海伦公式的几种证明与推广

第一篇：海伦公式的几种证明与推广

海伦公式的几种证明与推广

古镇高级中学付增德

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：

s

(pa)(pb)(pc)，而公式里的p

2(abc)，称为半周长。

图

1C

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=

p(pa)(pb)(pc)

===

14141

4(abc)(abc)(acb)(bca)(a

=

[(ab)c][c14

4ab

(ab)]

b

c

2ab)[(a

b

c

2ab)]

=

(a

bc)

2ab

2ac

2bc

abc

absinC和余弦定理

教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s

c

a

b

2abcosC的证明过程：sabsinC=ab1cosnC=

ab1（a

b

c

2ab)

下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式SABC

aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

如图2，B

图2

C

x2y2c2

222

2acb22

在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有xzb解方程，得y，2a

yzaz

a

b

c

2a，xc

y

c

（a

c

b

2a)



12a

4ac

(a

c

b)下略。在求

高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：AB

AD

DCAC

BDAD

BCBDDCBC，等式改写为

AB



DCBC

AC



BDBC

BC



DCBC



BDBC

aa

而当点D是顶点A的正射影时,有

BDDC



ABcosBACcosC



cb

bc

22，利用比例的性质，变形得

BDBC



a

c

b

2a，DCBC



a

b

c

2a，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么

ABACBCtata+tantantan+tan=1，222222

zz

C

图

3如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则tan

A2



rx, tan

B2



ry,tan

C2



rz,代入恒等式

tan

A2

tan

B2

+tan

A2

tan

C2

+tan

B2

tan

C2

=1，得

r

xy



r

xz



r

yz

1，两边同乘xyz，有等式

r(xyz)xyz„„„①

又，bca(xz)(xy)(yz)2x，所以，x

z

abc

bca，同理y

acb。„„„②于是△ABC的面积S

(abc)r=

(yzxzxy)r=(xyz)r

=(xyz)r=

14，把①、②式代入，即得S(xyz)xyz

(abc)(abc)(bca)(acb)

三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条

边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p

abcd,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = eEB = f

○○

∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD ∴

fae

=

efc

=

bd，SEABS四边形

ABCD

=

bd

b

解得： e =

b(abcd)d

b

③f =

b(adbc)d

b

④由于S四边形ABCD =

d

bb

S△EAB

将③，④跟b =

b(dd

b)b

代入海伦公式公式变形，得：

∴S四边形ABCD =

db

4eb

(e

b

f)

4b

d

b

b(abcd)(d

(db

224

b)

=

d

4b

b)

[（b(abcd)(d

b)



b(d(d

b)

b)



b(adbc)(d

b)

22)]

b

=

4b

(d

b)

4(ab

cd)(d

b)[(abcd)(d

2222

b)(adbc)]



=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)[{abcd}{d

2222

b}{adbc}]

2222

=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)(ab

2222

cd

d

b

2db

ad

bc)

=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)[b(a

2222

b

d

c)d(d

222

b

a

c)

=

4(d1

b)

(d

b)[4(abcd)(c

2222

d

b

a)]

=4

(2ab2cdc

d

b

a)(2ab2cdd

b

a

c)

=4

ac)(bd)][(bd)(ac)]

2222

(abcd)(abdc)(adcb)(bdca)

=4

=(pa)(pb)(pc)(pd)所以，海伦公式的推广得证。

图4

参考文献

［1］ 七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～

２６．

［2］ 王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．

第二篇：海伦公式的证明

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第三篇：海伦公式与四边形面积公式

海伦公式与四边形面积公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：

所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：

证明：

设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：

联立两式解得：

第四篇：海伦公式原理简介

原理简介

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注1：“Metrica”(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。编辑本段证明过程 证明（1）

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

当P＝1时，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得

△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s=8√ 3 证明（3）

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =(a+b+c)/2,则

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的证明

证一 勾股定理

如右图

勾股定理证明海伦公式。

证二：斯氏定理

如右图。

斯氏定理证明海伦公式

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

恒等式证明(1)

恒等式证明(2)证五：半角定理

∵由证一，x = = －c = p－c

y = = －a = p－a

z = = －b = p－b

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 故得证。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =

解得： e = ① f = ②

由于S四边形ABCD = S△EAB

将①，②跟b = 代入公式变形④，得到： ∴S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。

编辑本段例题：

C语言版：

如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27

x4－12x2－16x＋27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“请输入三角形第一边的长度”)b=inputbox(“请输入三角形第二边的长度”)c=inputbox(“请输入三角形第三边的长度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面积为”&s), ,“三角形面积” 在VC中实现

#include #include main()int a,b,c,s;printf(“输入第一边n”);scanf(“%d”,&a);printf(“输入第二边n”);scanf(“%d”,&b);printf(“输入第三边n”);scanf(“%d”,&c);s=(a+b+c)/2;printf(“面积为:%fn”,sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));C#版：

using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)

double a, b, c, p, s;

Console.WriteLine(“输入第一条边的长度：n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“输入第二条边的长度：n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“输入第三条边的长度：n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出来的面积是{0}”, s);Console.Read();

第五篇：海伦公式

海伦公式

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]

cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

当P=1时，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）

代入解得s=8√ 3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)