第一篇：美国学校数学教育课程原则与标准
美国学校数学教育的原则和标准
如何使用此书
我们的基本立场是借鉴和参考书中的观点和思想，而不是没有消化地照搬、照抄。新加坡的学生在“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”中，名列前茅。美国的教育部长去年访问新加坡时，也盛赞新加坡的教育。美国的一些学校同时直接采用新加坡的教材，但在具体使用时，遇到了很大的挑战，这在很大程度上是因为教学是和社会、文化密切相关的。同样，尽管此《原则和标准》在美国有较大的影响，其中也确实包括了许多新的有关教学、学习、评估、课程，及现代科技等方面的观点，但如果照搬、直接采用，同样也会遇到挑战和困难。为了便于国内的前辈和同行们参考，现就我们知道的关于美国数学教育界“出台”标准作一点简单的历史回顾。
简单历史回顾
美国各州及学区(school district)有权决定使用教材，因而教材种类多，没有一个统一的“教学大纲”。美国没有高考，只要经济上许可，绝大多数高中毕业生可进不同种类的大学深造，进人大学的重要参考条件之一是SAT或ACT的考试成绩(SAT和ACT不是全国统考，而是由美国两个考试中心具体实施)。另外，美国没有专门培养(或培训)教师的师范院校，但几乎所有的综合性大学都有师范专业。总的来看，美国教育制度大多由当地部门作出决策。由此带来的问题是，由于美国各地对学生有不同的要求，如何来评价他们的学生已经达到了相应的要求呢？如何在一定程度上达到统一要求呢？80年代前后，美国参与“第二次国际数学教育比较研究(The Second International Mathematics Study)”，在参与的20多个国家和地区中，美国排最后几位，特别是韩国、日本和中国香港学生的成绩都好于美国。他们通过比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国(或全地区)统一的大纲或课程，而美国没有。80年代中期，作为一个民间的专业团体的全美数学教师理事会决定成立一个委员会来提出一些标准。经过几年的努力，于1989年出台了《学校数学的课程与评价标准》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)，这一标准在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大反响，表现在：(1)该标准被翻译成多种文字(人民教育出版社已于1994年出版了中文本)；(2)其他学科纷纷仿效数学课程标准，制定相应的课程标准(如，美国的科学标准，人民教育出版社也出版发行了中文版)；(3)美国各州也相应形成了各自的数学内容框架；(4)此成果获全美教育研究会颁发的奖项；(5)美教育期刊中的许多文章引用了这一文件，被引用率首屈一指。
随着这些标准的相继发表，美国联邦政府花费了大量的财力、人力来培训教师，让他们熟悉标准中的观念，掌握其要旨，懂得如何付诸于教学实践。于是，人们期待美国数学教育有一个很大的提高。然而，事与愿违，“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”的研究结果显示，美国学生的表现与人们的期望相距甚远。其中，八年级和十二年级的测试成绩远远低于其他国家，四年级也只达到了国际平均水平，因而批评意见纷沓而至。纽约大学的FranCurcio教授认为以前出版的这些标准足以让人产生如下几种误解。
1．忽视基本计算。
许多人认为基本计算技能不再重要。恰恰相反，基本计算的培养不应被忽视，学生仍需要掌握关于加法与乘法的一些基本的事实，尽管学习这些基本事实并不是解决问题的先决条件，但学习这些事实对学生解决那些有意义的、与他们相关的和有趣的问题是必不可少的。对这些基本事实的学习可通过游戏或其他一些活动有意义地重复、轻松地进行，而不是无意义的机械记忆。同时，通过处理各种不同的情境和问题，学生有机会培养和应用那些有助于他们学习这些基本事实的思维策略。
2．对问题仅有近似解答就足够了。
1989年的“课程标准”强调估算能力的培养，但有些人却误认为只要近似答案就够了。如果一个问题只是需要一个估计，而不需要准确结果，那么有一个合理的估计就够了。然而，如果一个问题需要一个精确的答案，那么近似答案就是错误的。
3．数学教学只有惟一正确方法。
改革支持者都知道教学是一个非常复杂的活动。教学计划的制定，问题的设计，教给学生适宜的、有价值的数学这一切都取决于教师对学习过程的认识能力，对学生的需要和兴趣的了解以及对所教数学的切实理解。尽管教师精于课堂教学的内容，但还必须通过对学生全方位的了解来制定教学计划，并没有惟一正确的教学方法。
4．有标准记号的教材就是支持改革的。
判断一种教材是否支持学校数学改革的标准在于：问题解决时数学的严谨性、深度和逻辑性是否被保持，而数学交流、推理以及数学内外的关联是否被突出。那些为了建立与文学、历史或科学的联系而肤浅处理数学知识的教材，对学生和数学改革都是有害的。
5．没有有效的研究结果支持改革。
许多人误认为没有研究来支持改革，相反的，针对现阶段数学教学改革和学生数学成绩的大量研究都是基于支持这些标准而进行的。
除上述五点，我们认为，这些标准让人所产生的误解还包括以下两点。6，具体经验能自动导致抽象。
标准中强调让学生理解性地学数学，好像只要让学生看一看、摸一摸那些直观的东西就够了，用不着老师“推学生一把(Push)”就可以达到理解和较抽象的程度。
7．现代技术在数学中的使用等于教学改革。
科技应成为促进数学教与学的工具，然而如何有效地使用科技于课堂教学仍是一个正在探讨的问题，但科技的使用并不意味着数学教育改革，我们不应该用科技给数学教育贴上一个改革的“标签”。
为此，针对以上批评意见，全美数学教师理事会认为，“标准”应不断加以改进和完善。于是，从1996年起他们开始着手制定这一《原则和标准》。在序言中对《原则和标准》的制定有详细的说明。
问题与挑战
《原则和标准》只是提出了一个数学教育的宏伟前景，而不是已实现的现实。实现这一宏伟前景远比提出这些原则和标准难得多。面临的最大挑战之一是如何让教师能在他们的教学中贯彻《原则和标准》的精神。
印第安纳大学(1ndiana University)的Frank Lester教授认为，美国现行数学教育中仍存在以下的问题或挑战。
1．确定什么是数学真正基础的问题。
“回到基础(Back to the basics)”与“朝向将来的基础(Forward to What Will bebasic)”两派激烈之争或许是这一挑战最鲜明的例证。其中有学者更是直言：“为什么要浪费宝贵的时间去教学生解决那些只需花9.95美元的计算器就可解决的问题？”
2．对实践活动、课程材料和教学方法协调一致的评估问题。
(1)如何解决“改革”的课程使用与传统的评估方法和教学方法的使用这一矛盾？(2)如何正确评估数学教学改革成败的原因？ 3．课程平稳过渡问题。
由于存在不同的课程体系、内容重点和哲学，如果各年级之间，特别是从一个学校到同一个学区的邻近学校之间缺乏良好的衔接，就可能严重影响数学教学。如果我们期望通过努力获得数学教育的成功，那么我们必须正视和解决这些问题。
4．师资的短缺和教师的素质问题。
在接下来的十年内美国需要二百万的新教师，到2003～2004年美国可能流失 40％的高中师资，数学和理科将受很大的冲击。同时，教师的素质及培训对数学教育是很关键的，正如“不懂的东西你不会教，对没有热情的东西你也不可能教好！”
5．处理学校结构不断复杂化所带来的新需要的策略问题。6．怎样看待数学教育中的“两难”现象(Paradoxes)。(1)社会普遍认为数学难学，但易教。
(2)数学对社会有用，但对我无用。对数学的这种态度，学生会受到何种感染呢？(3)数学是逻辑的、理性的，但对我毫无意义等。
针对以上这些问题，NCTM呼吁大家齐心协力，迎接挑战，为实现《原则和标准》中所描绘的理想的数学教育前景而共同努力。
从1989年《学校数学课程与评价标准》到1991年《数学教学专业标准》，到 1995年《学校数学教育的评估标准》，再到2000年《原则和标准》的正式出版，美国数学教育改革所走过的十多年的风雨历程理应成为当前我国正在进行的数学课程改革(尤其是“国家数学课程标准”)的“前车之鉴”，他们所面临的问题和挑战同样也值得我们认真思考和对待。
目 录
前言.致国家数学教师理事会的感谢信 第一章 学校数学教育的前景
第二章 学校数学教育的原则:公平原则;课程原则;教学原则;学习原则;评估原则;科技原则 第三章 学前期至十二年级学校数学教育的标准:数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第四章 学前期至二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第五章 三至五年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征数与运算
第六章 六至八年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第七章 九至十二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第八章 齐心协力将理想变为现实 附录
标准和期望表...前 言
《原则和标准》的目的旨在为直接影响学前期至十二年级学生的数学教育作决策的人们提供参考。本文件中提出的各项建议是基于这样的信念，那就是所有的学生应该理解地学习重要的数学概念和过程。《原则和标准》指明了理解的重要性并描述了学生能达到此种理解的途径。本文件的写作宗旨在于面向数学教师、学校和学区的教师领头人(teacher-leaders)、教材和课程构架制订者、学区的课程主管和教师在职培训的负责人、负责数学教师教育和培训的教育工作者、职前教师、学校、州教育部门的行政人员和政策制订者。此外，本文件也 3
能为研究人员、数学家及其他关心学校数学教育的同仁们提供参考。《原则和标准》由国家数学教师理事会(NCTM)制订并出版。NCTM是一个国际性的专业组织，其宗旨是提高所有学生的数学教学和学习。
NCTM先前出版了三个划时代的标准——1989年的《学校数学课程与评价标准》、1991年的《数学教学专业标准》以及1995年的《学校数学教育的评估标准》。这三个文件标志着在历史上的第一次重要的尝试，由一个专业组织来制订并向教师和政策制订者描述教育目标。自从它们出版以来，它们为改善数学教育的努力提供了重点、连贯性和新的观点。
从NCTM一开始参与提出教育标准，NCTM就把此种努力看成是不断改进数学教育的一部分。为了让标准继续发挥其功能，体现在标准中的目标和展望必须定期地由具体实施的同仁们考察、评估，及试验，进而进行修订。在90年代初，理事会开始讨论是否有修订这些NCTM标准的需要。这些讨论促使1995年成立了标准的未来委员会。1996年的4月，NCTM董事会通过了修订最初的标准的课题计划。这一被称为“2000年标准”的课题阐明了如何把标准作为所有关心数学教育的人们反思和达成共识的机制。
在NCTM内部成立了不同的小组来负责制订“2000年标准”。首先，标准的未来委员会在1995年组成并负责——
·监管“2000年标准”这一课题及其他相关课题；
·在策划“2000年标准”这一课题的过程中，收集和综合来自NCTM内、外的信息和建议；
·提出一个发行、解释、实施、评价和进一步修改将来标准的计划。
“2000年标准”的写作小组和电子版小组于1997年春季成立。每一小组包括教师、师范教育工作者、行政人员、研究人员和数学家等在内具有不同专长的人士。写作小组在标准制订中的主要职责是让“2000年标准”——
·基于原有的三个标准文件；
·综合《学校数学课程与评价标准》、《数学教学专业标准》和《学校数学教育的评估标准》中与课堂教学有关的部分；
·组织成四个年级段：学前期(prekindergarten)①至二年级、三至五年级、六至八年级和九至十二年级。
电子版小组的职责是——
·考虑不同的途径出版和发行“2000年标准”；
·提出把与现代科技相关的材料溶人到标准中去的可能方法；
·让“2000年标准”的写作小组知道有关应用现代科技的最新资料；
·辅助“2000年标准”写作小组的工作并提供恰当的使用现代科技的例子。
写作小组的主要工作是在1997年夏天、1998年夏天和1999年夏天的短期会议中完成的。尽了最大的努力以保证让写作小组了解最新、最好的研究成果。写作小组的成员能够获得各种教材、各州的课程文件、研究报告、政策文件和别的国家的课程教材。
通过由标准的未来委员会组织的一系列活动，也使写作小组得到更多的建议。在1997年的二月，NCTM的主席邀请了数学科学会议团体(The Confereme Boardof the Mathematical Sciences，简称CBMS)所属的组织成员，组成了联合评审小组(Association Review Groups，简称ARGs)，旨在“从各自所属的机构的层面，不断地提供反映K—12年级数学的建议和信息。”在该课题进行的过程中，形成了14个联合评审小组，提出了五大类的问题给这些评审小组，并寻求他们的答复。(有关这些评审小组，提出的所有问题及来自评审小组的答复可以在www.xiexiebang.committee)委托出版了一系列的“白皮书”。这些白皮书总结了数学教学中八个方面的研究成果和动向，提供给写作小组。另外，在美国国 4
家自然基金会的支持下，学校数学基础会议(the Conference on Foundations for School Mathematics)于1999年三月在亚特兰大举行，此会议给编写者提供了有关数学教学和学习的理论方面的背景知识。为此会议而写的论文和“白皮书”将由NCTM作为《NCTM标准的研究篇》出版。由艾森豪威尔全国交换所(Eisenhower National Clearinghouse)部分支持召开的两次会议，使写作小组得到了有关现代科技方面的信息，以及就如何策划《原则和标准》的电子版提供了建议。
