高等数学证明方法5则范文

第一篇：高等数学证明方法

（3）反证法

这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。

例如，证明不是的多项式.事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有

于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式.又如，证明不存在（为自然数）.事实上，利用反证法，假设存在且设，则有

又因为 所以有 故

这与产生矛盾，因此不存在.（2）分析法

这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，„„，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。

分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明.利用拉格朗日中值定理及已知条件，有

单调递增

因此在时是单调递增的.又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下：，欲使不等式成立，由

所以只需，即成立.取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立.综合以上分析，就有，当时，根据极限定义，有

高等数学中研究基本理论的主要方法是证明问题，证明问题的方法没有固定的程序，证题的技巧又灵活多样，因而和一般计算题比较难度较高，不易掌握。下面介绍几种常用的证明方法，以便在寻求基本思路和探索规律方面起到一定一定的引导作用，尽可能减少盲目性，提高自觉性。（1）综合法

这种方法的基本思路是顺着想。由已知条件出发，运用已有的定义、定理、公式、性质推导出所要求的结论。即由条件推可知，再推可知，„„，直到结论。这种“由因导果”的方法，叫做综合法。

运用综合法证明问题最广泛，但在使用这种方法时，必须注意充分与必要的关系，每一步都要明确是由什么命题推证什么命题，依据是什么，这种特点充分表现了数学的严密性和逻辑性。

例如，设，证明.事实上，由已知条件可知序列有递推关系式： 当时，因有

所以为递减有界序列，故.再对递推关系式关于取极限，得，解出； 当时，令，则，而 所以

又如，若函数对任意实数有且，证明.事实上，由已知条件：不会恒为零，由上式可得.因此就有

第二篇：高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法

摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。

关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

文章来自：全刊杂志赏析网(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm

【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。

【关键词】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

例1设e4e2(b-a)。

解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x

例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用辅助函数的单调性证明

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例3试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4设b>a>e，证明ab>ba。

分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展开式证明

泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。

例5设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。

解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述两式相减得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因当c∈(0,1)时，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。

例6设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函数图形的凹凸性进行证明

函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

f′(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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第三篇：高等数学教学方法及考试方法改革方案探讨

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高等数学教学方法及考试方法改革方案探讨

高等数学教学方法及考试方法改革方案探讨

三本院校在高等教育大众化方面发挥了重大作用，已成为高等教育的重要组成部分。不论三本或是其他高校，高等数学都是一门重要的基础理论课，是各专业基础课和专业课必不可少的基础工具。通过高等数学课的教学，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学知识及数学方法；另一方面，培养学生具有运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。

1存在的问题

近几年，随着高校办学规模的不断扩张，学生人数的迅猛增加，学生之间的数学基础、数学领悟学习能力和学习态度习惯的差距也逐步加大。在高等数学教学及考试考核过程中出现了如下问题：学生学习兴趣不高，学习效果差，从而造成了期末考试不及格率过高、平均分过低，数学应用能力不强的现象。为了控制不及格率，往往降低高等数学的教学要求和考试标准，这种做法不仅对刻苦学习的学生有失公平，严重打击了他们学习的积极性与主动性，而且使不认真学习的学生形成了依赖性，更加不愿意学习，恶性循环，严重影响教学的正常进行和学生能力的全面发展。学生差距加大，学生感觉难学，教师感觉难教，教学质量滑坡已成不争的事实。

2目前高校实行的一些措施及弊端

为解决上述问题，必须转变教学思想观念、教学方法和手段、教学模式等，不少高校从教学体系、教学内容、教学手段、教学设备、考试考核等方面进行了积极地探索和大胆的尝试，也取得了一些较好的效果，如被较多高校接受的正如火如荼进行的分层次教学法等。分层次教学也有一定的弊端：较难找到一种理想的分组标准；A组的学生产生自满情绪，B（或C）组学生产生自卑，不利于学生身心健康发展，同时为教师教学工作量和学校管理工作增加了很大的负担。在考试考核方式上，变期末考试为一锤定音的考核方式，增加平时成绩

