中考基础知识集训 42013

第一篇：中考基础知识集训 42013

中考英语基础知识集训 42013/5/22

I．在下列各句的空白处填入一个适当的词，使句子意思完整、语法正确。

1.Mary wanted to order a pizza, but she didn’of the pizza house.2.3.at disabled people is impolite.4.When I retire in the future, I’ beautiful near the sea in the south.5.I’m sure you can feel when you’re lying on the beach.6.Mary was angry __________ me, because I broke his glass.7.If your hands are__________, you should wash them before eating.8.Can you explain the__________ why he was late for school again.9.The plane will __________off in a few minutes from Beijing International Airport.10.My math teacher said I did __________ in English than math.11.Mom, I’.Can I have something to eat?

12.Don’t worry.I can look __________your pet dog well while you are away.13.–How much does the shirt cost?—I justtwenty dollars for it.14.The snow globe is the best birthday__________ Joe has ever received.15.If you wear jeans to the party, the teacher won’t let you __________.16.My mother left her white _________ in the taxi.It has a few cards, a set of keys and nearly

300 yuan in it.17.---Sam, could you _________ the flowers three times a week while I am on holiday?---Certainly.18.I think doing some exercise can make you feel __________ after a day’s work.19.---Did you learn to drive the car ________ yourself, Nancy?---Oh, no.My father taught me.He is an excellent driver.20.I hardly ever buy things according to the advertisements because _________ are often

confusing and misleading.II．用括号内所给单词的适当形式填空。

1.She was__________(luck)to take an umbrella with her when it was raining.2.On my__________(nine)birthday, I got a model plane from my cousin.3.Every winter, many __________(visit)go to Yunnan to take a vacation.4.This kind of food __________(taste)good and many kids like it.5.Teenagers should understand the__________(important)of working hard.6.Don’t forget to take your umbrella.It’s _______today.(rain)7.April is themonth of the year.(four)

8.Jason speaks Chinese quite well.He practices _______ every day.(speak)9.Would you please speak more _______? I can’t catch you.(slow)

10.There are many _______ in Paris, but Notre Dame Cathedral is the most famous one.(church)31.Look!The children are playing __________(happy)over there.32.My sister ________(enjoy)dancing but I like singing.33.There are 35 __________(woman)doctors in this hospital.34.You have to believe in _______(you).That’s the secret of success.35.Do you know your ________(parent)favorite foods and colors? 36.Look!There are some __________(bird)flying in the sky.37.Your present is in one of the __________.Can you guess?(box)

38.Newspaper reports say that some more __________(country)have become E.U.(欧

盟)members this year.39.The earthquake rocked the cities in the north of Algeria.Many people lost their ________.(life)

40.It’s good for us to brush our ____________(tooth)after meals.III.单选:

16.London will hold30th Olympic Games in July, 2012.A.aB.anC.theD./ 17.– Who is it?--I took this photo when I was 4.A.IB.MeC.MineD.Myself 18.Mr.Jackson keeps lots ofon his farm.A.sheepB.chickenC.gooseD.pandas 19.The fans wereto know the death of their favorite singing star Whitney Huston.A.gladB.angryC.excitedD.surprised 20.After hard training for a long time, Liu Xiangthe records again.A.brokeB.achievedC.inventedD.completed 21.Don’ttoday’s work for tomorrow.Today’s work must be done today.A.put upB.put outC.put offD.give up 22.If all business goes paperless, at least one million tons of paper will beA.usedB.savedC.copiedD.offered

23.The 3rd

China’s Got Talent(中国达人秀.A.abilityB.behaviorC.educationD.background24.No matter what happens, the fact that Huangyan Island belongs to China willchange.A.everB.neverC.stillD.hardly

25.In order to eat safely, I think we make some food by ourselves instead of buying some.A.used toB.prefer toC.had betterD.are supposed to 27.– I’m planning to visit the Yellow River Delta National Nature Reserve(黄河三角洲国家级自然保护区).is it?

--It’s natural and beautiful.I think tourists can enjoy wonderful views there.A.HowB.WhatC.WhenD.Where 28.– What’s on side of the hill, mum?--A big lake.A.otherB.othersC.anotherD.the other 29.The government is asked to improve school bus safety, ?A.didn’t itB.hasn’t itC.isn’t itD.doesn’t it

30.It’s very convenienteither from the station or on the internet.A.toB.ofC.byD.for

31.the 632-meter Shanghai Tower is finished, it will be the second tallest building in the world.A.WhenB.SinceC.BeforeD.Unless

32.excellent basketball player Jeremy Lin(林书豪)is!I really love this talented guy.A.HowB.WhatC.How aD.What an 33.At present, blogs aretraditional diaries(日记)among young people.A.very popularB.as popular asC.not so popular asD.much more popular than

34.Therea football match and a concert this weekend.Which one would you like to go?A.isB.areC.will beD.will have 35.– Excuse me, can I interview Mr.Miller this afternoon?--A moment, please.Let me check.A.if Mr.Miller will be freeB.when will Mr.Miller have timeC.if Mr.Miller had an appointmentD.when does Mr.Miller come back 31.The lady over there is a friend of _______.We work in the same company.A)myB)meC)ID)mine

第二篇：中考专题：一次函数热门考点集训

中考专题：一次函数热门考点集训

考点1：三个概念（变量与常量、函数、一次函数）

1.在圆的面积公式中，常量与变量分别是（）

A．是常量，是变量

B．2是常量，是变量

C．2是常量，是变量

D．2是常量，是变量

2.下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（）

A．

B．

C．

D．

3.(1)已知函数y=3+m-3xm是一次函数，则m=_______.(2)若函数y=(k+2)x+(k2-4)是正比例函数，则k=________.考点2：两个图像（函数的图像、一次函数的图像）

3.一次函数y＝kx+b，b＜0且y随x的增大而增大，则其图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

