第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法

第一篇：第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法

第4讲 数学归纳法

【2013年高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【复习指导】

复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．

基础梳理

1．归纳法

由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法． 2．数学归纳法

(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题或成立；②在假设{Pn}对一切正整数成立．

(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；

②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当时，命题成立； ③由①②得出结论．

两个防范

数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．

(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过

程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 三个注意

运用数学归纳法应注意以下三点：双基自测

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为2n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于()．

A．1B．2C．3D．0 解析 边数最少的凸n边形是三角形． 答案 C

12．利用数学归纳法证明不等式1＋f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k

232－1到n＝k＋1时，左边增加了()．

A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项

1111111111＋„＋解析 1＋2＋3„＋＋＝＋„＋＋＋232－122＋12－12－1了2k项，故选D.答案 D

3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a＋„＋a左端计算所得的项为()． A．1C．1＋a＋a2答案 C

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命

B．1＋aD．1＋a＋a2＋a

32n＋1

1－an＋

2(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，1－a

题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()． A．n＝6时该命题不成立C．n＝4时该命题不成立

*

B．n＝6时该命题成立 D．n＝4时该命题成立

tan kα

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋„＋tan(k－1)α·tan kα＝tan α－k，那么当n＝k＋1时，tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋„＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α tan kα

＝tan αk＋tan kα·tan(k＋1)α tan kα

＝tan α1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)tan kαtank＋1α－tan kα＝tan α－(k＋1)

tan[k＋1α－kα]

解析 法一 由n＝k(k∈N)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．

法二 其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”． 答案 C

5．用数学归纳法证明不等式

11113

＋＋„＋＞24的过程中，由n＝k推导n＝k＋1n＋1n＋2n＋n

tank＋1α

＝tan α－(k＋1)．

这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)知，对任何n∈N*且n≥2，原等式成立．

用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式． 【训练1】 用数学归纳法证明： 对任意的n∈N*，111n1×33×52n－12n＋12n＋1

1111

＝3，右边＝3，左边＝右边，所以等式成立． 1×32×1＋1

时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是1

2k＋12k＋2答案

2k＋12k＋2

考向一 用数学归纳法证明等式

【例1】►用数学归纳法证明：

tan nα

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋„＋tan(n－1)α·tan nα＝tan αn(n∈N*，n≥2)． [审题视点] 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知． tan 2α22tan2α证明(1)当n＝2时，右边＝tan α－2＝2＝＝tan α·tan 2α＝左边，等式

1－tanα1－tanα成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即

1111

＋－＝，故填2k＋12k＋2k＋12k＋12k＋2

证明(1)当n＝1时，左边＝

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 111k 1×33×52k－12k＋12k＋1则当n＝k＋1时，1111

1×33×52k－12k＋12k＋12k＋3k2k＋3＋1k1＝2k＋12k＋12k＋32k＋12k＋3

2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝ 2k＋12k＋32k＋32k＋1＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．

考向二 用数学归纳法证明整除问题

【例2】►是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由． [审题视点] 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．

解 由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立；

(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．

由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为

36.证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证． 【训练2】 用数学归纳法证明a

n＋

1a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，∴对任意n∈N*原命题成立．

考向三 用数学归纳法证明不等式

1

【例3】►用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋3

12n＋11

1＋5·1＋2n－1>„·

[审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．

5证明(1)当n＝2时，左边＝1＋3＝3；右边＝2.∵左边>右边，∴不等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，12k＋1111＋即1＋31＋5·„·>22k－1则当n＝k＋1时，1111

1＋31＋5·1＋2k－11＋2k＋1－1 „·2k＋12k＋22k＋24k＋8k＋42＝

2k＋122k＋122k＋14k＋8k＋32k＋32k＋12k＋1＋1

＝22 2k＋12 2k＋1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

＋(a＋1)

2n－1

(n∈N)能被a＋a＋1整除．

*

2证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a

k＋2

＋(a＋1)

2k＋1

＝a·a

k＋1

＋(a＋1)(a＋1)

22k－1

＝a·a

k＋1

＋a·(a＋1)

2k－1

＋(a＋a＋1)(a＋1)

