2006高等数学(华工教材)下册期末复习总结

第一篇：2006高等数学(华工教材)下册期末复习总结

2006届高等数学（华工教材）下册期末复习总结

一． 必须作四套期末考试试卷：2002届~2005届期末考试试卷；2002~2004届试卷见辅导书，2005届试卷老师提供原件，由课代表复印。.二．习题类型归纳与总结：

题型1 向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积

习题：教材P11 5、6、7、8、9，P18 1、2、5、6、7、8 题型2 由已知条件求平面与直线方程

习题：教材P24 1、4、6、9 P32 1、4、5、7、10、14。

题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数

例题

P61 例6

习题：教材P65 3、4（5）（7）（8）、6、10、12、14 题型4 求多元复合函数的偏导数

例题

P77 例3、5、6、7。P81 例10、11习题：教材P84 3、5、9、12、13、15、16、18 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数

例题

P86 例2、3、4。P91 例6、7习题：教材P93 2、6（1）、7、9、11、14 题型6 求方向导数、曲线的切线、曲面的切平面

例题

P96 例2、3、4 P104 例2、3

P109例7、8、9习题：教材P101 1、4（2）；

P111 1、3、4、6、8、15 题型7 利用拉格郎日乘数法求最值

例题

P118 例7、8。

习题：教材P123 4、7、8、12、10、17、15

复习题六1、2、4、5、6、8、10 题型8 利用直角坐标计算二重积分

例题

P145例1、2、3、4、5习题：教材P159 1、2、3（1、2、4）、5（2）、6、8（3）

题型9 利用极坐标计算二重积分

例题

P155例9、10、13习题：P159 6、7（1、3）、8（2、4）、P193 15 题型10 只有一种积分次序可计算的积分

习题：P192

3； P159

3（4）

题型11 计算带绝对值的二重积分

例题

P149例5 题型12 利用二重积分证明恒等式

习题：P193 16 题型13 利用投影法计算三重积分

例题

P162 例1、2、3、习题：P174 1、2（3、1、）

题型14 利用柱坐标计算三重积分

例题

P167 例5、6、习题：P174 4（2、）、6（1、3）

题型15 利用球坐标计算三重积分

例题

P171 例8、9、10习题：P174 5（1、3、）、6（1、4）题型16 利用切片法计算三重积分

例题

P165 例4； P167 例6；习题：P174

2（4、5）

题型17 利用对称性计算二、三重积分

例题

P169 例7；

习题：P174

4（4）

P192

1（1、2）、2 题型18 计算对弧长的曲线积分

例题

P177 例1、2、3；

习题：P179 1、2、4、5、题型19 计算对面积的曲面积分

例题

P184

例3、4、5；

习题：P186 1（1---6）

题型20 利用对称性计算一型的线、面积分

例题

P185

例5；

习题：P179 6、7

P193 13、14 题型21 计算对坐标的曲线积分

例题

P199 例1、2、3、5

习题：P203 3、4、5、7、10、12 题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分

例题

P207 例1、2、3习题：P211 1、3、4、7、9、10、11 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积

例题

P215例1、2、3 P218例4习题： 作业本P71 1、2（1、2、3、4、5）题型24 计算对坐标的曲面积分

例题

P229例1、2、3、4

习题：作业本P73、2、3、4、5、6、P80 3（1）题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 例题

P235例1、2、3

习题：作业本P75（1、2、3）、P80 3（2）题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程

习题：作业本P1 1、4、P3 11； P12 2（1）

题型27一阶线性微分方程

习题：作业本P3 5、6、7、P12 2（2）；教材P327 7 题型29 可降阶方程

习题：作业本P5

1（1、2、3、4）、2

P13 2（3、4）题型30二阶常系数非齐次线性方程习题：作业本P7 1、2（1、2、3、4）、4；

P9 1（1、3；教材P327 8 2、3、4、5）、2、题型31 判别级数的敛散

习题：P276 1、2（1、2、3、5、7）、5（2、4）、6（1、3、4、6、8）

P283 2（1—6）题型32 级数的相关证明题

P278 15

P283 3、4 题型33 求幂级数的收敛半径和收敛域

例题

P288

例1——例5习题：P293

2（3、4、6）

题型34 求幂级数的和函数

例题

P292

例6、7习题：P293

4（2、3）、9 题型35 函数展开成幂级数

例题

P300

例5、6、7、8习题：P302

2（3、4、6、8）、5（1、3）

题型36 函数展开成付里叶级数

例题

P310 例1、2习题：P314

2（1、3）、5（1）、P320 2、3

第二篇：高等数学下册总复习

高等数学下册总复习资料

高等数学下册总复习

〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2{x,y,z}xiyjzk。其中i、j、k为三个坐标轴

x1，y2y1，z2z1}。

axayaz222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=a时，这个向量叫单位向量；与向量a,a,a|a|=，则xyza=|a|。当向量的模为

