高等数学期末总复习总结与计划(仅供参考)

第一篇：高等数学期末总复习总结与计划(仅供参考)

高等数学期末总复习总结与计划 [图片]

本章公式： 两个重要极限：

常用的8个等价无穷小公式： 当x→0时，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分

熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化 会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：

洛必达法则：

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或 型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限.② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.曲线的凹凸性与拐点：

注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间

求极值和最值

利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）

四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）

对原函数的理解

原函数与不定积分 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）

不定积分的性质 第一类换元法（凑微分法）第二类换元法（三角代换 无理代换 倒代换）3 分部积分法

f(x)中含有

可考虑用代换

第二篇：高等数学期末总复习总结与计划

万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！

一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。一函数与极限

熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理

本章公式： 两个重要极限：

常用的8个等价无穷小公式：当x→0时，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分

熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：

洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限.② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.曲线的凹凸性与拐点：

注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值

利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）对原函数的理解 原函数与不定积分 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质 第一类换元法（凑微分法）第二类换元法（三角代换无理代换倒代换）3 分部积分法

f(x)中含有

可考虑用代换

第三篇：高等数学下册总复习

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〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2{x,y,z}xiyjzk。其中i、j、k为三个坐标轴

x1，y2y1，z2z1}。

axayaz222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=a时，这个向量叫单位向量；与向量a,a,a|a|=，则xyza=|a|。当向量的模为

1同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设a=ax,ay,az，则

acosx|a|ay cos|a|acosz|a|axaxayazaya2x222

2yaaza2zaxayaz222且cos2cos2cos21，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量cos,cos,cos是与a同方向的单位向量。

3．向量的运算

设a=ab,a,a，xyz=bx,by,bz，则

（1）数乘运算：kakax,kay,kaz；

；（2）加减运算：abaxbx,ayby,azbz1

（3）数量积：ab=|a||b|cos(a,b)=axbxaybyazbz。

（4）向量积： abijaybykazbz=axbx

两个非零向量a与b相互垂直ab=0；两个非零向量a、b平行ab=0分量成比例）。

两个向量aaxbxaybyazbz（即对应与b的夹角：cos(a,b)ab=|a||b|=

a2xaxbxaybyazbza2y。

2bza2z2bxb2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

设平面过点M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0。

AxByCzD0。

在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x3z50平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z50垂直于z轴。5．直线的方程

（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

xx0myy0nzz0p

（2）直线的一般式方程 A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20。

ijB1B2kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 sA1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面(x椭球面 xax0)222(yy0)222(zz0)2R2

ybx22zc221 y22椭圆抛物面 zab(当ab时为旋转抛物面)2

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椭圆锥面 z2xa22yb22（当ab时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转的曲面方程为

f(x2y,z)02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线G(x,y)0z0F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)0，则 F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0

为空间曲线 在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：yf(x1,x2,,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：zarcsinu或arccosu中|u|≤1（3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)Axx0yy0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的．，（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)f(P0)．

PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

zxlimx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

zylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若zf(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示成AxByo()，则zf(x,y)在点(x0,y0)处可微；称AxBy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dzAxBy．

zxy2zyx2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（Azx，Bzy；dzzxdxzydy）

偏导数存在，不一定可微（zdz是否为o()）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则（1）zxzuuxzvvx

zyzuuyzvyv

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形

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若F(x,y)0确定了yy(x)，则

dydxFxFy；

若F(x,y,z)0确定了zz(x,y)，则（2）方程组的情形

zxFxFz，zyFyFz．

FFyxF(x,y,z)0yy(x)若能确定，则由 G(x,y,z)0zz(x)GxGydydxdydxFzGzdzdxdzdx00

可解出dydx与dzdx；

若F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0确定了uu(x,y)，vv(x,y)，象上边一样，可以求出

ux，vx及

uy，vy．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线：x(t)，y(t)，z(t)，tt0时，上相应点(x0,y0,z0)处： 切线方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)

法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 2°：曲线：y(x)z(x)，则点(x0,y0,z0)处

zz0切线方程：xx01yy0(x0)(x0)

法平面方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 3°：曲线：F(x,y,z)0G(x,y,z)0，则点P(x0,y0,z0)处

yy0zz0FxGxFyGyP切线方程为 xx0FyGyFzGzPFzGzFxGxP

法平面方程：FyGyFzGzP(xx0)FzGzFxGxP(yy0)FxGxFyGyP(zz0)0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面：F(x,y,z)0，点(x0,y0,z0)处

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 法线方程：xx0Fxyy0Fyzz0Fz

2°：曲面：zf(x,y)，在点(x0,y0,z0)处

切平面方程：zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)法线方程：2．极值应用

z0x（1）求一个多元函数的极值（如zf(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求

z0yxx0fxyy0fyzz01

出驻点处的zxx，zyy与zxyACBACB2

；0，A0时有极大值，A0时有极小值； 0时无极值． 2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：uf(x,y,z)在条件1(x,y,z)0与2(x,y,z)0下的极值时，取

F(x,y,z;1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z)

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FxFy解方程组Fz12000，求出x，y，z 00则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第十章

重积分一、二重积分

n1． 定义：f(x,y)dlimD0f(i,i)i

(n)i12． 几何意义：当f(x,y)≥0时，f(x,y)d表示以曲面zf(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体体积．

D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量． 3． 性质

1°：kf(x,y)dkf(x,y)d

DD2°：[f(x,y)g(x,y)]dDDf(x,y)dDg(x,y)d

3°：若DD1D2，则f(x,y)dDD1f(x,y)dD2f(x,y)d

4°：f(x,y)1时，f(x,y)dD

D5°：若在D上(x,y)≥(x,y)，则

(x,y)dD≥(x,y)dDDf(x,y)d≥

Df(x,y)d

6°：若f(x,y)在闭区域D上连续，且m≤f(x,y)≤M，则

mD≤f(x,y)d≤MDD

7°：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(,)D，使

Df(x,y)df(,)D

4． 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中

1°：若积分区域D为X型区域

axb D：(x)y(x)21yy2(x)y1(x)OaXbx则化为先y后x的二次积分：

型区域Df(x,y)dxdybadx2(x)1(x)f(x,y)dyy

cyddx1(y)x2(y)2°：若积分区域D为Y型区域D：则化为先x后y的二次积分：

1(y)x2(y)

cxY型区域Df(x,y)dxdydcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在极坐标系中

f(x,y)f(rcos,rsin),drdrd

1°：极点在D外：D：

1()r2()O极点在D外r则有f(x,y)dDd2()1()f(rcos,rsin)rdr

2°：极点在D的边界上：D：

0r()O极点在D的边界上r则有f(x,y)dDd()0f(rcos,rsin)rdr

3°：极点在D内：D：020r()d

Or则有f(x,y)dD20()0f(rcos,rsin)rdr

极点在D内在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有xy或两个积分变量之比yx22、xy时，一般可选择极坐标系．

