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〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2{x,y,z}xiyjzk。其中i、j、k为三个坐标轴

x1，y2y1，z2z1}。

axayaz222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=a时，这个向量叫单位向量；与向量a,a,a|a|=，则xyza=|a|。当向量的模为

1同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设a=ax,ay,az，则

acosx|a|ay cos|a|acosz|a|axaxayazaya2x222

2yaaza2zaxayaz222且cos2cos2cos21，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量cos,cos,cos是与a同方向的单位向量。

3．向量的运算

设a=ab,a,a，xyz=bx,by,bz，则

（1）数乘运算：kakax,kay,kaz；

；（2）加减运算：abaxbx,ayby,azbz1

（3）数量积：ab=|a||b|cos(a,b)=axbxaybyazbz。

（4）向量积： abijaybykazbz=axbx

两个非零向量a与b相互垂直ab=0；两个非零向量a、b平行ab=0分量成比例）。

两个向量aaxbxaybyazbz（即对应与b的夹角：cos(a,b)ab=|a||b|=

a2xaxbxaybyazbza2y。

2bza2z2bxb2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

设平面过点M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0。

AxByCzD0。

在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x3z50平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z50垂直于z轴。5．直线的方程

（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

xx0myy0nzz0p

（2）直线的一般式方程 A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20。

ijB1B2kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 sA1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面(x椭球面 xax0)222(yy0)222(zz0)2R2

ybx22zc221 y22椭圆抛物面 zab(当ab时为旋转抛物面)2

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椭圆锥面 z2xa22yb22（当ab时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转的曲面方程为

f(x2y,z)02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线G(x,y)0z0F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)0，则 F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0

为空间曲线 在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：yf(x1,x2,,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：zarcsinu或arccosu中|u|≤1（3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)Axx0yy0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的．，（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)f(P0)．

PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

zxlimx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

zylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若zf(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示成AxByo()，则zf(x,y)在点(x0,y0)处可微；称AxBy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dzAxBy．

zxy2zyx2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（Azx，Bzy；dzzxdxzydy）

偏导数存在，不一定可微（zdz是否为o()）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则（1）zxzuuxzvvx

zyzuuyzvyv

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形

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若F(x,y)0确定了yy(x)，则

dydxFxFy；

若F(x,y,z)0确定了zz(x,y)，则（2）方程组的情形

zxFxFz，zyFyFz．

FFyxF(x,y,z)0yy(x)若能确定，则由 G(x,y,z)0zz(x)GxGydydxdydxFzGzdzdxdzdx00

可解出dydx与dzdx；

若F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0确定了uu(x,y)，vv(x,y)，象上边一样，可以求出

ux，vx及

uy，vy．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线：x(t)，y(t)，z(t)，tt0时，上相应点(x0,y0,z0)处： 切线方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)

法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 2°：曲线：y(x)z(x)，则点(x0,y0,z0)处

zz0切线方程：xx01yy0(x0)(x0)

法平面方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 3°：曲线：F(x,y,z)0G(x,y,z)0，则点P(x0,y0,z0)处

yy0zz0FxGxFyGyP切线方程为 xx0FyGyFzGzPFzGzFxGxP

法平面方程：FyGyFzGzP(xx0)FzGzFxGxP(yy0)FxGxFyGyP(zz0)0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面：F(x,y,z)0，点(x0,y0,z0)处

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 法线方程：xx0Fxyy0Fyzz0Fz

2°：曲面：zf(x,y)，在点(x0,y0,z0)处

切平面方程：zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)法线方程：2．极值应用

z0x（1）求一个多元函数的极值（如zf(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求

z0yxx0fxyy0fyzz01

出驻点处的zxx，zyy与zxyACBACB2

；0，A0时有极大值，A0时有极小值； 0时无极值． 2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：uf(x,y,z)在条件1(x,y,z)0与2(x,y,z)0下的极值时，取

F(x,y,z;1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z)