4．在平面直角坐标系中，将直线b：y＝﹣2x+4平移后，得到直线a：y＝﹣2x﹣2，则下列平移方法正确的是（）

A．将b向左平移3个单位长度得到直线a

B．将b向右平移6个单位长度得到直线a

C．将b向下平移2个单位长度得到直线a

D．将b向下平移4个单位长度得到直线a

考点3：一次函数的性质

5.若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）

A．m＜0

B．m＞0

C．m＜

D．m＞

考点4：一次函数与正比例函数的关系

6.下列五个式子：①y＝，②y＝，③y＝－x＋1，④y＝(x－3)，⑤y＝＋1，其中表示y是x的一次函数的有（）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

考点5：一次函数与一元一次方程的关系

7．如图，直线l1的解析式为y＝﹣x+2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点

C（﹣1，m），且与x轴交于点A。

（1）求点C的坐标及直线l2的解析式；

（2）求的面积．

考点6：待定系数法求一次函数的表达式

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（，），且与正比例函数的图象交于点B（，）.（1）求的值及一次函数的解析式；

（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m>0）个单

位长度后经过点C，求m的值；

（3）直接写出关于x的不等式的x的取值范围．

考点7：一次函数的应用

9.如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）

之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图

象解答下列问题：

（1）甲、乙两地相距

km，轿车比货车晚出发

h；

（2）求线段CD所在直线的函数表达式；

（3）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离甲地多远？

10.某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式：

说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再

收费，超过部分加收超时费．例如：方式一每月固定

交费30元；当主叫时间不超过200分钟不再额外收费；超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.20元（不

足1分钟按1分钟计算）．

（1）请根据题意完成右表的填空：

（2）设某月主叫时间为（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为、，分别写出两种计费方式中主叫时间（分钟）与费用、的函数关系式；

（3）请利用函数图象，计算说明选择哪种计费方式更省钱．

考点8：数学思想

【分类讨论思想】11.“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费

用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式；

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

12.若直线，则称直线为这两条直线的友好直线．（1）直线与的友好直线为________．

（2）已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限，与轴相交于点．

①求的取值范围；

②若直线经过定点，且，求的值．

【数学建模思想】13．（2020·陕西西安·高新一中月考）“十一黄金周”前，某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费．

（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制宣传材料数量x（份）之间的关系式；

（2）旅行社要印制800份宣传材料，选择那家印刷厂比较合算？说明理由．

（3）旅行社拟拿出3000元用于印制宣传材料，哪家印刷厂印制的多？

【数学建模思想】14.某机械股份有限公司在A、B两个分厂各有同型号机器17台和15台，现要运往甲地18台、乙地14台．从A、B两厂运往甲、乙两地的费用如右表：

（1）若从A厂运往甲地台，求完成以上调运所需总费用（元）与（台）间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）若该机械股份有限公司想设计一种最佳调运方案，使总的费用最小，该公司应如何安排以上调运，此时的最小费用是多少？

第三篇：2012中考几何证明题集训

2012中考几何证明题集训

1、如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E,(1)请写出两个不同类型的正确结论；

（2）若CB=8,ED=2,求⊙O的半径。

B

D2、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC。求证：AD·BC=OB·BD

C

BA3、如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=22，求BC的长

交⊙O于D，连结AC A4、已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切。

5、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．

求证：GE是⊙O的切线。

6、已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B= 30°，．请求出：

（1）∠AOC的度数；（2）劣弧AC的长（结果保留π）；（3）线段AD的长（结果保留根号）.7、如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连

接BC，已知点M的坐标为（0），直线CD的函数解析式为y=＋5． ⑴求点D的坐标和BC的长；⑵求点C的坐标和⊙M的半径；⑶求证：CD是⊙M的切线．

8、如图（1），AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。（1）求证：∠DAC=∠BAC；

（2）若把直线EF向上平行移动，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这是与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？

D

(2)

(1)

9、（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于

点H，试证明CH=EF+EG;（2）若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH

⊥BD于点H，则

EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4)观察图

1、图

2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.图

1D

D图

3C10、如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=B，C重合）运动，其他条件不变时

1BCECDC

2BC；③当D在线段BC上（不与

BHBD

是定值；④当D在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时

是定值；

A

（1）其中正确的是-------------------；（2）对于（1）中的结论加以说明；

F

HB

G

D

E

C11、如图12，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

12、如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G。

探究：线段FG的长与△ABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写

3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。

①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形；

②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

13、设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

14、已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

15、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为CB延长线上一点，且∠EAB＝∠BAD，设DC＝kBD，试探究EC与EA的数量关系。

16、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，试探究BE与CF的数量关系。

17、如图，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想，若证明有困难，则可选k＝1证明之。

18、在△ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。试说明OP与OQ是数量关系，选择条件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。

19、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB, AB＝kAC，探究BE与AE是数量关系。

（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若FEC45，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．B