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2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．

axb4°：若f(x,y)f1(x)f2(y)，积分区域D:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．

cyd二、三重积分

n1． 定义：f(x,y,z)dvlim0f(i,i,i)vi

(n)i12． 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体的质量． 3． 性质（与二重积分类同）．

4． 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中 1°：若为：(x,y)Dxyzzz2(x,y)z1(x,y)zz2(x,y)，此处Dxy为在xOy面

zz1(x,y)Ozz1(x,y)与zz2(x,y)分别为的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，则

f(x,y,z)dxdydzDxyz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)dxdy

xC1z0C22°：若为：此处Dz0为用平面zz0截时(x,y,z0)Dz0，z所得的截面面积，则f(x,y,z)dxdydzC2C2C1Dz0dzDz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐标系下

若为：1()r2()，则

z(r,)zz(r,)21xC1Oyf(x,y,z)dxdydzd2()1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz

（3）在球面坐标系中

1212若为：，则

(,)z(,)21f(x,y,z)dxdydz21d21d2(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)sind2

注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；

2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；

axb4°：若是长方体：cyd，而f(x,y,z)f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化为三个定积分ezf的乘积．

三、重积分的应用 1． 几何应用（1）求面积：DdD

（2）求体积：f(x,y)d，dv

D（3）求曲面面积：若：zf(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则的面积为：zz1dxdy

xy22ADxy2． 物理应用（1）求质量：m(x,y)dD；m(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x1mDx(x,y)d；yDy(x,y)d

在均匀情况下，重心公式可变形为：x同理，可得到空间体的重心坐标．

（3）求转动惯量：

Jx1Dxd；y1DDyd

DDy(x,y)d；J2yDx(x,y)d；JoJxJy

2同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．

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第十一章

曲线积分与曲面积分

一、曲线积分 1．定义：

n（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：f(x,y)dslimLn0i1f(i,i)si

（f(x,y,z)dslimL0i1f(i,i,i)si）

物理意义：曲线的质量．

（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

P(x,y)dxLQ(x,y)dylim0P(i1ni,i)xiQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxLQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(i1n

i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质：（1）LL1L2（LL1L2）

f(x,y)ds（2）第一类：f(x,y)dsLL第二类：LL

（3）两类曲线积分的联系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds

其中cos，cos是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦．（PdxQdyRdzL(PcosLQcosRcos)ds）

3．计算法（化线积分为定积分）

x(t)L：，≤t≤，则f(x,y)dsy(t)L22f(t),(t)(t)(t)dt

P(x,y)dxLQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtxx

注意：L为yf(x)时，取L为

yf(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其应用（1）格林公式：PdxQdyLDQPyxdxdy 注意：1°：P，Q在D上具有一阶连续偏导数；

2°：L是单连域D的正向边界曲线；

3°：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．

（2）平面上曲线积分与路径无关的条件

设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1°：PdxLABQdy与路径L无关；

2°：对于G内任意闭曲线C有PdxQdy0；

C3°：在G内，PdxQdy为某函数u(x,y)的全微分；

QxPy4°：在G内处处成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy）

二、曲面积分 1．定义：

（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

物理意义：曲面的质量。f(x,y,z)1时，dSS

（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

vdSPdydzQdzdxRdxdylim0P(i1ni,i,i)(i)yzQ(i,i,i)(i)xzR(i,i,i)(i)xy

2．性质（1）12

（2）第一类：fdSfdS

 12

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第二类：

（3）两类曲面积分的联系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

其中：cos，cos，cos是曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦． 3．计算法（化曲面积分为二重积分）

第一类：若曲面：zz(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则

zzfx,y,z(x,y)1dxdy等等．

xy22f(x,y,z)dSDxy第二类：前、后P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz

DyzQ(x,y,z)dzdx右、左Qx,y(x,z),zdzdx

Dxz上、下R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy

Dxy4．高斯公式及其应用

设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有

PdydzQdzdxRdxdyPQRyzxdxdydz

注：1°：是的边界曲面的外侧；

2°：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式． 5．通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）

通量：vndSPdydzQdzdxRdxdy

散度：divvPxQyRz

环流量：PdxQdyQdzAds

旋度：rotAixPjyQkzR

第十二章

无穷级数

一、常数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如unu1u2un的无穷和式，其中每一项都是常数．

n1n（2）部分和：Snui1i

（3）常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）．

n（4）和SlimSn（存在时）．

n注：发散级数无和．

（5）余项：当limSnS时，称级数rnnui1ni为原级数第n项后的余项．

2． 基本性质

（1）kun与un敛散性相同，且若unS，则kunkS；

n1n1n1n1（2）若unS，vn，则unvns

推论1：若un收敛，vn发散，则unvn必发散； 推论2：若un与vn都发散，则unvn不一定发散．

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

（5）若级数un收敛，则必有limun0．

n1n（若limun0，则un必发散）

nn13． 几个重要的常数项级数

（1）等比级数aqn1n1a1q发散|q|1|q|1；

（2）调和级数n11n发散；

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（3）p级数n11np（p0），p1时收敛，0p≤1时发散）；

（4）倒阶乘级数n11n!收敛．

4． 常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设un与vn均为正项级数

n2n11°：un收敛n1Sn有界；

2°：比较法

若un收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则vn收敛（发散）．

n1n1推论1：若limnunvnl，0l，则vn与un具有相同的敛散性．

n1n1推论2：若limnunl，则un发散；

nn1若limnunl（p1），则un收敛．

nn1p3°：比值法

1时，则有1时1时un1n收敛若limnun1unun1n发散

un1n待定4°：根值法

1时，则当1时1时un1n收敛若limnnunun1n发散

un1n待定（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数(1)n1n1un（un0）满足：

1°：un≥un1 2°：limun0

n则(1)n1n1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un1．

（3）任意项级数的审敛法

1°：若limun0，则un发散；

nn12°：若|un|收敛，则un绝对收敛；

n1n13°：若|un|发散，un收敛，则un条件收敛．

n1n1n

1二、函数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如un(x)u1(x)u2(x)un(x)；

n1（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

n（3）部分和：Sn(x)ui1i(x)；

（4）和函数：在收敛域上S(x)limSn(x)nun1n(x)．

2． 幂级数

n（1）定义：anxx0，当x00时有：anx；

n0n0n（2）性质

nn1°：若anx在x0处收敛，则当|x||x0|时，anx绝对收敛（发散）；

n0n0nn 若anx在x0处发散，则当|x||x0|时，anx发散．

n0n0 16

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2°：幂级数anxx0的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0R,x0R)，两端点是n0n否属于收敛域要分别检验．