1同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设a=ax,ay,az，则

acosx|a|ay cos|a|acosz|a|axaxayazaya2x222

2yaaza2zaxayaz222且cos2cos2cos21，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量cos,cos,cos是与a同方向的单位向量。

3．向量的运算

设a=ab,a,a，xyz=bx,by,bz，则

（1）数乘运算：kakax,kay,kaz；

；（2）加减运算：abaxbx,ayby,azbz1

（3）数量积：ab=|a||b|cos(a,b)=axbxaybyazbz。

（4）向量积： abijaybykazbz=axbx

两个非零向量a与b相互垂直ab=0；两个非零向量a、b平行ab=0分量成比例）。

两个向量aaxbxaybyazbz（即对应与b的夹角：cos(a,b)ab=|a||b|=

a2xaxbxaybyazbza2y。

2bza2z2bxb2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

设平面过点M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0。

AxByCzD0。

在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x3z50平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z50垂直于z轴。5．直线的方程

（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

xx0myy0nzz0p

（2）直线的一般式方程 A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20。

ijB1B2kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 sA1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面(x椭球面 xax0)222(yy0)222(zz0)2R2

ybx22zc221 y22椭圆抛物面 zab(当ab时为旋转抛物面)2

高等数学下册总复习资料

椭圆锥面 z2xa22yb22（当ab时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转的曲面方程为

f(x2y,z)02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线G(x,y)0z0F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)0，则 F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0

为空间曲线 在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：yf(x1,x2,,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：zarcsinu或arccosu中|u|≤1（3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)Axx0yy0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的．，（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)f(P0)．

PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

zxlimx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

zylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若zf(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示成AxByo()，则zf(x,y)在点(x0,y0)处可微；称AxBy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dzAxBy．

zxy2zyx2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（Azx，Bzy；dzzxdxzydy）

偏导数存在，不一定可微（zdz是否为o()）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则（1）zxzuuxzvvx

zyzuuyzvyv

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形

高等数学下册总复习资料

若F(x,y)0确定了yy(x)，则

dydxFxFy；

若F(x,y,z)0确定了zz(x,y)，则（2）方程组的情形

zxFxFz，zyFyFz．

FFyxF(x,y,z)0yy(x)若能确定，则由 G(x,y,z)0zz(x)GxGydydxdydxFzGzdzdxdzdx00

可解出dydx与dzdx；

若F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0确定了uu(x,y)，vv(x,y)，象上边一样，可以求出

ux，vx及

uy，vy．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线：x(t)，y(t)，z(t)，tt0时，上相应点(x0,y0,z0)处： 切线方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)

法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 2°：曲线：y(x)z(x)，则点(x0,y0,z0)处

zz0切线方程：xx01yy0(x0)(x0)

法平面方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 3°：曲线：F(x,y,z)0G(x,y,z)0，则点P(x0,y0,z0)处

yy0zz0FxGxFyGyP切线方程为 xx0FyGyFzGzPFzGzFxGxP

法平面方程：FyGyFzGzP(xx0)FzGzFxGxP(yy0)FxGxFyGyP(zz0)0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面：F(x,y,z)0，点(x0,y0,z0)处

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 法线方程：xx0Fxyy0Fyzz0Fz

2°：曲面：zf(x,y)，在点(x0,y0,z0)处

切平面方程：zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)法线方程：2．极值应用

z0x（1）求一个多元函数的极值（如zf(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求

z0yxx0fxyy0fyzz01

出驻点处的zxx，zyy与zxyACBACB2

；0，A0时有极大值，A0时有极小值； 0时无极值． 2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：uf(x,y,z)在条件1(x,y,z)0与2(x,y,z)0下的极值时，取

F(x,y,z;1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z)

高等数学下册总复习资料

FxFy解方程组Fz12000，求出x，y，z 00则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第十章