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在总成绩中的比重。但如何打平时成绩会有如下问题：没有具体的标准，难以找出差距，只能用模糊的评判手段，分数不能做到较精确，打分时不排除会带有教师的感情成分，所以公平性有待商榷。

3教学方法及考核方法改革方案探讨

针对三本院校总体学生基础偏差，对数学知识掌握的要求低，但部分学生又有深层次学习的需要，除在教材、教学过程等方面做一些改革之外，在教学方法、考核方法提出了如下的方案与措施，并进行初步尝试。

3.1教学方法上

传统的分级分层次教学是将全体学生打乱，根据学生的基础重新分班，虽提高了教学效率和效果，但对学生心理上造成一定影响，同时对教学资源、师资力量和学校管理工作要求较高，无形中增加了很多工作量。根据学生个体差异，因材施教，拟探讨、施行“自然班授课+分层习题课+知识讲座”模式，自然班授课的主要内容是高等数学中基本概念、性质、定理和基本例题，上课过程中，注意采用多种授课方式，使全体学生或大部分学生掌握、具备数学思想和解题思想、方法；在一章之后安排一次习题课，习题分基本类型、中等类型、较难综合类型。基本类型题目主要是对一章内容主要知识点的总结与练习，要求所有学生进行练习，力争使所有或绝大部分学生掌握，同时使学生从总体上把握本章的内容重点；中等类型题目主要是对本章的重点内容进行适当的拓展，使大部分学生理解并熟练掌握本章的内容重点，在课堂上做一般讲解；较难综合性的题目主要是对重点和难点内容进行广度和深度的综合拓展，这类题目作为课后思考题，课堂不做讲解，让学生通过课后钻研，使部分或少部分学生深刻理解并能灵活运用概念、定理、性质解决数学问题，运用数学知识解决实际问题。几章之后，安排合适次数的知识讲座，学生根据个人意愿选择是否参加。讲座上一方面处理每章习题课上较难综合性题目，另一方面的将前面所学的知识及方法进行广度、深度的总结与拓展，达到深刻理解并能灵活综合运用所学知识的能力，培养学生解决实际问题的能力。

3.2考核方法上

针对期末考试不及格率过高的现象，笔者所在的学校也进行了一

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些改革，如试行学年成绩评定的方式：一学期没有通过、整个学年平均成绩及格即认定该门课及格。目的是给一学期没有通过、整个学年平均成绩及格的学生一次机会；更重要的是，督促第一学期没有通过的学生第二学期认真学习。希望以此提高及格率，但效果并不明显，第一学期不及格的学生，绝大部分第二学期依然不及格，并且给教师登录成绩、学校管理成绩带来很多问题。当然，这部分学生可能是因为太多知识点不会，最终丧失了学习高等数学的信心（所以在教学方法上做了相应的改革）。

在借鉴其它高校考试改革的基础之上，在继续采用平时成绩+卷面成绩的评定方式的基础之上，提出以下设想：平时成绩评定上，可以从出勤、作业、平时提问、期中小测试等方面考核；卷面成绩上，主要在试卷设计上做一些改革。比如在不影响后续课程的学习和专业发展的基础上，在教学大纲要求的范围内，适当降低考核难度；最后两或三个题目，可以A题和B题的形式出现，A题和B题采用不同的权重，A题权重小于1，B题权重大1。如果做A题总成绩一定会低于100分，做B题如果总成绩高于100分的话，以100分来计，尽量体现公平性。一方面，可以使确实掌握了基本知识的学生顺利通过考试，树立高等数学学习的信心；另一方面，使数学能力强的学生脱颖而出，“付出便有收获”，更好的激发这部分学生的学习兴趣与成就感。

以上是笔者在几年的高等数学教学实践中对高等数学教学改革的几点想法与认识，需要教学实践的进一步检验，在教学实践中不断改进与完善。

参考文献：

[1]张颖.独立学院高等数学课程的几种分层次教学方案探讨[J].大学数学，2010，26（6）：13-16.[2]宋春合.三本院校高等数学实验班规则设计探讨[J].科技资讯，2010，（35）：141.[3]李柳辰.高等数学课期终考试方法改革的设想[J].平顶山师专学报增刊，2000，（15）：55-56.[4]侯宗毅.对高等数学课程及教学改革的思考[J].河池师专学报，2003，23（2）：46-48.最新【精品】范文 参考文献

