傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明[精选合集]

第一篇：傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：

2、将后面的正弦函数展开：

于是得到：

那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。

上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：

如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：

后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。

那么如何求出an,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

利用三角函数的正交性，可以得到：

再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到bn,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。

通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。

到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：

有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····

至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。

也就是说如何让一个以2l为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：

傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的······

一个基本的欧拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通过取两个互为相反数的θ可以得到两个式子，进而可以得到cos 和 sin 的复数

表达形式：



fT(t)c0



[cne

n1

jnt

cne

jnt

]

即：fT(t)



n

cne

jnt,(n0,1,2,3,)(2)

第二篇：MAtlab傅里叶变换实验报告

班级

信工 142

学号

姓名

何岩

实验组别

实验日期

室温

报告日期

成绩

报告内容:(目得与要求, 原理, 步骤, 数据, 计算, 小结等)1、求信号得离散时间傅立叶变换并分析其周期性与对称性;给定正弦信号 x(t)=2＊ｃｏs(2＊pｉ*1０＊ｔ),ｆs=100ＨZ,求其ＤTFＴ。

(ａ)代码: ｆ=10;Ｔ=1／f;w=－1０:0、2:10;t1=0:0、000１:１;ｔ２＝0:0。0１:1;n1=-2;ｎ2=8;ｎ０=０;n＝n1:0。0１:n２;ｘ5＝［ｎ>=0.01];x１=2＊cos(2*ｆ＊pi＊ｔ1);x２＝2*coｓ(2＊f*pi＊t２);x3=(exp(—ｊ).^(t2’*w));x４=ｘ２*x３;subplot(2,2,1);ploｔ(t1,x1);axｉs(［０ １ 1、1*min(x2)1。1＊maｘ(ｘ2)]);xlaｂeｌ(’x(n)’);ylabeｌ(’x(n)“);titｌｅ(＇原信号 x1”);ｘlａbeｌ(“t”);ylabeｌ(“x1’);sｕbpｌot(2,2,3);sｔem(t2,ｘ2);axis(［０ 1 1、1＊min(x2)1。１＊max(x2)]);title(’原信号采样结果 x2＇);xlabel(＇ｔ’);ｙlaｂel(＇x2”);ｓubplot(2,2,２);steｍ(n,x5);axiｓ([0 1 1、1*miｎ(x5)1.1*mａx(x5)]);xｌabｅｌ(’n’);ｙｌabel(＇x2“);titlｅ(’采样函数ｘ２＇);ｓubｐlｏt(2,2,4);ｓtｅm(t2,ｘ4);axis(［0 1 —0、2＋1。1*min(x４)１、1*ｍａx(x4)］);xlabel(’t”);ylabel(＇x4“);title(”ＤＴFＴ结果 x4＇);(b)结果:

２、用以下两个有限长序列来验证 DTFT 得线性、卷积与共轭特性;x1(n)=［１ ２ 3 ４ 5 6 7 8 9 10 11 １２];x2(ｎ)=R 10(n)(1)线性:(a)代码: w=linｓｐaｃe(-8,8,10000);ｎｘ1＝[０:11］;nx2＝［0:9];ｘ1=［1 2 ３ 4 ５ ６ ７ 8 9 10 1１ １２］;x2=[1 １ 1 1 １ 1 1 1 １ １];x3=［x2,ｚeｒｏs(１,(leｎgth(x1)—lｅngth(x2)))］;x4=2＊x1+3＊x3;Ｘ1=x1*exｐ(-j＊ｎx1＇＊w);％频率特性 X3=x３*exp(-j*ｎｘ1＇＊ｗ);%频率特性 X4＝ｘ4*exp(—ｊ*ｎｘ1’*w);％频率特性

suｂplｏt(5,３,１),ｓｔem(nx1,x１),ａxiｓ([-1,１3,0,15］);tiｔle(＇x１’), ｙlabel(“ｘ(n)’);

suｂｐｌot(5,3,2),stem(nx２,x２),ａxis(［—１,１3,0,5］);ｔitｌe(”x2＇);

subplot(5,３,3),steｍ(nx1,x4),axis([-1,13,0,2６]);titlｅ(’x4=2＊ｘ1+3＊ｘ３“);

sｕbplｏt(５,3,4),ｐｌｏｔ(w,abs(X1));ylabｅl(＇幅度’)

subplot(5,３,7),ｐlot(w,aｎgle(Ｘ1));ｙｌabel(’相位＇)

subpｌｏt(5,３,10),ploｔ(w,rｅal(Ｘ１));yｌabel(’实部’)

sｕbｐlｏt(５,3,13),pｌot(w,imag(X１));yｌａbｅl(”虚部’)ｓuｂploｔ(5,3,5),pｌot(ｗ,aｂs(X３));

