高等数学复习经验总结A（五篇材料）

第一篇：高等数学复习经验总结A

高等数学复习经验总结

本人本科时候读的是外语专业，没有学过高等数学这门课程。在决定考研，尤其是想考经济类的研究生后，没有办法只能从零开始学习高等数学、概率论与数理统计和线性代数。对于大一入学的时候读工科的同学来说，即使大一的时候没有努力去学的话，在这个时候自学高等数学的知识也不是什么难事，但是对我这个从来没有学过高等数学的门外汉来说，这其中的苦头可想而知了。第一年考研的时候就是折在了数学上，考了66分，连几个的成绩都没有达到；第二年的时候经过整整一年的努力分数终于提高到了126分，不敢说是不错的成绩，对于一个从来没有学过高等数学的我来说这已经够了。虽然最后也没有进入自己理想的学校，毕竟还是调剂回了我的母校哈尔滨工业大学，读了一个一般人都不怎么知道的专业—政治经济学。与很多有过相同考研经验的同学相比，我是幸运的，我还可以调剂回自己的母校。在这里要感谢所有曾经帮助过我的同学。

有人讲数学只要思路通了就可以了，不用费太多的功夫去做题。从我的实践经验来看，这样的观点是错误的或者说对于没有数学基础的同学来讲是坑人的。数学不仅仅需要悟性，更多还是需要扎实的基本功。很多工科专业的同学，在他们大一的时候就已经开始学习高等数学，并且整个过程下来做了至少也得有2000道题了吧，这样的基础对于我这种从来没有接触过高等数学的人来说是没有办法与之相比的。要想超过他们只能先打到他们的训练的标准才可以。有了相应的计算的基础、计算的能力后就要解决解题思路的问题。这种能力建立在第一种能力的基础之上，试想连基本的计算都搞不定的，既使有再好的思路，再好的想法也是镜中花、水中月，都不可能将这种想法转变为卷面上实实在在的分数。练习的重要性在这里就是不言而喻了，希望每一名有志于通过研究生入学考试继续学习的同学一定要将这问题重视起来。

哈尔滨有个鸿鹏考研辅导学校，这里的主讲老师卜长江老师全国线性代数学会常务理事，是一位很有思想、很有见地的一位老师；听他的讲授高等数学是一种没学的享受。他提出了一种FIC的学习方法。所谓FIC就是基础、思想、分类这几个英文单词的首字母。基础包括教材上的各种数学原理，这也是整个高等数学的基础。思想就是针对不同类型的问题应用不同的解题方法，全部数学问题归纳起来一共就那么几个类型，大家可以到网上找来看看。为什么在这里还要强调基础的作用呢？因为在硕士研究生入学考试的试卷当中，基本难度的实体大概占到了70%，中等难度的问题占到了20%，只有10%的问题是难题。试想大家在学习的过程中将全部的基本问题都解决了稳拿70%的分数就是105分了，中等问题如果再能拿到10%左右的话就可以拿到120分了。数学120分的话对于考一般的院校来说已经够用了，但是各位如果有志于全国一流的大学去读的话，恐怕这个标准就要提高到135分了。

市面上考研的辅导教材可谓是多如牛毛，浩如烟海。在我的复习过程中我主要是李永乐老师编写的那本数学复习全书为中心展开的，如果你能把这本书做5编以上，正确率达到90%以上，可以说考任何的地方都没有问题了。在复习的时候偷了个懒这本书只做了一遍，然后一直在做考研班的复习资料。教材上面的经典的例题一定要会算。我记得我在复

习的时候遇到一个概率积分的问题，这道题在2010年的研究生入学考试中就考了，这个就是书上的经典例题的一个变形，对于书上的这些东西不但要熟记，还要熟练的计算才行。鸿鹏考研班的复习资料可谓都是精品吧，整个高等数学的题不多，但是涵盖了全部高等数学的内容。考研班的复习资料我大概做了有3边吧，这个时候就差不多要10月底了，这个时候开始做400题，这套资料也是李永乐老师编写的，老师说这套资料的难度不低。刚刚开始做的时候备受打击，1天都做不完1套题。后来随着对有些问题理解的加深，做题的熟读上来了，熟练的程度提高了，感觉效果还不错。这套题的平均分数我一般维持在110左右。我复习的时候容易分心，经常出现溜号的现象，希望同学们复习的时候不要像我一样。

在完成了400题之后就进入了冲刺阶段，这个时候要我报的数学考研冲刺班开班了，我以每天2套题的速度花了5天的时间将全部的题目完成了。感觉这个收获还是非常大，他让我找到了一种考场的状态。在考前的1个月左右的时间内，我基本上就是真题了，将历年的真题做了2边，平均分数维持在了130左右，这样和我最后在考试中取得的成绩来看上下浮动没有超过5分。所以选择一本好的资料、把真题做好还是非常必要。