重积分一、二重积分

n1． 定义：f(x,y)dlimD0f(i,i)i

(n)i12． 几何意义：当f(x,y)≥0时，f(x,y)d表示以曲面zf(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体体积．

D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量． 3． 性质

1°：kf(x,y)dkf(x,y)d

DD2°：[f(x,y)g(x,y)]dDDf(x,y)dDg(x,y)d

3°：若DD1D2，则f(x,y)dDD1f(x,y)dD2f(x,y)d

4°：f(x,y)1时，f(x,y)dD

D5°：若在D上(x,y)≥(x,y)，则

(x,y)dD≥(x,y)dDDf(x,y)d≥

Df(x,y)d

6°：若f(x,y)在闭区域D上连续，且m≤f(x,y)≤M，则

mD≤f(x,y)d≤MDD

7°：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(,)D，使

Df(x,y)df(,)D

4． 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中

1°：若积分区域D为X型区域

axb D：(x)y(x)21yy2(x)y1(x)OaXbx则化为先y后x的二次积分：

型区域Df(x,y)dxdybadx2(x)1(x)f(x,y)dyy

cyddx1(y)x2(y)2°：若积分区域D为Y型区域D：则化为先x后y的二次积分：

1(y)x2(y)

cxY型区域Df(x,y)dxdydcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在极坐标系中

f(x,y)f(rcos,rsin),drdrd

1°：极点在D外：D：

1()r2()O极点在D外r则有f(x,y)dDd2()1()f(rcos,rsin)rdr

2°：极点在D的边界上：D：

0r()O极点在D的边界上r则有f(x,y)dDd()0f(rcos,rsin)rdr

3°：极点在D内：D：020r()d

Or则有f(x,y)dD20()0f(rcos,rsin)rdr

极点在D内在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有xy或两个积分变量之比yx22、xy时，一般可选择极坐标系．

高等数学下册总复习资料

2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．

axb4°：若f(x,y)f1(x)f2(y)，积分区域D:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．

cyd二、三重积分

n1． 定义：f(x,y,z)dvlim0f(i,i,i)vi

(n)i12． 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体的质量． 3． 性质（与二重积分类同）．

4． 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中 1°：若为：(x,y)Dxyzzz2(x,y)z1(x,y)zz2(x,y)，此处Dxy为在xOy面

zz1(x,y)Ozz1(x,y)与zz2(x,y)分别为的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，则

f(x,y,z)dxdydzDxyz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)dxdy

xC1z0C22°：若为：此处Dz0为用平面zz0截时(x,y,z0)Dz0，z所得的截面面积，则f(x,y,z)dxdydzC2C2C1Dz0dzDz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐标系下

若为：1()r2()，则

z(r,)zz(r,)21xC1Oyf(x,y,z)dxdydzd2()1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz

（3）在球面坐标系中

1212若为：，则

(,)z(,)21f(x,y,z)dxdydz21d21d2(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)sind2

注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；

2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；

axb4°：若是长方体：cyd，而f(x,y,z)f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化为三个定积分ezf的乘积．

三、重积分的应用 1． 几何应用（1）求面积：DdD

（2）求体积：f(x,y)d，dv

D（3）求曲面面积：若：zf(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则的面积为：zz1dxdy

xy22ADxy2． 物理应用（1）求质量：m(x,y)dD；m(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x1mDx(x,y)d；yDy(x,y)d

在均匀情况下，重心公式可变形为：x同理，可得到空间体的重心坐标．

（3）求转动惯量：

Jx1Dxd；y1DDyd

DDy(x,y)d；J2yDx(x,y)d；JoJxJy

2同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．

高等数学下册总复习资料

第十一章

曲线积分与曲面积分

一、曲线积分 1．定义：

n（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：f(x,y)dslimLn0i1f(i,i)si

（f(x,y,z)dslimL0i1f(i,i,i)si）

物理意义：曲线的质量．

（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

P(x,y)dxLQ(x,y)dylim0P(i1ni,i)xiQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxLQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(i1n

i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质：（1）LL1L2（LL1L2）

f(x,y)ds（2）第一类：f(x,y)dsLL第二类：LL

（3）两类曲线积分的联系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds

其中cos，cos是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦．（PdxQdyRdzL(PcosLQcosRcos)ds）

