学生~第4讲_数学归纳法

第一篇：学生~第4讲_数学归纳法

第4讲 数学归纳法

基础梳理

1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．

2．数学归纳法

(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题或成立；②在假设{Pn}对一切正整数成立．

(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：

①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；

②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当时，命题成立； ③由①②得出结论．

考向一 用数学归纳法证明等式

【例1】 用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，考向二 用数学归纳法证明整除问题

【例2】►是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

111n1×33×52n－12n＋12n＋

1【训练2】 用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．

考向三 用数学归纳法证明不等式

1

【例3】►用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋3

12n＋11

1＋5·1＋2n－1>…·

2均成立． 

【例4】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n均在函数ybr(b0,S)n，且b1,b,r均为常数)的图像上.（1）求r的值;

（11）当b=2时，记bn2(log2an1)(nN)证明：对任意的nN，不等式





x

b1b11b21

····n b1b2bn

【训练3】 已知函数f(x)＝33－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较

1＋a1＋

1111的大小，并说明理由． 1＋a21＋a31＋an

考向四 归纳、猜想、证明

【例5】►数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[审题视点] 利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．

1【训练4】 由下列各式1＞2，1

11＋231，11111131＋234567＞2，111

1＋23152，11151＋23312，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．

【示例】► 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：

1115

＋＋…＋＜12.a1＋b1a2＋b2an＋bn

第二篇：保密概论第4讲

第四章

保密工作面临的形势和任务

第一节

窃密与反窃密的斗争尖锐复

杂

第二节

保密工作面临的矛盾和挑战

第三节

保密工作的基本任务和工作

重点 保密工作概论

授课人：吴 同 斌

第四章 保密工作的形势和任务 第一节 依然严峻的保密形势

正确认识形势，统一思想，在大局下思考与谋划工作，是科学的思想方法。这也是按照科学发展观做好保密工作的正确方法。

从国际形势看，国际间政治经济科技和军事 等方面的斗争日趋激烈。有三大特点：

1.世界政治走向多极化是必然趋势，但会经 历一个较长的过程。

2.世界经济全球化加速发展，综合国力的竞 争日趋激烈。

3.世界已经步入信息时代，窃密与反窃密的 斗争愈演愈烈。

从国内形势看，我国经济和社会发展 已具有了比较坚实的基础，但面临的窃密 威胁不断加大。

保密工作在维护国家安全和利益，保障改革、发展和稳定方面担负着繁重的任务。

一、当前窃密与反窃密斗争形势尖锐 复杂，必须增强做好保密工作的责任感和 紧迫感

（一）目的更具战略性。

（二）主体更具多元性。

（三）手段更具技术性。

（四）渠道更具广泛性。

（五）目标更具指向性。

二、当前保密工作的现状

在党中央、国务院的高度重视和坚强领导下，全国保密战线奋发努力、开拓进取，各项工作取得显著成绩，为维护国家安全和利益，保障改革开放和社会主义现代化建设事业顺利进行做出了重要贡献。

（一）普遍增强了对新形势下保密工作 重要性的认识，加强了对保密工作的领导

1.为了加强新形势下的保密工作，中 共中央多次下发文件，反复指出要加强对 保密工作的领导。

2.各级党委和政府进一步明确了对保密工作领导责任制，规范了保密工作行为准则，积极支持保密部门开展工作。

3.地方各级保密委员会认真履行领导职能，促进了保密工作的发展。

（二）各级保密部门围绕中心、服务大局，开展日常工作成效显著

1.进一步加强了保密宣传教育、法制建设、日常行政管理、技术检查

和防范等项工作。

2.严肃查处失泄密事件，严厉打击窃 密泄密犯罪行为。

3.对做好信息化条件下保密工作做了 深入研究和探索。

（三）广泛开展保密宣传教育

1.通过“二五”、“三五”、“四五”、“五五” 普法教育，保密宣传已经深入人心，保密 的意识和观念普遍得到加强。

2.加强了对各级领导干部、党政军机 关和保密要害部门工作人员的教育和监督 检查。

（四）相继出台了一批保密法律法规，保密管理取得了新的成效

加强保密工作法制化建设、坚持依法治 密，是加强保密工作的根本途径和有力保障。近年来，国家在保密立法和保密法律、法规 执行情况的督促检查方面做了大量的工作。

1.1988年9月5日，《保密法》正式颁布，并 于1989年5月1日起施行。

2.相继出台了《保密法实施办法》、《科学 技术保密规定》、《新闻出版保密规定》、《国 家秘密文件资料和其他物品标志的规定》、《国 家秘密载体保密管理规定》、《计算机信息系统 保密管理规定》等一系列保密规章。