标准初稿《数学教育的原则和标准(讨论稿)》于1998年的10月出版，并在较大范围内传阅以寻求各方面的反映和讨论。大约三万份标准初稿送到有兴趣阅读的人手中，12万人次通过NCTM的网址阅读。1998～1999年度所有NCTM的地方会议上均有关于标准的报告和讨论，在许多其他专业组织会议上也有报告，应邀对标准初稿的反馈文章也在NCTM的刊物上发表。另外，有25人被特别委托从他们各自感兴趣的领域出发对标准初稿进行评审。总共有650多人和?o多个小组提出了他们的建议。这些建议被分类并输入了定性的数据库(qualitative database)，以确定一系列的重要观点和建议供修改时考虑。在1999年夏天的会议上，写作小组得到有关重要建议、具体例子以及有关细节反馈的总述，以帮助他们写作。在提供的反馈中考察了各方面的建议。根据反馈信息和写作小组成员各自的判断，写作小组认真地作出了如何把每一重要建议容纳到《原则和标准》中去的决定。
在NCTM董事会的要求以及美国国家自然基金会的支持下，NCTM的研究指导委员会组织了一个由不同背景的专家组成的小组来评审、整合和分析标准初稿反映的程序和过程，评审如何在修改中反映提出的建议的计划，以及评审写作小组如何在最终的文件中执行此计划。写作小组就如何反映来自评审员和数学教育专业领域的建议而得到的专家小组的指导，并在指导中大大获益，其结果促使该文件有了较大的改进。
《原则和标准》反映了来自不同方面的建议和影响。在整个文件中，教育研究为许多提议和主张提供基础。这些建议和主张说明的是处于某一水平的学生，在特定的教育条件下，学习特定内容的最大可能性。在《原则和标准》中强调的内容和标准也反映了社会对数学素质的要求，反映了数学教育的过去，同时也反映了教师、数学教育工作者、数学家和一般公众的价值观和期望。最后，包括在本文件中的许多内容是基于写作小组中课堂第一线教师、教师教育工作者、教育研究者和数学家的经验和观察，也是基于在整个写作过程中写作小组收到的建议。
《原则与标准》包括了许多课堂教学的实例，学生解题的例子和说明文中提到观点的教学片断。如果这些是从别的出版物中来的，那么有说明引用这些例子或教学片断的出处。如果一个教学片断没有引用出处，而且是用过去式写的，那样的片断是根据写作小组成员或教师的经验而写成的，在恰当的地方也指明了出处(例如，没有发表的观察记录)。以现在时写的教学片断则是根据作者的经验而虚构的例子，在文中有说明。
本文件提供了学校数学教育的前景——一系列需要努力才能达到的目标。在整个文件中，这一数学教育的前景是使用“应该”“将”“能够”“必须”等词表达，以让读者知道NCTM提出的数学教学和学习是什么样的。但这并不意味着保证达到预先确定的结果，而这只是描述NCTM前景的一种方式。
《原则和标准》可以从NCTM的网页中阅读并打印(www.xiexiebang.com)资助下，“照明课题”(illumination proliect)正在通过网络提供信息以“照明”本文件中的信息。所有这些活动(和其他的许多别的活动不可避免地将在今后几年中出现)都以《原则和标准》作为坚实基础以保证NCTM继续地在改善所有学生的数学学习中起领导作用。有关本文件的各方面的消息和信息，请参考NCTM的网页：www.xiexiebang.combinatorics）、迭代和递归（interation and recursion）及图论（vertex-edge graphs）这三个离散数学的重要内容被融入到了数学内容标准中。所涉及的概念和思想在学前期至十二年级的课程中逐渐由系统地展开。另外，在九至十二年级中，应涉及到矩阵的知识。组合数学涉及到系统地数数。迭代和递归用于模拟有顺序、有步骤的变化。图论用于建模和解决有关路线、网络和有限元之间的关系等问题。
数与运算
数与运算标准描述了对数数、数和算术的深刻理解和熟练运算以及对数系及其结果的理解。算术概念和算理是数和运算的组成部分，数的分类和性质也是数和运算的组成部分。数的分类和性质有助于数论的初步认识。这一标准的中心是培养学生的数感(number sense)，就是用100或1/2这样特定的数作参考自然地分解数字的能力，运用从算术运算到问题解决间关系的能力，理解十进制数的能力，估算能力，理解数字含义的能力，以及对数的绝对和相对大小的辨认能力。
历史上，无论在美国、加拿大，还是在世界上别的国家，数都被认为是数学课程的基石。这里提到的从学前期至十二年级的数学都扎根在数这块基石上。代数中的解方程原理和数系中的结构特征一致。几何和度量特性是用数学描述的。数据分析的各个层面都涉及到对数的理解和认识。通过问题解决，学生能够探究和巩固对数的理解。儿童最初的数学推理是有关数字方面的，最初的数学表征也可能是数字方面的。研究表明，儿童学习数和运算是个十分复杂的过程。
在这些标准中，理解数和运算、发展数感和进行熟练的算术运算是小学数学教育的核心。当学生从学前期至十二年级，学生对数的理解应当更加丰富——数是什么？如何用具体事物、数字或在数轴上表征？它们如何彼此相联？数十如何在既有结构又有特性的数系中体现的？怎样用数和运算解决问题？
理解基本的数字运算——个位数的加法和乘法以及相应的减法和除法——是关键。计算的熟练程度同样也是关键——知道快速准确的计算方法并能有效地应用。用心智策略和打草稿或用纸笔列式运算，特别在数字很大的情况下，来快速得到准确答案，就可能表现出计算的熟练程度。不管用什么具体的方法，学生应该能够解释他们所用的方法，知道有别的方法存在，并明白有效的、准确的、一般化的计算方法的用途。学生也应该能够估计平判断结果的合理性。计算的熟练程度应该随着对数系中算术运算的作用和意义的理解纵向地发展。
作为计算工具，应该在任何适宜的场合允许使用计算器，特别在解答涉及到多且繁杂计算的问题时应允许使用计算器。然而，当教师和学生一起探究算理时，应把计算器放于一边以便着重于算理的理解。计算器是当今社会各层面广泛使用的计算工具，课堂教学中应该反映这一现实。
1.理解数、表征数的方法、数量关系以及数系
学前期至二年级的儿童对数概念的理解是从数数和学习辨认各组实物的“多少”中发展的。一个关键的观念是一个数能从多方面进行分解和思考。例如，24是两个10加四个1，也是两个12。从原先的吧“10”简单地看成10各一相加转变成把“10”既看成是10各一又看 7
成1个十是学生理解十进制数系结构的第一步。在整个小学阶段，学生能够学习数的分类和特性，比如像哪些数十奇数、偶数、素数、合数和平方数。、除了理解整数以外，还应鼓励儿童在情境中学习常用的分数，比如1/2块饼干、1/8各比萨饼。鼓励儿童把分数看成是一个整体单位或一个集合的一部分。教师应该帮助学生把分数理解成两个数的商。在初中，学生应该巩固对分数概念的理解，这种知识在一定程度上是学习比例的基础。在高中以前，学生对十进小数知识的应用应该达到牢固程度。对数的概念有了深刻的理解，高中学生就能用变量代表数进行符号运算。
用具体实物和材料代表数十小学数学教学的主要方法。到初中，学生应该明白一个数能用不同的方法去表征，以使他们知道1/
4、25%、0.25是同一个数的不同名称而已。当学生用具体实物或在数轴上表征分数和小数时，当他们在分数和小数间进行等量转换时，他们的理解和推理能力也随之提高。
当学生理解了数及其表征，他们就具备了理解数量关系的基础。在三至五年级，学生能学会将分数与1/2这样熟悉的参照分数进行比较。随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如，“1/2+3/8:”一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。对六至八年级的初中学生来说，使他们达到能进行分数、小数和百分数的灵活等量转换及用不同的策略比较有理数的大小并进行有理数排序是十分重要的。通过把自然数扩展到整数，初中学生对数的顺序和大小的直觉会更可靠，而且对数系如何扩展有所了解。高中学生能够用变量和函数表示数量关系和考察各类数的特点。
尽管九至十二年级的高中课程强调的是数和运算以外的其他数学内容，但高中学生应该从更加全面的角度来理解数系。他们应该了解数系间的不同，并知道从一个数系扩展到另一个数系时，保留了哪些特征，而有失去了哪些特征。
2.理解运算的意义及各运算间的联系
在小学阶段，学生会遇到整数加减法的各种含义。研究人员和教师已经通过分析学生解答以下简单算术题的方法知道他们是如何理解数字运算的。
鲍勃（Bob）得到了2块饼干之后，现在他有5块饼干了。鲍勃在开始时有多少块饼干？ 为了解答这个问题，有的学生可能用加法，用他们的手指从2数到5。或者有的学生认为这是一个减法题，从而用5-2=3这样的事实去解答这个题。分析这样的思维过程或者意识到7+8与7+7+1是等同的，有助于学生理解运算的意义。这样的分析也有助于教师了解学生的思维。当学前儿童至二年级的学生解决来自周围环境中的问题时，如4个人如何平分一袋葡萄干，学生开始了解乘法和除法的意义。
在三至五年级，帮助学生学习整数乘除法的意义是该年级段的重点。创设和利用乘除法的表征方法(像用图或具体实物)，使学生理解运算间的关系。学生应该能够恰当地选择加法、减法、乘法或者除法去解决某一特定的问题。为此，学生必须认识到表面上看似差别很大的问题却可以运用同样的运算，必须知道各种运算是怎样彼此相联的，并且知道会出现什么样的预期结果。
六至八年级应强调有理数的运算。当学生在扩展了的数系里运算时，应帮助学生调整对运算的领悟。例如，用一个整数成0到1之间的分数(比如81),乘积必然比那个整数小。2这正好与他们先前获得的有关整数的乘法经验相反，因为那时乘积总是比任一乘数大。
比例的学习是初中阶段课程标准的重点。学生应该能熟练地运用比例进行几组数之间的比较，如下题所示：
如果3袋可可粉能跑15杯热巧克力饮料，那么泡60杯热巧克力饮料需要多少袋可可粉？
这一水平的学生也应学习正负数运算。在九至十二年级，当学生学习向量和矩阵运算 8
时，他们开始经历到具有新特性和形式的数系。
3.熟练地计算并进行合理的估算
达到熟练运算的程度需要概念性理解和计算技能间的平衡和联系。一方面，没有理解只靠强化练习获得的计算方法往往会遗忘或记忆不正确。另一方面，理解了算理但运算不熟练会影响问题解决的过程。当学前期至二年级的学生理解了整数和加减法运算后，课堂教学的注意力应集中于整数运算的策略以便他们能灵活熟练地计算。有的学生会提出一些独特的、也很有用的计算策略，教师应把这些策略介绍给班上的所有学生并进行讨论。到二年级末，学生应该掌握简单的加、减综合运算，熟练掌握两位数加法，并了解两位数减法的法则。在三至五年级，当学生学习简单乘除法的综合运算时，他们同时也应该学习能有效、迅速地解决算术问题的算法。这些算法也应能用于较大数目的计算，并不断学习，熟练掌握这些算法。
研究人员和有经验的教师都发现，当鼓励小学生学习、记忆、理解和相互评判解决计算问题的策略时，他们能学到许多重要的东西。他们会讨论各种策略在计算中的效率。也会讨论各种策略的概括性：这一策略能用于所有数的计算呢，还是只适用于这两个数的计算？经验表明，提出和讨论各种计算策略可以很自然地引出一些“常规”算法，或使教师能在恰当的时候导入这些“常规”算法。关键是学生必须能进行熟练的数字运算——就是他们在对数和运算理解的基础上，掌握有效、准确的算法。掌握“常规”算法是达到能熟练计算的一种手段。
有理数概念的学习是三至五年级学生的主要目标。有理数概念能导入分数计算的非正规方法。例如，1/4+1/2这样的分数问题很容易心算，是因为学生能够想象1/2和1/4，或能用像1/4+1/2=1/4+（1/4+1/4）这样的分解法。在这个年级段，学生应该学习和应用小数的计算，但到了六至八年级，学生应熟练地用以分数和小数形式出现的有理数进行运算。在一次全美国范围内的调查中，只有24%的十三岁的学生估计12/13+7/8的和接近于2。大部分学生说12/13+7/8的和接近于1,19或21。这些估计值反映了分数加法中的常见错误和学生缺乏对分数运算的理解。如果学生理解了分数加法并形成了数感，他们就不会出现这样的错误了。在他们理解了整数的含义和表征的同时，他们也应该掌握整数的运算方法。九至十二年级的学生应该熟练地用实数计算，基本掌握向量和矩阵运算，恰当地用现代科技辅助计算。
能够熟练地进行计算，在一定程度上意味着明智地选择和适时利用计算工具。教师应当提供机会帮助学生选择心算、笔算、估算或是用计算器算。特定问题和情境以及涉及的数字都会影响学生的选择。涉及的数字是否能使学生心算？问题是否要求学生估算？问题是否要求重复且繁琐的计算？学生应该衡量问题情境决定是否给出估计即可，还是需要精确的答案。充分地利用他们的数感，学生应该能够给出他们做出相应决定的理由。
代数
代数的历史根源来自研究解方程的一般方法。代数标准强调数量间的关系，包括函数、表征数学关系的关系和分析变化关系。函数关系可用符号表达，这些符号能够简洁地表达复杂的数学观点，有效地分析变量关系。当今，代数的方法和观点有助于研究其他分支的数学。例如，分布和通信网、物理定律、人口模型和统计结果都能用代数中的符号语言表达。另外，代数涉及的抽象结构和应用这些结构原理解决问题都可用符号表达。
代数中强调的符号和结构大都建立在学生广泛的数字经验基础上。代数也与几何和数据紧密相联。代数标准中包括的观点是学校数学课程的主要部分，它也有助于统一课程。代数能力，无论对于我们的生活，工作，还是为中学阶段以后的教育作准备，都是十分重要的。所有的学生都应该学习代数。
把代数看作是从学前教育就开始的课程内容，教师能帮助学生牢固建立理解和体验代数的基础，从而为初中和高中学习更复杂的代数作准备。例如，系统地学习模式而获得的经 9