F

C

B

F

A

ME

D图 1图2图3

第四篇：中考英语语法集训100题

人教版小学数学专题方案

（一）、首先要熟悉一到六年级整套教材的教学内容，才方便之后的教学及教研活动的开展。一、一年一册：

1、数一数：这一节是认识数字1~10

2、比一比：这一节是1~10以内的大小的比较，长短、高矮的比较 3、1~5的认识和加减法：比大小；第几；几和几；加法；减法；零

4、认识物体和图形：

立体：长方体，正方体，圆柱，球平面：长方形，正方形，三角形，圆

5、分类

图形，长短，水果的分类 6、6~10的认识和加减法

认识6、7、8、9、10；连加连减 7、11~20各数的认识

8、认识钟表9、20以内的进位加法

9加几；8、7、6加几；5、4、3、2、加几； 二、一年二册

1、位置

认识上下；前后；左右；位置（第几组第几个）2、20以内的退位减法

3、图形的拼组

折纸、用小棒拼正方形4、100以内数的认识

数数，数的组成；读数写数；数的顺序，比较大小 整十数加一位数；相应的5、认识人民币6、100以内的加法和

（一）整十数加整十数；两位数加一位数和整十数； 两位数减一位数和整十数

7、认识时间

8、找规律：图形，颜色的规律

9、统计：简单的统计 三、二年一册

1、长度单位2、100以内的加法和减法

（二）两位数加两位数；不进位加；进位加 两位数减两位数；不退位减；退位减 连加连减和加减混合；加减法的估算

3、角的初步认识

4、表内乘法：乘法的初步认识；2~6的乘法口诀

5、观察物体：所站角度不同，我们观察到的物体也不同

6、表内乘法

（二）：7~9的乘法口诀 7统计 四、二年二册

1、解决问题

简单的认识应用题

2、表内除法

（一）除法的初步认识；平均分；除法 用2~6的乘法口诀求商

3、图形与变换

锐角和钝角；平移和旋转

4、表内除法

（二）用7~9的乘法口诀求商；用除法解决问题

5、万以内数的认识

1000以内数的认识；10000以内数的认识；近似数 整百、整千数加减法

6、克和千克

7、万以内的加法和减法

（一）8、统计：认识最多和最少

9、找规律：图形；钟表、数、图案的规律 五、三年一册

1、测量

毫米、分米的认识；千米的认识；吨的认识

2、万以内的加法和减法

（二）加法；减法；加减法的验算

3、四边形

认识四边形；平行四边形；认识周长； 长方形和正方形的周长；估计

4、有余数的除法

5、时、分、秒

秒的认识；时间的计算

6、多位数乘一位数 口算乘法；笔算乘法

7、分数的初步认识

几分之几；几分之几；分数的简单计算

8、可能性 六、三年二册

1、位置与方向 东、南、西、北

2、除数是一位数的除法

3、统计：简单的数据分析；平均数

4、年月日：哪个月有31天；闰年和平年；24时计时法

5、两位数乘两位数

6、面积

面积和面积单位；长方形，正方形面积的计算；面积单位间的进率

7、小数的初步认识

认识小数；简单的小数加减法

8、解决问题 七、四年一册

1、大数的认识 亿以内数的认识；数的产生；十进制计数法；亿以上数的认识； 计算工具的认识；用计算器计算

2、角的度量

直线、射线和角；用量角器量角度；角的分类；画角

3、三位数乘两位数：口算乘法；笔算乘法

4、平行四边形和梯形

垂直与平行；平行四边形和梯形

5、除数是两位数的除法

口算除法；笔算除法（除数是两位数）

6、统计 八、四年二册

1、四则运算

什么事四则运算；四则运算的法则及运算顺序

2、位置与方向 东、南、西、北的认识

3、运算定律与简便运算

加法运算定律：交换律，结合律

乘法运算定律：交换律，结合律，分配率 简便运算：运用运算定律进行简便运算

4、小数的意义和性质 小数的意义和读写法；

小数的性质和大小比较：小数点的移动 求一个小数的近似数

5、三角形

三角形的特性；三角形的分类；三角形的内角和 图形的拼组：用三角形拼四边形

6、小数的加法和减法

7、统计：柱状统计图；折线统计图

8、解决问题 七、四年一册

1、大数的认识 亿以内数的认识；数的产生；十进制计数法；亿以上数的认识； 计算工具的认识；用计算器计算

2、角的度量 直线、射线和角；用量角器量角度；角的分类；画角

3、三位数乘两位数：口算乘法；笔算乘法

4、平行四边形和梯形

垂直与平行；平行四边形和梯形

5、除数是两位数的除法

口算除法；笔算除法（除数是两位数）

6、统计 八、四年二册

1、四则运算

什么事四则运算；四则运算的法则及运算顺序

2、位置与方向

东、南、西、北的认识

3、运算定律与简便运算

加法运算定律：交换律，结合律

乘法运算定律：交换律，结合律，分配率 简便运算：运用运算定律进行简便运算

4、小数的意义和性质 小数的意义和读写法；

小数的性质和大小比较：小数点的移动 求一个小数的近似数

5、三角形

三角形的特性；三角形的分类；三角形的内角和 图形的拼组：用三角形拼四边形

6、小数的加法和减法

7、统计：柱状统计图；折线统计图 九、五年一册

1、小数乘法 小数乘整数；小数乘小数；积的近似数 连乘、连加、连减；

整数乘法运算定律推广到小数

2、小数除法 小数除以整数；一个数除以小数； 商的近似数；循环小数；

用计算器找规律；用小数解决问题

3、观察物体：从不同角度看到的物体

4、简易方程 用字母表示数；解简易方程 解方程；未知数

5、多边形的面积平行四边形的面积；三角形的面积； 梯形的面积；组合图形饿面积

6、统计与可能性：认识中位数 十、五年二册

1、图形的变换 轴对称；旋转

2、因数与倍数质数与合数

因数与倍数；2、3、5的倍数特征；质数与合数

3、长方体和正方体

长方体和正方体的认识；长方体和正方体的表面积； 长方体和正方体的体积；体积和体积单位； 体积单位间的进率；容积和容积单位

4、分数的意义和性质 分数的产生；分数的意义；分数与除法 真分数和假分数；分数的基本性质； 约分：最大公因数；通分：最小公倍数； 分数和小数的互化

5、分数的加法和减法 同分母分数加、减法；异分母分数加、减法；分数加减混合运算

6、统计

众数；复式折线统计图 十一、六年一册

1、位置：用坐标表示位置

2、分数乘法：分数乘法应用题；倒数的认识

3、分数除法：分数除法应用题；比和比的应用

4、圆：认识圆；圆的周长；圆的面积

5、百分数

百分数的意义和写法；百分数和分数的互化； 百分数与分数的互化；用百分数解决问题； 折扣；纳税；利率；

6、统计：扇形统计图 十二、六年二册

1、负数

2、圆柱与圆锥 圆柱的认识；圆柱的表面积；圆柱的体积； 圆锥的认识；圆锥的体积

3、比例

比例的意义和基本性质；解比例

正比例和反比例的意义：成正比例的量；成反比例的量； 比例的应用：比例尺图形的放大与缩小；用比例解决问题

4、统计(二)、分为整数、分数、小数的意义以及比和比例，简易方程的解法、几何（三角形、四边形、圆形、长方体、正方体、圆柱和圆锥）

一、整数

二、1 整数的意义

自然数和0都是整数。2 自然数

体个数的1，2，3„„叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿„„都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4 数位