22k－1

＝

在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学

归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

【训练3】 已知函数f(x)＝33－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较11111的大小，并说明理由． 1＋a11＋a21＋a31＋an解 ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：an≥2－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n＝1时，a1≥2－1＝1，结论成立；

②假设n＝k(k≥1且k∈N)时结论成立，即ak≥2－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)

*

k

1n

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝2.7

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝41

5当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a482n－

1由此猜想an＝－(n∈N*)．

21－1

(2)证明 ①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝1，左边＝右边，结论成立．

22k－1

②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立，即ak＝－n＝k＋1时，*

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，2k－12＋－22＋ak2k＋1－1

∴ak＋1＝＝，222这表明n＝k＋1时，结论成立，2n－1

由①②知猜想an＝－成立．

(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题

和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．

1【训练4】 由下列各式1＞2 11

1＋231，11111131＋234567

2-4-

－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.1

1即1＋an≥2n，∴≤2，1＋an∴

11111111122221－2n＜1.1＋a11＋a21＋a31＋an

考向四 归纳、猜想、证明

【例4】►数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[审题视点] 利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．

解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.11

11＋23152，11151＋2331

2„，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．

111n

答案 猜想：第n个不等式为1＋2＋3＋„＋＞2(n∈N*)．

2－11

(1)当n＝1时，1＞2

(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想正确，111k即1＋2＋3＋„＋2

2－1那么，当n＝k＋1时，111111k111k11＋2＋32＋＋„＋＋＞2＋2＋＋„＋＋＞2＋＋＋

2－12＋12－12＋12－12k2kk1k＋1

＋„＋＋＋222222＋21

即当n＝k＋1时，不等式成立． ∴对于任意n∈N*，不等式恒成立．

阅卷报告20——由于方法选择不当导致失误

【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立.【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标，通过适当的变换达到这个目标，这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用数学归纳法.【示例】► 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：

1115

＋＋„＋＜12.a1＋b1a2＋b2an＋bn

实录(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，a2k＋1

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1b＝(k＋2)2，k

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．

错因 第二问由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明．(2)当n＝1时

115

＝6＜12 a1＋b1

假设n＝k(k∈N*)时不等式成立 即

1115

＋12a1＋b1a2＋b2ak＋bk

当n＝k＋1时

111151

＋＜12＋ a1＋b1a2＋b2ak＋bkak＋1＋bk＋1ak＋1＋bk＋1到此无法用数学归纳法证明． 正解(1)用实录(1)

(2)证明：

115

＝6＜12.a1＋b1

n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故

＋„＋ a1＋b1a2＋b2an＋bn

11111

＜622×33×4 nn＋111111111＝622334 nn＋11115111

＝622n＋1＜6412综上，原不等式成立．

第二篇：第4讲：简单推理(教案)

第4讲：简单推理（教案）

课前知识复习1.在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？ 20-1=19 19*4=76 2.一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？

樟树：480/12+1=41 柳树：480/12*3=120 引入 数学课上，老师布置了一道题：

□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（）△=（）

要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。

解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。

一：精讲精练 【例题1】下式中，□和△各代表几？

□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（）△=（）

【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。

练习1：

1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（12）○=（6）2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（20）○=（5）【例题2】下式中，□和△各代表几？

□×△=36 □÷△=4 □=（）△=（）

【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。

练习2：

1．○和□各表示几？

○×□=16 □÷○=4 ○=（2）□=（8）2．想想，填填。

○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（10）△=（2）【例题3】下式中，□和△各代表几？

□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（6）△=（4）【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。

练习3：

1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（3）○=（16）2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（12）△=（8）

【例题4】下式中，□和○各代表几？

□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（8）○=（6）

【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用48减去34得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。

练习4：

1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（12）△=（0）

2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76 ○=（10）△=（12）【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？

☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（）□=（）△=（）

【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4个△，那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。

练习5：

1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（20）□=（20）△=（30）

2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（15）□=（10）○=（15）

知识小结：

要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。

解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图 形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。

随堂训练

一：找规律填空 ○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（30）□=（6）二：□和○各代表几？

□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（8）○=（2）三：

○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（3）□=（1）△=（5）四：

□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（12）△=（15）

第三篇：高中数学推理与证明(第7讲)