验有助于学生理解函数概念。学习数和它的特性而获得的经验为以后学习符号和代数表达式奠定了基础。对数学能用于描述现实情境的认识可以帮助学生开始形成数学建模的观念。
人们往往将学校学习的代数与求解复杂方程和简化代数表达式的符号操作等同起来。实际上，代数符号及其运算是历史上杰出的数学成就之一，也是数学学习和研究中的关键。但是，代数不仅仅是简单的符号运算。学生需要理解代数概念、支配符号运算的结构和原理以及符号是怎样用于表达观点和洞察情境的。今天的学生需要学习如何解释现代科技表征的数学，以及如何有效、明智地运用现代科技。
通常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数。建议在小学就包括代数，《原则和标准》有助于计划在中学开设代数课的各种可能。在六至八年级的标准中对代数已有相当重视，并包括比一般初中更多的几何内容，提倡代数和几何的综合。假定到八年级底，已打下了代数的坚实基础，九至十二年级的标准勾画了一个有关代数、几何、数据分析和统计的远大计划，并提倡各观点的综合与关联。
1.理解模式、关系以及函数
将物体分类和排序的早期经验对儿童来说是既自然又有趣的活动。假定“红——蓝——蓝”的模式无限地重复，教师可以帮助孩子观察到“红——蓝——蓝——红——蓝——蓝”接下来仍然是“红——蓝——蓝”的序列，也可帮助学生预测在此序列中的第十二个十蓝。开始，学生可能只是口头上描述模式的规律，而不是用数学符号。到三至五年级，他们开始用变量和代数表达式描述和扩展模式。到中学的最后几年，学生应该得心应手地用函数概念表达关系。
在小学低年级，通过强调模式的后一项是如何由前一项得到的，学生能描述像2、4、6、8这样的模式。在本例中，是通过前一项加2得到此模式的后一项。这就是递归思想的开端，随着年级的升高，学生能够学习用递归来定义和计算序列，像斐波那契序列1,2,3,5,8…..在本例中，后一项是前两项之和。递归序列很自然地出现在多种情境中，可用现代科技帮助研究它们。
从学前教育升到高中的过程中，应帮助学生学习各种函数。在初中，学生应注重线性函数的学习。高中的学生应学习更多种的函数并了解各类函数的特征。
在大学，许多学生把函数仅仅理解为一种规则或公式，就像“给出n,得到2”，在这里n=0,1,2,3.”到了初中，学生应该能够理解表、图、符号等多种函数表征时，他们对函数将会有更全面的理解。
2.用代数符号表征和分析数学情境和结构
从学前教育到高中，学生逐渐形成对数的性质和理解。当儿童隔着2跳着数数时，会发现这些数的末位是0、2、4、6和8，接下来他们会用这种代数观察继续这一模式。在三至五年级，当学生深入学习整数运算的特征时，会发现通过心算1810184会很容易得到1814的积。这样做，他们应用了乘法对加法的分配律。有时，几何解释帮助学生对代数的理解远早于学生能进行复杂的代数符号运算。例如，图3.2可能帮助小学高年级的学生猜想到前几个奇数之和等于n2。初中学生能理解图3.2中的图和1+3+5+7=42是怎样相互联系的。高中学生应该能够用符号表达一般关系，1+3+…..+（2n-1）= n2，同时能证明这种一般表达式的正确性。
研究表明，学生在理解变量概念时有各种困难，因此随着年级的上升加深学生对变量概念的理解是十分重要的。在小学，学生通常把变量看作是具体数的代表，比如＿+2=11。之后，他们应明白方程式3x+2=11中的变量x与恒等式0x0中的变量x在用法上是很不同的。而这两种用法与公式中Ar中的r的用法又不同。深刻地理解变量概念需要很长时间，也需要建立在相当多的经验基础上。10
培养学生的相等观点应是整个课程的重点。小学生所受教育的局限，往往把运算中的等号看作是“做什么”的标志。而实际上他们应把等号看作是均等和平衡的符号。
在初中，应培养学生用心算或笔算进行等式变换和解线性方程的技能。高中时，学生应能熟练地用心算或纸笔进行简单的符号运算，或用计算机代数系统进行各种符号运算。如果学生没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。帮助学生打下有意义的符号运算的基础并非一日之寒，而需要相当长时间。
3.用数学模型表征和理解数量关系
数学最大的用处在于能为多种现象建立数学模型。各种水平的学生应该有机会用适合自己水平的方式为多种现象建立数学模型。小学低年级的学生能用实物、图和符号为涉及整数加减法的情境建模。当儿童们用数数筹码来表示“李燕有4个苹果，蔡祥有5个”时，他们正在获得建模的初步知识。
三至五年级的学生应能用模型进行预测、得出结论或更好地理解涉及数量关系的情境。这样的建模会变得越来越复杂。例如，在求解有关“五味果汁”的问题时，初中学生可能用P(8)J来描述问题中的关系。在这里P表示五味果汁的杯数，J是果汁的杯数。这一3数学模型可用于决定50杯果汁能泡多少杯五味果汁。
应用各种类型的函数知识，高中生应该能够建立模型，例如，决定是线性函数还是二次函数能最佳地模拟一个问题情境，并能分析模型而得出有关问题情境的结论。用配有计算机的实验室(收集一个物体运行的速度和距离的设备，并把数据直接输入计算机以作出图、表和方程)，学生能迅速地从物理实验中得到可靠地数据。现代科技使学生为更广泛的有趣问题情境建模。
4.分析各种情境中的变化关系
理解变化关系是理解函数概念和理解新闻媒体中许多观点的基础。当学生学习导数概念时，他们开始正式地形成微积分中的数学变化关系。研究表明，既使学生学了微积分之后，他们通常对数学变化理解也还比较肤浅。如果从低年级开始就明确地强调变化观点的学习，或许学生会有扎实的基础来学习微积分。学前期至二年级，学生开始能定性地描述变化(“暑假后我长高了”)，接下来是定量地描述变化(去年我长了两英寸)。三至五年级的学生开始能用图和表指出和描述变化关系。例如植物生长的变化特征——开始长得慢，接下来长得越来越快，然后是慢下来。当他们遇到序列时，能区分算术级数增长(2,5,8,11,14,…)和几何级数增长(2,4,8,16,…)。初中学生有了学习线性关系的扎实基础，就应该学习有关斜率是线性函数恒定的变化率。到高中，就要学习变化率不恒定的许多函数。
几何
通过几何学习，学生将掌握几何图形和结构，以及怎样分析他们的特征和关系。空间想象——建立和操纵二维和三维物体的心智表征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。几何很自然地有助于培养学生的思维和推理能力，中学阶段是学习证明的重要阶段。几何建模和空间推理为解释和描述外在环境提供了方法，是解决问题的重要工具。
几何观念在表征和解答其他数学领域中的问题和现实世界的问题时是非常有用的，因此应尽可能把几何和其他数学内容结合起来。几何表征能有助于学生了解面积和分数，直方图和散布图有助于洞察数据代表的信息，解析几何服务于综合代数和几何。空间推理对于阅读地图、路线计划、平面图设计和艺术构思都是很有帮助的。学生能够学会观察周围的几何结构和对称图。应用具体模型、绘画以及动态几何软件，学生主动地参与几何观念的学习。有了精心设计的数学活动、恰当的工具及教师的辅助，小学低年级的学生就能作出有关几何方面的猜想，并探讨猜想的真实性。几何不仅仅只涉及到一些定义，它是一门有关描述关系 11
和进行推理的学科。随着年级的升高，学生的思维由非正式向正式方向发展，在这一方面的认识是和一些理论工作者和研究者的想法一致的。
长时间来，几何一直被当作学校数学课程中学生学习推理和了解公理体系的一门学科。几何标准特别强调用定义和已知事实进行推理和证明能力的培养。现代科技在几何教学中也占有重要地位。像动态几何软件这样的工具使学生能够学习建模，拥有处理大量二维图形的经验。利用现代科技，学生能大量举例以帮助形成和探索猜想，但重要的是他们必须认识到特定现象的大量例子并不是证明。计算机模拟和别的科技设施提供的人机对话，有助于提高学生空间想象能力和推理能力。
1.分析二维和三维几何图形的特点与性质，并具有关于几何关系的数学推理能力
小学生很自然地倾向于观察和描述各种图形，并开始留意他们的性质。能辨认几何图形的形状固然重要，但更应注意图形的特征和他们之间的关系。例如，学前班到二年级的学生可能会注意到矩形有四个直角，所以矩形形状的瓷砖比较容易铺。这个年龄段的学生能通过看、摸和实际操作实物来学习几何图形的形状。后来，对几何图形的特征和性质的学习就变得抽象了。小学高年级的学生能分析、讨论图形的组成部分，比如边和角，以及各类图形的性质。例如，用实物和动态几何软件考察各种矩形，三至五年级的学生能够做出长方形的对角线相等且互相平分这样的猜想。
从初中到高中，当学生学习相似或全等的概念时，他们应学会用演绎推理和较正式的证明方法解决问题、证明猜想。各水平的学生都应能对他们的猜想和解答过程作出令人信服的解释。他们最终应该能够描述、表征和研究一个几何系统内的关系，并逻辑地表述和证明这些关系。他们也应该能够理解定义、公理和定理的作用，并能进行证明。
2.用坐标和其他表征系统表明位置和描述空间关系
开始，儿童学习相对位置的概念，比如前面、后面、附近和之间等等。后来他们能用方格表明物体的位置，测定在纵线或横线上两点间的距离。当他们解答许多代数和几何问题时，会经历到方格坐标平面的用处。在中学阶段，坐标平面能帮助学生发现和分析图形的特征。在初中阶段，用地图上的比例尺或勾股定理(毕达哥拉斯定理)确定平面上两点间的距离是学生学习的重要内容之一。像初中学习的直线、高中学习的三角形和圆等几何图形能够在平面直角坐标系上表征出来，因此建立了代数和几何间的基本联系。
学生应该有机会学习用各种空间的和坐标的方法分析问题和探讨数学。例如，小学时，整数的加法可以在数轴上表示。小学阶段的后期，学生能用数轴表征其他类型数的运算。三至五年级，方格和点阵式能帮助学生理解乘法。其后能考虑更复杂的问题。例如，在试图使一个救护车从社区内的任何位置到一所医院的距离最短时，初中生可能测量沿路的距离。可以让高中生找出两个城市间的最短航空路线，并比较用地图得到的结果和用地球仪得到的结果。他们也许用图论的知识，找到开车旅行几个城市的最短距离。高中学生应能用笛卡尔坐标系解答问题并考证其结果。
3.用变换和对称等原理分析数学模型
儿童在入学时就有了怎样移动一个几何图形的直观感受。用镜子、折纸和按图描绘等方法，学生能探讨像滑动(slides)、翻转(flips)和反射(tucus)等运动。之后，他们有关变换的知识变得正式和系统。三至五年级的学生能够探讨变换的过程，并开始学习用数学术语描述变换过程。用动态的几何软件，他们开始学习确定一个变换所需的条件。例如，如图3.3所示用旋转变换一个图形，学生需要确定旋转的中心、旋转方向及旋转的角度。初中学生应当理解在进行平移(translations)、旋转(rotations)、反射(reflections)等变换时距离不变的意义。高中学生应该学习多种表达变换的方法，包括用矩阵表明图形在坐标平面上是怎样变换的，也可用函数符号表达变换。他们也应对变换的组合所产生的影响有初步的认识。对所有年级的学生来说，适当地学习对称有助于他们更深地了解数学、艺术和美学。
4.用直观、空间推理和几何模型解决问题
从小学低年级开始，学生应该通过体验各种几何实物，通过利用现代科技来转动、缩小和变化二维和三维物体并发展他们的空间想象能力。之后，他们应熟练地分析并画出透视图、数出几何组成部分和描述看不见而只能推断的一些几何特征。当他们的理解全等、相似和变换时，也需要学习如何具体和形象地改变物体的位置、方向和大小。
空间想象能力的一个方面是能在二维、三维图形和它们的表征间转换。小学生能用展开图包积木——通常是用纸做的二维空间，能够折叠成三维的——来学习判断某些展开图是否与实物相匹配。到了初中，他们应能画出和解释物体的俯视图和侧面图。促使学生在只有侧面图和正面图的情形下，建立整个图形的结构，如图3.4所示，从而发展这方面的能力。在三至五年级，学生能够判断是否可以构造多个满足两个条件的图形。可以要求中学生用最少的积木来构造这样的图形。高中学生应能想象和画出不同的立体图和他们的切面图。
度量
度量是用一个数值来表示物体的某一属性，例如铅笔的长度。较复杂的情形是用一个数表明一个情境的属性，例如消费价格指数就是如此。本标准强调学生理解什么是可度量的特征，以及熟悉常用的度量单位和过程。通过学习，特别让学前期至八年级的学生能熟练地在不同情境中运用测量工具、技能和公式。
学习有关度量方面的知识对于学前期至高中各年级的学生都是重要的。因为度量在日常生活的许多方面都有实际运用，而且是普遍存在的。度量的学习更提供了学习和应用其他数学概念的机会，包括数的运算、几何概念、统计概念和函数概念。它突出了数学内部的联系，也强调了数学学科与社会科学、自然科学、艺术和体育等非数学学科的联系。
度量本身特别基于具体的实物。实际上，如果不触摸具体事物，对它们进行比较和用工具进行测量，学生就不可能对有关度量概念有深刻的理解。度量概念应随着年级的升高而加深加宽，课堂教学不应年复一年同样的有关度量的课程内容。当然，度量的学习应侧重在小学和初中，而不是高中。
1.理解物体可度量的属性以及度量单位、系统和过程
一个可度量的属性是物体能够量化的特征。直线段有长度，平面有面积，物体有质量。学生在学习丛学前期至高中的课程过程中，学到的能够度量的属性逐渐增多。意识到物体有可度量的特性是学习度量概念的第一步。学前期至二年级的学生用“更长”和“更短”这样的语言比较并为物体排序，开始学习度量知识。长度是这个年级阶段的重点，但也应学习质量、时间、面积和体积。三至五年级的学生应更系统地学习面积概念，也应学习周长、体积、温度和角度等概念。在这个阶段，学生应认识到可以用公式计算得到所需的度量，而不必总是直接用度量工具去得到。初中学生在先前度量概念学习的基础上继续学习周长、面积和体积，并开始学习像速度这样的衍生度量概念。他们应能熟练地测量角度并理解角度间的关系。高中学生应理解不同单位和标度的使用是否会影响最终的度量结果。不管在什么年级水平，在用工具测量或用公式计算前，学生应该有许多日常生活经验帮助他们理解事物可测量的属性。