3.国家保密局会同各中央国家机关制定了各 业务系统《国家秘密及其密级具体范围的规定》 为保密工作的开展提供了法律依据。

4.2010年4月，新修订的《保密法》颁 布，并于当年10月1日起施行。

5.对保密法律、法规执行情况进行了 监督检查。

6.保密部门与政法、纪检、监察等部 门密切配合，加大了依法查处泄密事件的 力度。

（五）保密技术工作有了一定进展，技 术防范能力有所提高

1.党中央提出保密工作必须增强技术 含量，强化技术检查和技术防范手段，加 快实现保密工作现代化。

2.保密部门和有关部门密切配合，依 靠各方面力量，在发展保密技术方面做了 大量工作，研制推广了一批保密技术检查 和防范的设备和设施。

3.组织开展了保密技术检查，对一些 泄密隐患和问题及时采取了措施。

三、保密工作存在的问题

背景：对我实施全方位的信息监控和情报战略，窃密手段不断翻新，窃密活动十分猖獗。

云计算、物联网、三网融合等新技术发展使保密管理的对象、方式和手段发生了深刻变化，泄密风险、泄密渠道和泄密隐患明显增多。保密管理体系不健全、手段不过硬、队伍不适应的问题比较突出。

（一）对新形势下做好保密工作的重要 性缺乏足够的认识

1.政治警觉性不高、敌情观念不强、保密意识淡薄。

2.对保密工作“谈起来重要，做起来次 要，忙起来不要”。

3.观念陈旧，认识滞后，认为保密工 作仅仅是管好文件。

（二）保密管理工作滞后

1.面对新形势下保密工作遇到的新情 况和新问题，相应的法规和管理办法还相 对缺乏。一些保密法规尚需进一步完善。

2.对现行规定执行不严，保密纪律松 弛的问题比较突出。

3.对党政军机关、保密要害部门和涉 及国家秘密的重大活动、重要项目的管理 措施还不够得力。

4.对保密工作落实情况的监督检查不 够，对泄密事件的查处不够严厉，对泄密 犯罪的打击不够有力。

（三）保密技术防范落后

1.对涉密机关和保密要害部门应采取 的保密技术防范措施缺乏明确的要求。

2.保密技术防范装备的研制、开发和 应用工作进展迟缓，经费投入不足。

3.保密技术检查手段薄弱，发现泄密 隐患和泄密问题的能力不强。

（四）保密机构和人员力量薄弱

1.有些涉及国家秘密较多、保密工作 任务繁重的部门，长期没有专人从事保密 工作。

2.机构改革后一些市、县的保密机构 有所削弱。

3.在保密干部的配备上，有的数量不 够，有的素质不高。

第二节

当前保密工作的主要任务

建立健全以教育培训为先导、法规制度为基础、监督检查为保证、科学技术为支撑的现代保密管理体系，大幅提高保密教育培训能力、技术防范能力、检查查处能力、依法行政能力和服务保障能力。