3°：在anx的收敛区间R,R内，此级数的和函数S(x)连续． nn0（3）收敛区间的求法

1°：不缺项时，先求liman1ann，得收敛半径R1；

再验证两端点，则收敛域＝(x0R,x0R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun1(x)un(x)(x)，解不等式(x)1得x的所属区间x1xx2，再验证n端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．

3． 幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

an0nxnS(x)，|x|R，则有：

nanxn0an0nxnnan0nxn1S(x)，|x|R；

x0nanxdxn0n0x0anxdxnn0ann1xn1x0S(x)dx，|x|R

4． 函数展开为幂级数

（1）充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

f(x)n0f(n)(x0)n!(xx0)nlimRn(x)0．

n（2）唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)an0n(xx0)，则其系数

nan1n!f(n)(x0)，（n0,1,2,）．

（3）展开法：

1°：直接法（见教材P279）

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

exn0xnn!，(,)

sinx(1)n0nx2n1(2n1)!x2n或(1)n1n1x2n1(2n1)!，(,)

cosx(1)n0n(2n)!，(,)

11xn0xn，(1,1)

ln1x(1)n0nxn1(n1)，(1,1]

1xm1n1m(m1)(m2)(mn1)n!xn，(1,1)

5． 傅立叶级数

（此内容只适用于快班）（1）定义：如果三角级数出，即

an1a02an1ncosnxbnsinnx中的系数an，bn是由尤拉——傅立叶公式给1f(x)cosnxdx，n0,1,2,；

bnf(x)sinnxdx，n1,2,

则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数．

（2）收敛定理

设f(x)是周期为2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数

a02an1ncosnxbnsinnx收敛于f(x)f(x0)f(x0)2x为连续点x为间断点．

（3）函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：

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1°：求f(x)的傅立叶系数；

2°：将1°中的系数代入三角级数式； 3°：写出上式成立的区间．

（4）正弦级数与余弦级数

称bnsinnx（an0）为正弦级数；称n1a02an1ncosnx（bn0）为余弦级数．

若在,上，f(x)为奇函数，则有an0，其正弦级数为bnsinnx，n1bn20f(x)sinnxdx，（n1,2,）；

若在,上，f(x)为偶函数，则有bn0，其余弦级数为

a02an1ncosnx，an20f(x)cosnxdx，（n0,1,2,）；

若f(x)是定义在0,上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)f(x)x0,f(x)x,0x[0,]x[,0)

f(x)F(x)偶延拓：f(x)

对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似（略）．

第四篇：期末总复习

八年级《思想品德》上册复习提纲

第一课：我的父亲母亲

1、家是我们成长的根据地，父母是我们的第一任老师，家是我们的第一所学校。

2、父母对我们的爱表现在：日常生活中（一句话、一个动作、一个眼神等）

3、在家庭中爱我们的只有父母吗？（其实在家庭中爱我们不只是我们的父母，我们还沐浴在亲情的阳光里，这份亲情还来自爷爷、奶奶、外公、外婆等，他们都用不同的方式把浓浓的爱传递给我们。）

4、你与父母产生隔阂的客观原因是什么？（为什么会觉得父母的爱跟以前不同？）

①有时候父母整天忙于工作，无暇顾及家庭和子女。②、作为具有多重身份的社会成员，父母不可能把所有的精力都倾注在子女身上。③我们渴望父母的爱，但有时也许我们太看重形式了。④、随着我们不断成长，父母给予我们爱的方式和以前有所不同。⑤、我们已经长大，有了更多的理性判断，对父母的要求也更高了

5、一位父亲，每天都很晚回家，难得那一次在天黑前回来了。他发现五岁的儿子正倚门等他。还没说话的父亲先听到儿子的问话：“爸爸，你一个小时赚多少钱？”父亲说：“你很想知道吗？那我告诉你，我能赚20元。”儿子转身走进自己的房间，捧出一堆皱巴巴的零钱，对爸爸说：“我攒了好长时间，现在终于有了20元，你明天能早点回家吗？我想和你一起吃晚饭。” 请对以上父子的言行进行分析。

答：（1）作为孩子，尤其是一个五岁的孩子，希望父亲经常陪陪自己是很正常、正当的情感要求。也正是因为年龄小，所以不理解这也是父亲的一种爱——以自己的劳动来承担对家人、孩子的责任。（2）父母整天为工作忙碌而不能与子女相伴，其实也是对孩子的一种爱，只是爱的方式发生了变化。与子女相伴是爱，努力工作为家庭提供经济保障也是爱。（3）我们期盼父母的爱，同时也应该多一份对父母的理解和尊重。

6、评价：张大爷收到儿子的一封信：

新时代，新风尚；自己挣钱自己花：哪有余钱寄回家。

答：其实在生活中，我们通常只做一些力所能及的事就是对父母的爱，可张大爷的儿子并不会爱自己的父母，作为父母的他们并不需要子女的回报。只求子女们幸福、和谐。

7、简要说说“儿行千里母担扰”（怎样与家人相处？）

答：亲情是世界上最灿烂的阳光，无论我们走多远，飞多高，父母的目光总是在我们的背后的，我们永远的父母心中的牵挂。①、我们应与父母互敬互爱。②、我们应该具有与家人同呼吸共患难的家庭责任感。③作为父母，他们并不求回报，作为子女，我们也无以为报，只求与他们共呼吸、共甘苦。生活顺利和时候，我们一起分享快乐、幸福和温馨；生活困难的时候，我们也应该一起坦然面对。

8、为什么要孝敬父母？

①父母不但赋予了我们生命，而且为家庭做出了诸多贡献②孝敬父母是中华民族的优良传统。③孝亲敬长是道德和法律的要求。④孝敬父母收获的是甜蜜。

9、孝敬父母的具体表现？

①要落实到具体行动之中，从小事做起。做一些力所能及的事。②多与父母沟通交流，多征求他们的意见。③承担自己对家庭的责任。“④心里想着父母，理解关心父母；行动上帮助父母，为