随着年级的升高，不仅可测量的属性种类增多，而且对属性间关系的理解也不断加深。小学生应探讨一个物体某些属性的改变如何影响它们的度量。例如，把一个图形剪开并重新拼合，可能改变该图形的周长但不会影响其面积。在初中，这个观念应延伸到探讨长方体的表面积会改变但体积不变的情形。这种观察能让学生大体了解变换中的不变性这一复杂的数学概念。
度量单位的类型和使用应随着学生从学前期到二年级而扩展变化。从学前期至二年级，学生通过用非标准的单位开始学习度量知识。应鼓励学生用多种物体去学习度量，例如用曲别针测长度，方形小块测面积，用纸杯测体积。儿童也应有机会使用厘米、磅、小时这样的 13
标准单位。单位的“标准化”应出现在这一年级段的后期。当学生注意到用一个学生的脚测量教室的长度与另一个学生的脚测量同一教室的长度得到的结果不一样时，学生会意识到单位“标准化”的必要性。这样的经验有助于学生明白标准单位的便利和一致性。当学生从初中升到高中时，他们应学会怎样用标准单位测量表示新的较复杂属性，比如体积和密度。到高中，学生表示抽象属性时应该使用更复杂的度量单位，例如每平方英寸的磅数，每人每天等。
理解表示不同的属性需要不同的度量单位对儿童来说是一个难点。学习怎样选择合适的单位是理解度量概念的一个主要方面。例如，学前期至二年级的学生应知道用一维的度量单位表示长度，但一维的度量单位不适合用于面积的度量。儿童们应理解度量面积应用像方形小块这样的单位。初中学生应知道不能用方形小块来表示体积，而应用三维的单位。各种水平的学生应该能根据问题情境明智地选择度量单位和标度。例如，尽管可以用厘米来测量足球场的长度，但可能难以理解和应用所得的结束。到小学结束时，学生应对单位在度量中的作用有相当的理解。
公制度量系统具有简单和一致的内容结构。每一单位与前一单位总是以10的关系相联：1厘米时1毫米的10倍，1分米时1厘米的10倍，等等。既然惯用的英制度量系统在美国仍相当普遍，学生应该既学习英制，有学习公制。并了解两种度量系统间的大体关系，例如一瓶二升的汽水比半加仑稍多一点。公制和英制度量系统的学习开始于小学，这个年级阶段的学生应能进行多种度量间的简单换算。到初中，学生应很熟练地进行一些换算并掌握一些进行两个度量系统间转换的明显参照物。掌握度量系统有助于学生理解十进制数的一些特征，比如位值。在换算时，学生用到了比例方面的知识。
理解所有的度量都是一个近似值是学生学习的重点和难点。在三至五年级，学生通过测量特定的物体，与其他同学比较所得的结果，观察到许多结果并不一致，从而来发展这一概念。课堂讨论学生们的观察有助于他们学习有关正确性和精确性的观念。初中学生应继续加深对度量是一个近似值的观念的理解。在高中，学生应该认识到计算有关的度量时如何保留恰当的有效数字。
2.应用合适的技能、工具和公式进行度量
度量技能指的是用数数、估计、公式或工具得到度量的策略。度量工具使大多数人进行测量时使用的常用设施，如尺子、卷带尺、容器、秤、钟和秒表。公式是赋值给公式中的变量而得到度量值的一般关系式。
学前期至二年级的学生应掌握各种度量技能，包括数数和估计，并会使用像尺子、秤和钟这样的度量工具。小学和初中阶段的学生应继续学习使用这些技能并学习掌握新的技能。除此之外，他们应能用现有的测量工具，并发现使用新的工具进行较复杂的度量。例如，他们可以用透明的方格纸估计一片树叶的面积。初中学生能用三角形和长方形的面积公式计算梯形面积。高中学生学习的一个重点是逐次逼近，这一概念时微积分概念的先驱。
小学阶段，学生应开始学习探讨面积和周长的计算公式。初中生应该掌握这些计算公式，同时学习像棱柱、圆柱的体积和表面积公式。研究表明，许多小学和初中学生在理解周长和面积概念时有困难。通常，有些学生在用像P=2l+2w及A=l X w这样的公式时，并没有理解公式与度量的属性或单位间的关系。教师必须帮助学生理解公式和实际物体间的联系。高中学生用公式求解问题时，应该意识到度量中的单位和代数表达式中的变量类似，基于这样的认识，学生能够通过单位分析来进行换算和计算。
估计是整个年级阶段的学生所要培养的一种度量技巧。学前期至二年级的估计应集中在帮助儿童更好地理解度量的过程及单位大小的作用。小学生和初中学生应该有很多机会把他们自己和参照物相比作出一些估计。例如，一个学生注意到教师是学生的一倍半高，从而可以估计教师的身高。初中生也应用参照物估计角度，估计像速度这样的衍生度量概念。
最后，三至五年级的学生应该有使用地图的机会并制作简单的比例图。六至八年级的学 14
生应该将对比例的理解扩展到解决涉及比例因素的问题。这些问题能帮助学生理解比例关系和相似性。高中学生应学生更复杂的涉及量标的问题，包括比例变化对问题情境的影响等。他们也应逐渐理解非线性的尺度变化，比如对数尺度，学生也应逐渐理解尺度变化在数据分析和建模中的应用。
数据分析与概率
数据分析与概率标准建议学生能够提出利用数据回答的问题，并了解明智地收集和应用数据中涉及的事宜。学生应该学会怎样收集数据、组织他人和自己收集的数据及用有利于回答问题的图表表示数据。这个标准也包括学习一些分析数据的方法和从数据中推断结论的方法。也包括概率方面的基本概念和应用，强调了概率和统计相互关联的方面。
有助于商业、政治、研究和日常生活中决策的数据和信息量成倍增长。例如，通过对顾客的调查来指导产品的开发和销售，通过民意调查帮助政治家决定竞选的策略，用实验评价新的医疗方法的安全性和有效性。然而，某些统计通常误导公众对某些事物的看法，或错误地表述商业产品的质量和效果。学生应该了解数据分析和有关概率方面的知识作出统计推断——这是一些成为见识广博的公民和明智的消费者所必备的技能。
本标准提出的增加数据分析的课程内容，旨在贯穿所有的年级，而不只是局限于初中和高中。而在很多国家，数据分析的课程内容主要在初中和高中。NCTM1989年的«学校数学课程与评价标准»介绍了各年级阶段的概率统计标准，许多组织也设计了有关概率统计教学的教材和在职培训的计划。在此基础上，本标准建议要大力发展此学科，随着年级的增长，概念和技能也随之加深，以便到高中未有相当的基本统计学知识。掌握统计的基本知识和观点，学生必须有直接处理数据的经验。强调数据处理能使学生随着年级的升高而不断学习新的知识和技能，而不是重复相同的活动和主题。数据和统计这一数学分支使教师和学生能够做出一系列有关数、代数、度量和几何等分支间的重要联系。学习数据分析和概率为学生提供了一种联系数学和其他学科，联系数学和日常生活的自然途径。
除此之外，统计推断过程对学生将来的工作和生活大有益处。儿童在学校里学的一些东西对他们来说好似预先准备好的和有规可循的。在学习数据处理和统计分析时，他们会了解有些问题的答案基于一定程度的不确定性和假设。在概率和统计中涉及的推理过程并不总是那么直截了当，所以如果课程中没有包括，那么学生不一定会有机会发展这方面的推理能力。
1.明确地提出用数据表达的问题并通过收集、组织以及展示相关数据来回答这些问题
因为儿童通常有对他们所生活的世界的好奇性，所以他们常常会问以下的问题：多少个？多少量？哪一种？哪一个？这些问题提供了早期学习数据分析和概率的机会。小孩子善于提出和他们生活经验接近的问题——同学们有什么样的宠物？他们最喜欢的是哪种比萨饼？当升到高年级时，他们提出的所要探索的问题往往和时事以及兴趣有关。例如，六至八年级的学生可能会对回收、自然保护和制造厂家对产品成分质量的声明等感兴趣。他们可能会提出以下问题：自助餐厅是用纸盘好呢还是用塑料盘好呢？哪个牌子的电池寿命比较长？到九至十二年级，学生会提出并研究涉及较复杂现象的问题。
儿童应能够设计简单数据收集的计划来回答他们提出的问题。小学时，教师可以帮助学生明确他们的问题，或提供给他们分数表、点名册，或者提供他们图表用于记录所收集的数据。“数据“可能是实物，例如用条形图(bar graph)排列孩子们的鞋，或者根据不同的兴趣把孩子们排列起来。在小学阶段，学生应该花较多的时间计划如何收集数据和评价他们获取问题信息方法的优劣。在初中，学生应该花较多的世界来分析处理别人收集的或通过模拟得到的数据。到九至十二年级，学生应该理解并明确调查、观察研究和实验的各种目的。
对学前期至二年级的学生来说，一个最基本的思想是数据能够被组织和排序，数据组织和排序后的“图”能够提供有关现象和问题的信息。在三至五年级，学生应发展表示数据的技 15
能，例如用条形图、表或直线图方法。他们也应学会不同的数、符号和点所表达的意思。其中很大的一步是认识到，有些数代表某一数据这一方面的值，而另一些数则代表这些值出现的频率。当学生开始理解表示数据的不同方式时，他们也能比较两组或多组数据。书、报纸、互联网或其他媒体都有很多数据图表，到了小学的高年级，学生应该能阅读和理解这样图表。六至八年级的学生应知道各种表示数据方法的特点，以便作更深入的分析或向听众较清楚地呈现数据。当学生处理较大或较复杂的数据时，他们应能很快地用现代科技重新排序和用图表表示，以便将重点放在分析数据和解释分析的结果上。
2.选择和运用适当的统计方法分析数据
虽然小孩子常常对与自己相关的数据最感兴趣(我家有五口人)，但是把他们的数据放在一起会引起他们对一组数据的注意。这之后，学生应学习把一组数据作为一个整体来描述。尽管这样的转变并不容易，但学生仍可能注意到，像“乘校车上学的学生比乘坐所有其他交通工具上学的学生总数还多”。到三至五年级，学生逐渐开始发展对一组数据作为一个整体的理解。当较大一点的学生开始将一组数据看成一个整体时，他们需要描述这一整体的工具。有关中心趋势的统计量(如平均数、中位数、众数)、离散度的统计量(如全距、标准差)以及数据分布的特性对学生来说都是非常有用的描述方法。小学时，学生的理解建立在非正式的经验基础上，如中间、中心或平衡点。到中学，随着知识程度的加深，学生应能为需要回答的问题选择特定的概要性统计量。
在学校学习期间，学生应掌握有效的统计比较的含义。小学时可能说这一组比另一组的某些特性多一点或少一点。到初中，学生应能应用统计量定量地描述这些差别。从三至五年级开始一直到初中，重点应逐渐从分析和描述一组数据转移到比较两组或更多组的数据上。当他们从初中升到高中，学生需要新的工具来辨别几组数据间的异同性。这些工具可包括：直方图(histograms)、树状图(stem-and-leaf plots)、条形图和散点图。学生也需要工具探讨二元数据间的关联和发展趋势，这包括六至八年级学习的散点图和拟合线以及九至十二年级学习的相关性分析。
3.策划和评价根据数据所进行的推理和预测
随着年级的升高，学生应理解统计分析的中心要素——确定一个恰当的样本，收集所确定样本的数据，描述所确定的样本并对样本和总体做出合理的推论。低年级的学生大都处理人口统计数据，如调查班级中每个学生最喜欢的冰激凌。对这个年级阶段的学生，把一个班看成是一个总体的样本这样的概念还没有形成。小学高年级和初中低年级，学生开始产生统计推断的观念，但这一年龄的学生对深入地理解“抽样”这一概念还有困难。研究表明，五至八年级的学生认为他们根据经验作出的判断比用收集的数据进行判断更可靠。初中后期和高中，学生开始学习样本选择和统计推断等概念，并开始理解一些量化的方法去描述特定的样本怎样影响统计结果。
除此之外，九至十二年级的学生应学会采用模拟的方法学习样本的分布，并作出直观的推断。特别地，他们应该学习基本的检验产品质量的统计方法和技术。中学毕业后的学生应具备判断统计推断的有效性的能力，比如在新闻媒体所出现的统计数据和推断。
4.理解和应用基本的概率概念
概率就其本身而言，是一门学科。但它与其他数学分支密切相关，特别是数论和几何。概率论的思想和概念时收集、描述和解释数据的基础。
从学前期到二年级，有关概率概念的学习是直观的和非正式的。教师应随着学生词汇的增加而引出并明确有关概念，例如，今天下午我们“可能”不上课，或者今天“不太可能”下雨。通过对具体事物的操作、实验，儿童开始理解机会和随机性等概念。例如，从袋子中选择不同颜色的小片。三至五年级的学生通过实验考虑机会的概念，比如用硬币、骰子、转盘等。也可能通过熟悉的不可能事件、可能事件或必然事件学习有关机会的概念。初中学生应学习16
和应用适当的术语，并能计算简单复合事件的概率。例如，当把两个硬币投100次后，两个硬币都是正面的概率是多少。高中学生应能计算复合事件的概率，并理解条件和独立事件。随着年级的升高，学生应能够从一个确定事件概率的问题情境，转向需要取样和仿真模拟才能算出不确定事件的概率的问题情境。
学生遇到的许多现象，特别是在学校遇到的许多现象都有可预测的结果。当投掷一枚硬币时，每一面都有同样的机会出现。在一次特定的投资中出现哪种结果则是不确定的——既使连续十次都出现正面，第十一次投掷只有50%的可能性出现反面这样的事实与许多人的直觉相反。一个随机事件重复多次，其结果的分布是有一定规律的。在一个情境中，单个事件是不能预测的，但其结果的分布是可预测的。这是一个十分重要的概念，这一概念是学习数理统计的基础。
问题解决
问题解决指的是从事一件事，但完成此任务的方法事先并不清楚。为了找到解答方法，学生必须利用他们的知识。在此过程中，通常他们会对数学有新的理解。问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。学生应当有经常不断的机会提出、理解和解决需要努力才能解决的复杂问题，并应该鼓励他们反思他们的解答的思维过程。
通过学习如何解决数学问题，学生应该学会思考的方法、养成坚持不懈和好奇的习惯，使他们有信心面对在数学课堂外遇到的不熟悉的情境。成为好的问题解决者，无论在日常生活还是工作场合都大有益处。
