第一篇：不规则四边形公式
如果没有别的条件，可以用对角线把四边形分成两个三角形，知道两个三角形的各边长，可以用海伦公式算出两个三角形的面积。海伦公式：
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为三角形半周长：
p=(a+b+c)/2 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式
假设四边形为ABCD，对角线AC=m，BD=n，对角线夹角为α，由sin（180°-α）=sinα，我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα，因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD；
S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD；
左右两边相加，得：
S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD =0.5sinα（OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD）=0.5sinα[OB*（OA+OC）+OD*（OA+OC）] =0.5sinα（OA+OC）*（OB+OD）=0.5sinα*m*n =1/2*m*n*sinα
即四边形的面积为1/2*m*n*sinα
参考资料： 不知道
第二篇：海伦公式与四边形面积公式
海伦公式与四边形面积公式
2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：
所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：
证明：
设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：
联立两式解得：
第三篇：简单任意四边形的求积公式
简单任意四边形的求积公式
----扩展后的婆罗摩笈多公式和海伦公式
设四边形的的边长分别为a、b、c、d，两对角线长分别为e、f，其夹角θ，四边形的四顶点分别为A、B、C、D(如图所示)，求此任意四边形的面积表达式。
1、〖扩展的婆罗摩笈多公式〗
由三角形面积公式得：S四边形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinC S2＝(1/4)(adsinA)2 +(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC
＝(1/4)(ad+bc)+(1/4)(adcosA)+(1/4)(bccosC)+(1/2)abcdsinAsinC ＝(1/4)(ad+bc)2-(1/4)2abcd +(1/4)(a2d2cos2A)+(1/4)(b2c2cos2C)+(1/2)abcdsinAsinC
其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC 有：a2+d2-b2-c2=2adcosA-2bccosC(a2+d2-b2-c2)2=(2adcosA)2+(2bccosC)2-8abcdcosAcosC 得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2-8abcdcosAcosC 代入时有: S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd
-(1/2)abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinC S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd｛1-cos(A+C)｝
＝(1/16)｛〔2(ad+bc)+(a2+d2-b2-c2)〕〔2(ad+bc)-(a2+d2-b2-c2)〕｝
-abcd cos2〔(A+C)/2〕
＝(1/16)｛〔(a+d)2-(b-c)2〕〔(b+c)2-(a-d)2〕｝-abcd cos2〔(A+C)/2〕
＝(1/16)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔(b+c)-(a-d)〕｝
-abcd cos2〔(A+C)/2〕
令2p＝a+b+c+d，代入后化简: S2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)– abcd cos2〔(A+C)/2〕 S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)– abcd cos2〔(A+C)/2〕｝ 此为著名的扩展后的婆罗摩笈多公式。
2、〖婆罗摩笈多公式的基本形式〗
=1= 222
222婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若四边形ABCD为园内接四边形时，则有cos〔(A+C)/2〕=0，则上面推导的面积公式为：
S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos〔(A+C)/2〕｝
＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝ 就是著名的婆罗摩笈多公式。
3、〖更特殊的情况〗
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：证明：由于四边形内接于圆O，所以：
其中p为半周长：
又因为四边形外切圆C，所以： 则： 同理: 综上：，证毕。
4、〖三角形面积的海伦公式〗
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取 S ＝√｛p(p-a)(p-b)(p-c)｝
5、〖若四边形的对角线夹角为θ时〗
若四边形的对角线夹角为θ时，四边形的面积 S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│ 证明：因：a2＝e12+f12-2 e1f1 cos(180-θ〕
b2＝f12+ e22-2 f1 e2cosθ
c2＝e22+f22-2 e2f2 cos(180-θ〕 d2＝f22+ e12-2 f2 e1cosθ
得：a2-b2+ b2-d2＝-2(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)cosθ 又因：(1/2)(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)sinθ＝S四边形 所以：S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│ 证毕。
6、〖若四边形的两对角线长为e、f时〗
。的特殊情形。
=2= 若四边形的两对角线为e、f时，S＝(1/4)√｛4ef-(a-b+c-d)｝ 证明：因：a2＝e12+f12-2 e1f1 cos(180-θ〕