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FxFy解方程组Fz12000，求出x，y，z 00则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第十章

重积分一、二重积分

n1． 定义：f(x,y)dlimD0f(i,i)i

(n)i12． 几何意义：当f(x,y)≥0时，f(x,y)d表示以曲面zf(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体体积．

D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量． 3． 性质

1°：kf(x,y)dkf(x,y)d

DD2°：[f(x,y)g(x,y)]dDDf(x,y)dDg(x,y)d

3°：若DD1D2，则f(x,y)dDD1f(x,y)dD2f(x,y)d

4°：f(x,y)1时，f(x,y)dD

D5°：若在D上(x,y)≥(x,y)，则

(x,y)dD≥(x,y)dDDf(x,y)d≥

Df(x,y)d

6°：若f(x,y)在闭区域D上连续，且m≤f(x,y)≤M，则

mD≤f(x,y)d≤MDD

7°：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(,)D，使

Df(x,y)df(,)D

4． 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中

1°：若积分区域D为X型区域

axb D：(x)y(x)21yy2(x)y1(x)OaXbx则化为先y后x的二次积分：

型区域Df(x,y)dxdybadx2(x)1(x)f(x,y)dyy

cyddx1(y)x2(y)2°：若积分区域D为Y型区域D：则化为先x后y的二次积分：

1(y)x2(y)

cxY型区域Df(x,y)dxdydcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在极坐标系中

f(x,y)f(rcos,rsin),drdrd

1°：极点在D外：D：

1()r2()O极点在D外r则有f(x,y)dDd2()1()f(rcos,rsin)rdr

2°：极点在D的边界上：D：

0r()O极点在D的边界上r则有f(x,y)dDd()0f(rcos,rsin)rdr

3°：极点在D内：D：020r()d

Or则有f(x,y)dD20()0f(rcos,rsin)rdr

极点在D内在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有xy或两个积分变量之比yx22、xy时，一般可选择极坐标系．

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2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．

axb4°：若f(x,y)f1(x)f2(y)，积分区域D:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．

cyd二、三重积分

n1． 定义：f(x,y,z)dvlim0f(i,i,i)vi

(n)i12． 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体的质量． 3． 性质（与二重积分类同）．

4． 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中 1°：若为：(x,y)Dxyzzz2(x,y)z1(x,y)zz2(x,y)，此处Dxy为在xOy面

zz1(x,y)Ozz1(x,y)与zz2(x,y)分别为的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，则

f(x,y,z)dxdydzDxyz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)dxdy

xC1z0C22°：若为：此处Dz0为用平面zz0截时(x,y,z0)Dz0，z所得的截面面积，则f(x,y,z)dxdydzC2C2C1Dz0dzDz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐标系下

若为：1()r2()，则

z(r,)zz(r,)21xC1Oyf(x,y,z)dxdydzd2()1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz

（3）在球面坐标系中

1212若为：，则

(,)z(,)21f(x,y,z)dxdydz21d21d2(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)sind2

注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；

2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；

axb4°：若是长方体：cyd，而f(x,y,z)f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化为三个定积分ezf的乘积．

三、重积分的应用 1． 几何应用（1）求面积：DdD

（2）求体积：f(x,y)d，dv

D（3）求曲面面积：若：zf(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则的面积为：zz1dxdy

xy22ADxy2． 物理应用（1）求质量：m(x,y)dD；m(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x1mDx(x,y)d；yDy(x,y)d

在均匀情况下，重心公式可变形为：x同理，可得到空间体的重心坐标．

（3）求转动惯量：

Jx1Dxd；y1DDyd

DDy(x,y)d；J2yDx(x,y)d；JoJxJy

2同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．

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第十一章

曲线积分与曲面积分

一、曲线积分 1．定义：

n（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：f(x,y)dslimLn0i1f(i,i)si

（f(x,y,z)dslimL0i1f(i,i,i)si）

物理意义：曲线的质量．

（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

P(x,y)dxLQ(x,y)dylim0P(i1ni,i)xiQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxLQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(i1n

i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质：（1）LL1L2（LL1L2）

f(x,y)ds（2）第一类：f(x,y)dsLL第二类：LL

（3）两类曲线积分的联系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds

其中cos，cos是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦．（PdxQdyRdzL(PcosLQcosRcos)ds）