一、加强保密法制建设

健全保密法制，是加强保密工作的重要手 段。

1.在认真贯彻执行各项保密法律、法规的 基础上，进一步修订完善现行保密法规、规章。

2.依法严肃查处泄密事件，狠狠打击泄露 和窃取国家秘密的犯罪行为。

二、开展保密宣传教育工作

保密宣传教育是保密工作的一项基础 性工作，也是一项长期而艰巨的任务。

1.高度重视并认真抓好工作落实，增 强针对性、注重实效性。

2.深入开展保密形势教育、保密法制 宣传教育和保密技术支持教育。

3.大力开展群众性宣传教育，不断提高广大群 众的保密观念，增强保密意识，自觉履行保密职责 和义务。

4.根据中央要求，将保密教育纳入各级党校、行政干部院校、高等院校的教学内容。

5.把保密教育作为加强社会主义精神文明建设 的一项重要内容，与思想政治教育、爱国主义教育 和法制教育紧密结合起来，使之制度化、规范化。

三、加强保密行政管理工作

在新形势下，保密工作要强化管理，强化服 务，而管理本身也就是服务。

1.研究保密工作依法行政和依法管理的新方 式，建立与社会主义市场经济体制相适应的保密 管理体制。

2.对保密工作实行全方位、分层次管理，对 涉及国家秘密安全或可能涉及国家秘密安全的事 项都要管理到位。

3.切实抓好涉及国家秘密的分布、流向和变 化等情况，实行国家秘密的动态管理。

4.采取有力措施，加强对涉密人员的管理，把执行保密法纪的情况纳入干部考核内容。

5.突出重点，抓好党政军领导机关和保密要 害部门的保密管理工作，真正建立起高效、科学 的保密管理体制。

四、研究、开发和推广应用保密技术

加快发展保密技术，是对付高技术窃密手段 的迫切需要，也是实现保密工作现代化的重要举 措。

1.对党政机关和保密要害部门装备必要的保 密技术设备、计算机及其网络保密管理、保密技 术检查标准等突出问题，制定规定或采取措施，统一规范，统一行动。

2.加快研制和开发保密技术防范设备，有计划、分层次地装备党政军机关和保 密要害部门。

3.保密部门要同安全、公安和其他有 关部门分工合作，协调配合，加强保密技 术检查，增强发现泄密隐患的能力。

五、开展保密工作理论和政策研究

要在调查研究的基础上，认真研究窃 密活动的新动向和加强防范的新对策，探 索保密工作基本规律，研究改进保密管理 的新举措，制定各项保密工作的具体政策 和对策。

六、建设高素质保密干部队伍

建立一支政治强、业务精、作风正的保密干 部队伍，是新时期保密工作的必然要求，也是做 好新形势下保密工作的重要保证。

1.保密干部要努力学习和运用中国特色社会 主义理论，坚定不移地贯彻执行党的基本路线和 基本方针，严格要求，严格管理，乐于奉献，爱 岗敬业。

2.保密工作是一门科学，要求保密干部知识面 要宽、政治敏锐性和工作预见性要强，并具有一定 的组织协调和处置问题的能力。

3.通过加强学习培养，调整优化保密干部队伍 结构，使懂法律、懂管理、懂技术的干部占较大的 比例，增强保密队伍的战斗力。

4.加强保密干部培训工作，实行持证上岗。将 保密干部的定期培训、专项培训制度化、规范化，使保密干部保持头脑常清，知识常新，不断增强搞 好保密工作的本领。

思考题

1.当前对我实施窃密的特点是什么？

2.当前保密工作面临的挑战和存在的问题是什么？

3.我国保密工作的发展目标是什么？

4.保密工作的主要任务是什么？

第三篇：第4讲_平均数问题

平均数问题

姓名

知识与方法

如果要灵活的运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：

平均数=

总数量=()

总份数=

例

1、小明期末考试,语文90分,数学94分,外语98分,求小明三门考试的平均分.【举一反三】

1、某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考都得了99分,这个班级中考平均分是_______.2、已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是______.3、某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是

例

2、有4箱水果，已知苹果、梨、桔子平均每箱42个，梨、桔子、桃平均每箱36个。苹果和桃平均每箱37个。求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？

【举一反三】

1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两个组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？

3、有A、B、C三个人,他们中每两个人的年龄加在一起的平均年龄分别为21岁、24岁、18岁,这三个人的年龄分别是多少?

