第一篇：怎样证明两线段相等与两角相等
怎样证明两线段相等与两角相等
【重点解读】
证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈ 怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； ⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
⑵ 证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等； ③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
⑶ 圆①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； ⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比 例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等； ⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；
⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；
⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；
⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等； ⑻ 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑼ 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； ⑽ 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角； ⑾ 通过计算证明两角相等； ⑿ 等量代换，等式性质.【典题精析】
例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．
总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.2求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC=AG·AF.总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联 系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求证：△ABC为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.例4已知：如图，正△ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P.⑴ 求证：DP=PE；⑵ 若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.思考：若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？
若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？ 例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线； ④=；其中一定成立的是（）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.巩固练习：
⒈ ⑴如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与∠A的比是________ ⑵如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的长为_______.⒉ ⑴如图，∠B、∠C的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，则()A.EF=EB+FC B.EF>EB+FC C.EF ⑵在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（） A.B.C.D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（） A.2AB=AC B.2AB>AC C.2AB ⒋ 如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，求证：AG⊥AF ⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.⒍ 如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E 求证：CD=CE.⒎ 已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D.延长DA交△ABC的外接圆于点F.⑴求证：FB=FC； ⑵若，求FB的长.⒏ 梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所 在直线交BC于N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题.①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM 怎样证明关于线段的几何等式 【重点解读】 线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF.总结：线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE； ⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想.例3如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证： 例4已知：如图，等腰△ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足为F 求证： 总结；解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.求证：⑴AE=BE。⑵AH·BC=2AB·BE.例6如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是 上一点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论： ⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷ 正确的有_____.巩固练习； ⒈ ⑴在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________.⑵已知：O为△ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G，则 _______.⒉ 选择： ⑴如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（） A.AE⊥AF B.EF∶AF= ∶1 C.D.FB∶FC=HB∶EC 第⑴题 第⑵题 第⑶题 ⑵如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，有如下结论: ①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③ 其中正确结论的个数有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ⑶如图，已知⊙BC交⊙与⊙ 外切于点C，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，分别延长AC、于点D，下列结论，正确的有（）个 于点E，交⊙①AD为⊙的直径 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD A.1 B.2 C.3 D.4 ⒊ 已知：如图，设D、E分别是△ABC外接圆的弧AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G, 求证：AF·AG=DF·EG..第3题 第4题 ⒋ ⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圆于G.求证：⑴AC·FG=BC·CG;⑵若CF=AE，求证：△ABC是等腰三角形.⒌ ⑴如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重 合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD． 求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF． ⑵在问题⑴中，直线l向下平行移动，与⊙O相切，其他条件不变． ①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母； ②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 6．已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，点E是 上一动点.⑴ 如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，求证：①∠CED=∠ADE ② =NF·NE =NF·NE的结论是否成立？若成⑵ 如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么立请证明，若不成立请说明理由.图1 图2 .7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。 8．如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。 9。如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD。 10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。 11．已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 具体应用方法分类 一、利用全等三角形的对应边相等证明 例 1、如图1，已知C在BD上，△ABC与△CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证：CP=CQ。 二、利用等腰三角形定理及逆定理证明 例 2、如图2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。求证：FB=FC，FE=FD。 三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明 例 3、如图3，已知△ABC为Rt△，D为斜边AB的中点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求证：AE=CE，BF=CF。 四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明 例 4、如图4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B、∠C的平分线交于I，求证：I到AB、BC、CA的距离相等。 五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明 例 5、如图5，已知：△ABC中，∠A=90°，D为△ABC内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求证：AD=DC 六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明 例 6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。 