第 7 讲 推理与证明

2，>>，„若a>b>0且m>0，则()10811102521a＋ma

A．相等B．前者大

推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中数学的各个章节，是高考必考的内容之一．新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求．因此在学习过程重视合情推理与演绎推理．高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主．

【知识梳理】

1、归纳推理：是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤 

通过观察个别情况发现某些相同的性质

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想证明

2、类比推理：是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤 

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征从而得出一个猜想 检验猜想。

3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理

4、演绎推理 从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论演绎推理的一般模式———“三段论”包括

⑴大前提-----已知的一般原理

⑵小前提-----所研究的特殊情况

⑶结论-----据一般原理对特殊情况做出的判断

5、直接证明与间接证明

⑴综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立.要点顺推证法由因导果.⑵分析法从要证明的结论出发逐步寻找使它成立的充分条件直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止.要点逆推证法执果索因.⑶反证法一般地假设原命题不成立经过正确的推理最后得出矛盾因此说明假设错误从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤

①反设假设命题的结论不成立

②推理根据假设进行推理,直到导出矛盾为止

(3)归谬断言假设不成立(4)结论肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

(1)归纳奠基证明当n取第一个值时命题成立

(2归纳递推假设k=n 时命题成立推证当k=n+1时命题成立.【金题精讲】

【例1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113 abbcabc

【例2】4．设f(x)sin(2x)(0),f(x)图像的一条对称轴是x

（1）求的值；

（2）求yf(x)的增区间；

（3）证明直线5x2yc0与函数yf(x)的图象不相切。8.【例3】．（2102福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

【例4】用数学归纳法证明123n2222n(n1)(2n1)，(nN)6

变式：数学归纳法证明： 11111nn 23421

【达标训练】

1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

2.（2012陕西）察下列不等式

113 222

115123，233

11151222 2343

„„

照此规律，第五个不等式为.．．．

3.（2012湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

4已知n为正偶数，用数学归纳法证明

111111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（）

B．nk2时等式成立

D．n2(k2)时等式成立数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

5一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）

A．12B.13C.14D.15

6数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

2n1 A．n1 22n1B．n1 2C．n(n1)2nD．1－12n1

8设a，b，x，y∈R，且

1119已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数列。abc；

10知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论。

第四篇：第15章 推理与证明知识结构

高三数学第一轮复习章节知识点

高三数学第一轮复习章节知识点

3）三段论式常用的格式为：

M——P（M是P）

S——M（S是M）

S——P（S是P）① ② ③

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

二、证明

●1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

●2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：

第五篇：保密概论第4讲

第四章

保密工作面临的形势和任务

第一节

窃密与反窃密的斗争尖锐复

杂

第二节

保密工作面临的矛盾和挑战

第三节

保密工作的基本任务和工作

重点 保密工作概论

授课人：吴 同 斌

第四章 保密工作的形势和任务 第一节 依然严峻的保密形势

正确认识形势，统一思想，在大局下思考与谋划工作，是科学的思想方法。这也是按照科学发展观做好保密工作的正确方法。

从国际形势看，国际间政治经济科技和军事 等方面的斗争日趋激烈。有三大特点：

1.世界政治走向多极化是必然趋势，但会经 历一个较长的过程。

2.世界经济全球化加速发展，综合国力的竞 争日趋激烈。

3.世界已经步入信息时代，窃密与反窃密的 斗争愈演愈烈。

从国内形势看，我国经济和社会发展 已具有了比较坚实的基础，但面临的窃密 威胁不断加大。

保密工作在维护国家安全和利益，保障改革、发展和稳定方面担负着繁重的任务。

一、当前窃密与反窃密斗争形势尖锐 复杂，必须增强做好保密工作的责任感和 紧迫感

（一）目的更具战略性。

（二）主体更具多元性。

（三）手段更具技术性。

（四）渠道更具广泛性。

（五）目标更具指向性。

二、当前保密工作的现状

在党中央、国务院的高度重视和坚强领导下，全国保密战线奋发努力、开拓进取，各项工作取得显著成绩，为维护国家安全和利益，保障改革开放和社会主义现代化建设事业顺利进行做出了重要贡献。