例

3、五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？。

【举一反三】

1、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分数错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？

2、一位同学在期中测试中，除数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？

3、把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？

第四篇：第《自然辩证法》教案4讲

第四讲 科学、技术、工程与社会的基本理论

内容提要

一、科学、技术、工程共同体及其社会特征

二、科学、技术、工程共同体的伦理规范与 社会责任

三、科学、技术、工程与社会的互动

第一节 科学、技术、工程共同体及其社会特征

一、科学、技术、工程共同体的含义 1.科学共同体

• “科学共同体”（Scientific Community）是匈牙利籍英国科学家（后转向哲学社会科学）波兰尼（M.Polanyi）于1942年提出的，用以指科学家群体。

• 在科学社会学中，是指一种关系共同体。它强调科学家群体所具有的共同信念、共同价值、共同规范，以区别于一般社会群体和社会组织。•

• 一般地，科学共同体含有两层意思：一是指整个科学界（用于考察其外部关系）；二是指部分科学家组成的各种集体（用于考察科学界的内部结构）。

科学共同体内部成员间互动的一种主要方式是：科学交流。2.技术共同体

相对于科学共同体，也同样存在技术共同体。

• 美国著名技术史学家康斯坦（E.W.ConstantⅡ）在1980年提出了“技术共同体”和“技术范式”的概念。他将“技术范式”定义为一个公认的技术操作模式……当它被一个相应的技术从业者共同体所定义和接受时，就成了一个常规系统（共同的理论框架和解题方法、公认的技术成就和范例等）。

技术共同体相对于科学共同体与经济活动之间的联系更加紧密，技术共同体的结构、技术专家的互动方式与科学共同体的结构、科学家的互动方式有明显的差别。

3.工程共同体

• 所谓工程共同体，就是以共同的工程范式为基础而形成的、以工程的设计、建造、管理为目标的活动群体。工程共同体包括多类成员：投资者、企业家（工程指挥人员）、管理者、设计师、工程师、会计师、工人等。

第二节 科学、技术、工程共同体的组织结构、体制目标与社会规范

一、科学、技术、工程共同体的组织结构

（一）科学共同体的组织结构 • 美国著名科学社会学家普赖斯从科学家之间的科学交流、信息传递渠道，以及人际关系中的联系网络等科学研究的社会过程中发现，科学共同体中存在着两类亚群体：一类是正式的，有组织的科学家集团，如大学、研究机构等；另一类是非正式的非组织化的科学群体，这类群体是通过科学交流、信息网络连接起来的，如学会、协会、研究会等。

• 科学共同体有两种主要的组织形式：“无形学院”和科学学派。

现代科学即使是最小的分支也有成千上万的同行，真正有学问的人就会分裂为非正式的小团体。这种小规模的优秀人员构成的“无形学院”（invisible couge），其成员通过互送未定稿、通信等迅捷的非正式交流与合作，形成一个强有力的、高产的团体。美国社会学家克兰通过实证研究，对科学交流系统作了分类，一类是变化不大的正式的学术交流系统，比如正规的学术会议、学术期刊、学术专著、文献摘要和目录索引等，通过这种交流形成庞大的科学共同体；另一类是迅捷的、非正式的学术交流系统，常常出现于学科的前沿和几个学科的边缘，为了尽快获得新的信息，研究人员大多通过直接交谈、通信等个人联系的方式进行非正式的交流，这就成了“无形学院”。在科学前沿，往往是由“无形学院”通过少数人的非正式交流系统创造出新知识，然后由大范围的正式交流系统来评价之、推广之和传播之。

科学学派是以共同的范式为基础的科学共同体，其成员具有共同的科学范式是学派得以成立的前提条件。但是，并不是具有共同范式的科学共同体都是学派。只有在同一领域中存在两种或以上的范式，并且每种范式都形成了一个共同体的情况下，才将其在任何一个共同体称为学派。简言之，学派是不同范式在竞争中的科学社会组织的表现形式。

（二）技术共同体的组织结构

• 技术共同体有三个核心要素：资源禀赋、专有功能和制度安排。三者共同组成技术共同体的基础架构，反映技术共同体的本质与规范。

• 技术共同体的组织结构主要有：职能型结构和“创新者网络”两种。

“创新者网络”概念是源于技术创新经济学，意指一种特殊的创新者组织形态，即网络组织，是一种松散联接的组织，其核心与成员组织（如企业）之间的联系可强可弱，是一种合作的关系（类似“无形学院”）。也可以将其视为技术共同体的子团体。在制度安排上主要是合资项目、签订转包合同、R&D合作、政府主办的联合研究项目等。