3．计算法（化线积分为定积分）

x(t)L：，≤t≤，则f(x,y)dsy(t)L22f(t),(t)(t)(t)dt

P(x,y)dxLQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtxx

注意：L为yf(x)时，取L为

yf(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其应用（1）格林公式：PdxQdyLDQPyxdxdy 注意：1°：P，Q在D上具有一阶连续偏导数；

2°：L是单连域D的正向边界曲线；

3°：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．

（2）平面上曲线积分与路径无关的条件

设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1°：PdxLABQdy与路径L无关；

2°：对于G内任意闭曲线C有PdxQdy0；

C3°：在G内，PdxQdy为某函数u(x,y)的全微分；

QxPy4°：在G内处处成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy）

二、曲面积分 1．定义：

（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

物理意义：曲面的质量。f(x,y,z)1时，dSS

（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

vdSPdydzQdzdxRdxdylim0P(i1ni,i,i)(i)yzQ(i,i,i)(i)xzR(i,i,i)(i)xy

2．性质（1）12

（2）第一类：fdSfdS

 12

高等数学下册总复习资料

第二类：

（3）两类曲面积分的联系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

其中：cos，cos，cos是曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦． 3．计算法（化曲面积分为二重积分）

第一类：若曲面：zz(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则

zzfx,y,z(x,y)1dxdy等等．

xy22f(x,y,z)dSDxy第二类：前、后P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz

DyzQ(x,y,z)dzdx右、左Qx,y(x,z),zdzdx

Dxz上、下R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy

Dxy4．高斯公式及其应用

设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有

PdydzQdzdxRdxdyPQRyzxdxdydz

注：1°：是的边界曲面的外侧；

2°：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式． 5．通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）

通量：vndSPdydzQdzdxRdxdy

散度：divvPxQyRz

环流量：PdxQdyQdzAds

旋度：rotAixPjyQkzR

第十二章

无穷级数

一、常数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如unu1u2un的无穷和式，其中每一项都是常数．

n1n（2）部分和：Snui1i

（3）常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）．

n（4）和SlimSn（存在时）．

n注：发散级数无和．

（5）余项：当limSnS时，称级数rnnui1ni为原级数第n项后的余项．

2． 基本性质

（1）kun与un敛散性相同，且若unS，则kunkS；

n1n1n1n1（2）若unS，vn，则unvns

推论1：若un收敛，vn发散，则unvn必发散； 推论2：若un与vn都发散，则unvn不一定发散．

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

（5）若级数un收敛，则必有limun0．

n1n（若limun0，则un必发散）

nn13． 几个重要的常数项级数

（1）等比级数aqn1n1a1q发散|q|1|q|1；

（2）调和级数n11n发散；

高等数学下册总复习资料

（3）p级数n11np（p0），p1时收敛，0p≤1时发散）；

（4）倒阶乘级数n11n!收敛．

4． 常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设un与vn均为正项级数

n2n11°：un收敛n1Sn有界；

2°：比较法

若un收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则vn收敛（发散）．

n1n1推论1：若limnunvnl，0l，则vn与un具有相同的敛散性．

n1n1推论2：若limnunl，则un发散；

nn1若limnunl（p1），则un收敛．

nn1p3°：比值法

1时，则有1时1时un1n收敛若limnun1unun1n发散

un1n待定4°：根值法

1时，则当1时1时un1n收敛若limnnunun1n发散

un1n待定（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数(1)n1n1un（un0）满足：

1°：un≥un1 2°：limun0

n则(1)n1n1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un1．

（3）任意项级数的审敛法

1°：若limun0，则un发散；

nn12°：若|un|收敛，则un绝对收敛；

n1n13°：若|un|发散，un收敛，则un条件收敛．

n1n1n

1二、函数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如un(x)u1(x)u2(x)un(x)；

n1（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

n（3）部分和：Sn(x)ui1i(x)；

（4）和函数：在收敛域上S(x)limSn(x)nun1n(x)．

2． 幂级数

n（1）定义：anxx0，当x00时有：anx；

n0n0n（2）性质

nn1°：若anx在x0处收敛，则当|x||x0|时，anx绝对收敛（发散）；

n0n0nn 若anx在x0处发散，则当|x||x0|时，anx发散．

n0n0 16

高等数学下册总复习资料

2°：幂级数anxx0的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0R,x0R)，两端点是n0n否属于收敛域要分别检验．