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项目来源：安徽新华学院教研项目（2012jy011）、教改项目（2012jgkcx03）、精品课程（2012jpkcx03）。

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第四篇：高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试

2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天尧

编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。11x3x21x【解】lim limx3x31x313x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

0nn1axan1xa0

(2)limnmm1xbxbb0amm1xnbnmnmn mn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x3x2x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x3x2x1)lim2(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x0

例4：求极限limx01tanx1sinx 3x2 【解】limx01tanx1sinxtanxsinx limx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim 33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

sinx111和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，两个重要极限是lim第一个x0xnx0xxn重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。X2x11xx22122x12lim1lim11e【解】lim x1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxxaxx5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1cosx~12bx,1ax1~abx； 2x(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】 limlim2.x01cosxx012x2sinxx例8：求极限lim

x0tan3x例7：求极限lim

21sinxxsinxxcosx112x【解】lim limlimlim322x0tan3xx0x0x06x3x3x6．用洛必达法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim 2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx 【解】limlim2x0x0x2x【说明】limsin2x213 2x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.【解】 由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtxlimx0xf(t)dttf(t)dtxf(u)du0x

=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0x0f(t)dt

0f(u)duxf(x)xf(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=x0f(u)duf(0)1.f(0)f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

例11：极限lim[1ln(1x)]

x02x2ln[1ln(1x)]x2x【解】 lim[1ln(1x)]=limex0x0=e4

2ln[1ln(1x)]x0xlime2ln(1x)x0xlime2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

1例12：求极限lim3x0x2cosxx1.32cosxxln3【解1】 原式limx0ex32cosxln13 limx0x21（sinx）l（n2cox）sln32coxs

lim lim2x0x0x2x11sixn1

lim2x02coxsx6e2cosxxln3【解2】 原式limx0x32cosxln13 lim2x0xln（1

limx0cosx1）cosx113lim x03x26x28．利用Taylor公式求极限

axax2,(a0).例13 求极限 lim2x0xx221xlnalna(x2)，2【解】 aexxlna

axx221xlnalna(x2);

2x

aax2x2ln2a(x2).5 axax2x2ln2a(x2)2limlna.

lim22x0x0xx例14 求极限limx0【解】 limx011(cotx).xx111sinxxcosx(cotx)lim x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim 3x0x113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.(9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限limnsinn1 nn2【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1【解】考虑辅助极限limxsinxxx2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

1610．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111例16：极限lim22nn222n2n2n1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。6 11limfnnn2fn1nff(x)dx 0n1111【解】原式＝lim222nn12n111nnn 10121 dxln22211x 1111例17：极限lim2nn22n2nn1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim因而用两边夹法则求解；

11fnnn2fnn的形式，fn

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】lim1112nn22n2nn1 因为 nnn2n1n121n2nn1221nn2nn12

又

limnnn2limn1

＝１ 111所以 lim2nn22n2nn111．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（Ⅱ）计算lim.nxn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.7 【详解】

（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是 xn1sinxnsinxx）（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单1，xnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得 lsinl，解得l0，即limxn0.nn11x（Ⅱ）因 limn1nxn122xnsinxnxn2，由（Ⅰ）知该极限为1型，limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxelimx0xx01limex0x3e

(使用了洛必达法则)

16x故 limn1nxn2xn1sinxnxn2lime6.nxn1

二、常见不定积分的求解方法的讨论

0.引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

1sinx2xdxdxedx221ksinx（其中0k1）x；；；lnx等。dx这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

1.不定积分的概念

定义：在某区间I上的函数的全体原函数记为

称它是函数

f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)f(x)dx，为积分符号，ff(x)在区间I内的不定积分，其中(x)称为被积函数，x称为积分变量。