（三）工程共同体的组织结构

• 工程是人类有目的、有组织地改造世界的活动。因此，工程共同体是追求经济和价值目标的共同体。为了达到经济利益的最大化，工程共同体会根据不同的需要，采取不同的组织结构。•

二、科学、技术、工程共同体的体制目标与社会规范

• 1942年，科学社会学之父默顿发表了《科学的规范结构》的文章，从科学社会学角度对此作了总结，明确指出科学的体制目标是：“扩展确证无误的知识”，即要求科学家应作出独创性的贡献，不断增加科学共同体和社会的知识存量。•

2.工程技术的体制目标

• 工程技术的体制目标是要“利用知识谋利”。

（二）科学、技术、工程的社会规范

1.科学的社会规范

• 默顿在《科学的规范结构》一文中提出了科学的社会规范，即普遍主义、公有主义、无私利性和有条理的怀疑主义。2.技术的社会规范

• 目前，讨论关于技术的社会规范的文献不多，根据本人的研究，概括为以下几点，供大家参考。

（1）技术合理性

（2）社会合意性

（3）环境友好性

（4）保密和专利制度

3.工程技术共同体的伦理规范及其基本原则（1）工程技术共同体的伦理原则

现代工程技术共同体的伦理原则是：公平和责任

第三节 科学、技术、工程与社会的互动

一、科学、技术、工程对人类社会的影响

（一）科学、技术和工程对人类社会的积极影响 1.科学技术和工程促进了经济的发展

2.科学、技术和工程改善了人们的生活方式

3.科学、技术和工程促进了人们思维方式的变革

4.科学、技术和工程推动了社会的全面进步和人的全面发展

（二）科学、技术和工程对人类社会的负面影响 1.科学技术的“异化”问题

所谓异化，就是主体产生客体，客体反过来支配了主体。2.科技发展所表现出的“去技术”倾向 3.对环境和资源压力加大

4.一定程度上的价值伦理观混乱

二、社会对科学、技术、工程的影响

（一）经济对科学、技术和工程的影响

（二）政治对科学、技术和工程的影响

（三）教育对科学、技术和工程的影响

（四）文化对科学、技术和工程的影响

（五）社会制度对科学、技术和工程的影响

三、科学、技术、工程与社会的互动

思考题：

1.科学、技术、工程共同体及其范式各有哪些特性？

2.科学共同体的体制目标和社会规范与工程技术相比有什么差异？ 3.什么是越轨行为？如何防范？

4.如何理解科学技术是一把“双刃剑”？

5.如何正确评价“科技乐观主义”和“科技悲观主义”？ 6.如何在科学技术的社会评价中贯彻科学发展观？

第五篇：第4讲：简单推理(教案)

第4讲：简单推理（教案）

课前知识复习1.在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？ 20-1=19 19*4=76 2.一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？

樟树：480/12+1=41 柳树：480/12*3=120 引入 数学课上，老师布置了一道题：

□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（）△=（）

要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。

解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。

一：精讲精练 【例题1】下式中，□和△各代表几？

□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（）△=（）

【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。

练习1：

1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（12）○=（6）2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（20）○=（5）【例题2】下式中，□和△各代表几？

□×△=36 □÷△=4 □=（）△=（）

【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。

练习2：

1．○和□各表示几？

○×□=16 □÷○=4 ○=（2）□=（8）2．想想，填填。

○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（10）△=（2）【例题3】下式中，□和△各代表几？

□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（6）△=（4）【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。

练习3：

1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（3）○=（16）2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（12）△=（8）

【例题4】下式中，□和○各代表几？

□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（8）○=（6）

【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用48减去34得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。

练习4：

1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（12）△=（0）

2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76 ○=（10）△=（12）【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？

☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（）□=（）△=（）

【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4个△，那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。

练习5：

1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（20）□=（20）△=（30）

2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（15）□=（10）○=（15）

知识小结：

要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。

解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图 形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。

随堂训练

一：找规律填空 ○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（30）□=（6）二：□和○各代表几？

□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（8）○=（2）三：

○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（3）□=（1）△=（5）四：

□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（12）△=（15）