3．计算法（化线积分为定积分）

x(t)L：，≤t≤，则f(x,y)dsy(t)L22f(t),(t)(t)(t)dt

P(x,y)dxLQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtxx

注意：L为yf(x)时，取L为

yf(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其应用（1）格林公式：PdxQdyLDQPyxdxdy 注意：1°：P，Q在D上具有一阶连续偏导数；

2°：L是单连域D的正向边界曲线；

3°：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．

（2）平面上曲线积分与路径无关的条件

设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1°：PdxLABQdy与路径L无关；

2°：对于G内任意闭曲线C有PdxQdy0；

C3°：在G内，PdxQdy为某函数u(x,y)的全微分；

QxPy4°：在G内处处成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy）

二、曲面积分 1．定义：

（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

物理意义：曲面的质量。f(x,y,z)1时，dSS

（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

vdSPdydzQdzdxRdxdylim0P(i1ni,i,i)(i)yzQ(i,i,i)(i)xzR(i,i,i)(i)xy

2．性质（1）12

（2）第一类：fdSfdS

 12

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第二类：

（3）两类曲面积分的联系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

其中：cos，cos，cos是曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦． 3．计算法（化曲面积分为二重积分）

第一类：若曲面：zz(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则

zzfx,y,z(x,y)1dxdy等等．

xy22f(x,y,z)dSDxy第二类：前、后P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz

DyzQ(x,y,z)dzdx右、左Qx,y(x,z),zdzdx

Dxz上、下R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy

Dxy4．高斯公式及其应用

设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有

PdydzQdzdxRdxdyPQRyzxdxdydz

注：1°：是的边界曲面的外侧；

2°：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式． 5．通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）

通量：vndSPdydzQdzdxRdxdy

散度：divvPxQyRz

环流量：PdxQdyQdzAds

旋度：rotAixPjyQkzR

第十二章

无穷级数

一、常数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如unu1u2un的无穷和式，其中每一项都是常数．

n1n（2）部分和：Snui1i

（3）常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）．

n（4）和SlimSn（存在时）．

n注：发散级数无和．

（5）余项：当limSnS时，称级数rnnui1ni为原级数第n项后的余项．

2． 基本性质

（1）kun与un敛散性相同，且若unS，则kunkS；

n1n1n1n1（2）若unS，vn，则unvns

推论1：若un收敛，vn发散，则unvn必发散； 推论2：若un与vn都发散，则unvn不一定发散．

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

（5）若级数un收敛，则必有limun0．

n1n（若limun0，则un必发散）

nn13． 几个重要的常数项级数

（1）等比级数aqn1n1a1q发散|q|1|q|1；

（2）调和级数n11n发散；

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（3）p级数n11np（p0），p1时收敛，0p≤1时发散）；