若F(x)为f(x)的原函数，则：

f(x)dx=F(x)+C(C为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

d(f(x)dx)和 dxf(x)dx

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

d——————>完全抵消。

d ——————>抵消后差一常数。

[f(x)g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

kf(x)dx=kf(x)dx(k≠0)。

在这里，给出两个重要定理：

(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

1()'x(1)(kx)'k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'

(4)(arctanx)'1x2 x11(arcsinx)'(x)'(6)logaxlna1x

(7)(9)(11)(ex)'ex

(8)(sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(10)(tanx)'sec2x

(cotx)'csc2x。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：

10(1)xdxkdxkxC(k是常数)

(2)x11C(1)

(3)

1dxxlnxC

(4)1x2dxarctanxC

1(5)1x2xdxarcsinxC

(6)

axadxlnaC

x(7)xdxeC

(8)cosxdxsinxC

e2sinxdxcosxC

(10)secxdxtanxC

2cscxdxcotxC。(9)

(11)下面举例子加以说明：

2(3x4x1)dx 例2.1：

求解

原式=

=

23xdx4xdxdx

3x2dx4xdxdx

32xx3()4(C2)(xC3)C

1=

=32x2xxC

注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：

求xdx 2x12dx(x21)1dx=dx2解

原式= 2x1x1

=xarctanxC

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体 11 讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如

sinxcosxdx

2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分

作变量代换uf(x)dx用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为

f(x)g[(x)](x)，(x)，并注意到(x)dxd(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有

f(x)dxg[(x)](x)dxg(u)du.如果g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类

(x)u，最后一个等号表示回代换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u(x).下面具体举例题加以讨论

10dx.(2x1)例3.1：求110(2x1)dx(2x1)解

原式=2110d(2x1)(2x1)

=2

1101u111duC(2x1)C 2x1u u u2x1

22221111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

1d(x).例3.2：求2x8x25解

原式111d(x)d(x)222x43(x4)9()1131x4d()23x4()13

1x4arctanC 33 dx例3.3：求1x211111()解

 21x(1x)(1x)21x1x11d(1x)d(1x)[]

21x21x1x

1[ln1xln1x]C 2

11xlnC 21x3

dx在这里做一个小结，当遇到形如：ax2bxc的不定积分，可分为以下中情况：

ax2bxc的：

①大于0时。可将原式化为(xx1)(xx2)，2a其中，x、x为xbxc0的两个解，则原不定积分为： 113 dx1d(xx1)d(xx2)(xx1)(xx2)(x2x1)[(xx1)(xx2)]

1xx1lnC

(x2x1)xx2

②等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成(xk)2d(xk)。然后根据小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求secxdx

dxcosxdxdsinx1sin2x 2cosxcosx解

原式

dsinx(1sinx)(1sinx)

1dsinxdsinx[]

2(1sinx)(1sinx)

11sinxlnC 21sinx2

该题也可利用三角函数之间的关系求解：

xsecxtanxsecdx

原式secxtanx

1d(secxtanx)secxtanx

lnsecxtanxC.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，这也就体现了不定积分的2xdx.cos例3.5：求解法以及结果的不唯一性。

解

1cos2x1cosxdx2dx2(dxcos2xdx)2

11dxcos2xd(2x)24xsin2xC 24例3.6：求6secxdx.6解

22xdxsecsec(secx)xdx(1tan2x)d(tanx)

24(12tanxtanx)d(tanx)

2315tanxtanxtanxC

35注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。

xdx.100例3.7：求(x1)x11dx解

原式(x1)100 22x11[]dx

99100

(x1)(x1)x121[]dx

99100

(x1)(x1)121[]d(x1)9898100(x1)(x1)(x1)15 1119798(x1)(x1)(x1)99C 974999注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。

4.第二类换元法

如果不定积分替换f(x)dx用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量x(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分

f[(t)](t)dt

可以求得，则可解决设函数f(x)dx的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。

x(t)是单调、可导函数，且(t)0，又设f[(t)](t)具有原F(t)，则

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C，其中(x)是x(t)的反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4.1：求不定积分