父母分忧；努力学习，积极上进，让父母高兴。”⑤而要体现在日常生活中一件件小事上。

10、P10的《勇敢的人》你来说说罗军是一个什么的人？

答：因为是她生育抚养了罗军，母恩天高，毕生难报。罗军发自内心的一声呼喊，是孩子将自己与父母联系在一起的心灵之链，是同呼吸、共命运的家庭责任感的体现。

11、父亲节和母亲节分别是什么时候？

母亲节是每年5月的第二个星期日，父亲节是每年6月的第三个星期天 第二课：家庭剧场

1、避免与父母冲突的办法有哪些？

①自己的脾气要平和，不可太情绪化②多与父母亲沟通交流③创造机会；经常做事。④不用生硬的语言或作出过激的行为。

2、解决与父母间冲突的办法有哪些？ ①认真倾听 ②善于体谅。③主动交流 ④主动道歉 ⑤创造机会 ⑥控制情绪⑦承担责任 ⑧达成协议

3、与父母发生冲突的主要原因是什么？

进入青春期的我们与父母发生冲突是难免的，一方面，我们觉得自己已经长大了，应该拥有独立自主的权力 ；另一方面，父母还不习惯我们的“长大”不适应我们追求独立自主的愿望和行为。这是一对矛盾，处理不好，就会发生冲突。第三课：闲话“家”常

1、中华民族是一个非常重视家庭的民族，家的观念根深蒂固，人们以爱心和孝心构筑起和睦、友爱、团结、稳定的家。只有家庭这个社会小细胞安定了，才会有整个社会的和谐、安定。

2、下列表现“家规”的蓍作有A、《礼记》B、《颜氏家训》C《朱子家训》D、《三字经》

3、家是我们全家人共同的地方，需要我们大家共同爱护，建立和谐家庭A、需要规范家庭成员的行为B、养成良好的行为习惯C、为家庭的前途共同努力

4、怎样对待中国传统家文化？

中国传统家文化的精华，使我们今天应该继承和弘扬的。但由于中华民族经历了几千年的封建社会，封建思想的影响根深蒂固，传统家文化中的封建糟粕应该被摒弃。

5、中国的大文豪鲁迅曾在自己的文章中这样写道：中国的“圣人之徒”……以为父对于子，有绝对的权力和威严，若是老子说话，当然无所不可，儿子有话，却在未说之前早已错了。（1）你是如何看待鲁迅的这段话的？你赞成这段话的观点吗？

鲁迅在他作品中的这段话，实则是一种对封建礼教和所谓“家规”的一种批判。不赞成。这段话有点类似于“父要子亡，子不得不亡”的陈词滥调，这是一种带有时代局限性的陈旧观念。试问：难道父亲有不对的地方，也要子女们听从吗？

（2）对于我们家的传统文化，我们应当持什么态度去看待呢？

我们应该辩证地去看待。毕竟传统家文化流传至今，有很多内容已经脱离了时代，观念陈旧，我们应有鉴别地继承和发扬，而对于一些夹杂着封建糟粕的观念，诸如“父为子纲”之类的，我们应当坚决摒弃。

（3）你还能收集一些有关中国传统家文化的诗歌、俗语和小故事吗？ 如：“四十年来家国，三千里地河山”“孟母三迁”“孔融让梨”等，6、中国一直以来是子代依赖于父代建业，父代依赖子代养老，我们的养老模式是“反哺式”的，孝道作为一种传统美德，一直是维持社会伦理的重要支柱，而西方国家的养老模式是“接力式”的，每代人只有一个义务，就是哺育孩子，老人不需要子女的赡养，养老问题由社会保障体系来解决。

7、中国家庭结构的变迁轨迹和形式①中国家庭结构的变迁轨迹是：家庭规模逐渐缩小。②、这种变迁在形式上表现为两个方面：一方面是大家庭、如主干家庭、联合家庭的比例逐步降低；另一方面是小家庭，如核心家庭、夫妻家庭及单身家庭的比例有所上升，其中核心家庭越来越占据主要地位。

8、一个美国人从中国回国，他的朋友请他谈谈观感。他说：“在中国吃一餐饭，要打架三次。”他解释说：“一进餐厅，为了推让座位，主客就开始互相拉扯；接着上菜，主客又要你推我挡一番；最后为了付账，更会开展一场精彩激烈的争夺战。”（1）这则幽默主要说明了什么道理？

答：说明生活在不同文化背景中的人，会有不同的待人处事的方式

（2）面对各国文化与习俗的差异，怎样才能更好地融入当地主流文化中？

答：对不同文化和习俗要保持客观、平等、尊重的态度，要从欣赏的角度看其他文化，要多找共同的地方，要掌握交流的方法 第四课：青春故事

1、人们通常将人生11岁到17、18岁这段美好的年华成为“青春期”。它是人由少年到成年的过

渡时期。

2、如何正确认识青春期的逆反心理？

①、青春期产生逆反心理是成长过程中，正常现象，或多或少地会发生在每一个成长中的青少年身上。②、从某种意义上讲，逆反是走向成熟的一个关隘，关键在于我们能否过好这个关隘，如果过不好，可能会给自己的整个人生道路蒙上阴影。

3、逆反心理的危害：情感伤害、经济损失、阻碍家庭和个人发展等恶果

4、如何走出逆反困境？

①、培养多向思维；②、设身处地的分析；③、学会控制情绪；④、第三方立场； ⑤、坦陈意见；⑥、更换对象；⑦、以认知化解情绪；⑧、主动倾诉。

5、追求流行风的原因：①、显示自己的时髦，赢得在同学们心目中的地位。②、更好地凸显个性，焕发青春光彩。③、青少年接受新鲜事物快，喜欢美，喜欢追求新奇事物。④青少年的思想是开拓的，大胆创新不安分，富有冒险精神。⑤猎奇心理喜欢以新面貌出现的东西，被新奇的观念所左右

6、盲目追求流行风的危害。①、危害青少年的身心健康，荒废学业，引发虚荣心；②、过渡爱慕虚荣，丧失理想信念和意志品质，浪费大好时光③丧失个性④偏离正道、甚至走上违法犯罪的道路。

7、作为中学生如何对待流行风？

①清楚自己真正适合什么，需要什么。②理智有度，择其善者而从之。③提高自己的控制和辨别能力。④积极参加集体组织的有益活动。

8、如何看待偶像崇拜？

偶像崇拜是一种特殊的社会心理现象。青少年会以不同的方式表达对偶像的认同，进而仿效起行为方式、仪表特征。每个时代的青少年都有自己追逐的“星”，追“星”是青春期少年的正

常心理需要。真正的“星光”，应该是汗水的闪烁和内在美的光华。

9、盲目追星的危害：①丧失理智。②危害青春。③浪费时间、影响学业④丧失自我、空耗青春。⑤容易形成错误的人生观和对人格发展不利。

10、作为中学生应该如何追星？

①不疯狂盲目追星。②摒弃狭隘心态摆正自己与明星的关系。③学习他们的内在美。

11、放学路上，有位同学看到几个中学生模样的人陆续走进一家游戏厅，便也要跟着过去。同伴批评他时，他不服气地说：“又不是我带头的，况且别人能进，为什么我就不能？”请就题中该同学的错误言行选择一个角度，运用所学知识说服其改变主意。答：喜欢新鲜事物对青少年来说是正常的心理特征。流行有物质的，也有精神的；有积极向上的，也有消极颓废的。我们不必一味反对流行事物，但是我们应把握自己，不偏离正道，别让自己被流行风吹跑。