问题解决时数学学习不可分割的一部分，因此不应把其在数学课堂中隔离开来。数学问题解决应参透到五个内容标准的每一个。问题情境可能有所不同，情境可以是涉及学生的日常生活和学校生活的经历，也可以是涉及科学和实际工作的应用。好的问题会把不同的数学内容联结起来，并涉及到重要的数学概念。
1.通过解决问题掌握新的数学知识
通过解决问题如何帮助学生学习数学呢？好的问题让学生有机会巩固和加深他们所学的知识。如果问题选择得当，能促进学生的数学学习。对小孩子来说，我们应该用来源于他们生活的问题来引入大多数要学的数学概念。例如，假定二年级学生想要知道在四个二年级的班中是男生多还是女生多。为了解答这一问题，他们需要学习怎样收集信息、记录数据及正确地计算出几个数的和。初中阶段，给学生几个调五味果汁的配方，这些配方需要不同量的水和果汁，让学生决定哪一种配方更有“水果味”，通过这样的探索、讨论，来引入比例概念。因为没有两种配方会产生同样多的果汁，这个问题对那些不理解比例概念的学生来说是较难的。有了这一好的问题以及教师的指导，尝试多种解题方法，学生最终能用比例来解答这一问题。在高中，许多课程内容能通过数学问题和应用数学的情境来引入。
问题解决能够而且应该用来帮助学生熟练掌握一些特殊的技能，例如，考虑下面来自NCTM1989年的《学校数学课程和评价标准》的问题。
我口袋里有一些一分的、一角的和五分的硬币。如果我从口袋里随意取出三个，我可能取出了多少钱？
解答此题所需知识包括各硬币的值和有关对加法的理解。做这样的题能很好地练习加法技巧。但解决此问题最重要的目的是帮助学生系统地考虑各种可能性并组织和记录他们的思维过程。实现这样的目标没有必要等到学生能够熟练地做加法才考虑。
教师在选择好的、有价值的数学问题上，起着至关重要的作用。通过分析和采用数学问题、预计解答这一数学问题所能学习的数学概念及预计学生可能遇到的困难，教师能决定是否所选的问题能帮助全班学生进一步达到教学目的。有许许多多有趣的数学问题，但它们并不是对全班学生学习重要的数学概念都有益。明智地选择、利用和改写教材中的数学问题是数学教学中的难点。
2.解决在数学及其他情境中出现的问题
能从数学的角度看待世界的人，被说成是有“数学情趣”的人。好的数学问题解决者很自然地用数学术语认真地分析情境，并根据他们所观察到的情境提出问题。在尝试解答较复杂的问题前，他们先考虑简单的情形，然后再做较精细的分析。例如，给出了两家救护公司的数据，问初中学生，哪家公司更可靠。如果只是根据顾客等的平均时间长短来解答此问题那是不正确的。较仔细地分析在白天的不同时间段各公司让顾客等待的时间，可能得出不同的答案。在这个问题中，更仔细地分析才会有对情境更全面的理解并得出正确答案。在整个学习阶段，问一些能帮助学生发现周围世界中的数学的问题，鼓励学生坚持不懈地做有趣但富挑战性的问题，教师能帮助学生形成这种对数学的情感。
对年幼的儿童来说，提出一些问题是很自然的事。例如，我想知道要花多久才能数到一百万？用多少易拉罐才能装满学校的大楼？通过帮助学生解决从他们的周围世界中提出数学问题，教师和父母能够培养他们对数学的爱好。在发展学生问题解决的情感方面，教师起着很重要的作用。从学前期开始，教师就应创造和保持课堂环境，以鼓励学生探索、敢于冒险、共同分享失败与成功、彼此提问。在那样的环境支持下，学生能够发展他们对自己探索问题能力的自信，乐意去探索、解决问题，他们更有可能提出问题，并坚持不懈地去探索数学问题。
3.采用各种恰当的策略解决问题
有关数学问题解决策略的许多描述中，最著名的事波利亚的工作。经常被引用的策略包括用图表、寻找规律、列出所有的可能性、尝试特殊值或特殊的个案、后推法、尝试错误法、考察一个类似问题和考察一个较简单的问题。一个明显的问题是，我们应该怎样教这些解题策略。应该在教学中给予明确的注意吗？应怎样将它们综合到数学课程中？有了其他数学问题解决的必备工具，如果我们希望学生掌握解题策略，在教学中必须明显的注意这些策略。在低年级，教师可以帮助学生表达、分类和比较他们的解题策略。使用各种解题策略的机会必须很自然地渗透到各课程内容中。等学生到初中时，他们应能很熟练地认识到不同的策略在何处使用最恰当，应能决定何时及怎样使用他们。到高中，学生应有机会接触到更多的解题策略，能够决定用哪一种最恰当，能够采用和发明新的解题策略。
年幼的儿童最早的数学经验来自问题解决。当学生遇到越来越多不同的问题时，他们需要使用不同的策略。有需要时，学生必须能想到这些策略。当在课堂教学中学着用这些策略解题时，教师应鼓励学生把这些策略记录下来。例如，当一个学生讲了一个解答方法及如何得到的时候，教师会说：“听起来好像你在解题中有组织地列出了各种可能性，有没有人用别的方法解？”以此来突出和认同所用到的解题策略。这样的讨论有助于学生发展常用词汇和表征方法，以及让其他学生理解第一个学生的解答过程。这样的讨论也表明没有解题策略是一次就学会的，也没有解答策略适用于所有的问题情境。而是，掌握解题策略需要很长一段时间，可能有些策略只适用于一些特殊的问题情境，当一些解题策略用于解答越来越复杂的问题时，这些策略也变得更加精炼、详尽和灵活。
4.检验和反思数学问题解决的过程
有效的问题解决者经常不断地监控和调整他们的解题思路。他们必须确信他们理解了问题。如果一个问题是写在纸上的，他们会认真阅读；如果只是口头上告诉他们问题，他们会问问题直到理解题意为止。有效的问题解决者经常不断地进行计划，他们时时估计进展情况来看是否在正确的轨道上。如果没有进展，他们就会停下来考虑其他的方法，而且毫不犹豫地采用完全不同的方法。研究表明，学生解题失败通常并不是因为缺少数学知识，而是因为没有有效地利用他们的知识。
好的问题解决者遇到和解决问题时，知道他们在做什么并不断地检验、自我评估他们的进展情况并调整他们的解题策略。那样的反思能力（称做元认知）更适于在有利于其发展的 18
课堂情境中发展。教师在促进这样的思维习惯中起着很重要的作用。教师会问下面的问题，比如“在继续以前，我们肯定理解问题了吗？”“我们有什么选择？”“我们有一个计划吗？”“我们有进展吗？或者我们应该重新考虑我们的解答过程？”“为什么我们认为这是正确的？”这些问题有助于学生在学习时形成检验他们是否理解的习惯。这种习惯应在小学的低年级就开始训练。当教师保持课堂教学情境使学生通过反思检验他们的理解时，他们很可能学会承担反思自己学习的责任，并在解决问题中作出必要的调整。
推理与证明
数学推理与证明提供了行之有效的方法，探索和表达不同现象的内在关系。善于分析和推理的人们，倾向于注意现实世界和符号情境中的模式、结构或规律。他们会思考那样的模式是偶然出现的还是必然的，并为此做出了猜想并证明。归根到底，数学证明是一种表达特定推理过程的严谨的方法。
能进行推理是理解数学的关键。在各年级水平、各数学内容范围内、探索现象、验证结果、做出数学猜想，使学生明白数学的意义和合理性。当然对不同年级水平学生的要求可能不同。基于学生在入学前就拥有的推理技能，教师应帮助学生学习数学推理所涉及的过程和知识。到中学毕业时，学生应该能够理解和进行数学证明———一系列基于假设的，通过逻辑严密的演绎推理而得到结论的过程，并能欣赏此推理过程的价值。
不能简单地想要在所谓的逻辑这样一个课程单元里，教会学生推理和证明。比如，不能只仅仅在几何的所谓“证明”但愿里教推理和证明。即使对大学本科学生，证明也是学习难点。也许因为学生只有在高中的几何课上才有惟一的机会做证明，因此他们对证明的看法很有限，以致在中学以后的学习中进行证明仍有很大的困难。推理和证明应是学前期至十二年级的学生所应不断学习的数学的一部分。数学推理是一种思维习惯，像所有其他习惯一样，必须在各种情况下经常运用才能发展。
1.认识到推理和证明是数学的基础
从而儿童最早期的数学学习，就应帮助他们理解需要根据理由得出结论。这样做事十分重要。“你们为什么认为那是正确的？”“有人有不同的答案吗？为什么如此想？”问这样的问题可以帮助学生明白需要证据维持或推翻所做的判断。小孩子往往倾向于用他人作为证据的来源(“我姐姐那样告诉我的”)，有时甚至用投票的方式决定最好的解释。但学生必需懂得在数学课堂中什么是可以接受的、恰当的推理。这是理解数学推理要依据明确的假设和逻辑规则的第一步。
数学的优点在于，当有趣的结果出现时，通常是基于合理的推理。学生学习数学应懂得这一点。例如，考虑下面这一通常包括在数学娱乐书中的魔术题。
写下你的年龄，加上5，所得的结果乘2，再在结果上加10，把结果再乘5.告诉我所得的结果，我就能说出你的年龄。
找到答案的步骤是：去掉所得结果末位的0，再减去10，所得的结果就是此人的年龄。为什么这样做后能算出一个人的年龄？各位年级水平的学生都能探索和解释这样的问题。
有步骤地逻辑推理是数学的一个明显的特征。在不同的内容中都涉及到推理，但严谨性的要求在不同的年级则不同。例如，一年级学生能注意到偶数和奇数交替出现。三年级的学生能猜测并证明---也许用非正式的折纸方法，正方形的对角线相互垂直。当投掷1-6数字的两个骰子时，初中学生应能决定朝上的两数乘积是奇数或偶数的可能性。高中学生可能要求他们在变量的线性变换下考虑相关系数的变化。
2.提出并探讨数学猜想
学习和做数学与发现有关。猜想---明智的猜想，是发现的主要途径。教师和研究人员发现，小学生就能学习提出、修正和检验猜想。教师在早期的教学中，就可以通过问一下问题帮助学生猜想。你们认为下一步会出现什么？有什么规律？这一结论永远成立吗？还是只是 19
有时候成立？简单地变换数学问题提出的方式，也能帮助学生作出猜想。例如，教师不是说“证明一组数都乘2时，这组数的平均值会变化吗？如何变化？为什么？”可以让高中学生用动态的几何软件观察和猜测，联结一个平行四边形邻边中点所产生的图形形状，并设法证明他们的猜想。要建立假设，学生需要各种机会和丰富的、引人入胜的情境来帮助他们学习。
儿童会用他们自己的语言来表达猜想、描述思路，并往往用直观材料和实例来探讨猜想。各年级水平的学生应该学习用直观材料、计算机器和其他工具探索他们的猜想。随着年级的升高，在考察猜想时应该更多地使用书写表征和符号。他们也应该学习一别的同学合作提出和探索猜想，并倾听和理解同学们提出的猜想与解释。
教师可以帮助学生重新审查在一种情境下成立的假设，是否在新的情境仍然成立。例如，一般的想法是“乘积往往比乘数大”，这对于正在学习比1大的整数的儿童来说是非常正确的。但当他们转向学习分数时，需要重新考察此假设。在证明猜想或用反例推翻猜想时，学生并不总是具有必需的数学知识和工具。例如，高中学生在有绘图功能的计算器帮助下，他们会相信如果一个多项函数有一个大于0的值和一个小于0的值，那么此函数图像定会经过x轴的某处。教师可以指出，严格的论证，已经超出了大多数高中学生的知识范围俄。
3.发展和评价数学推理和证明
在做出和考察猜想的同时，学生应该学习回答一下=问题：为什么有这样的结论呢？小学低年级的学生倾向于用特例证明一般的结论。例如，学生可能将奇数9表示成图3.5所示的情况,并指出”一个奇数是有一个剩余这样的数”.学生随后可能推断出这样的结论:任何奇数都有一个“多余”的单位。因此把两个奇数相加时，两个“多余”的单位成为一对，变成一个偶数，没有“多余”。到小学高年级，证明应该更一般化，并建立在其他数学结果之上。用全等图形面积相等的事实，五年级学生会得到以下的结论：一个三角形和矩形的面积相等因为他们都是两个全等矩形的一半。对高中学生来说，应要求他们写出相互复杂关联的一系列推理，并说明数学依据。为了帮助学生发展和证明更具一般性的猜想或推翻猜想，教师可以问学生：“这总是成立吗？是有时成立？还是从来不成立？为什么？”这种向更一般情形的推广需要较深的数学知识，这种较深的数学知识应随着年级的升高而逐渐掌握。
学生能够通过在课堂上讨论别的学生得出的结论来学习推理。如果一个数能被6和4除，那么它就能被6和4除，但不能被24除。高中学生也许能证明一个与素数有关的猜想，或者学生能够探索上面的逆命题是否成立。不管在何种情况下，学生提供的既合理却又有缺陷的推理为课堂讨论提供了良机。随着年级的升高，学生会将自己的推理思路与别的学生的推理思路相比较，这将有助于他们修正、巩固或加强他们的推理。在课堂上鼓励学生表达思路、评价他人的思考过程，这样的课堂环境有助于学生学习数学推理。
年幼的儿童会用自己的语言，口头地或用实物来表达他们的推理过程。通过向小组、同学或班级以外的其他人表达他们的思维过程，学生能够学习较清楚也陈述他们的推理。高中学生应能数学家所能接受的书面形式表达数学推理。不管是用文字描述推理过程，用“列式证明方法”，还是直观的证明方法，这种数学证明的特定格式并不重要，重要的在于学生能用适合于他们年级水平的方法将数学思想和推理过程清楚地，正确地表达出来。
4.选择和运用不同的推理和证明方法
低年级的学生在课堂上学习和应用的推理与数学家的逻辑推理相比较，则不正规。在数学过程中，教师在帮助学生学习掌握证明的一般形式的同时，应该扩大学生能接受的推理类型和方法，比如代数和几何推理、比例推理、概率推理和统计推理等等。随着课程内容的加深，学生也应越来越训练地运用各种形式的证明。
应鼓励儿童在他们已知的基础上进行推理。一个小孩子解答6+7的问题时，先计算6+6，然后再加1，是用了同数相加、再加1和加法结合律的知识。应教导学生怎样清楚明白地应用知识进行数学推理。
儿童早期的证明是用尝试错误法，或者不系统的尝试多种情况。在教师的指导下有许多几何探讨证明和推理经验后，小学高年级的学生能系统地探索各种可能性，认识到他们是否已经考虑了各种可能，以及用所有的个案来进行推理。一项研究报告了一个五年级的学生通过列举所有个案相当好地证明了图3.6的问题。儿童也能用反证法。一个一年级的学生根据他对整数规律的了解，得出0是偶数。“如果0是奇数，那么0和1 是两个连续的奇数，奇数与偶数是交替出现的，因此0一定是偶数。”在小学，学生就开始学习用举反例来推翻猜想。所有水平的学生都应能从模式和具体例子中进行归纳推理。所有水平的学生都应能从模式和具体例子中进行归纳推理。随着年级的升高，他们根据课堂上学到的知识进行有效的演绎和推理。