3°：在anx的收敛区间R,R内，此级数的和函数S(x)连续． nn0（3）收敛区间的求法

1°：不缺项时，先求liman1ann，得收敛半径R1；

再验证两端点，则收敛域＝(x0R,x0R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun1(x)un(x)(x)，解不等式(x)1得x的所属区间x1xx2，再验证n端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．

3． 幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

an0nxnS(x)，|x|R，则有：

nanxn0an0nxnnan0nxn1S(x)，|x|R；

x0nanxdxn0n0x0anxdxnn0ann1xn1x0S(x)dx，|x|R

4． 函数展开为幂级数

（1）充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

f(x)n0f(n)(x0)n!(xx0)nlimRn(x)0．

n（2）唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)an0n(xx0)，则其系数

nan1n!f(n)(x0)，（n0,1,2,）．

（3）展开法：

1°：直接法（见教材P279）

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

exn0xnn!，(,)

sinx(1)n0nx2n1(2n1)!x2n或(1)n1n1x2n1(2n1)!，(,)

cosx(1)n0n(2n)!，(,)

11xn0xn，(1,1)

ln1x(1)n0nxn1(n1)，(1,1]

1xm1n1m(m1)(m2)(mn1)n!xn，(1,1)

5． 傅立叶级数

（此内容只适用于快班）（1）定义：如果三角级数出，即

an1a02an1ncosnxbnsinnx中的系数an，bn是由尤拉——傅立叶公式给1f(x)cosnxdx，n0,1,2,；

bnf(x)sinnxdx，n1,2,

则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数．

（2）收敛定理

设f(x)是周期为2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数

a02an1ncosnxbnsinnx收敛于f(x)f(x0)f(x0)2x为连续点x为间断点．

（3）函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：

高等数学下册总复习资料

1°：求f(x)的傅立叶系数；

2°：将1°中的系数代入三角级数式； 3°：写出上式成立的区间．

（4）正弦级数与余弦级数

称bnsinnx（an0）为正弦级数；称n1a02an1ncosnx（bn0）为余弦级数．

若在,上，f(x)为奇函数，则有an0，其正弦级数为bnsinnx，n1bn20f(x)sinnxdx，（n1,2,）；

若在,上，f(x)为偶函数，则有bn0，其余弦级数为

a02an1ncosnx，an20f(x)cosnxdx，（n0,1,2,）；

若f(x)是定义在0,上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)f(x)x0,f(x)x,0x[0,]x[,0)

f(x)F(x)偶延拓：f(x)

对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似（略）．

第三篇：高等数学基础期末复习指导

高等数学基础期末复习指导（文本）（2010.06.11）

中央电大教育学院 陈卫宏 2010年06月13日

陈卫宏：大家好！这里是高等数学基础课程教学活动。

高等数学基础课程期末考试时间：2010年7月11日11:00～12:30。闭卷。

高等数学基础考试题型

单选题：5题，每题4分，共20分。

填空题：5题，每题4分，共20分。

计算题：4题，每题11分，共44分。

应用题：1题，共16分。

复习要求1

（一）函数、极限与连续

1．理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

2．了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）。

3．熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

4．了解复合函数、初等函数的概念。

5．了解极限的概念，会求左右极限。

6．掌握极限的四则运算法则．掌握求极限的一些方法。

7．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。

8．了解函数的连续性和间断点的概念。

9．知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。

复习要求2

（二）一元函数微分学

1．理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线方程。知道可导与连续的关系。

2．熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

3．熟练掌握复合函数的求导法则。掌握隐函数的求导法．知道一阶微分形式的不变性。

4．了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。

5．会用拉格朗日定理证明简单的不等式。

6．掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。

7．掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法（几何问题）。

复习要求3

（三）一元函数积分学

1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系。

2．熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。

3．了解定积分的几何意义和定积分的性质。

4．了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。

5．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

6．了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。

7．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。

文勇：高等数学考试在即，抓紧时间进行复习了。

陈卫宏：做好形考册与期末复习指导中的综合练习。加油！祝你取得好成绩！

赵双颖：陈老师您好，今年能否再给期末综合复习题？看08年7月的行吗？

陈卫宏：赵老师好！会有模拟练习贴出。

王惠书：陈老师您好：今年的高等数学基础有变化吗？

陈卫宏：王老师上午好！高等数学基础考试没有变化。

王惠书：合理利用学习资源进行自主学习

开放教育的一个重要标志就是教育对学习者的开放。在开放教育中，学习者的背景呈现多元化的特点，这就决定了他们不同的学习需求和不同的媒体选择取向，“经济数学基础”课程多种媒体一体化教材中的各种教学资源应该说基本满足了各种层次、不同需求的学习者的需要。但是，每位学习者既无可能也无必要全部拥有各种媒体资源，选择适合自己的学习资源是很重要的。