12、武汉女粉丝为思念谢霆锋而跳河寻死；17岁的偏瘫歌迷周枫为周杰伦走遍六省，最后吞下30粒安眠药； 当赵薇红遍大江南北的时候，有小学生模仿小燕子的行为，上吊而亡。（1）上述材料告诉我们一个什么道理？

答：要正确对待偶像崇拜，不能盲目崇拜和模仿。（2）请你谈谈，青少年应该如何来正确看待偶像崇拜？

答：对于偶像崇拜我们应该一分为二的来看待，一方面，每个人都有自己心目中的理想形象，喜欢明星是很正常的心理现象，我们可以追星。但另一方面我们不能为之着迷，特别是不能迷明星的外表，盲目地模仿崇拜，而是应该看到他们“光环”背后的努力和艰辛。从自己崇拜的偶像身上汲取向上的奋斗的力量，学习他们身上的优点，不断的完善自我，这才是崇拜的目的。

第五课：我们不是“水晶人”

1、没有秘密长不大青春期的孩子开始有了自己的小秘密。青春期的孩子认为自己长大了，长大的标志就是与父母保持一定的心理距离，于是萌生了独享一片心灵天空的愿望。秘密对于未成年人的成长有着积极的意义。走向独立是长大成人的基本特征之一，而拥有个人秘密并能恰当处臵是走向独立的一个基本要求。有秘密的水晶人是永远长不大的。

2、如何正确区别对待秘密？

在成长过程中，有些事情可以保密，而另外一些事情不能保密，比如使自己心理压抑、难以排解的事情，可能给自己带来危害的事情，或者违反法律的事情等。有了不能保密的事情，应该找可以信赖的人倾诉，或者向有关部门反映。

适当的倾诉可以帮助我们缓解心理压力、保持心理健康，也能使我们从他人那里获得帮助。

3、隐私是指公民不愿意为人所知或不愿意公开的，与公共利益无关的个人秘密。它包括三个方面内容：个人信息，个人活动，个人领域。法律保护公民的隐私权的法律依据：《中华人民共和国宪法》、《中华人民共和国刑法》、《中华人民共和国未成年人保护法》 4父母侵犯未成年人隐私的解决办法

应该多与父母交流沟通，有礼貌地告诉父母这是自己的秘密，自己有权保守这些秘密，如果父母不经过自己允许擅自窥探，那么就违法了法律的规定，应承担相应的法律责任。若父母不听劝阻仍窥探自己的秘密，可向未成年人保护机构反映，请求对父母进行批评教育。如果父母侵害秘密的行为给自己造成了很大的伤害，未成年人可以直接向法院起诉，要求父母停止侵害、赔礼道

歉甚至赔偿损失。

5怎样保护自己的隐私？

①保管好自己含有个人隐私的物品。②不向他人讲述自己的个人及家庭的隐私。③尊重他人的隐私④通过合法途径维护自己的隐私。6你认为分数属于隐私吗？为什么？

答：不是，有考试就有成绩，有成绩就有好与坏，毕竟人不是完美的，既然有胆量考试就应该有胆量面对成绩，只有每一次考试后排出成绩，我们才能更加清楚的认识自己与别人的差距，才知道自己以后努力的方向，否则我们就没了方向和动力，随之就没了竟争的意识，只有排出成绩，才能让我们与同学相互了解，相互促进，共同进步，共同提高，所以我认为分数不是隐私。是，也许有人会说不排出成绩，我们就会找不到自己合适的位臵，也就失去了考试的意义，但我认为考试在于自我检测学习的好坏，自己跟自己比好了，知道自己不足后努力学习，掌握知识、运用知识行了，不是说最难超越的是自己吗？如果边自己都能超越还怕不能超越别人吗。从另外一个角度上讲，排出成绩就是把学生分成三六九等，容易恶化同学之间的关系，无形中就在我们心里产生了自卑或是自负的心理。所以，同学之间没了分数这层障碍，交往起来不是更加自然吗。

7、几个经常在学校附近转悠的男青年不止一次向小宇要钱，不给他们就打小宇，而且威胁他不准跟父母或老师说。

（1）小宇应该保守这个秘密吗？ 答：不应该保守。

（2）小宇的这个秘密属于什么秘密？ 答：给自己带来危险的秘密。（3）你如果遇到过这样的事情，你准备怎么处理？

答：告诉家长，或告诉老师、学校，由学校协助民警将其抓起来。

第六课：青春相册

1、男生有男生的优势，女生有女生的特长，差别是不容否认的。

2、性别存在偏见的原因：由于长期受男尊女卑封建思想的影响，不少人总认为女性在智力、能力等各方面都比不上男性，因而对女性存有偏见甚至持歧视的态度。

3、怎样消除性别偏见？消除性别偏见和歧视，需要每个社会成员及时纠正自己的错误观点，客观地看问题；也要靠法律的监督和约束；更离不开受歧视女性自身的自尊自爱、自强不息。与保护女性相关的法律有《中华人民共和国妇女权益保护法》、《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国教育法》。

4、男生女生交往的好处是：、有利于智力上取长补短、有利于激励自己奋发向上、有利于个性的完善和丰富、增加朋友。⑤、丰富感情交流。⑥发挥“异性效益”。⑦、增进心理健康。、⑧促进社会化人际交往⑨、培养“双性化”人格。

5、面对别人的闲言碎语我们该怎么办呢？①有坦荡的胸怀；②反省自己③主动与议论自己的人多沟通，接触④不做闲言碎语的传播者和制造者。

6、男生女生如何正常交往？①广泛交往②、看父母、老师的态度③、谨慎交友④、端正态度，淡化对方的性别意识。⑤、把握距离。⑥理解与尊重。⑦、端庄与慎重。

7．进入初中，在我们身体悄悄变化的同时，我们的心理也在发生着一系列的变化。在班级里，有的男生和女生之间似乎有一条无形的界限被称之为“三八线”，在“三八线”上，男女同学不能对话。为此，某中学八年级一班的同学展开了一场辩论。下面是两位同学的观点： 甲同学：认为男女生要有界限。乙同学：认为男女生都是同学，没有区别。请对两位同学的观点进行分析。