交流
交流是数学和数学教育中很关键的一部分，是分享观点和澄清理解的一种方式。通过交流可以反思、精炼、讨论和修正数学观点。交流也有助于理解观点的意义，使之记忆深刻并公开华山。学生在进行数学思维和推理，并口头或书面地与他人交流结果时，他们正在学习如何使他们的思维和推理更清晰、更令人信服。倾听别人的解释，让学生有机会发展自己的理解。从多种角度探讨数学思想的交谈，有助于参与者改进他们的思路并做出有机的联系。参与为自己的解答过程辩护的讨论，特别在答案不一致的情况下，学生说服持不同观点的同伴的同时，也加深了自己对数学的理解。这样的讨论也有助于学生发展表达数学思维的语言，并知道是用精确语言的必要性。为学生提供机会，鼓励并帮助他们在数学课堂上说、写、读、听有双重好处：用交流学习数学，学会用数学交流、因为数学通常是用符号表达，数学思想的口头和书面交流并不被认为是数学教育的重要组成部分。学生并不天生就会谈论数学，教师需要帮助他们学会如何谈论数学。随着年级的升高，他们交流的数学会更复杂、更抽象。学生交流的工具和方法，以及有助于交流的数学推理应越来越精深。教师的帮助是至关重要的。为了使本族语不是英语的学生在充满数学交流的课堂上获益，他们需要额外的帮助。如果课堂教学活动安排得当，即使本族语不是英语的学生也能充分参与课堂的讨论。
学生应该参与有价值的数学课堂的讨论。有完善的算法的计算问题一般不适合作为进行这样讨论的数学问题。那些有趣的、能帮助学生到数学的“某处”的数学问题通常可以成为热烈讨论的催化剂。现代科技是另一种促进交流的基础。当学生用计算器或计算机考察数学或别的关系时，他们会利用来自计算器或计算机的共同参照点（通常是很容易修正的）讨论有关的数学思想。
1.通过交流组织和巩固他们的数学思维
当学生报告他们的解题方法时，当他们想同学或老师解释他们的推理时，当他们明确地提出对他们来说有点模糊不清的问题时，他们会对自己的思维有较清楚的了解。当学生探讨一个问题情况，用图表示、使用实物、口头描述和解释、用表格、文字和数学符号进行数学交流时，有助于学生学习新的数学概念。在交流中可以发现并改正数学上的错误。一个附带的益处是提醒学生与教师一起为课堂中学习负责。
反思和交流是数学学习中不可分割的两个过程。有了教师明确的注意和安排，以反思为目的的交流很自然地会成为数学学习的一部分。例如，低年级的学生能学习怎样解释他们的答案和描述他们的策略。通过要求学生“出声思维”以及教师或同学提出激发思维的问题，能促进学生重新考察推理过程。在经验的基础上，学生会熟练地记录他们的思维。
数学中的写作也能帮助学生巩固他们的思维，因为这需要他们对解答过程的反思和搞清楚在课堂上形式的对数学概念的认识。以后，他们也许发现重读自己思维过程的书面记录是有帮助的。
2.清楚连贯地与同伴、教师或其他人交流他们的数学思维
要使一个数学结论被认为是正确的，所做的证明必须被数学家们接受。在数学课堂上，学生需要有机会根据共同接受的数学结论和知识来检验他们的观点。看他们的观点是否能被别人理解，是否有足够的说服力。当这些观点被公众讨论和理解时，学生能从参予此讨论中受益，教师也能据此考察学生的学习。让学生知道什么是数学中可用作证据的知识，是学前期至十二年级的一个教学目标。
为了有效地辅助课堂讨论，教师必须建立一个课堂情境让学生在其中能自由地发表自己的观点。为了能清晰地表达各自的数学观点使得他人能理解，低年级的学生需要教师的帮助。对低年级的学生来说，学会从他人的角度看事物是一种挑战。三至五年级，学生应逐渐地增加责任感，积极参加班级讨论并直接进行相互间的交流。学生应越来越善于倾听、理解、询问和解释他人的观点。对有些学生来说，参与课堂讨论并非易事。例如，初中学生通常不愿在小组讨论中出头露面。尽管如此，教师仍能成功地创设能进行丰富交流的课堂情境。当学生高中毕业时，他们应该已经掌握了对话和辩论的标准，以使他们能清楚、完整地表达观点，并在必要时进行补充，完成讨论。通过举例说明和小心地提出问题，能够帮助学生明白适合于他们年龄段的、对数学交流方面的要求。
同样书面交流也应进行培养。学生入学时几乎没有写作技能。小学时，学生可能依赖像画画这样的方式进行交流。逐渐地，他们会写单词和句子。三至五年级的学生能够把一些想法串联起来并增加细节，同时他们的写作变得较完整。到了初中，他们应较明确地根据读者的情况和交流的目的来进行写作。在有些情况下，学生可以用日常用语和不十分精确的语言来大概地描述他们的思维。但是从初中到高中，学生应学会用较正式的数学表达方式和大家都能接受的数学术语来进行交流。到高中末，学生应能用规范的数学语言和符号书写组织完整的数学推理过程。
对不同年级的学生来说，考察和讨论范例及有问题的数学写作是非常有益的。正因为对学生数学知识的书面评估已越来越普遍，学生也应有机会练习如何回答典型的评估问题。学习用数学写作同学习用别的方式写作是类似的。有指导的练习是非常重要的。对数学具体细节的注意，包括数学语言和表征方法的具体含义和应用以及解释和证明的标准，也是非常重要的。
当学生练习交流时，他们应能越来越清晰连贯地表达自己的思维。他们更应掌握和理解，传统的、大家公认的数学推理的表达方式。随着年龄的升高，他们对数学的讨论也应逐渐完善，并应根据课堂上大家一致认可的知识来进行。随着时间的推移，当学生在数学课堂上解释他们的观点是，应越来越考虑听众的因素，对听众有问必答。学生应考虑他们的介绍是否令人信服，以及他人是否能理解。当学生渐趋成熟，他们的交流也应越来越多地反映出他么解释结果和步骤的方法。在低年级，提供经验性的证据或用几个实例说明就够了。之后，应要求学生能依据先前接受的事实进行简短的演绎推理。在初中和高中，数学解释应更加逻辑严密，应不断地用数学特性来支持他们的推理。
3.分析和评价他人的数学思维和策略
在和其他学生同伴研究问题的过程中，学生会得到几个好处。通常，一个学生已有了对问题的一种看法，该学生能从另一个学生对问题的不同看法中获益。例如，当学生试图用代数方法节下面的题，列出方程有困难时，他们会从直观方法解题的学生的观点中获益。
有一些兔子和笼子，如果每个笼子只放一只兔子，那么剩一只兔子没笼子放。如果一个笼子放两只兔子，剩一个笼子空着，问有多少兔子和笼子？
对学生来说，学会考虑、评价和基于其他同学的思维继续思考并非易事，特别当他们的同学也正在形成他们对问题的理解时，更是如此。儿童能相互分享和分析各自解题策略的一个好的环境是在解答算术题中，学生讨论和评论他们发明的策略(invented stratesies)。学生也必须学会相互提问和挑战各自的想法，以便搞清楚还没有完全形成的观点。进一步来说，22
因为各个方法并不相同，学生必须学习如何考察他人的方法和观点并决定各方法的长处和缺陷。通过认真地倾听和思考他人的观点，学生能学会成为一个能进行批判性数学思维的人。
4.用数学语言精确地表达数学观点
低年级的学生开始时用日常熟悉的语言表达对数学的理解，这为建立与规范的数学语言间的联系打下了基础。教师可以帮助学生意识到日常语言中用到的词语，如“相似、因子、区域(area)或函数”，在数学中有不同的或更精确的含义。这种观察是理解数学定义、概念的基础。给学生机会并帮助他们理解数学语言的作用和精确性，是十分重要的。从初中阶段开始，学生就应理解数学定义的作用并在数学学习和解题中应用。高中阶段应更加不断地这样做。然而，应当避免过早地使用形式化的数学语言。学生需要时间逐渐得意识到精确数学定义的需要。为了欣赏形式的数学语言在交流中的作用，学生应开始学着用自己的语言进行交流。给学生机会掌握他们的观点并形成自己不正规的表达方式，是促使学生投入和发展拥有感的有效途径。
现代科技为语言的发展和分析提供了不寻常的机会和挑战。电子表单中使用的符号可能与数学中常用的代数符号相关，当并不相同。通过比较常规的数学表达式和常用工具，如电子表单或计算器中用到的表达方式，学生会从此经验中受益。
关联
当学生能将数学观点联系在一起时，他们的理解会深刻并且牢固。他们会从中发现数学内容间的不可分割的联系、数学和其他学科的关联以及从自己的兴趣和体验中发现数学中的联系。通过教学，强调数学观念间的相互关联，不仅能使学生从中学习数学，而且了解数学的应用性。
数学并不是互不关联的科目和固定不变的简单综合，尽管人们通常用此种方式划分和介绍。数学是一个综合的学科。把数学看成一个不可分割的整体强调的是学习和研究学科内在联系的需要，这可反映在特定年级的课程内部联系和各年级之间课程的联系。为了在教学中突出相互间的联系，教师必须了解学生的需要及学生在前面年级已学的数学和在后面年级将要学的数学知识。正像在学习原则中强调的那样，理解涉及到建立联系。教师应根据学生先前的经验学习新内容，而不是简单的重复已学的内容。采用这种方法，要求学生学好已学的知识内容并利用这些知识去理解掌握新的知识内容。
1.认识到并应用数学观念间的相互联系
通过强调数学中的联系，教师能帮助学生形成应用联系解答数学问题的态度，而不是把数学看成是一些互不关联的概念和技能。例如，教师可以通过问以下的问题促进学生形成把数学看成是相互关联的态度：“我们今天学的相似三角形和上星期讨论的比例尺有何关系？”教师应明白地告诉学生数学的相关性何在。
数学是相互关联的观念，应渗透到各年级水平的数学学习中。儿童入学时所具有的数学经验并无类别之分，这种在多种情境中的综合性数学应在入学后的教学中继续保持下去。学生能够学会分辨所唱歌曲中节奏的数学规律，能分辨蜂房中的六边形，并数出他们跳绳时成功的次数。当学生升到三至五年级时，他们的数学活动应扩展到较抽象的情境中。他们开始明白算术运算中的联系，比如把乘法看成是重复的加法。当他们明白怎样在不同的情境下运用数学运算时，他们就会欣赏数学中的抽象和概括。六至八年级的学生应把数学看成是一门包含观点相互关联的学科。初中的重点数学内容本身就是相互关联的。有关有理数、比例和线性关系贯穿于许多数学和日常生活活动中。九至十二年级的学生不仅想到会有某种联系，而且能充分地利用这些联系，把从一种情境解决问题获得的知识应用于解答另一情境中，的问题。
从学前期到12年级，学生应经常问自己：“这一问题或这一内容和我已经学过的有何类似呢？”从相关的角度，新知识是已学知识的推广或扩展。学生用已学的知识处理新情境 23
下产生的问题。小学生把整数的减法知识与小数或分数的减法联系起来。初中学生能认识到并将同一数学概念的多种表征联系起来，比如表示变化率的比率和直线斜率间的关系。高中学生应能将代数和几何中的观念联系起来。
有些数学问题在表明数学中的联系时特别有效。例如，通过收集和考察圆形物的周长和直径，能够定量地研究圆的直径和周长间的关系。初中学生可能会收集和用图表示有关周长（C）和直径（d）两个变量的数据，这样，他们会发现所有的店都很接近一条过（0,0）的直线，这表明C/d的比值是一个常数。通过这样的问题，C/d的平均比值是在3.1和3.2之间——π的一个大体的近似值。这样的问题涉及到了测量、数据分析、几何、代数和数方面的知识。
2.理解数学观念是如何相互关联和相互依赖而形成一个连贯的整体
当学生不断地接受学校的数学教育，他们看待表面上不同的同一数学结构的能力也相应提高。学前期至二年级的学生会认出数数、数和图形中的相同结构的例子；小学高年级学生能找出算术运算中相同结构的例子；初中学生能发现有理数、比例和线性关系间相同结构的例子。高中学生应有充分地准备发现他们遇到的许多数学观念间的联系。例如，如图3.7上方所示，计算正棱台的体积可以和下图计算梯形面积的方法相类比。
小三角形的面积=大三角形的面积=
1ax 21(x+h)211111梯形的面积=b(x+h)-ax=bx+bh-ax
22222根据三角形的相似性
xa= xhbbx=a(x+h)梯形的面积=
1111a(x+h)+ bh-ax=h(a+b)2222当学生形成了数学是相互关联的整体的观念之后，他们把数学知识和技能分别对待的可能性就小。如果概念性知识和程序性知识是相互关联的话，那么学生就不会只把数学看成是一堆公式。在学校数学课程中，程序性知识和概念性知识的有机结合是十分关键的。
3.认识到并能应用数学于数学以外的情境中
各种水平的数学学习，应包括有机会解决在数学以外的情境中产生的问题。既可与其他学科建立联系，又可与学生的日常生活相联系。学前期至二年级的学生，主要通过与现实世界的联系来学习数学。3-5年级的学生应学习怎样将重要的数学知识应用于其他学科领域。这样的重要数学知识在6-8年级会增多，9-12年级的学生应信心十足地用数学解释外部世界的复杂现象和应用。
给学生机会来体验一个情境中的数学是十分重要的。数学被广泛应用于自然科学、社会科学、医学和商业中。数学和自然科学的联系，不仅通过涉及的内容，而且还通过涉及的过程。自然科学的内容和过程可以促使一种适用于数学研究的解决问题方式的诞生。在 《全美自然科学教育标准》中，面熟了一项长达一年的有关小学生从事天气方面的科学活动。这项活动和数学的联系是相当多的，学生设计了测量天气状况的仪器并计划怎样组织和交流数据。
在下面的这个事件中，高中十一年级的学生为CVS连锁店在波士顿附近寻找开设一个新药店的位置。
尽管学生很明白该公司作出决定在哪儿投资开店并不仅仅依靠他们的计算，但是学生仍感到他们正在参与一个实际问题……学生们分成小组，各小组有来自CVS公司不同部门的专家参与。他们分析环境和经济方面的数据来决定不同地区对CVS药店的市场需求。学生也和CVS的员工一起挑选评估开设新店的可能地点……学生与建筑师们一起进行新店的设计，和会计一起作财务方面的计划。
这个活动把学生的数学课和人文学的课结合起来。学生看到了数学与商业和其他学科的联系。当他们应用不同领域的知识时，也看到了数学内在的联系。
