第一篇：用勾股定理与外星人联系
用勾股定理与外星人联系
人们一直在想：浩瀚无边的宇宙中，不会只有地球上有高级生物——人吧？
如果在别的星球上也有“人”，那么怎么互相沟通呢？
我国著名的数学家华罗庚教授，在他生前写的文章中这样说：“„„如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在．我们用什么东西作为我们之间的媒介．带幅画去吧，那边风景殊，不了解．带一段录音去吧，也不能沟通．我看最好带两个图形去．一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）．为了使那里较高级的生物知道我们会几何证明，还可送去下面的图形，即‘青朱出入图’．这些都是我国古代数学史上的成就．”
也有人主张用“光线信号”表示出的勾股数（凡是符合勾股定理的正整数组，例如：3，4和5；5，12和13；8，15和17，等等，都叫做勾股数），来与其他星球上的“人”进行第一次“谈话”．比方说，当我们遇到其他星球上的“人”的时候，就可以用探照灯（或者其他发光器具）打亮3次，如果对方能用他们的发光器具打亮4次的话，那我们就可以打亮5次来回答．接着，我们再打亮5次，如果对方能打亮12次的话，那我们就打亮13次．
第二篇：《外星人与UFO》的读后感
我对是否存在外星球生命非常感兴趣，暑假里我读了《外星人与UFO》这本书，《外星人与UFO》的读后感。书里写了远古的文明，UFO的传说和在世界上发生的UFO事件，以及对UFO的报道、探索和接触。书里介绍了飞碟是什么样的，外星人长得什么样。书里还记载了目击者见到了什么样的飞碟，如果飞碟来了，所有的雷达都无效，而且UFO的速度很快，飞机都追不上它。
在《外星人与UFO》书里，我知道了“陆地百慕大”，人类至今也无法解释：电磁波到这里便消失的无影无踪；陨石在这里到处都是；流星雨更是这里的常客；飞行器飞至上空时，导航系统完全失灵；古生物化石和动物尸体如同垃圾一样遍地都是；邻近地区风雨大作，这里却永远是骄阳似火；不明飞行物、天外来客更是周边的居民茶余饭后的谈资，读后感《《外星人与UFO》的读后感》。
真是太神奇了，但很多大自然中发生的现象人类说不清楚，人们就说是UFO或外星人做的。书上还写了全世界各个国家都遇到了UFO，我想，我要是能遇到UFO就好了，我也想到百慕大去探索发现。所以我决定好好学习，长大了当一名科学家，去研究UFO，我要为我的梦想而奋斗，实现梦想而努力学习。
第三篇：用余弦定理证明勾股定理并非循环论证
用余弦定理证明勾股定理并非循环论证
大家都知道，勾股定理不过是余弦定理的一种特例，所以用余弦定理证明勾股定理就很容易；但是长期以来，有一种观点认为，余弦定理不能用来证明勾股定理，原因是余弦定理是用勾股定理证明出来的，然后用余弦定理又来证明勾股定理就是循环论证，说到这里，我就纳闷了，难道证明余弦定理非要直接或者间接的用到勾股定理？NO！简直是谬论，出于兴趣，偶在网上找到了一种证明余弦定理的方法，证明的过程和勾股定理扯不上一点关系。据说是伟大的科学家爱因斯坦在12岁时, 在未学过平面几何的情况下, 基于三角形的相似性, 找到的这一巧妙和简单的证明余弦定理的方法。天才就是天才，汗……
让我们看看天才是怎样一步一步证明余弦定理的：
如图, 在△ABC 中, 过C 点作线段CD, CE 交AB 于D, E, 使∠ACD = ∠B, ∠BCE = ∠A。显然有：
因为 △ACD ∼ △ABC ∼ △CBE, 所以：
AC*AC = AD * AB, ①
BC*BC = BE * AB，②
∠ADC = ∠CEB，△CDE是等腰三角形
AC / AB = CE / BC = CD / BC，即: CD = AC * BC / AB③
而∠CDE = ∠CED = ∠A + ∠B, 由余弦定义知,cos(A + B)= cos ∠CDE =（1/2 * DE）/CD.于是 DE = 2 *（CD * cos∠CDE）= 2 * CD * cos(A + B)。
将③代入得 :
DE = 2AC*BC/AB* cos(A + B)④
根据①②④，便可以推导出：
AC*AC + BC*BC
=(AD + BE)* AB将①②代入
=(AB − DE)* AB
= AB*AB − DE * AB
= AB*AB − 2AC*BC/AB*cos(A+B)* AB将④代入
= AB*AB −2AC·BC cos(A+B)
= AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。
即：AC*AC + BC*BC = AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。⑤
⑤便是众所周知的余弦定理啦
如此便证明了余弦定理。在图中, 若D,E重合到虚线的位置, 则∠ACB 为直角, 余弦定理变为勾股定理，因此，用类似的方法也可以证明勾股定理。由以上看到，证明余弦定理并非一定要涉及到勾股定理。
所以用余弦定理证明勾股定理不存在所谓的循环论证。所以说，请不要认为用余弦定理证明勾股定理的方法是错误的，除非事先说明不允许用余弦定理，否则偶认为用余弦定理证明勾股定理是最简单的一种证明方法，大家都知道 a = 90°时 cos(a)= 0，代入余弦定理便得到勾股定理。
参考文献：再談畢氏定理與餘弦定理的證明
第四篇：勾股定理回顾与思考教案
勾股定理回顾与思考（教案）（北师大版八年级第一章）渭南市临渭区三马路中学孙莉玲 教学目标 教学知识点
对直角三角形的特殊性质全面进行总结。让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。了解勾股定理的历史。能力训练要求
体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。
在回顾与思考的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生要善于思考、善于创新。
情感与价值观要求
在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。
通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。教学重点
回顾并思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。
在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。教学难点
在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。建立本章的知识框架图。教学方法
交流与反思-----合作与探究 教具准备 无
教学过程
创设情境，导入新课 活动一：展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。
第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值。这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史和它的广泛应用。
设计意图：这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。
二、反思交流，探求新知，：
一、议一议：