七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段 例 7、如图7，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。求证：AF=FC。 八、利用中心对称证明 例 8、如图8，已知AT为△ABC的内角平分线，M为BC中点，ME∥AT，交AB、AC或其延长线于D、E，求证：BD=CE。 九、利用勾股定理证明 例 9、如图9，已知：M为△ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求证：AE=AF。 十、利用比例证明 例 10、如图10，已知△ABC中，中线BE与角平分线AD交于点K，BL∥KC，交AC的延长线于点L，求证：LC=AB。 十一、利用圆幂定理证明 例 11、如图11，已知：PA是圆O的切线，A为切点，PBD是圆O的割线，弦DE∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。求证：PF=FA。 十二、利用平行四边形性质证明 例 12、如图12，已知Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。 十三、利用三角知识证明 例 13、如图13，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分别是AB、CD的中点。求证：OF=GE。 证明线段相等的方法 三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。 过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 证明角相等的方法 （一）相交直线及平行线： ①二直线 相交，对顶角相等。 ②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。 ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角 都相等。 ④角的平分线分得的两个角相等。 ⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行 （或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另 一角的右边，则此二角相等 （二）三角形中： ①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等） ②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。 ③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三 内角都相等） ④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角 形 证明直线垂直的方法 （一）相交线与平行线： ①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。 （二）三角形： ①直角三角形的两直角边互相垂直。 ②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。 证明直线平行的方法 （一）平行线与相交线： ①在同一平面内两条不相交的直线平行。 ②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。 ③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。 证明直角三角形的方法 ①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形 ②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形 ③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形 证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。 例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。 证明线段和角相等的技巧 ⒈ 怎样证明两线段相等 证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 三角形 ①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边； ②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型； ③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边； ④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； ⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； ⑵ 证特殊四边形 ①平行四边形的对边相等、对角线互相平分； ②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等； ③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； ⑶ 圆 ①同圆或等圆的半径相等； ②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦； ③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都相等； ④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； ⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； 等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若a cb c，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等 证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等； ⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等； ⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等； ⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一； ⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等； 高中数学竞赛辅导（证明线段和角相等）基础知识 （1）证明两线段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分线和线段中垂线性质；③利用等腰三角形、平行四边形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊图形的性质；④利用圆的基本性质；⑤利用反证法；⑥利用面积法；⑦利用线段线段的积性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式进行代数（三角法）。范例解读 1．P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂线，垂足为L、M，设D为AB的中点，求证：DM=DL。 2． O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心，点D在AB上，AD=AH，点E在AC上，AE=AO，求证：DE=AE。 A C B 3．ABCD为内接四边形，E、F分别在AB、CD上变动，满足AE：EB=CF：FD，P在线段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求证：P到AD、BC的距离相等。 D F 4．圆PN，设l是圆P1和圆P2相交于点M、1和圆P2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆P1相切于点A，与圆P2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆P1还相交于C，与圆P2相切于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ。 D 5．平面上任给圆O和直线l，过O作直线l的垂线交圆O于PQ，任P、Q中的一点，不妨取点P，过P作直线AB分别交圆O和直线l于A、B，过P作直线CD交圆O和直线l于C、D，连接AD圆O于E，连接BC交圆O于F，证明：PE=PF。 P i CM 6．梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，设点K位于两个圆之外，证明；由K向这两圆所作的切线相等。 AD 7．在直角三角形ABC的直角边上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分别交BC、AC于P、Q，证明：CP=CQ。 G AB 8．在凸四边形ABCD的边AB、BC上取点E、F，使得线段DE、DF分对角线AC为三等份，1已知△ADE和△CDF的面积分别是四边形ABCD的面积的，证明：AB=CD。 C F A 9．设四边形ABCD内接于⊙O，其对边AB、CD的延长线交⊙O外一点E，自点E引一直线平行于AC，交BD的延长线于点M，自点M引MT切⊙O于点T，求证：MT=ME。 10．O、I分别为△ABC的外心和内心，AD上BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。 11．设CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，O、O1,O2分别为△ABC、△ACD、△BCD的内 12的外接圆半径与△ABC的内切圆半径相等。心，求证：△OOO 12．在△ABC中，BC边最短，∠A的内角平分线交BC于点D，∠B和∠C的内角平分线交射线AC、AB于点 E、F，过点D做BC的垂线，过点F做AB的垂线，过点E做AC的垂线，这三条垂线交于点Q，求证：AB=AC。 初中几何证明线段和角相等的方法大全 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。 ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。 （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等。且边长an = 2Rsin(180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R)相等、各边的距离(边心距rn)相等。 且rn = Rcos(180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。 ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。 ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。 （六）全等形中： ①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。 （七）线段运算： ①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。 ②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。 ③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。第二篇：证明线段相等的方法
第三篇：证明线段相等的技巧
第四篇：高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)
第五篇：初中几何证明线段和角相等的方法
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