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12„„其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。

公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 „„

3的倍数有3、6、9、12、15、18 „„ 其中6、12、18„„是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

二、小数 1 小数的意义

把整数1平均分成10份、100份、1000份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几„„ 可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。2小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25、0.368 都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如： 3.25、5.26 都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小数。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 „„ 3.1415926 „„

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：∏

循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 „„ 0.0333 „„ 12.109109 „„

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 „„的循环节是“ 9 ”，0.5454 „„的循环节是“ 54 ”。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如： 3.111 „„ 0.5656 „„

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222 „„ 0.03333 „„

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 „„ 简写作 0.5302302 „„ 简写作。

三、分数 1 分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

四、百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用“%”来表示。百分号是表示百分数的符号。

五、比和比例

1、比的基础知识（1）两个数相除又叫做两个数的比

例如：数A除以数B，可以说乘A比B，写作A:B，读作A:B。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比例后项

比可以用整数表示，也可以用分数或小数表示，还可以带名数。（2）比值：比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值 例如：7:4=74=431，14 3 就是7:4的比值（3）比与除法、分数的关系

比和除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比和分数的关系：比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。比和分数、除法的关系可以写成如下关系式： 比的前项：比的后项=比的前项比的后项= 比的后项 比的前项

（4）比的基本性质

比的前项和后项都成或除以相同的数（零除外），比值不表，这叫做比的基本性质。

8（5）比的化简

前项和后项是互质数的比，叫做最简整数比。

把一个比化成与它相等的最简整数比的过程，叫做比的化简。

2、比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一。组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。其中1.2，5叫做比例外项，0.5，12叫做比例内项.4∶6=6∶9 6就叫做4和9的比例中项.a，b，c，d四个量中，如果a∶b=c∶d，那么就说a，b，c，d成比例(proportion)，也就是表示两个比相等的式子叫做比例.其中a，b，c，d分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a和第四比例项d叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项.如果两个比例内项相同，即a∶b=b∶c时，那么把b叫做a和c的比例中项.3、比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。它是判定两个比能否组成比例的另一重要依据运用比例的基本性质可以解比例。

在的两边同时乘以10×15，得15×8=12×10.在15×8=12×10的两边同时除以10×15，得.a︰b=c︰d也可以表示为在的等式两边同时乘以bd，可以得ad=bc；反过 来，在ad=bc的等式两边同时除以bd，就可以得到其中a，b，c，d都不为零.如果a︰b=c︰d或那么ad=bc．反之，如果a，b，c，d都不为零，且ad=bc，那么a︰b=c︰d或

4、解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，叫做解比例。

六、简易方程和它的解法

1、什么叫方程？含有未知数的等式叫方程。如3＋x＝5，6x－4＝3x＋2，4x＝0，5÷x＝1，3(x－1)＝2x＋3都是方程。这里x表示未知数。

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做该方程的解。例如x＝2使方程6x－4＝3x＋2左右两边相等(分别代入左右两边计算：左＝6×2－4＝8，右＝3×2＋2＝8)，则x＝2叫做方程6x－4＝3x＋2的解。

求方程解的过程叫做解方程。

2、四则运算各部分之间的关系：一个加数＝和－另一个加数，被减数＝差＋减数，减数＝被减数－差，一个因数＝积÷另一个因数，被除数＝商×除数，除数＝被除数÷商。

3、运算定律：加法的交换律和结合律a＋b＝b＋a,(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法的运算定律有a×b＝b×a,(a×b)×c＝a×(b×c),a×(b＋c)＝ab＋ac

4、符号运算性质：去括号时，括号前面是“＋”的，括号里面的每一项的符号都不变；括号前面是“－”的，去括号后，括号里面的每一项的符号都要变，加号变“－”，减号变“＋”。

5、等式的性质：等式两边同时加、减、乘一个相同的数，等式依然成立。

6、方程的左右两边都分别有未知项和常数项，这就要进行移项，把未知项移到等号的一边，而常数项移到等号的另一边。移项时必须牢记移项规律：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边，移“＋”时变“－”，移“－”变“＋”。

七、几何

（一）、平面图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆形）

1、三角形

a.由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。b.从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底

c.角形的特性：三角形具有稳定性

d.三角形的分类：按角分：锐角三角形：三个角都是锐角

直角三角形：一个角是直角，其余两个是锐角 钝角三角形：一个角是钝角，其余两个是锐角 按边分：等腰三角形；等边三角形（正三角形）e.三角形的内角和是180度。

f.三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 g.三角形的面积：三角形的面积=底×高÷2

2、四边形：四边形有四条直的边，有四个角

a.平行四边形：两组对边平行且相等的四边形

从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底

平行四边形的面积=底×高 b.封闭图形一周的长度叫做周长 c.长方形和正方形是特殊的四边形

d.长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 e.在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。f.梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 3、圆形

a.连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。b.圆的周长C=лd 或C=2лr

圆的面积：S=лr2（1）、重点知识概述

圆的认识内容有：圆的特征、圆心、直径和半径，画圆的步骤和方法。

圆是一种常见的图形，它是最简单的曲线图形。学生已经对圆有了初步的感性认识。日常生活的常见物体圆，我们可以凭借图形物体画出圆，利用折叠的方法找出圆心，通过度量发现圆的特征。