ｓubpｌoｔ(5,3,8),plot(w,angｌe(Ｘ3));

subｐlot(５,3,11),ploｔ(w,reａl(X3));subplｏt(5,3,１4),plot(w,imag(X3));

subplｏｔ(５,3,6),ｐlot(ｗ,abs(X4));

sｕbplot(5,3,9),plot(w,anｇｌe(Ｘ４));

subpｌot(5,3,１2),ploｔ(w,rｅal(X４));sｕbploｔ(5,３,15),plot(w,ｉmag(Ｘ4));

(b)结果:

(2)卷积:(a)代码: nx１=0:11;ｎｘ2＝０:9;ｎx3=０:20;

w=ｌｉnspace(-８,８,40);％w=[—8,8］分 10000 份

x1＝[1 2 3 ４ ５ 6 ７ ８ 9 10 11 12］;x２＝［1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];x3=cｏnv(x１,ｘ２);％ x1 卷积 x2 ｘ4=x1＊exp(-ｊ＊nx1“*w);％ x１频率特性 x5=ｘ2*exp(－ｊ＊ｎｘ2’＊w);% x2 频率特性 x6=x3*exp(-j＊nｘ3”＊w);% x1 卷积 x２频率特性 x7＝x４、*x5;

sｕｂpｌｏt(2,2,１),stｅm(ｎx1,x1),axｉｓ(［—1,15,0,15］),ｔｉtｌe(’x1“);su ｂ plo ｔ(2,2,2), ｓ ｔ em(nx2, ｘ ２),ax ｉ s([—1, １

5,0,5］),title(’x2’);ｓuｂplot(2,1,２),stem(ｎx3,ｘ3),axiｓ([—1,25,0,80]);ｔitle(＇x１卷积ｘ2 结果 x3’);figuｒe,subｐlｏt(2,２,1),stｅｍ(x４,”filled’),titｌe(“ｘ１得DTFT 结果ｘ4’);

subploｔ(2,2,2),ｓtem(x５,”filled＇),titlｅ(’x２得 DTFT结果 x5’);

ｓｕｂplot(2,２,3),stｅｍ(ｘ6,＇filｌｅd’),ｔitｌｅ(’ｘ3得 DTFT 结果 x6’);

subｐlot(2,2,4),ｓteｍ(x7,“fｉlled＇),ｔitle(＇x4 得ＤTFT 结果ｘ7’);

figure,suｂｐlot(3,２,1),stem(ｗ,abｓ(ｘ6)), ylabel(”幅度’),ｔｉｔle(’x1 卷积 x2 得 DTFＴ＇);

ｓuｂplｏｔ(4,2,3),steｍ(w,aｎｇle(ｘ6)),yｌａbeｌ(“相位”)

sｕbpｌoｔ(4,2,5),stem(w,ｒeａl(ｘ6)),ylabｅl(“实部’)

subplｏｔ(4,2,7),sｔem(w,ｉmag(x6)),ylabeｌ(＇虚部’)

ｓubｐlot(４,2,2),stem(w,abs(x７)), tｉtlｅ(’x1 与 x2 得 DTFＴ得乘积’);

sｕbplot(４,2,4),ｓtem(w,ａngle(x７));

subplot(4,2,6),stｅｍ(w,real(ｘ7));

subpｌot(4,2,８),sｔｅｍ(w,ｉｍag(x7));

(ｂ)结果:

(3)共轭:(a)代码: x1n=［1 2 3 4 5 6 7 ８ 9 1０ １1 12］;w=—10:10;N１=ｌｅngth(ｘ1n);n１=0:N1—1;x1=real(x1n);x2=iｍaｇ(ｘ１n);x2n=ｘ1—j＊x2;