答：（1）男女同学在一些方面是有区别的，如果没有界限，有可能会出现一些误会，会影响身心健康发展，影响学习。从这点上看，甲同学的观点有合理的一面，乙同学的观点有片面性。（3分）（2）男女同学之间的正常交往有益于我们的身心健康发展，两者之间可以优势互补，取长补短，从而营造一种和谐、温馨、团结合作的氛围。从这点上看，乙同学的观点有合理的一面，甲同学的观点有不足的方面。（3分）（3）作为男女同学，之间既要有一定的界限，又要相互帮助，团结友爱，共同进步。

第七课：我有署名权

1、什么是署名权？也称版权，是指作者对其创作的文学、艺术和科学技术作品所享有的专有权利。著作权包括人身权和产权两部分。人身权包括发表权、署名权、修改权、保护作品完整权等。

2、为什么未成年人享有著作权？根据，《中华人民共和国民法通则》第九条、第十条规定，无论是成年人还是未成年人都平等地享有民事权利能力。著作权是一项民事权利，未成年人一样可以成为著作权人，其著作权不受侵犯。出版社在使用其作品时，应征得著作权人（或法定代理人）的同意，在使用后，著作权人应依法获得报酬。

3《中华人民共和国民法通则》第七十一条 “ 财产所有权是指所有人依法对自己的财产享有占有、使用、收益和处分的权利

4、肖像权是指公民对自己的照片、画像、雕像、录像、摄像及其他有载体的视感影像，依法享有不守侵害的权利。

5、侵犯肖像权的条件：①未经本人同意 ②不得以营利为目的 限制民事行为能力人怎样行使自己的民事权利？。（对象，10周岁以上的未成年人，不能完全辨认自己行为的精神病人。）可以进行预期年龄、智力或精神健康状况相适应民事的活动，其他民事活动有其法定代理人代理，或者征得其法定代理人的同意。

6、民事行为能力指民事行为主体能通过自己的行为取得民事权利和承担义务的资格。简单的说。民事行为能力就是公民可以独立进行民事活动的资格。

7、无民事行为能力人实施的民事行为和限制民事行为能力人实施的依法独立实施的民事行为，都属于无效民事行为。无效的民事行为从行为开始起就不具备法律效力。

8、法律规定，十周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，只能从事与自己的年龄智力相适应的民事活动。这是对未成年人的歧视还是保护？

答：这种法律规定是对未成年人的保护。民事行为能力指的是能以自己的行为取得民事责任的能力。十周岁以上的未成年人的辨别能力和理智都不成熟，只能进行与其年龄、智力相适应的民事活动，其他民事活动只能由其法定代理人代理，或者征得其法定代理人的同意，这是我国法律对未成年人的保护。

9、大庆一女子被人冒名顶替上学，本能成为白衣天使的她，因为别人的暗箱操作而变成农妇。侵犯的是该女子的（姓名权）

10、窃、抢劫到伤害致死，嫌疑人的年龄从12岁到17岁不等，作案之后，3起不同的案件，相同的一句：“除了网吧，我（我们）还能去哪儿？”，面对他们的问题，我们的看法是（家庭、学校才是他们良好的生活学习场所，在社会中，我们更值得警惕，谨防一些人教唆、引诱、胁迫、鼓动未成年人犯罪）

第八课：做一个合格的消费者

1、我国制定的《消费者权益保护法》就是一部专门维护消费者合法权益的法律，人们把它成为消费者的保护神。

2、作为消费者在购买中的9项权利有： ①享有人身、财产安全不受损害的权利；

②、享有知悉其购买、使用的商品或者接受的服务的真实情况权利； ③、享有自主选择商品或服务的权利； ④、享有公平交易的权利； ⑤、享有依法获得赔偿的权利。

⑥、享有依法成立维护自身合法权益的社会团体的权利； ⑦、享有获得有关消费和消费者权益保护方面的知识的权利； ⑧、享有其人格尊严、民族风俗习惯得到尊重的权利；

⑨、享有对商品和服务以及保护消费者权益工作进行监督的权利。

3、国际消费者权益日：3月15日

4作为消费者，维护自己合法权益的正确途径是什么？：①与经营者协商和解； ②、请求消费者协会调解；③、向有关行政部门申诉；④、根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁；⑤、向人民法院提起诉讼。⑥12315投诉电话是消费者维权的一件锐利武器

5、何成为合格精明的消费者？消费者要运用法律武器维护自己的合法权益，就必须了解有关法律法规和一些消费常识，否则自己的合法权益就难以得到有效地保护。一是注意消费投诉的实效；二是收集和保存证据；三是要懂得一些识假、辨假的知识。

材料一: 日前，北京市消费者协会发布了北京市场45种淋浴水嘴产品比较试验结果：45个品牌的淋浴水嘴样品中25个样品部分检测项目不符合相关国家标准。比较试验结果表明，被测试的样品节水性能基本能够达到国家标准要求，三家产品检测结果不节水；各淋浴水嘴样品阀体强度性能和密封性能较好；近三分之一的样品耐腐蚀性能不理想；五分之一的样品连接螺纹扭力矩没有达到国家标准要求；少数样品管螺纹精度和配套软管密封性能存在问题；知名品牌的水嘴样品质量相对较好。（1）以上材料说明了什么？

答：目前，社会上还存在经营者无视法律，以各种理由侵害消费者的公平交易权、自由选择权等合法权益，缺斤短两、假冒伪劣、强买强卖、虚假宣传等。很多消费者的法治观念淡薄，以实际行动维权的意识不强。

（2）结合材料说明应该怎样很好地维护消费者的合法权益？ 第九课：法律是武器

1、生活中有哪些侵犯未成年合法权益的现象？ 答：虐待、遗弃、殴打、等

2、未成年人的不良行为有：①旷课、夜不归宿②携带管制刀具③打架斗殴、辱骂他人④强行向

他人索要财物。

3、如果遇到暴力侵犯怎么办？答案在p102的“专家指点”

4、青少年受到侵害的原因：、青少年各方面都不成熟，属于弱势群体，缺乏自我保护能力，其合法权益更容易收到侵害；、现实中存在一些不利于青少年健康成长的因素，侵犯青少年合法权益和损害青少年身心健康的现象还时有发生；、法律在保护青少年合法权益时会出现不及时、不到位的现象，使青少年收到不同程度的伤害。

5、当合法权益受到侵犯时更重要的是要学会自我保护自我保护的方法。

第一招：遇到骗子时，不要随便跟陌生人进入你无法控制的地方，如偏僻的角落等；如果陌生人一味纠缠要大声呼叫，吓退坏人第二招：遇到冒牌公务员，不要随便跟自称是警察和工作人员的人走，向他索要证件，并要求找自己的父母。第三招：遇到暴力抢劫，可以先把钱物如数交出，同时记清不法分子的特征，如身高、口音、着装等，一但脱身，立即拨打110报警。第十课：他们为什么会犯罪