关于数学的复习资料。推荐同济大学出版社出版的高等数学教材，线性代数的话大家可以找来李永乐老师在考研班上讲的视频来看看，就用本科的时候上课用的教材就可以了。我的概率论与数理统计用的我们学校的本科教材，这本教材可以说是概率论与数理统计的经典教材，我将整本教材的课后题做了大概有4边的样子。再就是复习全书了。上面这些教材选择那一本那一套都一样。因为这些教材讲的都是基础知识，认真看、认真理解看那一本的差别都不大。重点推荐考研数学的必读书目高等教育出版社出版的高等数学分析，数的名字我记不太清除了，每年9月份都会出版。内容是针对历年研究生入学考试试题进行分析，难点解析，上面有很多经典的例题。所有的考题都是围绕他的中心思想来出题的，希望大家重视这个问题。

关于复习是的心态。在考研的过程中，我们每一位打算参加这个考试的同学从开始准备考试的那一刻起，压力就已经开始了。面对同样的压力有的同学泰然处之、有的同学压力倍至难以专心学习。与一般同学相比，因为我没有学习过数学，所以我面临的压力可想而知，尤其是当看到周围的同学都可以很快的完成数学，可以有时间忙其他的东西，这个时候更是让人心慌的。开始的时候总觉得自己不行，但是当仔细分析了利弊之后，你会发现每个人的情况都是不一样的，别人的学习方法不一定适合你。要找到适合自己的复习方法、把握好自己学习的节奏就非常重要了。别人怎么做只可以参考，但是不能照做。在分析完这些因素之后，我坚定信心，每天按照自己的复习计划展开复习，不管别人怎么做，也不看别人做什么只关注每天完成了多少东西，还有多少东西没有完成，没有完成的原因是什么，坚持每天给自己留出一些思考的时间。“吾日三省吾身”每天都要反省自己学习中、生活中、思想中存在的问题，加以总结，然后改正自身存在的不足。

关于锻炼身体。考研那会儿总觉得自己身体还行不错，不用去锻炼。现在读研了发现自己患上了脂肪肝。无论做什么事情都不要放弃锻炼身体。锻炼可以是踢球、打羽毛球、乒乓球等等这些，也可以是跑步。我现在选择了跑步这项运动，每天早上5点半起床，然

后到学校的体育场，围着400米的跑道跑10圈，刚好半个小时。我选择这样的锻炼方法，一方面可以杜绝睡懒觉的坏毛病，另一方面这样的锻炼方法效率比较高。时间宝贵，试想如果是去打球或者踢球什么的，估计没有一个下午是不够的。所以这样在每天做事情效率低的时候来锻炼身体，时间是比较划算。建议大家也选一种适合自己的锻炼方式，在考上自己理想的学校的同时，也有一个健康的身体。

最后送大家诸葛亮的《诫子书》“君子之行，静以修身，俭以养德。非淡泊无以明志，非宁静无以致远。夫才须学业，学须静也；非学无以广才，非志无以成学。慆慢则不能研精，险躁则不能理性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，悲守穷庐，将复何及！”以此与众君共勉。

第二篇：高等数学学习方法及经验总结

高等数学学习方法及经验总结

大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。

高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。

首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。

（一）做题的方法和技巧

学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。

（二）考试后的反思

每次的期中考试和期末考试结束后，应该知道自己在考场上不足的地方在哪里，需要提高的地方在哪里，这里不仅仅是对知识的掌握程度，更重要的还有考场技巧和心态的把握；并做好相应总结。期中考试结束后将卷子上的错题改正过来，将错题记到笔记上（包括解题思想和自己的感受），避免犯同样的错误；期末考试卷子不会发下来，但是考完后也要反思自己的不足，要记住学习不是为了应付考试，而是为将来学习专业基础课以及专业课。

（三）心态的养成

作为学习理工科的学生，我们应具备的素质是切勿浮躁，抵得住寂寞，无论做什么题目，一定做好冷静的分析后在做，避免走弯路，并注意平时勤思考习惯的养成，注意多种方法的比较以及发散思维的培养。以上我说的在做题是注意将自己的思想和答案的思想做比较就是培养发散思维的一方面，当题目做到一定的数量时，就会发现得心应手，习惯成自然，也不学习是成就事业的基石