Ｘ1＝x2n*(exｐ(－j)、^(n1＇＊ｗ));X2=x１n*(exp(j)、＾(n1’＊w));x3=rｅal(X2);x４＝imａg(Ｘ2);Ｘ２=x３—j*x4;fｉguｒe,subpｌｏt(211);stem(w,Ｘ1,”.’);tiｔｌｅ(“x1ｎ共轭得 DＴFT’);

suｂplot(2１2);sｔem(ｗ,Ｘ2,”、’);tｉｔle(“ｘ1n 得 DＴFT 取共轭且反折”);(b)结果:

3。

求 LTI 系统得频率响应 给定系统 H(Ｚ)=B(Ｚ)/A(Z),A＝[0。９8777 －0。3１18３ 0、０256] B=［0.98997 0.989 ０。989９7］,求系统得幅频响应与相频响应、(要求使用ｆｉlｔer(B,Ａ,δ(n))求解。

(a)结果: A=[0、98777-０。3１1８3 0、０２５6］;Ｂ=[0。９899７ 0、９89 0、９899７];C=[1 0 0 ０ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ０ ０ 0 0 ０ 0 ０ ０ 0 0 0 0 0］ y=filtｅr(B,A,C);suｂpｌot(2,2,1);stem(ｙ,＇、’);titｌｅ(’原始序列“);

mag=abs(ｙ);ｐｈ=ａnｇle(ｙ);ph=ph*1８0／ｐi;sｕbplot(２,2,2);ｓｔｅm(mａｇ,”、＇);title(＇幅频特性＇);xlａbel(＇时间信号ｎ“);ylabel(＇信号幅度＇);suｂplｏt(2,2,３);stｅm(ph,”、’);ｔitlｅ(“相频特性”);xlaｂｅｌ(“时间信号 n＇);yｌabｅl(”信号相位“);(b)结果:

4.采样与频谱混叠 给定信号ｘ(t)=100*eｘp(-100*ｔ)＊coｓ(2*ｐi＊500＊t),求该信号得频谱;当采样频率分别为 fs１=200０ＨZ,fｓ2=1000HＺ;fs3=５00HZ;fｓ４=200HZ,时输出序列得 DＴFＴ。

(a)代码: x=100＊ｅxp(-100*t)、＊cos(2＊pｉ＊500＊t);ｔ=—2:０、1:2;w=－10:0。1:10;

y＝ｘ*(exｐ(-j)、^(ｔ’*ｗ));subpｌot(２,1,1),plot(t,ｘ);ｓubpｌot(2,1,2),ｐlｏt(w,ｙ);tｉtle(’原始信号得频谱＇);figｕre,ｆｓ1＝2000;Ts１＝1／ｆs1;n1=-2:Tｓ1:2;

fs2＝10００;Ｔs2=1/fs２;n2=－2:Ts2:2;

fs3=500;Ts3=1/fｓ３;n3＝-2:Ts3:2;

fs4=200;Ts4=1/ｆｓ４;n4＝—2:Tｓ4:2;x1＝１00。＊eｘp(—10０＊n1)。*cos(２*pi*500*ｎ１);ｙ１=ｘ1＊(eｘp(-j)。^(n1”＊w));sｕbploｔ(221);plｏt(w,ｙ１);title(“经 2000Hz 采样后信号得 DTFT”);x2=100。*exｐ(-１0０*ｎ2)、*ｃos(２*ｐｉ*500＊n２);ｙ2＝x2＊(eｘｐ(-j)、^(n2＇*w));subplｏｔ(222);ｐｌot(w,y２);tｉｔle(’经 1000Hｚ采样后信号得 DTＦT’);x3=１00、＊ｅxp(—１00*n3)、＊coｓ(２＊pi＊5０0＊n3);

ｙ3＝x3*(exｐ(—j)、＾(ｎ３“＊w));suｂpｌｏt(22３);ｐlｏt(ｗ,y3);titlｅ(’经５00Hz 采样后信号得 DTFＴ”);x4=100.＊exp(—100*n4)。＊cｏs(２*pi*5００*ｎ4);y4=x４*(exp(—ｊ)、^(n4’＊ｗ));suｂplｏt(２24);ploｔ(w,y4);tiｔle(’经 2００Hｚ采样后信号得 DTＦT＇);(b)结果:

收获及感想: DFＴ针对得就是有限长数字信号得傅立叶变换或傅立叶时频分析问题。但 以前得傅立叶变换就是定义在整个时间轴上得,而且一般针对得就是连续信号 ,获得得就是一个连续得频谱。

离散傅里叶变换(DFT),就是傅里叶变换在时域与频域上都呈现离散得形式,将时域信号得采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTＦT)频域得采样。在形式上,变换两端(时域与频域上)得序列就是有限长得,而实际上这两组序

列都应当被认为就是离散周期信号得主值序列。即使对有限长得离散信号作DＦT,也应当将其瞧作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算 DＦT。

物理意义 设 x(n)就是长度为 N 得有限长序列,则其傅里叶变换,Z 变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示 Ｘ(e^jω)= ∑n={0,N-1｝ｘ(n)e＾jωｎ X(z)= ∑n＝{0,N-1}x(n)z^－ｎ X(k)= ∑n={0,N-1}x(n)e^－j2π/Ｎnk 单位圆上得 Z 变换就就是序列得傅里叶变换 离散傅里叶变换就是 x(n)得频谱 X(ejω)在[0,2π］上得 N 点等间隔采样,也就就是对序列频谱得离散化,这就就是 DFＴ得物理意义

第三篇：信号处理中傅里叶变换简介

傅里叶变换

一、傅里叶变换的表述

在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT（连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。通过对连续非周期信号xc(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS（连续时间傅里叶级数）

在数学中，周期函数f(x)可展开为

由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为

其中，为了简写，有

其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式ejz=cosz+jsinz得

故有

令

则

对于Dn，有

n≤0时同理。故

CFS图示如下：

Figure 1

理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换）

连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号期T0→∞。当然，从时域上将x(t)进行CFS展开，有 的周也可以反过来看成x(t)的周期延拓。

若令

则

有

T0→∞使得Ω0→0，则

由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下 CFT：

CFT-1：

x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。CFT即将x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。

CFS中的Dn与CFT中的X(jΩ)之间有如下关系

即从频域上分析，Dn是对X(jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）。

CFT图示如下：

Figure 2

3、DTFT（离散时间傅里叶变换）

首先，先从连续信号得到离散信号。用冲激信号序列

对连续非周期信号xc(t)进行采样，采样间隔为Ts，有

此时的xs(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t = nTs的时间点上有值，在其它时间点上值为零。对xs(t)进行进一步处理有

规定

则

其中，x[n]是最终所得的离散信号。xs(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为TS；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。

从频域分析上有

其中

。令，定义

以上式为DTFT定义式。DTFT逆变换为

DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure 3与Figure 4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(ejω)为连续的，且有周期ωs = 2π。

X(ejω)与Xs(jΩ)之间的关系为

ω = ΩTs

Xs(jΩ)中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs = 2π/Ts；X(ejω)中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs = 2π。

CFT时域采样图示如下：

Figure 3

DTFT图示如下：

Figure 4

4、DFS（离散时间傅里叶级数）

在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列

对DTFT中的X(ejω)进行采样，采样间隔为Δω = 2π/N，则有

而S(ω)的逆DTFT变换为

对Xs(ejω)进行逆DTFT变换，有

xs[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为N = 2π/Δω。由上式可得

若延拓周期N大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是

k为任意整数

令周期信号，k为任意整数，则

有

取ω = 2πk/N，令

则有

是以k为自变量的函数，有以下性质

m为任意整数

即的周期为N。为了避免重复计算，我们只考虑一个周期N内的情况，即

同时，为时域表示，为频域表示。故定义DFS为

其逆变换为 的自变量n单位为1，周期为N；的自变量k单位为1，周期也为N。DFS应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中