（4）倒阶乘级数n11n!收敛．

4． 常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设un与vn均为正项级数

n2n11°：un收敛n1Sn有界；

2°：比较法

若un收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则vn收敛（发散）．

n1n1推论1：若limnunvnl，0l，则vn与un具有相同的敛散性．

n1n1推论2：若limnunl，则un发散；

nn1若limnunl（p1），则un收敛．

nn1p3°：比值法

1时，则有1时1时un1n收敛若limnun1unun1n发散

un1n待定4°：根值法

1时，则当1时1时un1n收敛若limnnunun1n发散

un1n待定（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数(1)n1n1un（un0）满足：

1°：un≥un1 2°：limun0

n则(1)n1n1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un1．

（3）任意项级数的审敛法

1°：若limun0，则un发散；

nn12°：若|un|收敛，则un绝对收敛；

n1n13°：若|un|发散，un收敛，则un条件收敛．

n1n1n

1二、函数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如un(x)u1(x)u2(x)un(x)；

n1（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

n（3）部分和：Sn(x)ui1i(x)；

（4）和函数：在收敛域上S(x)limSn(x)nun1n(x)．

2． 幂级数

n（1）定义：anxx0，当x00时有：anx；

n0n0n（2）性质

nn1°：若anx在x0处收敛，则当|x||x0|时，anx绝对收敛（发散）；

n0n0nn 若anx在x0处发散，则当|x||x0|时，anx发散．

n0n0 16

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2°：幂级数anxx0的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0R,x0R)，两端点是n0n否属于收敛域要分别检验．

3°：在anx的收敛区间R,R内，此级数的和函数S(x)连续． nn0（3）收敛区间的求法

1°：不缺项时，先求liman1ann，得收敛半径R1；

再验证两端点，则收敛域＝(x0R,x0R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun1(x)un(x)(x)，解不等式(x)1得x的所属区间x1xx2，再验证n端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．

3． 幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

an0nxnS(x)，|x|R，则有：

nanxn0an0nxnnan0nxn1S(x)，|x|R；

x0nanxdxn0n0x0anxdxnn0ann1xn1x0S(x)dx，|x|R

4． 函数展开为幂级数

（1）充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

f(x)n0f(n)(x0)n!(xx0)nlimRn(x)0．

n（2）唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)an0n(xx0)，则其系数

nan1n!f(n)(x0)，（n0,1,2,）．

（3）展开法：

1°：直接法（见教材P279）

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

exn0xnn!，(,)

sinx(1)n0nx2n1(2n1)!x2n或(1)n1n1x2n1(2n1)!，(,)

cosx(1)n0n(2n)!，(,)

11xn0xn，(1,1)

ln1x(1)n0nxn1(n1)，(1,1]

1xm1n1m(m1)(m2)(mn1)n!xn，(1,1)

5． 傅立叶级数

（此内容只适用于快班）（1）定义：如果三角级数出，即

an1a02an1ncosnxbnsinnx中的系数an，bn是由尤拉——傅立叶公式给1f(x)cosnxdx，n0,1,2,；

bnf(x)sinnxdx，n1,2,

则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数．

（2）收敛定理

设f(x)是周期为2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数

a02an1ncosnxbnsinnx收敛于f(x)f(x0)f(x0)2x为连续点x为间断点．

（3）函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：

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1°：求f(x)的傅立叶系数；

2°：将1°中的系数代入三角级数式； 3°：写出上式成立的区间．

（4）正弦级数与余弦级数

称bnsinnx（an0）为正弦级数；称n1a02an1ncosnx（bn0）为余弦级数．

若在,上，f(x)为奇函数，则有an0，其正弦级数为bnsinnx，n1bn20f(x)sinnxdx，（n1,2,）；

若在,上，f(x)为偶函数，则有bn0，其余弦级数为

a02an1ncosnx，an20f(x)cosnxdx，（n0,1,2,）；

若f(x)是定义在0,上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)f(x)x0,f(x)x,0x[0,]x[,0)

f(x)F(x)偶延拓：f(x)

对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似（略）．

第二篇：高等数学复习

高等数学2考试知识点

总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）

第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；

计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；

第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；

计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；

证明题型：证明与偏导数有关的等式；

第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；

计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；

第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；

计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）

第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；

计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）； 证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；

第三篇：高等数学复习教程

高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知 解：

（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求

（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令

（连续性的概念）

三、补充习题（作业）1.（洛必达）

2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法 A.导数微分的计算

B.曲线切法线问题 C.导数应用问题

D.幂级数展开问题 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则

4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

解：

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

6.已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的证明 11.设，证：1）令

2）令

F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中

将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证：

证： 令 令

（关键：构造函数）

三、补充习题（作业）1.2.曲线 3.4.证明x>0时

证：令

第三讲不定积分与定积分

一、理论要求 1.不定积分 2.定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法 A.积分计算 1.2.3.设，求 解： 4.B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解：