b2＝f12+ e22-2 f1 e2cosθ
c＝e2+f2-2 e2f2 cos(180-θ〕 d2＝f22+ e12-2 f2 e1cosθ
得：a2-b2+ b2-d2＝-2(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)cosθ
(a2-b2+ b2-d2)2＝4(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)2 cos2θ(a2-b2+ b2-d2)2＝4(ef)2cos2θ(其中：因e+ e＝e，f+ f＝f)
122222222
。222
。又因：S＝(1/2)ef sinθ，S2＝(1/4)(ef)2sin2θ＝(1/4)(ef)2(1+cos 2θ)得：S2＝(1/4)e2f2-(1/4)(ef)2 cos 2θ＝(1/4)e2f2-(1/4)2(a2-b2+ b2-d2)2 所以：S＝(1/4)√｛4ef-(a-b+c-d)｝ 证毕。
7、〖若四边形为平行四边形时〗
若四边形为平行四边形时，且平行四边形的边长分别为a、b(a≥b)，两对角线的夹角为θ(θ＜90)，则平行四边形的面积S＝(1/2)(a2-b2)tanθ，且tan(θ/2)≤(b/a)。
证明：因：四边形为平行四边形，则在上题中有c=a，d=b，所以：S＝(1/4)│(a2-b2+a2-b2)tanθ│＝(1/2)│(a2-b2│tanθ 同时：由题意设两对角线分别为2x、2y，有：a2＝e2＋f2＋2efcosθ，b2＝x2＋y2－2xycosθ，xy＝(a2－b2)/(4cosθ)，x2＋y2＝(a2＋b2)/2 得：x4－[(a2＋b2)/2]x2＋[(a2－b2)/(4cosθ)]2＝0
依题意，方程的根判别式应大于等于零，即B2－4AC≥0 故有：{－[(a2＋b2)/2]}2－4[(a2－b2)/(4cosθ)]2≥0，[(a2＋b2)2－[(a2－b2)2/cos2θ≥0（因a≥b，0＜α＜90。，有a2≥b2，cosθ＞0)进而得：(a2＋b2)≥(a2－b2)/cosθ，(1－cosθ)/(1＋cosθ)≤b2/a2，tan2(θ/2)≤b2/a2，tan(θ/2)≤b/a。证毕。
20141012於上海松江。
=3=
第四篇：四边形证明
1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四
边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
B
M D
2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；
⑵ GC⊥CH．(6分)
AD
B C E
3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E
是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
B F 图① D E C
⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)
B 图②E F C 图③B F C
图④
4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，(1)试说明：BD=ED=EG=BG；
(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分)
5如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
第五篇：四边形教案
《四边形》教案
一、教学内容：人教版三年级上册第34－36页。
二、教学目标：
1．直观感知四边形，能区分和辨认四边形，知道四边形的特征。进一步认识长方形和正方形，知道它们的角都是直角。
2．通过画一画、找一找、拼一拼等活动，培养学生的观察比较和概括抽象的能力，发展空间想象能力。
3．通过情境图和生活中的事物进入课堂，感受生活中的四边形无处不在，进一步激发学生的学习兴趣。
三、教学重点：感知四边形的特征，能判别四边形。
四、教具、学具：课件一套、七巧板一副等。
五、教学过程：
（一）感知四边形的特征 1．找主题图中的图形。
师：我们每天都在美丽的校园学习生活，校园里也有许多数学知识，仔细观察这幅图，你发现了有哪些图形？（课件出示，根据学生的回答，相应的图形用红色闪一闪，提取出来放在屏幕的右边。）2.出示学生说到的图形。
师：图中还有许多图形，那同学们能给这些图形分分类吗？
同桌相互商量，说说这样分的理由。预设：1.按有角和没角分
2.按边数分
3.按四边形和非四边形分
师：（当学生把四边形分一类，其他图形分一类时）我们就按照你这种分法来研究。
你为什么这么分？（这些是四边形）。揭题：今天我们就来认识四边形。师：这些四边形有什么特点？
根据学生回答出示课件（四条直直的边，四个角，是个封闭的图形。）
（前面两点学生比较容易得出，后面一点若得不出可放到后面的走迷宫当中来强调。）
（二）走迷宫。１．师：认识了四边形，下面我们要帮小白兔来走迷宫，要沿着四边形走才能吃到萝卜，看看小白兔有几条路线可以走？
活动要求：（1）先自己独立地在纸上走一走
（2）然后同桌轻声说说你是怎么走的
２．指名说，老师课件演示
反馈：学生指出有三条路线。
师：为什么不往8走？（强调：四边形是一个封闭图形）
为什么不往17走？（17是一个立体图形,它的一个面是四边形）12是一个四边形吗？
师： 让你帮小白兔选择，你会选哪条路线？为什么？
（三）四边形分类
1.师：看样子同学们已经能正确判断出哪些图形是四边形，那么在生活中，你也能找出四边形吗？（举例说明）
2、师：生活中有那么多的四边形，它们的大小形状各不相同。我也收集了六个四边形，其中2号四边形很不规则，在生活中很少见到，我们把它叫做任意四边形。
3、师：谁来选一个你熟悉的四边形给大家介绍一下？
预设：（1）正方形四边相等，四个角都是直角。
（2）长方形对边相等，四个角都是直角。
问：这儿还有谁也是对边相等的？（平行四边形）
（3）若没有学生选菱形，可问：认识这个图形吗？它的四条边也相等。
4、认识了这些不同形状的四边形，你能给这六个图形来分类吗？说说理由。
预设：
（1）按角分：长方形、正方形一类（四个角都是直角）；
菱形、平行四边形、梯形任意四边形一类（没有直角）。（2）按边分：长方形、正方形、菱形、平行四边形一类（对边相等）
梯形、任意四边形一类（四边不相等）
（3）长方形、平行四边形一类（对边相等）；
正方形、菱形一类（四条边相等）；
梯形、任意四边形一类（四条边都不相等）。
小结：同学们都能按照自己的标准来分类。通过分类我们知道虽然这六个图形都是四边形，但它们又各具特色，有着不同的特征。
（四）找、拼四边形
１．课件出示，请你找一找图中有哪些四边形？想一想，怎样数才可以不遗漏不重复？
拿出练习纸，先写一写。
反馈：一个一个数，两个两个数，三个三个数，四个四个数等
2、象这样的拼图在我国古代就有了，最著名的就是七巧板，它是我国古代劳动人民发明的一种拼图游戏，不仅可以拼出四边形，还可以拼出各种人物动物形象，或者是桥、房子、宝塔等图案，也可以拼出一些中英文字符。（欣赏图案）师：好看吗？那就赶快动手拼一拼。
21374
点击咨询 