对DTFT采样，而对应地在时域中相当于对DTFT进行周期延拓（图示见Figure 5与Figure 6）。DFS与DTFT的关系为

DTFT频域采样图示如下：

Figure 5

DFS图示如下：

Figure 6

5、DFT（离散傅里叶变换）

在DFS基础上，取离散时间周期性信号0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点，得

其中，RN[n]表示当n = 0,1,2,…N-1时函数取值为1，当n取其它值时函数取值为0。定义DFT为 的基础上，其逆变换为

xd[n]的自变量n单位为1，时长为N；Xd[k]的自变量k单位为1，时长也为N。DFT相当于对DFS的时域及频域都取0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点。

6、傅里叶变换之间的关系

傅里叶变换之间的关系主要有两点，一是采样与周期延拓之间的对应关系，二是对自变量的替换关系。（1）采样与周期延拓之间的对应关系

采样与周期延拓之间是一种对应关系，时域中对信号采样相当于在频域中对信号进行周期延拓，同样地，频域中对信号采样相当于在时域中对信号进行周期延拓，二者间是对应与平行的关系，不存在因果关系。

傅里叶变换中的CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT可由连续非周期信号xc(t)进行采样及周期延拓处理得到各种变换，它们之间的关系如图Figure 7与Figure 8：

Figure 7

Figure 8

上两图中，蓝色箭头表示在时域或频域中采取的主动措施，白色箭头表示在频域或时域中产生的相应变换。（2）对自变量的替换关系

在对信号进行采样与周期延拓的同时，对自变量进行某种替换，从而完成傅里叶变换类型的转变。

傅里叶变换中对自变量的替换情况如图Figure 9所示。CFS适用于连续周期性信号，其自变量t单位为秒（s），相应的幅频谱|Dn|中，自变量n单位为1。而CFT适用于连续非周期信号xc(t)，其自变量t单位为秒（s），对应的频域信号为Xc(jΩ)，其自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s）。由CFS变成CFT相当于连续周期性信号的周期T0趋于无穷，而在频域中则为自变量的替换，由n变成Ω，替换关系为

DTFT适用于离散时间信号x[n]，其自变量n单位为1，对应的频域信号为X(ejω)，自变量ω单位为弧度（rad）。由CFT变成DTFT相当于对连续信号xc(t)采样及离散化，自变量由t替换为n，替换关系为t = nTs，而在频域中则为周期延拓及自变量的替换，由Ω替换为ω，替换关系为ω = ΩTs。

DFS适用于离散周期性信号频域信号为，其自变量n单位为1，对应的，自变量k单位为1。由DTFT变成DFS相当于在频

域中对X(ejω)进行采样、离散化与自变量替换，由ω替换为k，替换关系为ω = 2πk/N。

DFT的时域与频域序列长度都为N个点（0,1,2,…N-1），时域自变量n单位为1，频域自变量k单位为1。

由图Figure

7、Figure 8和Figure 9可以清楚地研究非相邻变换之间的关系。

Figure 9

二、与相关教材内容的辨析

1、《Signal Processing and Linear Systems》（B.P.Lathi, Oxford University Press）

书中首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意信号x(t)可用正交信号空间的线性组合表示，进而引出三角傅里叶级数，将这种表示用三角函数的线性组合表示。CFS的来源介绍比我对CFS的自述更加详细具体，更有逻辑性，体现了高等数学的延伸，CFS定义部分与我的自述大体相同。

书中由CFS引出CFT，指出连续非周期信号xc(t)相当于将连续

周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对xc(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。这一部分与我的自述大体相同。只是我在对傅里叶变换的总结中将xc(t)进行无混叠的周期性延拓，反向也得出了。这只是对傅里叶变换的又一种理解，但从本源上考虑，还应该是由连续周期性信号

得出连续非周期信号xc(t)。

书中接下来先介绍的是DFS。书中由CFS类比定义了DFS，定义为

其中，这种定义与我对DFS的自述略有差别。书中完全按照CFS的定义模式定义的，书上在此之后也按照CFS的模式给出了Dr的幅频谱与相频谱。而我的自述则采用类似CFT的定义方式，即正变换为从时域变到频域，逆变换为从频域变到时域，其次书中使用的字母表示方式与我的自述略有差异，不过本质上意义是相同的。