数据分析和统计有益于学生明白现实生活中的问题。学前期至二年级的学生在做与日历有关的活动时，可以通过记录下雨、多云和晴天来收集天气的数据。他们能记录数据、数天数，概括天气状况并为将来的天气做预测。3-5年级的学生能用互联网与别的班级的学生合作一起收集和分析有关酸雨、森林砍伐和其他现象的数据。到9-12年级，学生应能用它们数据分析和数学建模方面的知识，以适当的深度理解社会问题和工作场合的问题。
表征
表征数学知识的方式，对于人们如何理解和应用这些知识来说是至关重要的。可以想象，用罗马计数法（对那些没有太多机会使用的人来说）做乘法比用阿拉伯实际值计数法要困难得多。现在许多想当然认为正确的数学表征——像用十进制和二进制表示的书、分数、代数表达式和方程、图像和电子表单显示等，都是许多年文化积淀过程的结果。一旦学生理解了这些数学表征和它们所表现的数学思想，他们就获得了一套能有效地扩展数学思维的工具。
术语“表征”既指过程又指结果。换句话说，是指用某种形式表达数学概念或关系的行为，也指形式本身。图3.8是五岁的孩子表达她年龄的一种表征。f(x)=x3的图像也是一种表征。在人们从事数学活动的头脑中，表征这一术语既可用于外部可观察到的过程和结果，又可用于内部不能观察到的过程和结果。在学校数学教育中，所有这些有关表征的含义都是重要的。
有些表征形式，如图、图像显示、符号表达式，一直是学校数学的一部分。不幸的是，人们在教学和学习过程中，把这些和其他的表征认作为教学的终极结果。在帮助学生理解数学概念和关系时，在交流数学方法、推理及理解自己和他人的观点时，在学习数学概念间的相互关系时，以及在通过建模把数学应用到现实问题情境中去时，都应把表征作为一个关键因素来对待。与现代电子技术相关的新的表征方式要求在教学中更注意表征的应用。
1.创造和利用各种数学表征来组织、记录和交流数学观念
学生应明白数学观点的书面表达是学习和从事数学活动的一个关键部分。教师教学的重点应是鼓励学生用对他们自己有意义的形式表征他们的数学观念，即使学生最初的表征并不是通用的形式。学习用通用的、大家都接受的表征方式无论对提高学生的数学学习还是加强学生与他人进行数学观点的交流，都是十分重要的。
现有的许多表征是十分有效的工具。这一事实掩盖了形成这些表征的困难程度，更重要的是，它也使人看不清楚这需要多少心血才能理解它们。例如，十进制数对年幼的儿童来说是一个难点，课程应提供机会使学生把对数数的理解和十进制数的表征方式联系起来。但是，当学生随着年级升高而学习较深的课程时，应把重点逐渐地放在表征数学上。或许可以假定，不像较年幼的儿童一样，大一点的、能用较形式的方式进行数学思维的学生，不需要在对数学幼稚的理解和数学的形式化之间徘徊。然而研究表明，各种水平的学生都需要帮助，以达到能理解用通用方式表达的复杂数学观念。看起来像变量x这样简单的表征，却对许多学生来说有理解上的困难。
学生在解答问题和深入学习数学观点时建立的具有个人特色的表征，在帮助学生理解和解答问题、提供有意义的方式表达解题方法和向他人描述其解答方法时，都起着十分重要的作用。通过考察他们所用的表征，教师能深入了解学生解释和思考数学的方式。在适当的 25
时候，教学可以为学生个人的表征和更通用的表征间搭桥铺路。学生不仅有学习通用表征方法的机会，而且有机会构造、提炼和利用自己的表征作为工具促进学习和从事教学活动。
在初中阶段以前，学生的数学表征通常是有关来自直接经验的物体和行为。小学生可能用具体事物来表示一个故事中四轮车的车轮数或萤火虫的数目。他们可能用十进制记数块表示较大数目的实物。在初中，学生应开始创造和使用较抽象物体的数学表征，比如有理数、比或线性关系。高中学生则应能够使用通用的数学表征，作为表达和理解更抽象数学概念的主要方式。通过表征，学生应能够观察到在很不相同的情境中的数学现象有着共同的结构。
表征有助于学生组织思维。学生对表征的应用，有助于他们对数学概念的认识更具体，有需要时更适合于反思。例如，低年级的学生利用表征提供给教师和同伴有关他们在理解数学中所做的努力。初中学生应更经常地利用表征解决问题，或描述、阐明和推广一个数学概念。例如，在一个天气的实验中，在一段较长的时间内他们重点收集大量的数据，用电子表单和相关的图组织和呈现数据。他们可以代数地表征一个现实世界后总的关系。（例如，表示长、宽分别为m和n的长方形游泳池的四周所需瓷砖的数目，其中m,n是整数。见图3.9。）学生开始认识到，表面上不同的符号表征能描述同样的现象。例如，长、宽分别为m和n的游泳池边界上瓷砖的数目，能表示为2n+2m+4或2（m+2）+2n。计算机和计算器改变了学生用通用的传统表征方式所能做的事，也扩展了他们能用的表征方式。例如，学生用绘图工具或动态几何软件对图形进行翻转、倒置、拉长或放大。他们能用计算机代数系统进行代数表达式的运算，并用电子表单探讨复杂的数据。当学生学习使用这些全新的、多功能的工具时，他们会认识到用现代科技产生的表征与通用的传统表征有所不同。例如，计算机中的科学记数法与课本中讲的科学记数法就不一致。计算机代数系统中的代数表达式可能和课本上讲的代数表达式在形式上有所不同。
2.选择、应用和互换各种数学表征方法解决问题
不同的表征通常说明一个复杂概念或关系的不同方面。例如，学生学习分数时，通常是把分数表示为一个圆的几个扇形部分、一个长方形或其他图形的几部分。有时，他们用具体地排列积木方块或分数条块表达分数的部分和整体的含义。这样的表达有助于学生理解等值分数和分数相加的意义，特别在分数有同分母且和小于1的情形下，分数加法的意义更能体现。然而，这样的方式表征分数并不能表明分数其他方面的意义，比如分数是一个比、涉及到除法运算或者分数作为一个数的含义。分数的其他常用表征，包括数轴上的点、一个集合中不同元素的比例，表明了复杂的分数概念年的一些方面，但不是全部。因此，为了较深入地理解分数——像其他许多数学概念一样，学生需要不同的表征帮助他们理解。
在整个数学教育过程中，应当强调使用多种表征的重要性。例如，学前期至二年级的学生应能通过重复相加、跳跃数数或实物排列来表达一共有三组、每组有四个元素的集合。小学生会逐渐看到，使用某些表征能更容易理解数学的一些特征。用图的排列，教师能让学生看到乘法的交换律。
三至五年级的学生应扩展表征的种类，包括更复杂的图、表、图像和文字描述的问题情境。对初中生来说，表征有助于学生发展代数观念。当学生学习的数学逐渐复杂时，他们同时也发展越来越多的数学表征及如何有效的使用这些表征的知识。这样的知识包括选择和变换不同的表征，并学会问类似于下面的问题。是图像还是符号表达式更能帮助我理解和解答此问题？
数学之强有力的一方面是它的抽象性——通过符号化在分析中去掉非本质特征，使“纯符号”的使用更易操作。在许多情况下，数学的应用和建模的作用就在此。考虑以下的问题。晚上，船长在船上能看到三个灯塔并能测量它们之间的角度。如果船长能从地图上决定灯塔的位置，那么船长能决定船的位置吗？ 把此问题转换成一个数学表征时，船和灯塔就成为平面上的点，不用知道有关船的情况就能 26
解答此题。在不同的情景中的许多其他问题可能会有同样的表征。一旦我们能用某一形式表征这些其他问题，就可用此形式的传统数学方法来解答这些问题。
现代科技提供了更多、更丰富的机会来学习使用多种表征。例如，在学前期至二年级，教师和学生可以在计算机或计算器屏幕上进行具体操作，而得到精确且快速的反馈。之后，学生可以利用动态几何工具作出猜想。几个软件包的使用可以使学生同时以列表的、图像的和方程的形式来考察函数。这样的软件能使学生考察一个表征的特定变化怎样同时影响其他表征的变化，例如，改变方程中ax2+bx2+c=0中的参数，看其图像如何变化。利用计算机和计算器的仿真功能，易于学生学习像运动这样的物理现象。当学生掌握的表征种类增多时，有必要让他们反思在不同条件下，不同的表征在帮助他们理解上的优、缺点。例如，当学生用不同的表征呈现统计数据时，他们就需要考虑数据的类型和哪种表征方式能更恰当地回答问题。是圆形图比直线图恰当呢？方框——细线图(box-and-whiskers)比直方图(histogram)更恰当呢？
3.应用表征模拟并解释物理的、社会的和数学中的现象
术语“模型”(model)有许多不同的含义。因此，在讨论数学教育中的有关问题时，此术语被以许多不同的方式使用也就不足为奇了。例如，“模型”之词被用于指学生在课堂教学中使用 的具体材料——操作模型。此术语也被用于指，示范或模拟，就像教师为学生师范解题过程一样。“模型”的另一使用大体上是“表征”的同义词。在这种意义上，“数学模型”这一术语是在一个复杂现象的理想化情况下，元素和关系的数学表征。数学模型能澄清和解释现象并用于解决问题。
在一些活动中，可以通过建立一个解析结构模型让人们认识现实世界中的现象，例如交通中的车辆的流通。可以探讨的常见问题的例子是：绿灯要亮多久才能让适量的车辆通过路口？学生可以收集第一辆车、第二辆车以及后面的车通过所花时间（以平均值计）的数据，把这些数据统计并表征出来或列出解析函数关系，来抽象地探讨此问题。在探讨此问题中，他们要考虑车子一动前的等待时间及要花多长时间车子才能加速到通常的运行速度。现代的科技工具使学生有可能探讨用递归模型的情境，而递归模型情境在传统上只有在较高等的数学课程中才会学习。例如，九至十二年级的学生有可能为食肉动物和其猎物之间的关系建模。初始条件是在一特定的栖息地有许多狼和兔子，兔子是狼的主要食物来源。当狼有充足的食物时，它们繁殖也快（更多的狼将吃更多的兔子），当狼没有足够的食物时，她们会饿死。狼少时兔子的繁殖速度就快，同时狼的数目增加时，兔子的数目则迅速减少。用微分方程的建模软件能使学生输入最初条件和变换规则，然后考察系统是怎样动态变化的。
学生在为物理、社会和数学现象建模时，对表征的应用也应逐年增加。学前期至二年级的学生应能用积木，以不同的方式，模拟把24块饼干平分给8个人的过程。当学生在三至五年级继续学习表征时，他们开始用这些表征为周围世界的现象建模，并使他们注意到数量上的变化规律。当初中学生为现实世界和数学中的现象建模并解决问题时，他们学习用变量表征未知量，也学会用方程，表和图像来表征和分析关系。通过分析不同情境，包括物理和社会情境中的基本元素，并设计能表示元素间数学关系的表征，高中学生能够为范围更广泛的现象建模并分析这些现象。随着电子技术的发展，高中学生能表征和处理那些在以前的高中课程中难以理解的问题和方法。例如，数值迭代法能用于发展学生对极限及其应用的直观理解。函数的逼近用图像表示就较容易理解。函数的变换用图像表示也是较容易理解的。这些现代科技工具及其带给学生对数学的理解，使学生能够用模型分析很大范围内的现实的且有趣的情境。
第二篇：美国学校录用标准
美国录取标准
不久前，北京一“高考状元”申请美国十一所名校，一一被拒，引起了舆论的一阵不小波澜。不过我倒是不觉得惊奇，我自己作为学生代表，参与过学校的录取工作，自己也作为学生被录取过，所以从两个方面去看，确实发觉美国的录取标准和我们不一样。我自己当年的GRE成绩就很差，但是我照样通过个人陈述，申请成功了哥伦比亚大学、雪城大学、德克萨斯大学奥斯汀分校几所学校。奥斯汀为了吸引我，除了提供全奖外，甚至还要给1000块钱，让我去学校提前参观。我想比我申请得更好的多得是，可是GRE成绩像我这么悲惨的恐怕不多。因此，在考分到底占多少比例的问题上，我大概是有一些发言权的。
美国的中国家长有时在一起商量，发觉在美国申请大学，要比国内复杂。因为在国内，只要你达到了一定某校的分数线，就基本上可以上。但是很多在美的家长发现，美国光是分数还不行。比如哈佛大学商学院，据招生顾问 大卫·彼得塞姆（David Petersam)称，考试分数（如高中平均成绩，和GMAT成绩），只占录取评分的35％－40%比例。
那么剩下的60-65%都看的是什么呢？其商学院网站列出了 三大标准：第一为“领导的习惯”（A Habit of Leadership)，不管你在一个班级当领导，你在社区负责某项事务，还是在一战地领导一场战斗，还是创办一个小企业，他看你有无领导的“习惯”。常言道，“优秀是一种习惯”。哈佛这里声称“领导的习惯”，我想还是很有道理的。
第二个标准是智力成长的能力（Capacity for Intellectual Growth)，我发觉国内的一些培训和教育与此宣讲相反，比如有些培训机构只让学生看一些简单弱智的东西，不要看文学之类容易把人思维搞复杂的东西。哈佛商学院称喜欢“擅于复杂思想、喜欢参与活跃讨论的人”。各位朋友，你们看，“喜欢参与活跃讨论的人”，看来你们经常在此留言，吵架，还是有些好处的。请接着吵！
第三大标准是社区参与（Engaged Community Citizenship), 这是要学生积极去当公民，为社区作贡献。我曾经说过，“改变自己的最好办法是改变世界”，有朋友或许觉得这是空谈，但事实上很多高校录取确实是这么看的。一个连改变世界的想法都没有的人，是不大可能有多大出息的。学校招一个人也是投资，他希望招来的人，最终毕业了能去改造世界，给学校增光。谁会招一个老气横秋，过早开始世故，只顾过自己小日子的学生呢？
昨天我说一些用人单位看人文凭但也看人品等软指标。我发觉高校录取也是一回事。可以说，美国高校录取，成绩固然重要，但是一样看重个人素质。为了录取，临时去做一些事情，他人是可以看出来的。很多家长，到了快上大学的时候，才去让孩子去参加社区活动，临时抱佛脚，这些恐怕都逃不过阅人无数的招生官员的眼睛。
这神秘的“素质”到底是什么呢？“下一代学生”网站列出了美国招生官员常看的一些个人素质标准。我觉得很值得借鉴：动力（motivation)、信心（confidence)、创意（creativity)、志向（aspiration)、社区关系（association)。
