，得到
tt12x u（3）
设由重合的原点O和O'在t=t'=0时刻发出沿x轴正向的光，波前坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')，那么根据光速不变原理，有
xct
（4）xct
（5）
（1）和（2）相乘，得
xx2xxxutxutu2tt
（6）
将（4）和（5）代入（6），得
c222cu21u12c2
（7）
并记
u c（8）
当u< ux2c t2u12ctux2c t2u12ct（9） （10） 四、狭义相对论的时空观 1、同时的相对性和时间延缓 假设S'系中两个事件(x1',t1')和(x2',t2')在不同位置同时发生，即t1'=t2'=t'，则在S系中观察 uxt1t21ucx120 tt2t1x2uxct2t22c结论：沿两个惯性系相对运动方向配置的两个事件，若在一个惯性系中同时发生，则在另一个惯性系中观测，总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生。 S'系中，在x'位置先后发生的两个事件间隔事件Δt'=t2'-t1'，则在S系中测得 tt2t1tt1uc22t 结论：在一个惯性系中同一位置先后发生的两个事件，在另一个惯性系中观测其发生的时间间隔变长。 2、长度收缩 x1x2ut2x1ut1lut lx2由于在S系中测两端坐标为同时发生的事件，所以Δt=0，故 u2ll12l cl结论：运动的物体的测量长度缩短。 3、因果的绝对性 x1uux2ux2t1t2t1t22x1tt1tt1v 121222sccttc12因为u 4、双生子佯谬 假设有两个双生子，甲留在地球上（忽略地球自转），乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行。经过若干年，飞船返回到地球，甲和乙重逢时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙比他年轻，而飞船上的乙认为地球上的甲比他年轻，相互矛盾。正确的答案是：甲和乙重逢时，乘飞船航行的乙比留在地球上的甲年轻一些。产生问题的原因在于不恰当地运用了狭义相对论，狭义相对论的前提是地球和飞船应是两个完全等价的惯性系，而本问题不满足这一条件。乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙衰老速度较慢，而飞船上的乙认为地球上的衰老速度较慢；问题在于飞船返航前调头的过程，地球相对飞船而言是从后方沿曲线运动到前方，不再是惯性系，故狭义相对论原理不再适用。这个过程需要用广义相对论原理进行解释，简而言之就是在飞船调头时，飞船内的乙观测到地球上的甲在迅速衰老。 双生子实验在1971年完成：将具有极高精度的铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上的钟慢了59纳秒和快了273纳秒。因为地球以一定的角速度自西向东转动，地面不是惯性系，而地心指向太阳的参考系可认为是惯性系。由于飞机的速度总小于太阳的速度，因此飞机相对惯性系总是向东转的，只是沿赤道向东飞行时相对惯性系的速度大、向西飞行时小，静止在地面上则介于两者之间。上述实验结果与广义相对论（对时钟的影响不仅有运动学效应，还有引力效应）的理论计算比较，在实验误差范围内相符。因而，我们今天不在说“双生子佯谬”，而是称之为“双生子效应”。 五、速度的合成 对位置x'和时间t'求导，有 xxutdxdxudtuu ttxdtdtdx22cc速度就是位置随时间的变化，即 vxvudxdxudt xuuvdtdtdx1x22ccvudx vxxuvdt1x2cvyvydydy udtuvdt2dx12xcc其余速度分量同理。 追光问题：当vx'=c时，vxcuc uc12c即真空光速与参考系无关。 六、狭义相对论动力学 1、相对论动量 假设有两个静止时质量相同（都为m0）的小球A和B，在光滑水平面（S系）上以大小相等、方向想法的速度在原点发生完全弹性斜碰撞，运动方向与x轴夹角（锐角）为θ。碰撞后x方向上的速度分量不变，y方向上的速度分量发生交换。碰撞前A在x方向上的速度分量指向x轴正方向，在y方向上的速度分量指向y轴正方向。S'系相对S系的速度为u=v·cosθ，方向为x轴正方向。 vsinu2碰撞前12vAyc vAyvsinu碰撞后12vAx2uc1c2vsinu2碰撞前12vByc vByvsinu碰撞后12vBx2uc1c2考虑y'方向上的速度分量：S'系中碰撞前后y'方向上动量守恒，即 mAvsinvsinvsinvsin mmmBABu2u2u2u21c21c21c21c2u212c mBmAu212c化简后得到 当θ→0时，u→v，上式变为 v212c mBmAv212c考虑x'方向上的速度分量 vBxvBxu2vcos02v 222uvcosv12vBx112cc2cvBx2v2vvBx0 2c整理得 解得 v1Bx1cv vBxc2带入mB'表达式，得 2mBmA1v1Bxc2 当θ→0时，A在S'系中静止，mA'=m0，所以 mBm0v1Bxcm01vc222 即，在惯性系中对一个以速度v运动的物体的质量的测量结果为 m 即运动物体的测量质量增大。