紧接着，书中由DFS引出了DFT，指出DFT的时域及频域都为N点有限序列，此处与我对DFT的自述大体相同，但未进行深入说

明。之后，类似于由CFS引出CFT，书中由DFS中的离散时间周期函数引出离散时间非周期函数x[k]（令周期N0→∞），然后对x[k]按照DFS的方法展开，在中间推导过程中引出了DTFT。总之，在离散时间信号的傅里叶变换中，书上是类比CFS引出CFT的模式，由DFS引出DTFT，而DFT也由DFS引出，只是未做重点讲解，实质上是从时域角度出发，与连续时间信号进行同等过程的类比。我对离散时间信号傅里叶变换的自述则从频域角度出发，与连续时间信号的时域推导过程进行同等过程的类比。二者分析方向不同，顺序不同，但本质上是相同的。这也从侧面反映出傅里叶变换将单纯的时域分析引向时域与频域的双领域分析，增加了对信号分析与处理的方法与方向，有利于更好地对信号进行理解。

2、《信号与系统》

书中也是首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意周期为T0的信号x(t)可进行正交分解，而正余弦信号集是比较特殊的正交信号集，并用正余弦信号集表示信号，达到一种分解的目的，从而定义出CFS，并将正余弦信号集进一步扩展为虚指数信号集，从而将指数形式的CFS表示出来。在表示方式上与我的自述基本相同。而书中对三角形式的CFS与指数形式的CFS总结比较清楚，并对各自形式的幅频谱进行了比较，指出指数形式CFS的频谱为双边谱，而三角形式的CFS的频谱为单边谱。而由CFS导出CFT的叙述则基本与我的自述相同，即连续非周

期信号xc(t)相当于将连续周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对xc(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。

书中对DFS的描述，类比于对CFS的描述，采用离散形式的虚指数正交信号集对离散时间周期性信号表示，表示方式与上一本书相同。由DFS引出DTFT时类比于由CFS引出CFT的过程，将离散时间周期性信号周期趋于无穷，得出离散时间非周期性信号，按照DFS的方式对信号进行分解表示，在推导过程中引出DTFT的定义，过程与上一本书基本相同。而DTFT也可对离散时间周期性信号进行处理。对DFT并未做重点描述。

总之，两本书对傅里叶变换的描述都是先对连续时间信号进行讨论，然后离散时间信号中的讨论参考连续时间信号中的讨论，层次清晰，可比性强。我的自述主要侧重于对信号的时域或频域进行各种处理，引出傅里叶变换的各种形式，可加深对傅里叶变换各种形式之间关系的理解。

三、傅里叶变换的应用

1、应用

傅里叶变换主要是为了将一般性的信号用较规则的、性质良好的三角函数进行表示，从而可以从频域的角度进行信号分析与处理，扩充了信号分析与处理的分析领域，简化了分析与处理的过程。从理论上，CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT在满足相应的条件下都可以使用。而在实际应用中，计算机只能处理离散的、序列长度有限的信号，故实际应用中，DFT具有应用价值，其它形式的傅里叶变换处理的信号

是连续的或无限长的，计算机无法处理，所以只能在理论上进行数学运算。而DFT利用计算机可以快速算出，被称为快速傅立叶变换（FFT）。FFT可以减少计算DFT时乘法的使用次数，简化运算，提高效率。而现代信号分析与处理中必然要对信号进行采样离散化，输入到计算机中进行处理，得到频域形式，所以DFT的实际应用是很广泛的。

2、限制条件及潜在问题

CFS只适用于连续周期性信号，CFT只适用于连续非周期信号，DTFT只适用于离散时间信号，DFS只适用于离散时间周期信号，DFT只适用于有限序列的离散时间信号。CFS、CFT、DTFT、DFS处理的信号具有连续性或无限长特性，适用于在理论上的定性分析，而在实际应用中，我们需要快速高效地处理信号，这必然用到计算机，而计算机只能处理离散的、有限序列长度的信号，故只有DFT有实用意义，CFS、CFT、DTFT、DFS则不行。而DFT计算需要大量的加法与乘法，往往实际应用中不能直接应用，所以实际应用中要根据需要进行优化处理，在提高运算速度与精度之间进行权衡，原始的DFT只是具有实际应用中的象征意义。