6.C.积分的应用 7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：

8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。

解：切线绕x轴旋转的表面积为

曲线绕x轴旋转的表面积为

总表面积为

三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 4.空间解析几何 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

二、题型与解法

A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满足，求

解： 2.3.，求

B.空间几何问题 4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：

5.曲面在点处的法线方程。

C.极值问题

三、补充习题（作业）1.2.3.6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。

第五讲多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分 2.曲线积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

二、题型与解法 A.重积分计算 1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：

2.为与围域。（3.，求

(49/20)

B.曲线、曲面积分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，且在x>0有连续一阶导数，,求。解：

第六讲常微分方程

一、理论要求 1.一阶方程 2.高阶方程 3.二阶线性常系数 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 会求(齐次)(非齐次)(非齐次)

二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代换化简并求通解。（）

3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：

三、补充习题（作业）

1.已知函数在任意点处的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲无穷级数

一、理论要求 1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开

3.Fourier级数 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求的Fourier级数与正余弦级数

第八讲线性代数

一、理论要求 1.行列式 2.矩阵 会用按行（列）展开计算行列式

几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

3.向量 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理

掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法

第九讲概率统计初步

一、理论要求 1.随机事件与概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算

会计算古典型概率与几何型概率

掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式

2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 3.二维随机变量

4.数字特征 5.大数定理 6.数理统计概念

7.参数估计

8.假设检验

第十讲总结

1.极限求解

2.导数与微分

3.一元函数积分 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度

掌握0-

1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数

理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念

掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布

理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念

掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布

掌握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间

掌握假设检验的基本步骤

了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.(几何级数)2.(对数替换)3.4.5.6.，求

复合函数、隐函数、参数方程求导 1.2.，求dy/dx 3.决定函数，求dy 4.已知，验证 5.,求

1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分 1.，求

2.由给出，求证：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.证明满足 7.求内的最值。

5.多元函数积分 1.求证： 2.3.4.改变积分次序 5.围域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等数学考研题型分析》

填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分

选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限

计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用

第四篇：高等数学上册复习

第一章复习提要 第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数

p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

1sinxsinx0；lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~

2ex1~x；(1x)~1nx n13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4.注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）

hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n!()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n!()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n!)[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n!)[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3)二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n（4）间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x（5）注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）yf(x2)；（2）yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对x球到后解出

dy。dx（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。（重要）dxdx2dtdxdxdt（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；



两边对t（或者是其他变量）求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。dtdt5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

（5）请熟悉132页例1.3.2 洛必达法则（重要）

（1）(其他类型的未定式)最终转化成0型和型未定式 0（2）每次用前需判断

（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点； 二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。A 1sinx;B 1sinx;C 1cosx;D 1cosx

4.2 换元积分法（重要）

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式，因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,)22,)22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C；⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C；⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC；（21）lnx2a22axaC aa2x2a（22）xdxarcsinC；ln(xa2x2)C（23）ax2a2a2x2dx（24）dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法（重要）

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint；

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分（重要）

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2；cosx2；tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24.被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页（42）x1dxdx，（43）x1x2P211页例7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni02、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数（重要）

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数：（如p243,5题）（1）(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x)adxda（3）f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)（4）f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3 定积分的换元法和分布积分法（重要）

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

003、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零

00（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx（3）xf(sinx)dx020f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx；0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9这样的积分。5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x);F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a)；f(x)dxF(x)|F()F().bf(x)dxF(x)|bF(b)F()；

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在；特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a)；

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在；特别的积分f(x)dx（c(a,b)ab为瑕点）收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性（重要）

ap1,dx(a0)1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题；求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）（重要）

