推理证明复数

第一篇：推理证明复数

《推理与证明、复数》备课教案

2011-2-14

闫英

一、推理与证明 考纲要求：

（一）合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明

1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（三）数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重、难点：推理及证明方法

考向预测：

1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

二、复数 考纲要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）能进行复数形式的四则运算，了解复数形式的加、减运算的几何意义。（5）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力． 教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数 是，虚部是，实部是，虚部是

．注意在说复数

时，一定有，否则，不能说实部,复数的实部和虚部都是实数。

这一标准形式以及

是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很说明：对于复数的定义，特别要抓住

大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则 为实数

②

为虚数

③ 且。④ 为纯虚数 且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 些书上就是把实数对（②复数 都可以由一个有序实数对()叫做复数的． 用复平面内的点Z（）表示．复平面内的点Z的坐标是（），而不是（），也就)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当 数．但当时，时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念

设，则，即

与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为

与 或

是共轭复数）．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在

两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

三、例题及习题讲解

学案3考点整合、考点精炼、考点二及对应演练、考点七及对应演练。

学案4考点整合、考点精炼、考点一、二、三、及对应演练、考点四七及考点六对应演练。课时作业66：1到8，感受高考；课时作业67：1到6，8,9,10，感受高考

四、讨论复数几何意义讲解到什么程度，是否需要加题。

第二篇：“推理与证明、复数”测试卷

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“推理与证明、复数”测试卷 作者：

来源：《新高考·高二数学》2013年第03期

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

第三篇：推理与证明复数习题

推理证明与复数复习题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（）Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列

Ｂ．从第二项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列 Ｃ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列

3．已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，，则数列的第k项是（）Ａ．akak1a2kＢ．ak1aka2k1 Ｃ．ak1aka2kＤ．ak1aka2k2

4.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a·4

a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）Ａ．b4b8b5b7

Ｂ．b5b7b4b8Ｃ．b4b7b5b8

Ｄ．b4b5b7b8

5．（1）已知p3q32，求证

pq2，用反证法证明时，可假设pq2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）

Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，ABa，CDb(ab)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出EF

manb

mn

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）Ａ．S1nS2

nS1mS2

0

mSmn

Ｂ．S0

mn



7．用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n··13··(2n1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．2k1

Ｂ．2(2k1)

Ｃ．

2k1

k1

Ｄ．

2k3

k1

8.下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.9．观察数列1121231234

2213214321

，则数6将出现在此数列的第（）

Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项 10．正整数按下表的规律排列

12510173611188 71219142023 22

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）

213．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有an个树枝，则an1与an(n≥2)之间的关系是．

14．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为． 15．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．(请用反证法证明）

16.观察以下各等式：

sin2

300

cos2

600

sin300

cos600

34sin2200cos2500sin200cos500

4

sin2

150

cos2

450

sin150

cos450



3，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

17．已知命题：“若数列a

n是等比数列，且an0，则数列bnnN)也是等比数列”．类

比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

．已知abc，且abc

018

19.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

1.若复数zm2

5m6

m3i是实数，则实数m

2.若复数za21(a1)i是纯虚数(其中aR)，则z=________.3.复数z=

2i,则z的共轭复数为__________ 4.若复数z1a2i, z234i，且z1

z为纯虚数，则实数a的值为2

5.复数

2i

1i

(i是虚数单位)的实部为6.已知复数zm2(1i)(mi)(mR),若z是实数，则m的值为。

7.已知

m

1i

1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则z(mni)2在复平面内对应的点Z位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.复数z13i，z21i，则复数z1z在复平面内对应的点位于第__ ____象限．

9．数z

mi

1i

（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．复数z11i,|z2|3，那么|z1z2|的最大值是。11.已知zC，且z22i1,i为虚数单位，则z22i的最小值是()

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.12.化简(cos225isin225)2(其中i为虚数单位)的结果为13.若z，则z100z50

1____________ 14.x1iy12i513i，则xy__________ 15.已知复数z满足zz10,z1

z1

是纯虚数，求复数z

16.已知复数z2

1m(4m)i,z22cos(3sin)i,(,mR,[0,

])，z1z2，求的取值范围。

17.设z是虚数，z1z是实数，且12，（1）求|z|及z实部取值范围；（2）设u1z1z，那么u是不是纯虚数？说明理由；（3）求u2的最小值.

第四篇：推理证明、复数综合训练

高二B文科数学周测练习选题：居家山

高二B文科数学周测练习12014.03.21

姓名 学号成绩 一：填空题

1：若复数zx1x1i为纯虚数，则实数x2

2：复数zi2i的虚部为 32

3：若zC，且满足z2z62i，则z4：设x,y为实数，且xy5，则xy1i12i13i

5.设复数z满足z23i64i，则z

6：若复数zcosisin对应的点在第四象限，则为第7：将函数y2为增函数的判断写成三段论形式。

大前提

小前提

结论

8：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”猜测关于球的相应命题

9：由31,32,33,34，运用归纳推理可得出的结论为10：复数z满足：zz15i，则z

11：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论否定为

12.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b

平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为填写正确理由的序号

①大前提错误②.小前提错误③.推理形式错误④.非以上错误

13：若复数z满足z1i2，则z的取值范围为14.如图，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点

4aaaaP到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝k，则(ihi)1234i＝112223242x

2S＝k.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝

1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，4SSSS若＝K，则(iHi)＝

1234i＝1

二：解答题

1i34i的值 15：（本题满分14分）已知复数z满足z13iz，求2

16：（本题满分14分）求证：

2zz1z2z1z2

17：（本题满分15分）设存在复数z同时满足下列条件

（1）复数z对应的点在第二象限

（2）zz2iz8ai

求实数a的取值范围

11118：（本题满分15分）设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8.19：（本题满分16分）已知z1x2ix21,z2x2ai，z1z2恒成立，求实数a的范围

20：（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax＋x＋1(a＞1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证明f(x)＝0没有负根． x－2

第五篇：复数与推理证明练习题

复数与推理证明练习题

1．若复数z134i,z212i,则z1z2。2．若复数(1i)(ai)是实数，则实数a。3．已知复数z的实部为1，虚部为2，则

i13iz的虚部为。

4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。

5．复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数，则a_________。

6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根据这些结果，猜想325547778

出的一般结论是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，则f3(x)的表达式为

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。

9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，（用n表示）f(n)=。

10.设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lahA

lbhB

lchC

1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点

到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。

11.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,，则有

coscos1，类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱

2所成的角分别是,,，则有。12.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2an

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，a1a2a19n(n19,nN)成立，若b91，则有等式 13． 把偶数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．2设aij(i，j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，则i与j的和为14161820。

14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一

个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。

15.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为为。

2Rtan，则按图二作出的矩形面积的最大值

图一

第15题图

图二

第14题

16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比为：

SOM1N1SOM2N

2OMOM



ONON

.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ

和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

17．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

问：到120个圆中有个实心圆。

iii1i

18.求值（1）复数

（2）复数z，求z

（3）若(xi)iy2i,x,yR，求复数xyi

（4）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

19.已知abc，且abca



．

20.（1）设函数f(x)

12

x，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求2

得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。

（2）已知数列{an}满足a11，anan1()n(nN*,n≥2)，令

Tna12a22an2，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tnan2

n1

2n

=。