下面以“导数”内容学习举例说明具体步骤：

1．指出本单元学习知识点及学习目标

学习内容：导数的定义、导数的几何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数求导法则、导数的计算、高阶导数。

学习目标：

（1）理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；

（2）熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；

（3）知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。

2．指导学生利用多媒体资源自主学习

（1）阅读《经济数学基础—微积分》教材相关内容；

（2）观看经济数学基础网络课程微分学相关内容；

（3）阅读在线平台的相关辅导文本。

3．列出本单元应掌握的问题

（1）函数在一点导数的定义式的含义是什么？

（2）函数在一点导数的数量、几何、物理、经济意义是什么？

（3）函数在一点导数和在区间上导数的区别与联系是什么？

（4）导数的计算公式、法则有哪些？

（5）导数计算的题型有哪些？

（6）利用导数可以讨论函数的哪些性质？

4．提出学习本单元的具体要求

（1）通过自主学习找出2-3个问题，通过网络与任课教师或同学讨论找出问题的正确答案；

（2）通过网络或其它形式回答教师提出的问题；

（3）做作业册或文字教材中相应的练习题。

陈卫宏：请同学们认真看看。

王惠书：高等数学课程“问题式”教学法案例

下面以“导数”知识为例来说明“问题式”教学在高等数学课程中的应用。

（一）教学的总体设计

问题式教学法的实施步骤、组织形式、和学习结果用坐标系表示如下：

其中，实施步骤包括

1．提出问题

2．探求问题

3．解决问题

4．拓展问题

5．深化问题

相应的组织形式为

1．创设情景

2．自主学习

3．合作探究

4．巩固应用

5．反思小结。

应用问题式教学法的总体构思如下：

首先，举出两个实例，提出问题并给出解决问题需要的已知只是和解决的思路；其次，通过自主学习合作学习得出导数的概念、基本公式、运算性质以及运算方法；第三，总结出利用导数解决实际问题的方法。

（二）组织实施步骤

第一步，创设情境提出问题：

实例1

对一个喜欢吃巧克力的人来讲，有一个实验表明：吃一颗巧克力的总效用为35，吃两颗巧克力的总效用为60，吃三颗巧克力的总效用为75，吃四颗巧克力的总效用为80，吃五颗巧克力的总效用为75。由简单的观察和计算可知，从吃第一颗巧克力到吃第五颗巧克力，每多吃一颗巧克力它产生的效用增加量分别是25，15，5，-5，呈递减的趋势，换句话说，如果吃了四颗巧克力后，再吃第五颗、第六颗的话总效用不但不会增加反而会减少，也就是说不再会得到更多的满足了。那么请问，换了你你会吃几颗巧克力？

实例2

瞬时速率问题。已知物体的运动规律既路程与是时间的函数关系S=S（t）,求物体运动的瞬时速度。

第二步，自主学习探究问题：

1．解决问题所用的已有知识：平均速度、平均变化率、极限

2．解决问题的关键是什么：如何解决分母不能为0的问题

3．思路与方法是什么：先从一点扩充的一个区间，在让区间趋于一点

第三步，合作学习解决问题：

1．函数在一点导数的定义：略

2．导数的数量意义、几何意义、经济意义、物理意义：略

3．基本公式、运算法则：略

第四步，巩固应用拓展问题：

1．初等函数导数的计算：通过计算总结求导方法以及题型

2．导数的实际应用

第五步，反思小节深化问题：

1．利用导数解决问难题的思想方法

2．导数计算的题型及方法

3．可以利用导数解决问题的常见案例及解决方法

如何学好大学数学

（一）激发学生学习数学的兴趣

兴趣是学习的最好老师，它能激发求知欲望，促进思维的活跃，保持学习的持久。赞可夫认为，学生有了愉悦的情感，欢快的情绪可以使大脑皮层处于兴奋状态，精神振奋，思维活跃；反之，厌烦的情绪能抑制学生的智力活动。