1、直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？ ⑴在△ABC中，∠C＝90º，a，b，c为三角形的三边，则 角与角之间的关系：∠A＋∠B＝90º 边与边之间的关系：a2 + b2 = c2 ⑵在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，如果∠A＋∠B＝90º，则三角形为直角三角形。a2 + b2 = c2则三角形为直角三角形。
活动三：回顾勾股定理及直角三角形的判别条件
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
游戏：叫一列学生玩常见勾股数的接龙游戏。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。
二、方格纸中勾股定理的验证
方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。
方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。
方法三：将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。方法四：利用皮克公式
正方形周边上的格点数a=12，正方形内部的格点数b=13，所以，正方形C的面积为：S=1/2a+b-1.三、史话勾股定理的证明
1、三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.它用几何图形来证明代数式之间的恒等关系,体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合.2、传说古希腊的毕达哥拉斯用下面的两个图形证明了勾股定理,你能直接观察验证勾股定理吗？
活动：通过本章的学习，你还知道勾股定理的哪些证明方法？请同学们介绍。
1、美国总统伽菲尔德的证明.他的方法直观、简捷、易懂、明了。
2、刘徽的“青朱出入图”，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.3、著名画家达芬奇的证明 同学们，通过了解勾股定理的历史，我们感受到古代数学家的伟大成就和勾股定理丰富的文化价值，希望同学们在今后的学习中善于探索，善于创新，并且把这些成就发扬光大。
四、欣赏美丽的勾股树，感受数学图形之美，创造之美。
五、拓展与应用勾股定理中的思想方法 数学思想方法是解决数学问题的灵魂．正解的运用数学思想方法也是成功解题的关键．尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法呢？为了帮助同学们能清楚地知道这一问题，现就常用的思想方法举例说明，供同学们学习时参考． 类型之
一、分类讨论思想
已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长． 分析 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 解 当和是两条直角边时，则利用勾股定理求得第三条边即斜边是＝5；当是直角边，是斜边时，仍由勾股定理求得另一条直角边是㎝．
说明 求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为和就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是了，从而漏掉一解导致错误． 构造直角三角形解题
类型之二转化思想台阶中的最值问题
空间图形的距离最短问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求距离最短问题要把“立体图形”转化为“平面图形”，再利用“两点之间线段最短”，以及“勾股定理”等知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。
1、台阶中的最值问题
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 解：台阶展开成平面如图所示，连接AB 因为BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１３㎝。B 类型之三方程思想
3、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺。突然，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？ 分析：由题意，我们知在图1-1中为AB湖水的深度，AC为荷花的长，△ABC为直角三角形． 解：设水深为x尺，则荷花的长为（x+3）尺，由勾股定理得： 62+ x2=（x+3）2
解得：x=4.5,所以这个湖的水深为4.5尺． 类型之四数形结合思想
应用勾股定理及其逆用解决有关航海问题的应用题，首先要能从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形的未知边或相关的量。
例如：甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C岛，乙船到达B岛。若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？ 解：如图所示，在△ABC中，因为AC=2 × 30=60，AB=2 × 40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－ 90°= 55°，所以乙船航行的方向是南偏东55 °。
六、跟踪练习
1、已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是
2、有一个圆柱，它的高等于13厘米，底面半径等于3厘米.一只蚂蚁从距底面1米的A点爬行到对角B点处去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：将圆柱的侧面展开成平面图形，连接AB 因为ＡＣ＝１３－１＝１２㎝，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１５㎝。
七、感悟与收获
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？
2、通过本节课的学习，你获得了那些数学思想和方法？
3、学习过程中你还有什么困惑？
八、分层作业 必做题：
1、课本第16页复习题
3，4，5
B组1
2、独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容。选做题：
勾股定理不仅在数学的发展中起着重要作用，而且在现实世界中有着广泛应用，请同学们试举几例，感受数学与生活紧密相连。
第五篇：勾股定理教学设计与教学反思
勾股定理教学设计与教学反思 【教学目标】
一、知识与能力目标
1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.2.掌握直角三角形中的三边关系和三个内角之间的关系。
二、分析、思考
在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想.三、过程与方法目标
1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
四、情感态度与价值观目标
1．学生通过训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。
【重点难点】
重点：探索和证明勾股定理。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【设计思路】