通过测量和比较，大家要理解和掌握在同一圆里半径和直径之间的关系，并通过练习明确圆内半径与直径的对应关系，还要求学生在圆内一些线段中，找到半径和直径，这对解决实际问题和进一步学习都有用，能做到这一点、就说明学生对于直径和半径是真正理解和掌握了。

为了培养作图的技能，教材上写出画圆的步骤，使学生正确地掌握画圆的方法，并通过练习，学会画不同大小的圆。

若给出两个没有标出圆心的圆，我们通过测量，也能找到求直径的方法，这样能培养学生能利用圆的特征解决一些实际解题的技能。（2）、重点知识归纳及讲解

圆心——半径——直径

如图，这些折痕相交于圆中心的一点。我们把圆中心的这一点叫做圆心。圆心一般用字母Ｏ表示。

连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。

在我们把圆对折时，看到每条折痕都通过圆心。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。

(二)、立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥）

1、长方体：长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

a.相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

b.长方体有六个面、12条棱、8个顶点，相对的面面积相等，相对的棱长度相等。c.长方体或正方体的6个面的总面积叫做它们的表面积。d.长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 e.物体所占空间的大小叫做物体的体积 长方体的体积=长×宽×高

2、正方体：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形

a.正方体有六个面、12条棱、8个顶点，且每条棱，每个面都相等。b.正方体的表面积=棱长×6 c.正方体的体积=棱长×棱长×棱长

长方体正方体的体积=底面积×高

3、圆柱：圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高。

圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积

圆柱的体积=底面周长×高

4、圆锥：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高

圆锥的体积=1/3圆柱的体积

（三）、方法

（一）数的读法和写法

1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

（二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

4.大小比较

1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大„„

3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。

（三）数的互化

1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

（四）数的整除

1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

（五）约分和通分

约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍 数作分母的分数

小学数学所有公式每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数

总数÷份数＝每份数1倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝1倍数速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数因数×因数＝积

积÷一个因数＝另一个因数被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数

小学数学图形计算公式

正方形

C周长 S面积 a边长

周长＝边长×4 C=4a

面积=边长×边长

S=a×a 2 正方体

V:体积 a:棱长

表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a 3 长方形

C周长 S面积 a边长

周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽

S=ab 4 长方体

V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高

V=abh 5 三角形

s面积 a底 h高

面积=底×高÷2 s=ah÷2

三角形高=面积 ×2÷底

三角形底=面积 ×2÷高平行四边形

s面积 a底 h高

面积=底×高

s=ah 7 梯形

s面积 a上底 b下底 h高

面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形

S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径

(1)周长=直径×∏=2×∏×半径

C=∏d=2∏r

(2)面积=半径×半径×∏圆柱体

v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径圆锥体

v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径

体积=底面积×高÷3

总数÷总份数＝平均数

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数

(和－差)÷2＝小数

和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或者 和－小数＝大数)差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或 小数＋差＝大数)

植树问题

非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

第五篇：乐理基础知识4

第六讲 变化音记号

变化音记号

把固定的音升高或者降低叫“变化音”用来表示这种变化的符号叫“变音符号”。

（一）变音符号共有五种。

1、“#”升号

2、“b”降号

这两种符号都表明符号后面紧跟着的音要升高半个音，或者降低半个音。

3、“×”重升号

4、“bb”重降号 3、4两种符号表明紧跟在后面的那个音要升高全音或降低全音。

注释1：全音是大二度，半音是小二度。

关于全音和半音的问题我们在以后的课时里会给大家介绍

5、“”还原号

用来表示在它后面的那个音不管前面是升高还是降低都要恢复原来的音高。

（二）变化音的位置：变音符号必须对准所要升高或者降低的音。（升号和还原号的斜方孔，降号和重降号的孔，重升号的交叉点。）

（三）变化音的用途有两种：

1、调号

一种是写在谱号后面的，这种变音记号也叫“调号”。谱例1：

这表明在这个调（调性以后会讲到）里面标到的音，不管音的高或低，都要固定的升高或者降低。

比如： 是#F #G #C，那么在这个曲调里所有的F、G、C都要升高半个音。（如果遇到临时变音记号以临时变音记号为准）。

在乐谱中写在某一个音前面的变音记号叫做“临时变音记号”也叫临时升降号。谱例2：

2、这是表明这个音要临时改变音高。这种临时升降号可以管一小节，在一小节之内有同样音名的音都要服从第一个变化音，也要跟着变化同样的音高。它的前面在就不需要有再画相同的符号。但是这种临时升降号只有在同一小节之内有效，这一小节之后就不再起作用了，可以说是“铁路警察，各管一段”。

3、在写变音记号时的注意事项：

a)变音记号可以记在五线谱的“线”上和“间”内。但必须对准后面所要表达的音，才能使后面的音有准确的音高。

b)升号和还原号都有两条横线，这两条横线要从左下方向右上方倾斜，并且要比两条竖线画得粗一些。谱例3：

第七讲 节奏、节拍、拍子、小节

一、节奏

节奏是一个广义词，它包括了音乐中与时间有关的所有因素，这里概括了拍子、小节、循环周期和重音的位置。

音乐犹如千军万马，是节奏把它们有序的组织在一起，按着音乐的强弱、长短，使它们有序的进行着，如果没有节奏，音乐就会杂乱无章，不成其为音乐。因此，在音乐里节奏是至关重要的，它无所不在，它体现在每一个音符，每一个小节线，每一个重音和速度的标记中„„