1．明确数学教学目的

传统数学教育是与升学紧密联系的，而信息时代的数学教育则要求提高全社会成员的数学素质。高科技的发展，使现代数学以技术化的方式折射到人们日常生活的各个领域。通过学习数学知识，使学生正确认识数学的价值，懂得数学在信息社会中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣。

2．树立正确的学习态度

大部分学生认为初等数学没学好，高等数学也无法学好。因此，使学生树立正确的学习态度，养成良好的学习习惯，是十分必要的。

（二）教师要切实转变传统的教育观念，提高自身素质及授课水平

1．与时俱进，转变观念，使数学教学真正实现由“应试教育”向“素质教育和创新能力教育”的转变。

时代呼唤素质教育和创新教育，时代需要高素质创新人才，通过必要的学习和自觉的反省更新教育观念，树立“以生为本”的现代教育理念，在课堂教学中注意体现素质教育思想、开放教育理念、能力本位理念等等，改知识传授为能力培养，改应试教育为素质教育。

2．教师要改善自己的知识结构，不断提高自身素质

在数学课堂教学中应以高水平的学识为基础，建立广博和精深相统一的知识结构，使自己具有更开阔的教学视野和更高的教学设计能力，不断提高授课水平。特别要强调指出的是：数学教师要注重提高教学艺术水平，尤其要注重提高自身的语言表达能力，因为高职教师语言表达能力的优劣，直接影响学生对新知识吸收程度，影响学生思维能力的调动和学习的积极性，直接影响教学效果。

3．教学方法要灵活多样

我们要改变数学教育中的“无人”现象。一是教材中没有人，既在数学教材从来只有公式、概念、定理，与人的日常生活脱离；二是教法中没有人，指的是不是以学生为主，课堂上只有老师在教，讨论法、案例法在数学教学环节中采用的很少。教师在授课过程中要尽量采用启发式、讨论式等气氛活跃的教学方式，恰当地处理好传授知识和培养学生能力的关系，使学生的思维不再禁锢在一个狭小的范围内而学有所悟。教师在每一个教学环节上都要精心设计，同时创造出一个轻松、和谐、愉快、活跃的教学环境，使学生成为教学的主体，体会到学习的乐趣。

4．选用合适的教材，调整教学内容

教材是教学内容的物质载体，是学校教育教学的基本手段。教材的选取，既要保证基本的知识要点，又要适合学生的专业特点，使学生拥有必备的数学知识后，紧紧结合专业培养目标按需“取舍”等数学内容，突出培养专业人才的目的。在教材中适当增加数学史的知识，一部数学史就是千百年来无数数学家为探索真理孜孜以求，不断解放思想、创新开拓的历史，素材相当丰富；选择近现代成功的数学应用案例，引导学生通过学习一种新的数学概念和数学思想，了解数学是如何通过科学严谨的数学思维、抽象化的符号语言虚拟世界和研究世界的，从而有意识地引导学生提高数学思维的能力，加强相关能力的训练。

（三）强化“应用”教学

1．加强大学数学教学与后续专业课及实际生产、生活的联系

教师在教学中应让学生更多了解数学在后续专业课当中的一些应用，使学过的知识尽可能在后续专业课或生产实际、日常生活中找到相应的模型，鼓励学生运用数学知识解决专业和实际问题。

2．融数学建模于数学教学之中，培养学生的数学应用能力和创新能力

数学建模是学生运用所学数学知识解决实际问题，数学建模不仅展示了数学在各个学科领域的应用，使学生感受到了学习数学的意义，而且通过学生对数学建模全过程的参与与自我尝试，也使学生尝到应用数学于实际的甜头，增强数学在学生心目中的地位，建模过程实际上是学生重新发现的过程，也是学生创造性地运用数学知识的过程。教会学生通过抽象、简化建立数学模型，让学生通过“用”数学认识到“数学是实际生活的需要”，既培养了学生数学应用能力，又使学生有成就感，从而提高学习数学的兴趣。

（四）运用现代化的教学手段

多媒体技术在教育领域里的运用，促进了教学模式、教学内容、教学手段、教学方法的变革。数学教育应与中国当代青年学生接受习惯－心理、阅读、欣赏要求，借助发达的计算机、多媒体表现技术、表现手段将书本上的推论、概念、公式引进到中国高校的数学教材之中、课堂之上。在运用多媒体这种教学手段不仅使用幻灯、投影仪、电视录像等电化教学手段外，还要充分利用网络技术，以增强教学的直观性和趣味性，使教学过程不再显得平白和枯燥，提高教学效果，提高教学效率，激发出学生学习的兴趣和学习积极性。