1、犯罪行为：凡是不履行法律规定的义务或者做出法律所禁止的行为，都是违法行为。违法行为包括违宪行为和刑事违法行为、民事违法行为、行政违法行为等几类。

什么是犯罪？是指违法情节严重，对社会危害很大、触犯刑法并依法应受刑法处罚的行为。

犯罪的三个基本特征：（1）犯罪是危害社会的行为。（2）犯罪是触犯刑法的行为。（3）犯

罪是应受刑罚处罚的行为。

我国对青少年犯罪的刑事责任范围的规定刑事责任年龄：已满16周岁的人犯罪，应当负刑事责任；已满14周岁不满16周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、防火、爆炸、投毒罪的，应当负刑事责任；已满14周岁不满18周岁的人犯罪，应当从轻或者减轻处罚；因不满16周岁不予刑事处罚的，责令他的家长或者监护人加以管教；在必要时，也可以由政府收容教养

2、遵守法律这一基本的行为准则：恶意制造、传播流言，不侮辱他人人格，不进行诈骗活动；

不泄露国家机密；不制造、传播病毒，不利用网络破坏公共设施等。

3、怎样正确对待网络？①、充分利用网络优势帮助学习，提高自身素质。②、科学合理地安排

时间，不影响正常的学习和生活；③、要正确选择网上信息，自觉抵制不良信息的影响；④、不进营业性网吧；⑤、遵守网络道德，遵守纪律和法律。

4、未年人犯罪的主要原因有：无知、盲目模仿、从众心理、报复心理以及寻求刺激、逞强好胜，都可能导致未成年人犯罪。

5、观看影视作品、小说和玩电脑游戏时要注意的问题？①、影视作品及小说的情节绝大多数是

虚构的，和现实生活有很大区别；②、要有明辨是非的能力，切不可盲目模仿；③、要明白依靠非法手段获利的人最终没有好下场。

7青少年怎样维护自己的合法权益？①宣告自己的合法权益不受侵害。②向有关部门反映 ③通过调解、仲裁等方式解决。④通过诉讼（打官司）⑤申请法律援助

8、法官的忠告： 在现实生活中，有些人在鼓励、唆使、胁迫青少年从事违法犯罪的活动时，确实会讲一些诸如“这件事与你无关”、“出了事不要你负责”之类的话，青少年往往被这些话所迷惑，但要知道，这些承诺不具有法律效力，在法律面前什么作用也起不了，到头来，人家犯错而你是在犯罪。

第五篇：高等数学基础期末复习指导

高等数学基础期末复习指导（文本）（2010.06.11）

中央电大教育学院 陈卫宏 2010年06月13日

陈卫宏：大家好！这里是高等数学基础课程教学活动。

高等数学基础课程期末考试时间：2010年7月11日11:00～12:30。闭卷。

高等数学基础考试题型

单选题：5题，每题4分，共20分。

填空题：5题，每题4分，共20分。

计算题：4题，每题11分，共44分。

应用题：1题，共16分。

复习要求1

（一）函数、极限与连续

1．理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

2．了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）。

3．熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

4．了解复合函数、初等函数的概念。

5．了解极限的概念，会求左右极限。

6．掌握极限的四则运算法则．掌握求极限的一些方法。

7．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。

8．了解函数的连续性和间断点的概念。

9．知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。

复习要求2

（二）一元函数微分学

1．理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线方程。知道可导与连续的关系。

2．熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

3．熟练掌握复合函数的求导法则。掌握隐函数的求导法．知道一阶微分形式的不变性。

4．了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。

5．会用拉格朗日定理证明简单的不等式。

6．掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。

7．掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法（几何问题）。

复习要求3

（三）一元函数积分学

1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系。

2．熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。

3．了解定积分的几何意义和定积分的性质。

4．了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。

5．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

6．了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。

7．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。

文勇：高等数学考试在即，抓紧时间进行复习了。

陈卫宏：做好形考册与期末复习指导中的综合练习。加油！祝你取得好成绩！

赵双颖：陈老师您好，今年能否再给期末综合复习题？看08年7月的行吗？

陈卫宏：赵老师好！会有模拟练习贴出。

王惠书：陈老师您好：今年的高等数学基础有变化吗？

陈卫宏：王老师上午好！高等数学基础考试没有变化。

王惠书：合理利用学习资源进行自主学习

开放教育的一个重要标志就是教育对学习者的开放。在开放教育中，学习者的背景呈现多元化的特点，这就决定了他们不同的学习需求和不同的媒体选择取向，“经济数学基础”课程多种媒体一体化教材中的各种教学资源应该说基本满足了各种层次、不同需求的学习者的需要。但是，每位学习者既无可能也无必要全部拥有各种媒体资源，选择适合自己的学习资源是很重要的。

下面以“导数”内容学习举例说明具体步骤：

1．指出本单元学习知识点及学习目标

学习内容：导数的定义、导数的几何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数求导法则、导数的计算、高阶导数。

学习目标：

（1）理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；

（2）熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；

（3）知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。

2．指导学生利用多媒体资源自主学习

（1）阅读《经济数学基础—微积分》教材相关内容；

（2）观看经济数学基础网络课程微分学相关内容；

（3）阅读在线平台的相关辅导文本。

3．列出本单元应掌握的问题

（1）函数在一点导数的定义式的含义是什么？

（2）函数在一点导数的数量、几何、物理、经济意义是什么？

（3）函数在一点导数和在区间上导数的区别与联系是什么？

（4）导数的计算公式、法则有哪些？

（5）导数计算的题型有哪些？

（6）利用导数可以讨论函数的哪些性质？

4．提出学习本单元的具体要求

（1）通过自主学习找出2-3个问题，通过网络与任课教师或同学讨论找出问题的正确答案；

（2）通过网络或其它形式回答教师提出的问题；

（3）做作业册或文字教材中相应的练习题。

陈卫宏：请同学们认真看看。

王惠书：高等数学课程“问题式”教学法案例

下面以“导数”知识为例来说明“问题式”教学在高等数学课程中的应用。

（一）教学的总体设计

问题式教学法的实施步骤、组织形式、和学习结果用坐标系表示如下：

其中，实施步骤包括

1．提出问题

2．探求问题

3．解决问题

4．拓展问题

5．深化问题

相应的组织形式为

1．创设情景

2．自主学习

3．合作探究

4．巩固应用

5．反思小结。

应用问题式教学法的总体构思如下：

首先，举出两个实例，提出问题并给出解决问题需要的已知只是和解决的思路；其次，通过自主学习合作学习得出导数的概念、基本公式、运算性质以及运算方法；第三，总结出利用导数解决实际问题的方法。