动量为 m0v p2v12c2、力 ddpFdtm0vu2dvdv12mvvm0c0dtdt 31dt2222vvc21c21c2 3、相对论动能 在一维下，dmvdrFdrdmvdvv2dmmvdv dtmm022m2c2m0cm2v22mcdm2mvdv2mvdmmvdvv2dmc2dm因此有 222 Fdrc2dm 设质点从位置a运动到位置b，速度从0增至v，质量从m0变为m，则 bm222aFdrcdmmcm0cm0故质点速度为v时的动能为 Ekmc2m0c2 v2当v< c111v2222 Ekm0c1m0c11mv02c222v1c2 4、质能关系 静能：m0c2 总能：E=Ek+m0c2=mc2 总能增量：ΔE=Δmc2 5、相对论动量与能量的关系 2Emc2vcppmvE2222422m0cEpcm0c2E v212c 七、高速运动物体的视觉形象 尺度收缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者所在参考系的同一时刻的位置（异地同时测量）构成的形象，可称为“测量形象”；而物体产生的“视觉形象”，即我们看到的（或照相机拍摄的）形象，是由物体上各点发出后同时到达观察者的光线所组成，这些光想并不是同时自物体发出的。 以运动物体作为参考系S'系，观察者所在参考系为S系。S'系相对于观察者所在的S系以速率u沿x轴正方向运动。S'系中物体上一点P'的坐标为(x',y')，在变换到S系为 x12x yy设观察者处于垂直于运动的y负方向上，且很远，这样便可以认为从物体上各点射向观察者的光线都平行于y轴。为了使光线同时到达观察者，以坐标原点为基准，在它以上的点在x方向的位置需要有一定的提前量，以下的点则需要有延迟量。于是物体的形象发生剪切，这才是物体的视觉形象。S系中，在x方向上的平移量为Δx=ut，而t离y所需的时间。设构成视觉形象的各点坐标为(x,y)，则有变换关系 * * y是是光线走过距cxxxxy12xy yyy在远方的观察者是物体在垂直于视线方向上的投影。把物体的视觉形象与原物体放在一起对比，P'变到了P*位置，设P'到原点距离为R，以R为半径作圆，再由P*作平行视线的光线交圆于点Q，则在观察者看到的投影形象中P'似乎转动了一个角度Δθ=∠P'OQ。 令P'和Q的极坐标分别为(R,θ)和(R,θ*)，则Δθ=θ*-θ，cosx Rysin R12xyx cosRR利用三角函数运算法则sin2θ+cos2θ=1计算（考虑象限）得 sin进而得出 x12yR sinsinsincoscossinu c该式表明，观察者看到的高速运动的物体的形象似乎是原物体整体转过一个角度Δθ=arcsinβ。该现象首先由Terrell发现，故称为“Terrell转动”。令 dxd12RcosRsin012RsinRcos dd即 cos结合sin2θ+cos2θ=1，得 12sin sin 则x*的极值为 1RcosRsin1R2212sinRsinRsinR 这说明，观察者是“看不到”尺度收缩效应的。 八、闵可夫斯基空间与时空四矢量 1、洛仑兹变换矩阵 xy0z0iict01000010ixx0yLy z0zictict式中i为虚数单位。洛仑兹变换矩阵的逆等于其转置，即L-1=LT。 2、洛仑兹协变矢量：X=(x,y,z,ict)T称为时空四矢量。其导数dX=(dx,dy,dz,ic﹒dt)T仍为时空四矢量。 3、洛仑兹变换不变量 x2y2z2c2t2x,y,z,ictx,y,z,ictTTTTLx,y,z,ictLx,y,z,ictT x,y,z,ictLTLx,y,z,ictTx,y,z,ictx,y,z,ictx2y2z2c2t2即，时空四矢量的各分量的平方和是与参考系无关的常量。 4、间隔的不变性 设有两个事件：事件1(x1,y1,z1,ict1)，事件2(x2,y2,z2,ict2)。两个事件的间隔定义为 2222 S2x1x2y1y2z1z2ict1ict2 （41）22c2tr由于两个时空四矢量的和差仍为时空四矢量，所以ΔS2为不变量。 （1）同地相继发生的两个事件：ΔS2=c2(Δt)2，原时Δt为不变量； （2）异地同时发生的事件：ΔS2=-(Δr)2，Δr大小不变，但方向可能改变；（3）用光信号联系的两个事件：ΔS2=0。
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