（一）普遍增强了对新形势下保密工作 重要性的认识，加强了对保密工作的领导

1.为了加强新形势下的保密工作，中 共中央多次下发文件，反复指出要加强对 保密工作的领导。

2.各级党委和政府进一步明确了对保密工作领导责任制，规范了保密工作行为准则，积极支持保密部门开展工作。

3.地方各级保密委员会认真履行领导职能，促进了保密工作的发展。

（二）各级保密部门围绕中心、服务大局，开展日常工作成效显著

1.进一步加强了保密宣传教育、法制建设、日常行政管理、技术检查

和防范等项工作。

2.严肃查处失泄密事件，严厉打击窃 密泄密犯罪行为。

3.对做好信息化条件下保密工作做了 深入研究和探索。

（三）广泛开展保密宣传教育

1.通过“二五”、“三五”、“四五”、“五五” 普法教育，保密宣传已经深入人心，保密 的意识和观念普遍得到加强。

2.加强了对各级领导干部、党政军机 关和保密要害部门工作人员的教育和监督 检查。

（四）相继出台了一批保密法律法规，保密管理取得了新的成效

加强保密工作法制化建设、坚持依法治 密，是加强保密工作的根本途径和有力保障。近年来，国家在保密立法和保密法律、法规 执行情况的督促检查方面做了大量的工作。

1.1988年9月5日，《保密法》正式颁布，并 于1989年5月1日起施行。

2.相继出台了《保密法实施办法》、《科学 技术保密规定》、《新闻出版保密规定》、《国 家秘密文件资料和其他物品标志的规定》、《国 家秘密载体保密管理规定》、《计算机信息系统 保密管理规定》等一系列保密规章。

3.国家保密局会同各中央国家机关制定了各 业务系统《国家秘密及其密级具体范围的规定》 为保密工作的开展提供了法律依据。

4.2010年4月，新修订的《保密法》颁 布，并于当年10月1日起施行。

5.对保密法律、法规执行情况进行了 监督检查。

6.保密部门与政法、纪检、监察等部 门密切配合，加大了依法查处泄密事件的 力度。

（五）保密技术工作有了一定进展，技 术防范能力有所提高

1.党中央提出保密工作必须增强技术 含量，强化技术检查和技术防范手段，加 快实现保密工作现代化。

2.保密部门和有关部门密切配合，依 靠各方面力量，在发展保密技术方面做了 大量工作，研制推广了一批保密技术检查 和防范的设备和设施。

3.组织开展了保密技术检查，对一些 泄密隐患和问题及时采取了措施。

三、保密工作存在的问题

背景：对我实施全方位的信息监控和情报战略，窃密手段不断翻新，窃密活动十分猖獗。

云计算、物联网、三网融合等新技术发展使保密管理的对象、方式和手段发生了深刻变化，泄密风险、泄密渠道和泄密隐患明显增多。保密管理体系不健全、手段不过硬、队伍不适应的问题比较突出。

（一）对新形势下做好保密工作的重要 性缺乏足够的认识

1.政治警觉性不高、敌情观念不强、保密意识淡薄。

2.对保密工作“谈起来重要，做起来次 要，忙起来不要”。

3.观念陈旧，认识滞后，认为保密工 作仅仅是管好文件。

（二）保密管理工作滞后

1.面对新形势下保密工作遇到的新情 况和新问题，相应的法规和管理办法还相 对缺乏。一些保密法规尚需进一步完善。

2.对现行规定执行不严，保密纪律松 弛的问题比较突出。

3.对党政军机关、保密要害部门和涉 及国家秘密的重大活动、重要项目的管理 措施还不够得力。

4.对保密工作落实情况的监督检查不 够，对泄密事件的查处不够严厉，对泄密 犯罪的打击不够有力。

（三）保密技术防范落后

1.对涉密机关和保密要害部门应采取 的保密技术防范措施缺乏明确的要求。

2.保密技术防范装备的研制、开发和 应用工作进展迟缓，经费投入不足。

3.保密技术检查手段薄弱，发现泄密 隐患和泄密问题的能力不强。

（四）保密机构和人员力量薄弱

1.有些涉及国家秘密较多、保密工作 任务繁重的部门，长期没有专人从事保密 工作。

2.机构改革后一些市、县的保密机构 有所削弱。

3.在保密干部的配备上，有的数量不 够，有的素质不高。

第二节

当前保密工作的主要任务

建立健全以教育培训为先导、法规制度为基础、监督检查为保证、科学技术为支撑的现代保密管理体系，大幅提高保密教育培训能力、技术防范能力、检查查处能力、依法行政能力和服务保障能力。