（二）组织实施步骤

第一步，创设情境提出问题：

实例1

对一个喜欢吃巧克力的人来讲，有一个实验表明：吃一颗巧克力的总效用为35，吃两颗巧克力的总效用为60，吃三颗巧克力的总效用为75，吃四颗巧克力的总效用为80，吃五颗巧克力的总效用为75。由简单的观察和计算可知，从吃第一颗巧克力到吃第五颗巧克力，每多吃一颗巧克力它产生的效用增加量分别是25，15，5，-5，呈递减的趋势，换句话说，如果吃了四颗巧克力后，再吃第五颗、第六颗的话总效用不但不会增加反而会减少，也就是说不再会得到更多的满足了。那么请问，换了你你会吃几颗巧克力？

实例2

瞬时速率问题。已知物体的运动规律既路程与是时间的函数关系S=S（t）,求物体运动的瞬时速度。

第二步，自主学习探究问题：

1．解决问题所用的已有知识：平均速度、平均变化率、极限

2．解决问题的关键是什么：如何解决分母不能为0的问题

3．思路与方法是什么：先从一点扩充的一个区间，在让区间趋于一点

第三步，合作学习解决问题：

1．函数在一点导数的定义：略

2．导数的数量意义、几何意义、经济意义、物理意义：略

3．基本公式、运算法则：略

第四步，巩固应用拓展问题：

1．初等函数导数的计算：通过计算总结求导方法以及题型

2．导数的实际应用

第五步，反思小节深化问题：

1．利用导数解决问难题的思想方法

2．导数计算的题型及方法

3．可以利用导数解决问题的常见案例及解决方法

如何学好大学数学

（一）激发学生学习数学的兴趣

兴趣是学习的最好老师，它能激发求知欲望，促进思维的活跃，保持学习的持久。赞可夫认为，学生有了愉悦的情感，欢快的情绪可以使大脑皮层处于兴奋状态，精神振奋，思维活跃；反之，厌烦的情绪能抑制学生的智力活动。

1．明确数学教学目的

传统数学教育是与升学紧密联系的，而信息时代的数学教育则要求提高全社会成员的数学素质。高科技的发展，使现代数学以技术化的方式折射到人们日常生活的各个领域。通过学习数学知识，使学生正确认识数学的价值，懂得数学在信息社会中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣。

2．树立正确的学习态度

大部分学生认为初等数学没学好，高等数学也无法学好。因此，使学生树立正确的学习态度，养成良好的学习习惯，是十分必要的。

（二）教师要切实转变传统的教育观念，提高自身素质及授课水平

1．与时俱进，转变观念，使数学教学真正实现由“应试教育”向“素质教育和创新能力教育”的转变。

时代呼唤素质教育和创新教育，时代需要高素质创新人才，通过必要的学习和自觉的反省更新教育观念，树立“以生为本”的现代教育理念，在课堂教学中注意体现素质教育思想、开放教育理念、能力本位理念等等，改知识传授为能力培养，改应试教育为素质教育。

2．教师要改善自己的知识结构，不断提高自身素质

在数学课堂教学中应以高水平的学识为基础，建立广博和精深相统一的知识结构，使自己具有更开阔的教学视野和更高的教学设计能力，不断提高授课水平。特别要强调指出的是：数学教师要注重提高教学艺术水平，尤其要注重提高自身的语言表达能力，因为高职教师语言表达能力的优劣，直接影响学生对新知识吸收程度，影响学生思维能力的调动和学习的积极性，直接影响教学效果。

3．教学方法要灵活多样

我们要改变数学教育中的“无人”现象。一是教材中没有人，既在数学教材从来只有公式、概念、定理，与人的日常生活脱离；二是教法中没有人，指的是不是以学生为主，课堂上只有老师在教，讨论法、案例法在数学教学环节中采用的很少。教师在授课过程中要尽量采用启发式、讨论式等气氛活跃的教学方式，恰当地处理好传授知识和培养学生能力的关系，使学生的思维不再禁锢在一个狭小的范围内而学有所悟。教师在每一个教学环节上都要精心设计，同时创造出一个轻松、和谐、愉快、活跃的教学环境，使学生成为教学的主体，体会到学习的乐趣。

4．选用合适的教材，调整教学内容

教材是教学内容的物质载体，是学校教育教学的基本手段。教材的选取，既要保证基本的知识要点，又要适合学生的专业特点，使学生拥有必备的数学知识后，紧紧结合专业培养目标按需“取舍”等数学内容，突出培养专业人才的目的。在教材中适当增加数学史的知识，一部数学史就是千百年来无数数学家为探索真理孜孜以求，不断解放思想、创新开拓的历史，素材相当丰富；选择近现代成功的数学应用案例，引导学生通过学习一种新的数学概念和数学思想，了解数学是如何通过科学严谨的数学思维、抽象化的符号语言虚拟世界和研究世界的，从而有意识地引导学生提高数学思维的能力，加强相关能力的训练。

（三）强化“应用”教学

1．加强大学数学教学与后续专业课及实际生产、生活的联系

教师在教学中应让学生更多了解数学在后续专业课当中的一些应用，使学过的知识尽可能在后续专业课或生产实际、日常生活中找到相应的模型，鼓励学生运用数学知识解决专业和实际问题。

2．融数学建模于数学教学之中，培养学生的数学应用能力和创新能力

数学建模是学生运用所学数学知识解决实际问题，数学建模不仅展示了数学在各个学科领域的应用，使学生感受到了学习数学的意义，而且通过学生对数学建模全过程的参与与自我尝试，也使学生尝到应用数学于实际的甜头，增强数学在学生心目中的地位，建模过程实际上是学生重新发现的过程，也是学生创造性地运用数学知识的过程。教会学生通过抽象、简化建立数学模型，让学生通过“用”数学认识到“数学是实际生活的需要”，既培养了学生数学应用能力，又使学生有成就感，从而提高学习数学的兴趣。

（四）运用现代化的教学手段

多媒体技术在教育领域里的运用，促进了教学模式、教学内容、教学手段、教学方法的变革。数学教育应与中国当代青年学生接受习惯－心理、阅读、欣赏要求，借助发达的计算机、多媒体表现技术、表现手段将书本上的推论、概念、公式引进到中国高校的数学教材之中、课堂之上。在运用多媒体这种教学手段不仅使用幻灯、投影仪、电视录像等电化教学手段外，还要充分利用网络技术，以增强教学的直观性和趣味性，使教学过程不再显得平白和枯燥，提高教学效果，提高教学效率，激发出学生学习的兴趣和学习积极性。

陈卫宏：这些是我们应该学习的。

还是推荐大家多看看论坛顶部的帖子，其中几位同学的心得会很有启发。

预祝同学们取得好成绩！

今天的活动就到这里，谢谢大家，再见！