知不觉做到的举一反三，这不仅仅是对高等数学的学习，其他科目也是一样。总之，做好了以上三大点，我想学好高等数学不会成问题了。

第三篇：高等数学复习

高等数学2考试知识点

总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）

第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；

计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；

第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；

计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；

证明题型：证明与偏导数有关的等式；

第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；

计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；

第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；

计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）

第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；

计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）； 证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；

第四篇：高等数学复习教程

高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知 解：

（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求

（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令

（连续性的概念）

三、补充习题（作业）1.（洛必达）

2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法 A.导数微分的计算

B.曲线切法线问题 C.导数应用问题

D.幂级数展开问题 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则

4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

解：

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

6.已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的证明 11.设，证：1）令

2）令

F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中

将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证：

证： 令 令

（关键：构造函数）

三、补充习题（作业）1.2.曲线 3.4.证明x>0时

证：令

第三讲不定积分与定积分

一、理论要求 1.不定积分 2.定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法 A.积分计算 1.2.3.设，求 解： 4.B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解：

6.C.积分的应用 7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：

8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。

解：切线绕x轴旋转的表面积为

曲线绕x轴旋转的表面积为

总表面积为

三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 4.空间解析几何 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

二、题型与解法

A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满足，求

解： 2.3.，求

B.空间几何问题 4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：

5.曲面在点处的法线方程。

C.极值问题

三、补充习题（作业）1.2.3.6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。

第五讲多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分 2.曲线积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

二、题型与解法 A.重积分计算 1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：

2.为与围域。（3.，求

(49/20)

B.曲线、曲面积分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，且在x>0有连续一阶导数，,求。解：

第六讲常微分方程

一、理论要求 1.一阶方程 2.高阶方程 3.二阶线性常系数 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 会求(齐次)(非齐次)(非齐次)

二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代换化简并求通解。（）

3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：

三、补充习题（作业）

1.已知函数在任意点处的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲无穷级数

一、理论要求 1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开

3.Fourier级数 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求的Fourier级数与正余弦级数

第八讲线性代数

一、理论要求 1.行列式 2.矩阵 会用按行（列）展开计算行列式

几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

3.向量 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理

掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法

第九讲概率统计初步

一、理论要求 1.随机事件与概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算

会计算古典型概率与几何型概率

掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式

2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 3.二维随机变量

4.数字特征 5.大数定理 6.数理统计概念

7.参数估计

8.假设检验

第十讲总结

1.极限求解

2.导数与微分

3.一元函数积分 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度

掌握0-

1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数

理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念

掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布

理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念

掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布

掌握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间

掌握假设检验的基本步骤

了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.(几何级数)2.(对数替换)3.4.5.6.，求

复合函数、隐函数、参数方程求导 1.2.，求dy/dx 3.决定函数，求dy 4.已知，验证 5.,求

1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分 1.，求

2.由给出，求证：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.证明满足 7.求内的最值。

5.多元函数积分 1.求证： 2.3.4.改变积分次序 5.围域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等数学考研题型分析》

填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分

选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限

计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用

第五篇：高等数学上册复习

第一章复习提要 第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数

p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

1sinxsinx0；lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~

2ex1~x；(1x)~1nx n13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4.注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）

hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n!()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n!()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n!)[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n!)[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3)二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n（4）间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x（5）注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）yf(x2)；（2）yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对x球到后解出

dy。dx（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。（重要）dxdx2dtdxdxdt（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；



两边对t（或者是其他变量）求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。dtdt5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

（5）请熟悉132页例1.3.2 洛必达法则（重要）

（1）(其他类型的未定式)最终转化成0型和型未定式 0（2）每次用前需判断

（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点； 二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。A 1sinx;B 1sinx;C 1cosx;D 1cosx

4.2 换元积分法（重要）

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式，因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,)22,)22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C；⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C；⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC；（21）lnx2a22axaC aa2x2a（22）xdxarcsinC；ln(xa2x2)C（23）ax2a2a2x2dx（24）dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法（重要）

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint；

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分（重要）

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2；cosx2；tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24.被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页（42）x1dxdx，（43）x1x2P211页例7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni02、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数（重要）

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数：（如p243,5题）（1）(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x)adxda（3）f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)（4）f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3 定积分的换元法和分布积分法（重要）

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

003、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零

00（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx（3）xf(sinx)dx020f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx；0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9这样的积分。5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x);F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a)；f(x)dxF(x)|F()F().bf(x)dxF(x)|bF(b)F()；

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在；特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a)；

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在；特别的积分f(x)dx（c(a,b)ab为瑕点）收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性（重要）

ap1,dx(a0)1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题；求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）（重要）

2、体积（特别是旋转体的体积）（重要）

3、三个弧长公式（重要）

6.3 定积分在物理学上的应用（做功、水压力重要，引力了解）如1