一、加强保密法制建设

健全保密法制，是加强保密工作的重要手 段。

1.在认真贯彻执行各项保密法律、法规的 基础上，进一步修订完善现行保密法规、规章。

2.依法严肃查处泄密事件，狠狠打击泄露 和窃取国家秘密的犯罪行为。

二、开展保密宣传教育工作

保密宣传教育是保密工作的一项基础 性工作，也是一项长期而艰巨的任务。

1.高度重视并认真抓好工作落实，增 强针对性、注重实效性。

2.深入开展保密形势教育、保密法制 宣传教育和保密技术支持教育。

3.大力开展群众性宣传教育，不断提高广大群 众的保密观念，增强保密意识，自觉履行保密职责 和义务。

4.根据中央要求，将保密教育纳入各级党校、行政干部院校、高等院校的教学内容。

5.把保密教育作为加强社会主义精神文明建设 的一项重要内容，与思想政治教育、爱国主义教育 和法制教育紧密结合起来，使之制度化、规范化。

三、加强保密行政管理工作

在新形势下，保密工作要强化管理，强化服 务，而管理本身也就是服务。

1.研究保密工作依法行政和依法管理的新方 式，建立与社会主义市场经济体制相适应的保密 管理体制。

2.对保密工作实行全方位、分层次管理，对 涉及国家秘密安全或可能涉及国家秘密安全的事 项都要管理到位。

3.切实抓好涉及国家秘密的分布、流向和变 化等情况，实行国家秘密的动态管理。

4.采取有力措施，加强对涉密人员的管理，把执行保密法纪的情况纳入干部考核内容。

5.突出重点，抓好党政军领导机关和保密要 害部门的保密管理工作，真正建立起高效、科学 的保密管理体制。

四、研究、开发和推广应用保密技术

加快发展保密技术，是对付高技术窃密手段 的迫切需要，也是实现保密工作现代化的重要举 措。

1.对党政机关和保密要害部门装备必要的保 密技术设备、计算机及其网络保密管理、保密技 术检查标准等突出问题，制定规定或采取措施，统一规范，统一行动。

2.加快研制和开发保密技术防范设备，有计划、分层次地装备党政军机关和保 密要害部门。

3.保密部门要同安全、公安和其他有 关部门分工合作，协调配合，加强保密技 术检查，增强发现泄密隐患的能力。

五、开展保密工作理论和政策研究

要在调查研究的基础上，认真研究窃 密活动的新动向和加强防范的新对策，探 索保密工作基本规律，研究改进保密管理 的新举措，制定各项保密工作的具体政策 和对策。

六、建设高素质保密干部队伍

建立一支政治强、业务精、作风正的保密干 部队伍，是新时期保密工作的必然要求，也是做 好新形势下保密工作的重要保证。

1.保密干部要努力学习和运用中国特色社会 主义理论，坚定不移地贯彻执行党的基本路线和 基本方针，严格要求，严格管理，乐于奉献，爱 岗敬业。

2.保密工作是一门科学，要求保密干部知识面 要宽、政治敏锐性和工作预见性要强，并具有一定 的组织协调和处置问题的能力。

3.通过加强学习培养，调整优化保密干部队伍 结构，使懂法律、懂管理、懂技术的干部占较大的 比例，增强保密队伍的战斗力。

4.加强保密干部培训工作，实行持证上岗。将 保密干部的定期培训、专项培训制度化、规范化，使保密干部保持头脑常清，知识常新，不断增强搞 好保密工作的本领。

思考题

1.当前对我实施窃密的特点是什么？

2.当前保密工作面临的挑战和存在的问题是什么？

3.我国保密工作的发展目标是什么？

4.保密工作的主要任务是什么？