2、体积（特别是旋转体的体积）（重要）

3、三个弧长公式（重要）

6.3 定积分在物理学上的应用（做功、水压力重要，引力了解）如1

第五篇：高等数学复习提要

高等数学复习提纲

第一章 函数与极限 复习重点：

1、求极限

1）四则运算法则

注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；

四则运算法则的条件是充分条件

有理分式函数求极限公式：

a0mm1 xxxambaaamm101m1nnnn a0xa1xam1xam0xxxxlim0limnn1 bxnbxn1bxbxxbxxxn01n1nbbb01n1nnnn xxxx2）两个重要极限

nmmnmnlimsinxsin01()x0x01x101lim(1x)lim(1)xe((10))x0xx

3）两个准则

准则一： 若(1)ynxnznnN则{xn}有极限,且limxnan(2)limynlimznann

准则二：单调有界数列必有极限

单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界）

单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界）4）无穷小量

a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量；

b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小； c.利用无穷小量求极限

无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量

等价无穷小量替代求极限

注意：下面给出关系式是在x0时才成立

等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行

1sinx~x 1cosx~x2 x　arcsinx~x e1~x

tanx~x ax1~xlna

xn　ln(1x)~x 1x1~ n2、连续性和间断点 1）连续定义

x0limy0,limf(x)f(x0)

xx0要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性

2）间断点

第Ⅰ类间断点：f(x00)，f(x00),即左右极限均存在 01f(x00)f(x00)跳跃间断点 0 2f(x00)f(x00)而f(x0)无定义可去间断点0 3limf(x)f(x0)xx0

第Ⅱ类间断点：f(x00)，f(x00)至少有一个不

间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点

要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

3、闭区间上连续函数的性质

1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。

2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0。要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。

第二章 一元函数微分学 复习重点：

1、导数的定义f(x0)limf(x)f(x0)y limx0xxx0xx0要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限；

2、导数的几何意义 表示曲线f(x)在xx0处切线的斜率 要求会求切线方程法线方程；

3、微分的定义 dyf(x0)x（一点可微）；dyf(x)dx（点点可微）

4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系

可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导

5、导数的计算 a.复合函数求导

b.高阶导数

常见高阶导数公式如下：

yexy(n)ex

yxny(n)n!,y(n1)0

nysinxy(n)sin(x)2 nycosxy(n)cos(x)2(1)n1(n1)!(n)yln(1x)y(1x)nc.隐函数求导

隐函数求导方法两边同时对x求导； 注意y是关于x的函数；

隐函数求导的结果还是隐函数；

隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。d.对数求导法

适用于幂指函数、无理分式函数 e.参数方程求导

注意二阶导数

6、求微分

dyf(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和导数的应用

1、中值定理

1）罗尔定理 若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0。

注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；

b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至

少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；

c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意反之不成立；

d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。2）拉格郎日定理

若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。3）柯西定理

若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且x(a,b),F(x)0则至少存在一点x0(a,b)，使得

f(b)f(a)。

baf(x0)f(b)f(a)。F(x0)F(b)F(a)应用于等式的证明。

2、洛必达法则

定理1若limfx0limFx0xaxa

2在a,fxFx都存在且Fx0 fxfxfx3lim或则limlim

xaFxxaFxxaFx 0,,0,00,1,0等不定型极限 0xsinx1cosxlim注意：lim极限不存在，此时洛必达法则不适用。

xxx1洛必达法则应用于解决,3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，会作图 1）单调性的判定

设函数yf（x）在a,b连续，在（a,b）可导，x）a）如果在（a,b）内f（0，那么f（x）在a,b上

b）如果在（x）a,b）内f（0，那么f（x）在a,b上 注： a、该条件为函数严格单调的充分条件 b、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格单增（减）的充要条件为：

对一切x(a,b)，有f(x)0(f(x)0)