22axdx(a0).解

令2xasint，则dxacostdt，t(2,2)，所以

22a(1cos2t)dt 2221aa(tsin2t)C(tsintcots)C

222为将变量t还原回原来的积分变量x，由xasint作直角三角形，可知axdxacostacostdtcost22ax，代入上式，得 a

xxa22arcsinC axdxax2a22216

2a t 22ax x 注：对本题，若令xacost，同样可计算。

例4.2：求不定积分

1xa22dx(a0).2xatantdxatt(2,2)，所以 解

令，则sectd，12dxatdtsectdt sec22asectxa lnsecttantC1

22lnxxaC

例4.3：求不定积分

122xadx(a0).解

令xasect，则dxasecttantdt，t(0,2)，所以

1asecttantdxdtsectdt 22atantxa

lnsecttantC1

22lnxC xa

注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有函数中含有

22ax时，可令xasint，t(2,2)；如果被积22xa，可令xatant，t(2,2)；如果被积函数中含有22xa；可令xasect，t(0,2).dx例4.4：求不定积分xxeex

dtdx解

令te(t0)，则xlnt，所以，t。

dxexex

11tdtdt

211tttarctatnC

xarctaC.en

例4.5：求不定积分

xdx23x2.解

1dx22223x23x2xdx(变形).222t222tdt 令t23x(t0)， x.dx3311112223dt(tdt)xC 原式32t33关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。

5.分部积分法

前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xxedx、xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法——分部积分法.设函数uu(x)和vv(x)具有连续导数，则d(uv)vduudv移项得到udvd(uv)vdu，所以有

udvuvvdu，或

uvdxuvuvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分

f(x)dx化成udv的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，xxxxxxexdxxxdxdxxC(x1)Ceeeeee

利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。

例5.1：求不定积分解

令

xcosxdx.ux，cosxdxdsinxdv，则

xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC

有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。

例5.2：求不定积分

x2edx.xx2dvu解

令edx，则 x和

xxxd2xdxeedx.xe2x对后面的不定积分再用分部积分法，xxxxxdxC xdxeeee(运算熟练后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx(2x2)C.xexe2x注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分

xarctan2xdx2.xxdxdn，解

令uarctax2,则

2xarctanxdx

xarctanxxd(arctanx)22211xarctanx(1)dx

2221x21xarctaxn(xarctax)nC

2注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(幂对角(反三角函数)，对角u).xsinxdx.e例5.4：求不定积分xsinxdxsinxde(取三角函数为u)ex解

exsinxexd(sinx)exsinxexcosxdx

exsinxcosxdex(再取三角函数为u)exsinx(excosxexdcosx)ex(sinxcosx)exsinxdx

x

解得

exesinxdx2(sinxcosx)C

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分 20(指正余，随意选).下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：

分类 I

II

III 不定积分类型 u和的选择

p(x)sinxdx

nupn(x),sinx

upn(x),cosx p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n

upn(x),ex

p(x)lnxdx

nulnx,pn(x)uarcsinx,pn(x)p(x)arcsinxdx

np(x)arccosxdx

nuarccosx,pn(x)

uarctanx,pn(x)p(x)arctannxdx

xesinxdx xecosxdx

usinx,ex或uex,sinx ucosx,ex或uex,cosx

6.结论

上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。

曲天尧

2013年5月17日于济南

山东财经大学（燕山校区）

第五篇：证明方法

2.2直接证明与间接证明BCA案

主备人：史玉亮 审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

B案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|xy||xy|≥2B.xyC.xy1xyD.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（）23

5A.abcB.cbaC.cabD.bac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

4.abcd的必要不充分条件是（）

A.acB.bdC.ac且bdD.ac或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

C案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于0.2abc ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

A.acbB.bcaC.abcD.bac

3.设x,y,zR，ax111,by,cz，则a,b,c三数（）yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

A案

1.A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinAsinB的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的（）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yR)，f(1)2，则f(2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.重要条件D.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）A.和的中至少xxyy

有一个小于2B.1y1x1y1x和都小于2C.和都大于2D.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。abc