第四篇：傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿

这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。

第一部分 两种变换的背景。

首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。

接下来是拉普拉斯变换的背景。

大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。

说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。

因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。

第二部分

两种变换带来的便利。

首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！

我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。

其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。

下面是最后一部分

两种变换之间的区别

首先是两种变换后得到的信号从频域角度来看是否直观。

以这个信号为例，利用matlab对其进行傅里叶展开。这幅图是其幅度频谱。（在黑板上写出傅里叶展开的f(t)12F(j)ejtd）从这张图以及相位频谱，各位就可以描述

jtF(j)e出F(j)的表达式。又知道，f（t）即由一系列的d加和得到，所以从频域上我们可以直观看出不同频率的各个三角函数分量。这一点是拉普拉斯变换所不能企及的。这也是为什么傅里叶变换多用于针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。

第二个方面是求解微分方程的简易性差别

一方面是可以将时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。这一点个大家都十分清楚，在许多书中也给出了证明。

另一方面是可以将初始状态包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是时域微分性质。这里，我查阅许多资料与书籍发现都没有这个性质的证明，只是告诉我们如何使用，但这里我们需要从最本质的地方探究傅里叶与拉普拉斯在求解微分方程简易程度上的差别，因此课后通过推导，在这里给出证明：

而傅里叶的时域微分性质如下：

可以看到一个包含了初始状态，一个并没有。

最后一个就是拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换，这也是我们最后一个，也是最显著的一个区别。我们稍后再谈。

综上，可以发现拉普拉斯变换在求解微分方程上更占优势

我们来到了最后一个差别，也是最本质的差别，处理的函数范围不同。

在查阅了高等数学教材后，得到了数学上对傅里叶变换成立的收敛定理，如下： 1 函数f(x)在每个有限区间上可积;2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且

lim

f(x)=0。

那么对于一些函数，例如eαtu(t)(α>0)，无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换 下面是利用matlab进行求解的过程，可以看到，对于e^3t这个函数，无法求解出其傅里叶变换。与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。

以斜坡信号tu(t)为例，对其用matlab进行求解，可以看到包含了dirac函数，也就是冲激函数。

因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子et，使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉斯变换式

好的，接下来让我们看看同样的函数，使用拉普拉斯变换看会得到什么样的结果。对于e^3t*u(t)，得到了1/（s-3）； 对于tu（t），得到了1/s^2。

傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在数学领域有着应用，在测试技术及控制工程领域应用更为广泛，搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换的我们极其重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法，在未来给各位带来些许帮助。

谢谢大家！

第五篇：傅里叶变换红外光谱仪样品测试申请登记表new

岭南师范学院新材料研究院 傅里叶变换红外光谱仪样品测试申请登记表 送样日期： 年 月 日 送样单位 送样人 名称 地址 联系电话 研究课题名称 电子邮件 □国家及省部基金课题 课题类型 □校内基金课题 □研究生课题 □本科毕业论文（人）□其它 样品编号 课题负责人或指 导老师签名 电话 样品数量 样品状态 □粉末 □薄膜 □液体（pH=）样品分子结构式 □毒性 □放射性 □腐蚀性 □含水 □含油脂 □受热挥发 □致病微生物 其它说明： 样品物性描述 是否回收 □回收 □代保管7天 □不必回收 新材料研究院意见 设备管理老师意见 测试要求 编号 1 2 3 4 制样方法 衰减全反射附件选择 光谱范围 采样次数 测试条件 □KBr压片法 □液膜法 □ZnSe晶体 □Ge晶体 cm-1 次 请填扫描波数范围 备注 其它特殊说明： 为了检测工作的顺利进行和报告的及时、准确，请用户详细填写以上各栏 注意：

1.样品可以是粉末、薄膜或者液体，样品必须充分干燥，否则会影响测试结果。2.如果样品有毒性或腐蚀性，请事先声明。

3.测试完成时间：一般为1周内；对于疑难样品，与用户协商后分析；遇仪器发生故障，时间推后。4.如果没有认真阅读以上条款，并且没有预先处理好样品，引起仪器故障，需要承担相应责任。

收样人： 收样时间： 测样人： 测试时间：

注：此表一式两份，一份交新材料研究院办公室存档，一份交设备管理员。