本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。
让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。【教学流程安排】
活动一：了解历史，探索勾股定理 活动二：拼图验证并证明勾股定理 活动三：例题讲解，：巩固练习，活动四：反思小结，布置作业
活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。【教学过程设计】 【活动一】(一)问题与情景
1、你听说过“勾股定理”吗？
(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理(2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。
2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？
（二）师生行为
教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的观点。
（三）设计意图
①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。
②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。并通过方法的反思，获得解决问题的经验。
在本次活动中教师应关注：
① 学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。② 给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说唱自己的看法。③ 学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，技术各个正方形的面积
④ 是否能用不同的方法（先补全在分割、数格子的个数、拼图等等），引导学生正确地得出结论。
⑤ 学生能否主动参与探究活动，在探究中发表意见，与他人合作的意识。【活动二】
（一）问题与情景
（1）以直角三角形的两直角边a,b拼一个正方形，你能拼出来吗？（2）面积分别怎样来表示，它们有什么关系呢？
（二）师生行为
教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。
学生展示分割、拼接的过程
学生通过图形的拼接、分割，通过数学的计算发现结论。
教师通过（FLASH课件演示拼接动画）图1生共同来完成勾股定理的数学验证。得出结论：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
教师引导学生通过图
1、图2的拼接（FLASH课件演示拼接动画）让学生发现结论。
（三）设计意图
通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生的探求新知的欲望。给学生充分的时间与空间讨论、交流、推理、发现，鼓励学生发表自己的见解，感受合作的重要性。同时培养学生的操作能力，为以后探究图形的性质积累了经验。在本次活动中教师用重点关注：
① 学生对拼图的积极性。是否感兴趣；
② 学生能否通过拼图活动获得数学论；是否能通过合理的分割。③ 学生能否通过已有的数学经验来严重发现结论的正确性。④ 学生能否用自己的语言正确的表达自己的观点。【活动三】
（一）问题与情景
例
1、甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？
例
3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 练习
在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c(1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8.则c=.(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15.则a= 3)已知∠C是Rt∠,a=3,b=4.则c=(3)已知∠C是Rt∠,a:b=3:4,c=25,则b=
（二）师生行为
教师提出问题。学生思考、交流，解答问题。教师正确引导学生正确运用勾股定理来解决实际问题。
针对练习可以通过让学生来演示结果，形成共识。
（三）设计意图
使学生正确地理解勾股定理，并能用它来解决实际问题。在本次活动中教师用重点关注：
① 学生能否通过勾股定理来解决实际问题
② 学生是否能通过图形来活动数学问题（数形结合思想）③ 学生的表达、语言是否规范
④ 引导有差异的学生，能让这部分的学生基本上能理解勾股定理的实质（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）【活动四】
（一）问题与情景
1、通过本节课你学到哪些知识？有什么体会？
2、布置作业
①通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。② P77复习巩固1、2、3、4题
（二）师生行为 教师以问题的形式提出，让学生归纳、总结所学知识，进行自我评价，自我总结.学生把作业做在作业本上，教师检查、批改.（三）设计意图
通过回忆本节课的所学内容，从知识、技能、数学思考等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识.在本次活动中教师用重点关注： ①鼓励学生认真总结，不要流于形式.②不同的学生对学习过程的反思，对知识的理解程度，有针对性的给予指导.【教学反思】
一、教学的成功体验
《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”.数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程.本节课我结合勾股定理的历史和毕答哥拉斯的发现直角三角形的特性自然地引入了课题，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性.为学生提供了大量的操作、思考和交流的学习机会,通过“观察“——“操作”——“交流”发现勾股定理。层层深入,逐步体会数学知识的产生、形成、发展与应用过程.通过引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见解，学生自主地发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，有利于学生在活动中思考，在思考中活动.二、信息技术与学科的整合
在信息社会，信息技术与课程的整合必将带来教育者的深刻变化.我充分地利用多媒体教学，为学生创设了生动、直观的现实情景，具有强烈的吸引力，能激发学生的学习欲望.心理学专家研究表明:运动的图形比静止的图形更能引起学生的注意力.在传统教学中，用笔、尺和圆规在纸上或黑板上画出的图形都是静止图形，同时图形一旦画出就被固定下来，也就是失去了一般性，所以，其中的数学规律也被掩盖了,呈现给学生的数学知识也只能停留在感性认识上.本节课我通过Flash动画演示结果和拼图程以及呈现教学内容。真正体现数学规律的应用价值.把呈现给学生的数学知识从感性认识提升到理性认识,实现一种质的飞跃。
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