陈卫宏：这些是我们应该学习的。

还是推荐大家多看看论坛顶部的帖子，其中几位同学的心得会很有启发。

预祝同学们取得好成绩！

今天的活动就到这里，谢谢大家，再见！

第四篇：高等数学复习要点总结

高等数学复习要点总结

★高等数学复习要点总结 希望有参考作用★ 张宇

下面是我给一个朋友写的，大概是今年4月份写的，发给同学们做个参考：

我把高数的东西整理了一下，按照这个复习，保证可以串起来，同时别忘了把基本功打好！高等数学

1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；

2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；

3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；

5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；

6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；

7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；

8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;

9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。例题：无穷大无穷小有界变量无界变量；

10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；

11）“见根号差，用有理化”！！这是思维定势，很管用；

第二章

1）导数的概念非常重要！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；

2）导数公式倒背如流的要求不算过分吧 呵呵；

3）连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；

4）由于有些函数求导会出现x在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中某个因子在某点不可导，但乘积在该点也可能可导；

5）中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；

6）函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；

7）三个式子的不等事，即A 8）能用微分中值定理的，一般用积分中值定理也可以搞定，你也试试吧，体会一下数学思想和定理的联系，是有好处的；

9）这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；

第三章

1）一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；

2）给你说几个准公式： ； ；，作题时相当有用的哦，关键是反过来用你要有意识；

3）这里特别提醒注意积分限函数，一句话：“积分限x在积分过程中是常量，在积分完毕后是变量”，这是核心的东西，抓住它就不会迷失方向；

4）旋转体的体积看来是一定要考了，当然是重点，关键：一个是公式记清，应该是绕x轴还是y轴都要搞的清清楚楚，另一个就是体会移图和移轴的不同，这里要用到积分的计算，是体现基本功的地方；

5）积分在经济中的应用也是重重之重，记清概念，把握公式，清醒审题，仔细答题，搞定；

6）广义积分关键是计算，不是证明！！记住重点；

7）广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限，你做做这个题就明白了：I=.作者： ypcworld2005-10-12 12:47回复此发言

------------------高等数学复习要点总结

8）其实广义积分和定积分的概念很容易搞清，一句话：定积分存在有两个必要条件，即积分区间有限，被积函数有界。破坏了积分区间有限，引出无穷区间上的广义积分，破坏了被积函数有界，引出无界函数的广义积分。

9）把握住上面的这句话，就可以不晕了，看出来了吧，基本概念非常清楚的人才能学好；

10）定积分是一个数！！这是一个经常命题的地方，好记吗？那就记住吧；

11）不定积分去根号时不用考虑绝对值，而定积分去根号时则要考虑绝对值！！这个好错，一定要记住，会的可不要错哦，不然就惨喽；

12）经验一个：三角有理函数式的积分，若有理函数式分母为，则可以通过分子分母同时乘上一个式子，使分母变为积的形式，另外，还可以直接变形为积的形式来求解

13）被积函数只要是可以看成两个不同类函数的积，就要优先考虑分步积分法，经验哦：）；

14）这里提一下，对于选择题中的抽象函数问题，我个人的认识是：将复杂的形式化成简单的形式，比如对抽象复合函数做变量替换，与其说是一种技巧方法，不如说是一条普遍的规律，任何事物都有由繁到简的趋势，这是可以上升到哲学层面的认识问题，（哈哈，这是英语学多了，not so much„as„用了一下）；

15）一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数，当它是同一个x的函数时，比如f(x)g(x)的形式，可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形，而另一个可以不动，这样的处理往往是需要的，很有用，当你作不下去时，想想我说的这个

你自己做题和总结时，也应该有意识的做这样一些归纳。自己的东西才最管用的。

三角函数公式大全

发表日期：2007-1-28 13:15:39 文章分类：技术八卦来源：转载自从数学论坛上找到了这个列表，非常的全面，但是网页排版稍微有点不方便，故转载于此：

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函数和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

sin(a)-sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重点三角函数

csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

双曲函数

sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

第五篇：高等数学复习

高等数学2考试知识点

总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）

第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；

计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；

第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；

计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；

证明题型：证明与偏导数有关的等式；

第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；

计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；

第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；

计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）

第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；

计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）； 证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；