推理及其证明复数的练习题

第一篇：推理及其证明复数的练习题

推理与证明及其复数测试题

i2i3i4



1．（重庆理1）复数1i

1111ii

A．22 B．22

8（2010山东理数）(2)已知

a2ia2i

bi(a,b)bi（a,bii

13．用数学归纳法证明：

∈R），其中i为虚数单位，则a+b=()

11(A)-1(B)1(C)2(D)3 i

9.计算: 1222n2n(n1)

； 

1335(2n1)(2n1)2(2n1)D．212i

2．（浙江理）把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z1i,则(1z)

z=

．3-i

B．3+i

C．1+3i

2i

3（山东理2）复数z=2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所

在象限为

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

4（全国大纲理1）复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1A．2iiC．i类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC

互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2AC2BC2。

若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.6.设

f0(x)sinx,f1(x)f'

0(x)，f2(x)f'1(x),,fn1(x)f'n(x)，n∈N，则f2007(x)

A.sinx B.－sinx

C.cosx

D.－cosx

7（上海理19）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，z1z2是实数，求z2。

（1）

2i15

12i



2i



1i2999

2

(2)1+i+3i+…+1000i

D．3

10.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：角B 900.D．2i

11.已知ΔABC的三条边分别为a，b，c求证：ab1abc

1c

12.在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足

S1n21

a（1）求ana1,a2,a3；（2）由（1）猜想数列ann的通项公式；（3）求Sn

14．用数学归纳法证明：（Ⅰ）72n42n297能被264整除；（Ⅱ）an1(a1)2n1能被a2

a1整除（其中n，a为正整数）

15．用数学归纳法证明：

（Ⅰ）112131412n1n；（Ⅱ）11n

n11n21

n

21(n1)；

第二篇：复数与推理证明练习题

复数与推理证明练习题

1．若复数z134i,z212i,则z1z2。2．若复数(1i)(ai)是实数，则实数a。3．已知复数z的实部为1，虚部为2，则

i13iz的虚部为。

4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。

5．复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数，则a_________。

6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根据这些结果，猜想325547778

出的一般结论是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，则f3(x)的表达式为

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。

9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，（用n表示）f(n)=。

10.设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lahA

lbhB

lchC

1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点

到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。

11.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,，则有

coscos1，类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱

2所成的角分别是,,，则有。12.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2an

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，a1a2a19n(n19,nN)成立，若b91，则有等式 13． 把偶数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．2设aij(i，j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，则i与j的和为14161820。

14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一

个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。

15.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为为。

2Rtan，则按图二作出的矩形面积的最大值

图一

第15题图

图二

第14题

16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比为：

SOM1N1SOM2N

2OMOM



ONON

.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ

和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

17．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

问：到120个圆中有个实心圆。

iii1i

18.求值（1）复数

（2）复数z，求z

（3）若(xi)iy2i,x,yR，求复数xyi

（4）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

19.已知abc，且abca



．

20.（1）设函数f(x)

12

x，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求2

得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。

（2）已知数列{an}满足a11，anan1()n(nN*,n≥2)，令

Tna12a22an2，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tnan2

n1

2n

=。

第三篇：推理证明复数

《推理与证明、复数》备课教案

2011-2-14

闫英

一、推理与证明 考纲要求：

（一）合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明

1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（三）数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重、难点：推理及证明方法

考向预测：

1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

二、复数 考纲要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）能进行复数形式的四则运算，了解复数形式的加、减运算的几何意义。（5）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力． 教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数 是，虚部是，实部是，虚部是

．注意在说复数

时，一定有，否则，不能说实部,复数的实部和虚部都是实数。

这一标准形式以及

是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很说明：对于复数的定义，特别要抓住

大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则 为实数

②

为虚数

③ 且。④ 为纯虚数 且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 些书上就是把实数对（②复数 都可以由一个有序实数对()叫做复数的． 用复平面内的点Z（）表示．复平面内的点Z的坐标是（），而不是（），也就)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当 数．但当时，时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念

设，则，即

与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为

与 或

是共轭复数）．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在

两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

三、例题及习题讲解

学案3考点整合、考点精炼、考点二及对应演练、考点七及对应演练。

学案4考点整合、考点精炼、考点一、二、三、及对应演练、考点四七及考点六对应演练。课时作业66：1到8，感受高考；课时作业67：1到6，8,9,10，感受高考

四、讨论复数几何意义讲解到什么程度，是否需要加题。

第四篇：14推理证明和复数

2010届高三第二轮知识点归类

推理证明和复数

一、考纲要求

二、考点考题：

考点1合情推理与演绎推理

题1在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式成立.题2观察下列两式：① tan10tan20tan20tan60tan60tan101 ； ②tan5tan10tan10tan75tan75tan51.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。

题3（在平面几何中，对于RtABC，设ABc,ACb,BCa，则

（1）abc；（2）cosAcosB1；（3）RtABC的外接圆半径为r.2

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论。

xxxx，分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，,g(x)

并由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

题4已知函数f(x)

222

题5在DEF中有余弦定理：DEDFEF2DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式

考点2分析法和综合法考点

题6若a6,.13



1313



·1·

2010届高三第二轮知识点归类

题7若|x|1,|y|1，试用分析法证明：|题8已知：a0,b0，求证：

考点3反证法 xy|1.1xyabab ba

2222题9假设a,b,c,dR,且adbc1，求证：abcdabcd1.题10

考点4复数运算

题11（上海卷3）若复数z满足zi(2z)(i是虚数单位)，则z=．1+i 题12（北京卷9）已知(ai)2i，其中i是虚数单位，那么实数a题13（江苏卷3）

21i表示为abia,bR，则ab=． 1i

·2·

第五篇：“推理与证明、复数”测试卷

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“推理与证明、复数”测试卷 作者：

来源：《新高考·高二数学》2013年第03期

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）