二、节拍

节拍是指强拍和弱拍的组合规律。有很多有强有弱的音，在长度相同的时间内，按照一定的次序反复出现，形成有规律的强弱变化，例如：每隔一个弱拍，出现一个强拍时，这是一种节拍，而每当有两个弱拍或有三个弱拍再出现一个强拍时，这些又是另外的一些节拍，它运用了小节线和拍子号标记出来，看起来很具体。在有强有弱，一定长度相同的时间内按着一定的长短次序，由小节线划分，反复的有规律的重复，形成了有规律的强弱变化，这就是节拍的作用。

“强”与“弱”看似简单，但是人们可以根据这些简单的“强”与“弱”变化出很多种拍子来，从而形成各种情绪，各种不同风格的乐曲来。因此“节拍”是非常重要的，它等于是音乐大厦的基石，必须是有规律并且是有秩序的。

在节拍中出现一个名词叫“拍子”，下面我们就来谈谈“拍子”。

拍子

在节拍中，众多的音符都是以一拍为单位的，（这也叫做“单位拍”），这一个重要的时间段 — 一拍，就是音乐的基础，它是用指定的音符来代表的。也就是用各种不同的音符，比如二分音符、四分音符、八分音符等等，做为基础的一拍，然后有强有弱的循序渐进。下面我用最最通俗的来讲，什么是拍子。

“拍子”用简单的话来说你用一个手掌来拍。手掌一下、一上，这就叫做一拍，（如果用两只手对拍的话，那么一张一合，就叫一拍）单单拍下去，叫做半拍，再抬起来，也是半拍，这样算起来一上、一下加起来就是一拍。（等于半拍加半拍）图示：

在我国的戏曲里，通常把拍子叫做“板、眼”，“板”就是重拍，“眼”就是弱拍。打起拍子来是这样的：用手掌拍击一下，这样称为“板”，再用食指点一下，这样称作“眼”。象京剧里常说“慢三眼”这是什么意思呢？这“三眼”表示有三个弱拍，加上一个强拍，实际就是指4/4拍。如果平时说一个人唱歌“没板没眼”的，也就是说明这个人的节奏不好，拍子不准确。

音乐的拍子，是根据乐曲的要求而定的，比如当乐曲寻求规定的速度是每分钟60拍，那么每拍占的时间是每分钟的60分之一，也就是一秒，（半拍为二分之一秒），如果规定的速度为每分钟120拍的时候，那么每一拍占的时间是半秒钟（半拍是1/4秒），现在是半秒钟打一拍，前面是一秒钟打一拍，显然后者要比前者快，（后面讲速度一节中我们还会讲到），以此类推。这也就是拍子的时值，当拍子的时值定下来之后，比如四分音符为一拍时，八分音符就相当于半拍，全音符相当于4拍，二分音符相当于二拍。而十六分音符则是1/4拍，换句话说，也就是一拍里有一个四分音符，有两个八分音符，有4个16分音符。再比如以八分音符为一拍，四分音符就是两拍，二分音符是四拍，全音符是八拍，而十六分音符即半拍，这样，当拍子的时值确定后，各种时值的音符就与拍子连在一起。

如2/4拍。是以四分音符为一拍，每小节有2拍。叫做2/4拍，一小节里有两拍，第一拍是强拍，第二拍是弱拍。在一个小节里，只有一个强拍，一个弱拍出现，然后每小节不断重复出现。这种2/4的节奏很适合队列行进的时候使用，所以大部分进行曲都采用这种2/4拍的形式。谱例1：

3/4拍，是以四分音符为一拍，一小节有3拍，叫做3/4拍。也就是一小节有一个强拍和两个弱拍出现，每小节重复出现，第一拍是强拍，第二三拍是弱拍，这就是3/4拍。这种节奏很适合旋转，因此常常用在圆舞曲里（华尔兹）。象大家熟悉的圆舞曲之王 — 约翰·斯特劳斯，他的作品有大部分是三拍子的。

谱例2：

下面介绍4/4拍，4/4拍是以四分音符为一拍，每一小节有4拍，叫作4/4拍，在4/4拍里，第一拍是强拍，第二拍是弱拍，第三拍为次强拍，第四拍又是弱拍。谱例3：

6/8拍与 2/4 3/4拍不同的是：它是以八分音符为一拍，每小节有6拍，这样在每小节里：第一拍是强拍，第二、第三拍是弱拍，第四拍是次强拍，第五拍和第六拍又是两个弱拍，这样每小节6拍，反复出现。谱例4：

在音乐作品中，单位拍并不是固定在一种音符上。它可以使用各种音符作为单位拍。比较常用来作单位拍的有四分音符（以四分音符为一拍），八分音符（以八分音符为一拍），二分音符（以二分音符为一拍），长短音符交替进行。

拍号和拍号的画法 拍号是用分数的形式来标画的，分母表示拍子的时值也就是说用几分音符来当一拍，分子表示每一小节里有几拍，前面说过了2/4拍就是以四分音符为一拍，一小节有2拍，3/4以四分音符为一拍，每小节有三拍„„读法是先读分母，再读分子，比如2/4叫四二拍，3/4叫四三拍，6/8叫八六拍。

拍号要写成分数的形式，是因为在五线谱中把全音符作为整数1看待。全音符是1，二分音符是全音符的一半，自然是1/2，四分音符的时值就是1/4，以四分音符为例，每小节有2拍，（两个四分音符）时，拍号就要写为2/4，如果每小节有三拍（三个四分音符）就标画成3/4，这样以此类推。

下面举例看看拍号与音符时值的关系： 谱例1:

拍号要标画在乐曲开始的地方，画在乐曲第一行谱表的后面，（但如果有调号，要先画调号再画拍号）顺序是这样的：谱号-->调号-->拍号。

在谱表上标画拍号时要以三线（五线谱中间的那条线）当作分数的横线，不必另外再画横线。如果乐曲在中途不改变拍子的话，只在开始的地方写一次就可以了，如果中途变化拍子，还需要标画新的拍号。