在(a,b)内,任何使f(x)0的点必是孤立点 c、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内单增（减）的充要条件为： 对一切x(a,b)，有f(x)0(f(x)0)d、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点 要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间；

会利用单调性证明不等式；

会利用严格单调性证明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，在(a,b)内若f(x)0，则f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)内若f(x)0，则f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐点：凹凸区间的分界点

拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点 判定定理1：若f(x)在x0处可导，在U(x0)内二阶可导，则

当xx0与xx0时，f(x)变号，(x0,f(x0)就是拐点；

当xx0与xx0时，f(x)不变号，(x0,f(x0)就不是拐点；

判定定理2：若f(x)在x0处三阶可导，且f(x0)0,f(x0)0,则(x0,f(x0)是拐点。注意，对于判定定理2，若f(x0)0,f(x0)0,结论是(x0,f(x0)可能是拐点也可能不 是拐点。4）极值

极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对xU(x0)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极大值，x0为f(x)的一个极大值点。

极小值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对xU(x0)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极小值，x0为f(x)的一个极小值点。

0最大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对任意x(a,b)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个最大值，x0为f(x)的一个最大值点。

注意：极值反映的函数局部的性质，它只是和极值点附近点的函数值相互比较而言它是大的

还是小的，有可能出现极小值大于极大值的情况；而最值反映的是函数全局的性质，它是和整个区间上所有点的函数值相互比较。一个区间上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值点不唯一；而一个区间上极值是 不唯一的，可以有几个极大值和极小值。

在区间内部，最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。极值点的疑似点：

判定定理：驻点和一阶不可导点

必要条件：可导的极值点一定是驻点。（使一阶导函数为0的点称之为驻点）第一充分条件：若f(x)在x0处连续，在U(x0)内可导，则

当xx0与xx0时，f(x)变号，x0就是极值点；

当xx0与xx0时，f(x)不变号，x0就不是极值点；

第二充分条件：若f(x)在x0处二阶可导，且f(x0)0,f(x0)0,则x0就是极值点。

0f(x0)0,x0是极大值点；f(x0)0,x0是极小值点。

注意：在第二充分条件中，若f(x0)0,f(x0)0,则x0可能是极值点也可能不是。

第四章 不定积分（计算）

1、换元法（第一种，第二种（去根号））

2、分部积分法

3、倒代换

4、整个根式换元

5、有理函数积分

6、三角函数积分

nb第五章 定积分

f(x)dxlimfixi.a01、定积分的定义

i1定积分的结果是常数，表示的是曲边梯形面积的代数和，与积分区间和被积表达式有关，和积分变量无关。

2、可积的两个充分条件和一个必要条件 f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]有界且有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。f(x)在[a,b]可积，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定积分的几何意义

4、定积分的重要性质

（1）无论a,b,c三者位置关系如何，baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accbbb（2）不等式性质： x[a,b],f(x)g(x),f(x)dxg(x)dx

aab（3）估值定理：x[a,b],mf(x)M,m(ba)f(x)dxM(ba)

ab（4）积分中值定理：f(x)在[a,b]上连续，则至少存在[a,b],f(x)dxaf()(ba)

5、会用定积分的定义求极限

6、定积分的计算

（1）换元法

与不定积分相比要换积分上下限，最后不用回代（2）分部积分法

公式 nn22 Insinxdxcosxdx00  31n1n3 nn2422 n1n3421 53nn2

（3）积分区间是对称区间的要考虑被积函数的奇偶性和非奇非偶性 aaaf(x)dx(f(x)f(x))dx

0aTT（4）周期性

f(x)dxf(x)dxa0

anTT

f(x)dxnf(x)dxa0

（5）常见公式

22(1)fsinxdxfcosxdx 00

(2)xfsinxdxfsinxdx002 (3)f(sinx)dx22f(sinx)dx00

第六章 定积分的几何应用 求面积（1）直角坐标系

（2）参数方程（3）极坐标系 