4、小节、小节线、终止线

一、小节 音乐总是跌宕起伏，强弱交替出现，这种交替出现不能是杂乱无章的、随意的，必须按着旋律的结构，组织成最小的、有规律的组织，在这个基础上进行才可以。这个最基本的基础，就是小节。规律是这样的，强拍和弱拍交替进行，每当一个强拍出来，不管后面跟不跟弱拍（1/4的就没有弱拍跟在后面）或是有几个弱拍，在第二个强拍出现之前这即构成了一个小节，当第二个强拍出现之后，又形成第二个小节，这样循环往复。比如，一个强拍后面跟着一个弱拍，这就是“二拍子”，一个强拍后面跟着两个弱拍，那么这就是“三拍子”，强拍后面出现三个弱拍子，那就是“四拍子”，以此类推，总之，在一小节里是不能出现两个强拍的。除非在弱拍上，特别标上了强音记号。

二、小节线

每一个小节之间是由小节线来划分的，小节线是一条条与谱表相垂直的坚线，上面顶到第五线，下面画到第一线，（上下两边切记不可出线，以免与音符混洧。）这样一条条的纵线就叫“小节线”，小节线把谱表分成一节一节的，从而形成了小节。

三、终止线

终止线是在乐曲最后，将要结束的地方，这里就不能单纯的画小节线，而是要区别一般的小节线来表示，这种表示的方法是用两条竖线，其中一条细线，一条粗线并行，细的一条在前，粗的一条在后，这叫“终止线”，表明乐曲终了。（终止线的上下两端也是不可以出线的，要与第一线和第五线对齐）。谱例1：

有时，一个段落结束，或者在一个段落内，但需要转调的时候，也画两条小节线（但是两条细线，以区别终止线）。谱例2：

四、弱起小节 一般情况下，乐曲开头部分都是从第一小节，第一拍的正拍开始的，这种叫“强拍起小节”，也就是从第一小节的强拍开始。但是还有一种起拍不是由第一小节第一拍的正拍开始而是由第一小节第一拍的后半拍或者是第一小节的末一拍开始，或别的拍开始，总之不是第一小节的正拍开始，都叫“弱起小节”，比如我们大家熟悉的《国际歌》，就是从弱起小节。谱例1：

再比如我们国家的《国歌》也是弱起小节，请看谱例： 谱例2：

这种弱起小节的结尾有两种：一种是完整的小节结束（也叫完全小节），还有一种是不完整的小节（也叫不完全小节）结束，不完全小节就是最后一小节的拍子与第一小节的拍子结合起来才是完整的小节。谱例3：

注释： 在计算小节数时，应该以完整小节开始计算。

5、单拍子和复拍子

单拍子：是指在一小节之内只有一个强拍，而后面有固定的一个弱拍、两个弱拍或者几个弱拍，但从头到尾都是很规律的，每小节反复重复，这种拍子叫“单拍子”。单拍子的特点是只有强拍和弱拍，例如每小节有两拍，或者有三拍的这种拍子，都叫单拍子。下面我们举些在我们生活中常见常用的例子：

一、单拍子

比如2/4，这个符号叫做四分之二拍。表示四分音符为一拍，一小节有两拍，也即把四分音符看成是一拍，（如果打拍子就是一上、一下）每一小节打两下，第一下是重拍（也就是板）第二下是弱拍（也就是眼）。谱例1：

下面有几个问题要注意：

1、如果在一小节内，只有强拍，而没有弱拍的话，这种不叫单拍子，而叫“一拍子”（以后会讲到）。

2、在一小节之内只有一个音的时候，唱出来也是应该从强到弱，虽然只有一个音符，但在音乐表现中要体现这种感觉，把强弱变化唱出来。

二、复拍子

复拍子的概念就是在一小节之内，包括着两个或者两个以上的强拍子，（也就是由两个或者两个完全相同的单拍子，结合在一起的拍子，）叫做复拍子。但是这种强拍在力度上是有区别的，在这中复拍子中一般第二个出现的强拍叫做次强拍。因为是次强拍，因此在力度上要区别于第一拍，要比第一个强拍弱一些。下面我们举几个例子来说明：

1、比如4/4拍，就是复拍子。它是由两个2/4拍组成的。谱例1 2、6/8拍，也是复拍子。它是由两个3/8拍组成的。谱例2

单拍子和复拍子在记谱的时候，必须要按着拍子号，把散音符有机的、按着拍子连起来记，形成一个音组，这种有规则的记谱法也叫音符组合法，怎么来形成有规律的音组呢？首先我们把复拍子拆成单拍子以单拍子为单位来进行音符组合。比如，4/4拍，是以四分音符为一拍，一小节有四拍，它也是由两个2/4拍组成的，而2/4拍也是四分音符为一拍，这样在写谱子的时候，应该以四分音符为单位，这样既有规律，而且在视谱时也比较清楚、简单易读。谱例3：

再比如6/8拍也是复拍子，它是以八分音符为一拍，一小节有6拍，也可以拆成两个3/8拍。也是以八分音符为一拍，仍然是以八分音符为一单位形成两组。谱例4

现在我们认识了单拍子和复拍子，下面我们就来认识一下什么是混合拍子。

6、混合拍子

混合拍子，顾名思义，它不是单一的拍子，而是有不同类的拍子组合起来的拍子。所谓不同类是指分母相同而分子不同的拍子出现在同一小节内。叫做混合拍子。这种拍子是每小节由强弱等数交替和强弱不等数交替出现，也就是相同单位拍，两拍和三拍的单拍子加在一起形成的拍子，比如2/4+3/4=5/4拍，那么这个5/4拍就是混合拍子。谱例1：

还有一种组合方法是反过来，3/4+2/4=5/4拍。

注：混合拍子中在每小节里只可以有一个强音，因此第二组或第三组的强音都只能屈居次强音，不能称强音。

7、特殊拍子

这里介绍一些平常用得很少的特殊拍子，这些拍子一般在戏曲音乐里用得多一些，比如一拍子，和散拍子，还有变拍子。一、一拍子

一拍子看名称就知道，每小节只有一拍，也就是说在一拍子的节奏里，每小节只有强拍，是有板无眼的拍子，比如京戏里的垛板，河北梆子里的快板、流水板，大都采用这种节奏，为的是突出音乐语言的力度，并有一种紧迫感。（比如现代京剧《智取威虎山》中杨子荣扮土匪上山捣座山雕匪巢中一段唱腔“穿林海”就用了大段的1/4拍子，来表现杨子英剿匪的急切心情）。谱例：

二、散拍子

散拍子一般也是用于民间戏曲，乐曲里运用的通常叫做“散板”，这种拍子无板又无眼，而是由演员来确定，演员根据音乐的内容的和情绪的需要自由的掌握速度的快慢和声值的长短。可以起到抒情的作用。散拍子往往用虚线来代替小节线，这样表示可以灵活、自由一些，另外还常用到一个符号“ 艹”，这也是散板的标号，有了这个符号就不用分小节，只把音符、表情、记号标出就可以，由演员或者演奏员自由的掌握。谱例：

8、变拍子

由于作品的需要，有时固定的拍子不能从头到尾都是一种节奏，一种速度，这时候需要变换拍子（往往是因为情绪或是歌词的需要），这种变换我们称其为“变拍子”。在变换拍子的时候，一定要标清拍子号，否则，后面的拍子与前面标的拍子号不一致就不对了。谱例1

9、打拍子

会打各种拍子，在音乐的演唱和演奏当中，是很重要的，它可以帮助你识谱，提高你的识谱能力，并且能帮助你培养好的音乐感。现在我把一些常用的拍子的图示画出来，请你认真的练习。

10、连音符

连音符是常见的，尤其是在乐曲之间的经过音，经常出现连音符。什么叫连音符呢，就是在符尾的上面或者符尾的下面，分别标有数字的一组音符，叫“连音符”。连音符的种类很多，依照数字分别叫几连音，比如符尾的上方标着5，就是“5连音”，标着6，就是“6连音”，标着3就是“3连音”以此类推。

这种连音是在有一定音值音符的位置，出现比规定的音符多，但时值没改变，而且这种增长不是成倍的增加，这就产生了连音符，比如一个四分音符，应该有两个八分音符，如果用5个十六分音符都挤在这一个四分音符的空间，这就出现了5连音，如果有三个八分音符占了一个四分音符的空间，就形成了“三连间”，而有七个十六分音符占了一个四分音符的空间就形成了“七连音”。谱例1：

一般连音符的数字的标写方法只在符尾处写上数字就可以了，是几连音就写几，如果出现休止符就要在数字的两边画上连线，以示这休止符和音符之间的关系，但是要跨在一起。（见前图 — 最后一小节）

11、切分音

切分音是旋律在进行当中，由于音乐的需要，音符的强拍和弱拍发生了变化，而出现的节奏变化。比如：一个音在弱拍时开始，而且延续到后面的强音的地方，打破了正常的强弱规律，使原来的强弱关系颠倒了，这种音形叫“切分音”、“切分音”在一小节之内，可以用一个音符来标写，而如果跨了小节的“切分音”就必须写成两个音符，并且要加延音线。（延音线是一个弧线）。谱例1

12、速度 一 基本速度

音乐作品都有自己的个性，这是作曲家根据音乐的性质而定的，有的作品抒情些，有的作品是歌唱性的，还有紧张的、行进的、活泼的、跳跃的等等，达到这个目的，作曲家都要在每一部作品上首先规定一个快慢的“时间表”，这就是“速度”。准确的速度才能有准确表达的基础，这种在音乐作品中规定的快与慢，就叫“速度”。

“速度”是由音乐作品中作为单位拍的音符时值有着密切的关系。一般来讲，音符时值长，拍子就慢一些，音符时值短，拍子就快些。每一个音乐作品都不一样，而拍子也是千变万化的，为了准确的表达作曲家对音乐作品的要求，因此在每一部作品的开头都会用标明情绪，标明速度（一般是用音乐术语标明的）另外还要标明每分钟有多少拍，这样就明确的表示了作曲家对作品的要求，只要完全按着这些要求去作，至少在速度上，在情绪上是正确无误的。音乐速度的表示有两种，一种是用文字来表示的，比如“快速”、“中速”、“慢速”、“稍快”等等，还有一种是用音乐术语来表示的，这些音乐术语都是意大利语，目前国际上多采用这种标记，比如：Andante（慢板）、Allegro（快板）、Presto（急板）、Pill mosso（稍快）等等。

再准确的标志就是前面所说的，标明一分钟里唱多少个几分音符，比如：=56，这个记号告诉你，每一分钟唱56个4分音符，就是说明，以四分音符为一拍，每分钟唱56拍，再比如：=72这是说以八分音符为一拍，每分钟要唱72拍。这就很具体的表明了作曲家对作品在速度上的要求。为了有准确的速度，人们发明了“节拍机”，在节拍机上，标有各种速度。并有只指针象钟表一样发出滴达声来提示你速度的快与慢。这是很科学的，目前国际上广泛的使用这种机器，从儿童学琴，音乐家练琴到大乐队排练。都离不开“节拍机”。二 临时变化速度

音乐进行的速度分为两种，一种是基本速度，还有一种是临时变化速度，基本速度就是前面讲的，乐曲固定要求的速度，或者是比较大段使用的速度。还有那种临时变化速度，是根据乐曲需要临时标记的，比如：渐快、突慢、还原等等。

音乐的速度很重要，因为同一首曲子处理的速度不同，曲子的性质会是完全两样的，收到的艺术效果完全不同。谱例：

快步进行速度、轻松愉快

慢板、抒情的