到底这些元素是什么呢？道理说起来很玄，不过要是有鲜活的故事，倒是很容易招人注意。与高考状元被拒录取的故事相反，我从广播上听到了另外一个“灰姑娘”式的哈佛故事。凯瑞·安德森（Kerry Anderson），是一个从小在卡车上受教育长大的姑娘。她的母亲是一个卡车司机，常年奔波不定，所以凯瑞没有上过正规学校。后来上了一家社区大学，哈佛闻知后，主动邀请她去哈佛。凯瑞还以为是假的，但是最后发觉确有此事，还真上了哈佛，现在又在准备上哈佛法学院。凯瑞能在卡车上上完中小学，足见她和她的母亲都有足够的创意和恒心，也一定不乏动力。后来她在社区大学，一样积极参与学校和社区活动，可见社区关系方面她也给人留下了深刻印象。
更为主要的，我想还是因为她这个故事的特别。中国人申请美国学校的兵家大忌，是喜欢上一些培训学校，跟老师的说法去照葫芦画瓢，以至于经历容易写得千人一面，让录取者感觉厌烦或者怀疑。优秀是一种自我超越。美国人比较敬佩那种从生活的地下室，通过自己就地取材的独到努力，一层层爬上去，给自己创造了空间的人。一个家里条件一般，母亲做着开卡车这种蓝领工作，最终让孩子去哈佛的故事，岂不正是一个古老的奋斗故事？
第三篇：地方课程与学校课程评价标准
地方课程与学校课程评价标准
随着课程改革的深入，课程评价的重要性日益凸现出来。要合理进行课程评价，就必须首先对课程的本质和标准有一个正确的认识。
一、课程评价标准对于课程评价有很强的指向性，确定课程评价标准，需要综合各方面的因素，具体需要考虑的问题有： 1.学生与社会都是价值主体，作为评价主体的课程评价者如何综合考虑学生与社会的需要。
2.课程评价标准如何既体现学生主体的共同需要又体现学生的个性要求。
3.学生参与地方与校本课程学习程度的大小，是否有一定的兴趣。
4.当评价主体与价值主体不一致时，价值主体的需要只有通过评价主体的意识和理解才能起作用，因此，评价者对价值主体需要的认识、理解，是评价成功与否的关键因素。
5.即使当评价主体与价值主体趋于一致时，主体的真实需要与主体的愿望之间仍会有差距，因而应尽量使愿望与需要保持一致，从而形成主观价值标准与客观价值标准的一致性。
二、地方与校本课程评价标准
地方与校本课程开设过程中，注意三种评价标准相结合：形成性评价与终结性评价相结合，定性评价与定量评价相结合，反思评价与鼓励评价相结合。
（一）学习过程评价：
在课程开设过程中，以鼓励性评价、学习习惯形成性评价等定性评价为主，评价标准注重反映学生的个体差异。评价学生学习过程中积极参与意识，评价学生参与信息收集、汇总与交流的能力，评价学生答应问题的能力等等。
（二）学习结果评价：
1、能力考核
学生自主设计小论文。要求学生从自己生活和社会生产中主动发现问题、分析问题产生的原因、提出解决问题的方案，确定一个研究专题。老师对小论文做出评价，对优秀论文的科学性、地理性、前瞻性、创新性观点要充分肯定。
2、知识考核
学期终结，可以本学期地方与校本课程专题为背景资料，依据学生的出勤情况、材料准备、课堂表现和作业情况对学生学习做出定量评价。
第四篇：美国教育与中国教育
现在大学里有这样一种普遍现象：大多数学生在入了大学之后没有了昔日备战高考时的压力，整日过的很轻松，甚至无事可做，或者要么玩网络游戏，要么天天逛街，要么谈谈恋爱，最后都感到自己的大学生活过的很空虚；逃课现象严重，即使上课也不听课看小说，平时整日里玩，到考前一周甚至一天才开始突击背书应付考试，或者连书也不看考试时直接作弊，最后还都拿了高分，而临时所背的内容一考完就忘，四年就这样一直下去，到了大四毕业时混个毕业证和学位证，却感觉四年下来一无所获，什么知识和技能都没学到。
我认为造成以上现象的根源在于大学的考评制度。一学期的课业内容评价都决定于一次期末考试的一张卷子，这是大学考评制度的非常不合理之处。在此制度下虽然也有平时成绩，但这都是虚的，要么大家分都差不多，要么就是仅凭几次课下应付的毫无价值的作业来稍微拉开点档次，或者就凭任课老师对学生的个人喜好来定。不过现在有一些重点院校实行这样一种考评制度，就是平时成绩占期末总成绩的很大比重，平时作业都是考察学生的知识运用和实践能力，这样一来即使期末卷面成绩考满分但平时成绩若不好也可能过不了关。我认为这种做法值得借鉴。我认为目前大学教育中存在的最严重的问题就是缺乏创新，无论是本科教育还是研究生教育。现在大学生能否毕业的标准就是毕业论文，而近年来毕业论文抄袭现象十分严重，大部分论文不是学生本人自己创作的，内容东拼西凑，毫无新意，这就造成了一些学生大学四年都在玩，而到毕业之际临时拼凑一篇论文就能顺利毕业的现象。
总而言之，大学的老师同学们一定要在工作和学习生活中多善于思考，多发现问题，决不能让自己的思想、思维局限于课本、盲目迷信课本，应该对学术问题多进行探讨，多进行善意的学术批评，从而形成良好的学术风气，促进学术的创新与进步。
美国大学和中国大学教育体制完全不同，整个课程很短，上课需要做的功课也不多，但回家的作业是相当恐怖。每节课最后的投影上面所显示的那些密密麻麻的小字是一本本书的名字，学生的作业就是把这些书从图书馆借出来，然后在规定的时间内读完，之后，全班讨论这些书„„在中国，学生们往往在学校呆很长的时间，每天上七八节各种各样的课，但回宿舍后，除了写作业没有什么太多的任务。但在美国的大学，一个学生一天在学校顶多上个两三节课，可是老师在下课时所抛下的一黑板借书单和一篇论文给学生带来的负担可不比在学校上一天课少。正是由于大学这种对阅读高水准的要求，美国的基础教育非常重视对学生阅读能力的培养，美国人坚信，只要一个人的阅读能力好，他就有能力接受新知识，也就可以弥补在其他方面的缺陷。
美国大学没有严格的课堂教学规范。师生互相介绍，是每位任课教师第一次上课时约定俗成的习惯，表明了教师对每位学生的重视，以及学生对整个教学的主导和参与。此外，师生在仪表和衣冠方面没有明确的限制性规定，大多教授着装休闲，学生穿着更是随意，穿着拖鞋、背心、短裤、短裙上课者不乏其人；学生可以一边听课一边喝咖啡、茶、果汁等饮料，甚至可能把早餐带到课堂；因故迟到，可直接入座，不必经老师许可；上课时若有疑问，学生可不必举手随时向老师提问，大胆地说出自己的想法，无需等到老师讲完一节课的内容。课后问题，也可以通过Email向老师请教。
美国大学课堂上普遍采用小组讨论的教学方式。一个老师对应大约20来个学生，和小班教学差不多，课堂氛围比较轻松。一般由教师根据教学内容设计一个研究主题和一系列子课题，然后将学生分成若干个由3至5人组成的研究小组，各小组就教师布置的问题逐个讨论，每个学生依次发言，自由表达自己的观点，教师可加入任何一组。在课堂上学生可以和老师进行争论，在某些方面向老师提出改进意见，甚至对老师的观点进行批判。此外，课堂演示也是常用的教学形式。通常由学生单独或者几个学生一起，按教师的要求就某一专题做准备，或去图书馆找资料或去实地考察，然后在课堂上作演示。可以运用多媒体、实物资料或真人表演等，分别就该专题作生动、直观的演示。演示完后，提出一些相关问题，供大家思考讨论。通过学生与教师、同学之间、以及学习资源的互动，促进学生运用所学知识，培养团队
合作能力、自主学习能力和进行独立研究的能力。在这样的课堂上，老师不是课堂的决定者，而是引导者，引导学生的注意力和研究方向，鼓励学生作出自己的结论。这是和中国课堂最大的不同。
对比美国和国内的一些名牌大学课堂，美国的教学总时数大约只相当于国内大学的60％，学生把大部分时间用在自己学习上，而不是听课上，也就是说自由支配的时间多于上课时间。在课外，学生不仅要读书、写文章，更要参加各种各样的社会实践活动。所选的课程每学期一般都要求学生在课堂上作几次PUBLIC PRESENTATION(主题发言)，为了准备这个发言，学生常常要在图书馆查阅很多资料。有些课程在结束时，只要求提交PAPER(论文)，学生更需翻阅大量的书籍。有些课程也要求考试，但成绩只占总分数的50%，平时的“发言”或“论文”都是考查内容。准备PAPER、PRESENTATION的过程，恰恰是可以发挥学生的创造力的过程。老师们既鼓励学生在课堂上积极参与有关教学内容的讨论，更鼓励学生在课外自主地学习、锻炼和提高。
与中国高校课堂教学相比，美国大学课堂教学体现出宽松活跃、丰富多彩的显著特点。中国大学课堂教学气氛严谨肃穆。许多大学定有严格的课堂教学规范，如上课及下课前由班长或值周干部叫“起立”，教师鞠躬答礼之后，学生方可端正坐下或离开教室；师生要仪表端庄、衣冠整洁，不得穿拖鞋、背心、超短裙或赤脚上课；师生在课堂上的言行举止要文明得体，不得吸烟吃零食；学生要认真听讲，有问题须等教师讲完一节内容之后方可举手示意，经同意后再起立提问；学生因故迟到，须经教师同意后方可入座上课等。
中国大学课堂教学形式比较单一。一般多为“单向传授型”，或曰“讲座型”，即教师站在讲台前讲授，学生坐在下面听讲做笔记。教师充当的是知识传授者的角色，处于主动地位，学生充当的是知识接受者的角色，处于受动地位。整节课基本上都是教师在讲，学生洗耳恭听，跟着教师的思路走，很少有课堂上的相互交流，即使有交流，也是教师提问，学生回答。相较而言，美国大学课堂教学形式则显得丰富多彩。一般多为“双向交流型”，即侧重教师与学生、学生与学生之间的相互交流。教室里没有高高在上的讲台，教师站在学生面前，或与学生围坐在一起。教师不单充当的是知识传授者的角色，更多充当的是课堂教学组织者、协调者和指导者的角色，学生不光充当的是被动的知识接受者的角色，更多充当的是积极参与者的角色。
这里着重介绍一下美国大学两种典型的课堂教学形式：讨论和演示。
美国大学多采用讨论式教学。每节课结束前，教师将下节课需要学习的教材内容、补充材料和讨论问题布置给学生，供学生准备下节课学习讨论。一般先由教师作引言和概述，然后分小组讨论（五、六人一组），教师可加入任何一组。各小组就教师布置的问题逐个讨论，每个学生依次发言，自由表达自己的观点。然后全班集中，每个小组推举代表陈述本小组的观点，或自由发表意见，或向教师提问。最后由教师作总结。有时也随堂放录像，然后就录像内容进行讨论。十几个人的小班则不分组，全班围坐成一圈，由教师引导讨论。总之，中国重视教学规范，强调课堂教学秩序与纪律，美国则重视营造自由、宽松、随意的课堂教学气氛；中国突出“教”的作用，在“教”与“学”的关系中，“教”处于主导地位，“学”处于从属地位，教学关系为单纯主客体关系，而美国则突出“学”的作用，特别是强调“教”与“学”的双向互动交流，教学关系互为主客体。这种不同的教学风格和特点既生动地折射出中美不同的文化传统和价值取向，同时它又深深地植根于这一文化传统和价值取向之中。因为中国人多，中国年龄两极化正在变大，再加上中国家长长期沉淀下来的传统思想，实行真正的素质教育还需要时间，并不能着急。如果太急于表面上成果，只会是情况更加糟糕。说说我自己的一点看法：应试教育并没有错，问题的跟本在于学校教育和家庭教育管理的上，填鸭是的教学方式只是灌输，并不是学习，学习是一个动词，应该是一种主动的积极的行为，但是我国现在的教育管理模式把学生变成了被动的，甚至有一部分变成了叛逆的。社会中失
业的越来越多，能就到业的越来越少！为什么？在从小开始的教育中就被忽视的问题！如何学习！学习新的环境，学习新的社会，学习新的社交，学习如何学习的更有效率，如何使自己更能适应需要不断学习才能生存的社会！虽然现在的学校要比以前好了很多，但是这种扭曲了的教育管理模式是应该尽早拿到台面上来说说了！应试没有错，需要改变的是从小就应该开始的教育管理方法！
近代最伟大的科学家爱因斯坦曾经说过的一句话或许可以回答，原话我有点记不清了，大意是：如果一个人把他从学校所学的东西全都忘记了，那么，在他身上剩下的就是教育。这就是一位伟人对于什么是教育最精辟、最直白的概括。以我的个人理解，爱因斯坦所说的教育就是当下我们整个社会所最关心的素质教育。非常简单，也非常明了。在爱因斯坦眼里，一个人素质到底有多高，与其在什么学校学了什么，甚至取得了那些成就，都没有直接关系。反之，如果把这些表面所罩的光环统统去掉，比如什么院士、博士硕士、几级画师、几级琴师、什么专家学者等头衔都去掉，在其身上所沉淀下来的就是一个人真正素质的水平体现。素质教育在美国作者黄全愈的儿子黄矿岩七岁来到美国，二年级时老师布置了一篇研究报告，而且至少要有三个问题，写满两页纸，为了完成这个作业，矿矿从图书馆借了十几本书，完成了作者一生所见到的最简短的论文，先不说论文的内容，就这次研究的经历，孩子始终处在一个独立工作的状态下，用自己的脑子去思考，去筛选材料，去决定研究的方向，这个收获比研究报告本身更具有价值。这种研究报告式的作业一直贯穿小学、中学，只不过每个阶段的侧重点不同，小学侧重的是对孩子收集资料，独立提出问题的研究能力的培养，中学确定研究方法，实施研究计划的能力。这些研究报告里跳动的是孩子们充实而活跃的思维。当中国的孩子跟在别人屁股后面原地踏步走的时候，美国的孩子却已在操场上四处奔跑领略创造的快乐了。我们在嘲笑美国的基础教育不扎实的时候，人家的科技却发达了。教育与科技是一个正比的关系，人家科技发达了，教育也一定先进。中国要想走在世界的前列，那就要先从教育下手，真正的实施素质教育。
从理论上讲，人人都可成才。但每一个人成的“才”是不一样的，因为每一个人的个性特征素质是不一样的，比如有的适合做技术工作，有的对绘画感兴趣，有的对写作感兴趣等，这些个性特征素质不完全因为教育的环境、位置的锻炼等外在的因素的影响而改变。因此，素质教育绝不仅仅是减轻学习负担那么简单，而应是因人、因材施教，使特定的孩子尽可能充分地发挥其特定基因所决定的素养，发挥其特别潜能，从而对国家、对社会做出最大贡献。笔者认为，开展素质教育，就要尽可能多地开设素质教育课(如文学、艺术、手工等)，建立学生兴趣学习小组，因学生的兴趣、特长而分班，并对教师进行提高发现天才儿童能力的培训，使有特别天赋的天才儿童的天赋有机会去尝试，有机会被发现。同时，充分发挥现有的各级少年文化宫、少年体校的作用，最大限度地发掘各类超常天赋的儿童，对其给予特别培养。
中国的中学生年年能击败众多对手，获得国际奥林匹克知识竞赛的各种个人奖和集体奖，但当今中国的高校从来没有培养出获诺贝尔奖的人才；而美国则是初等教育“一塌糊涂”，但美国高校赢得的诺贝尔奖却是世界上最多的。创造力不同于智力。智商极高的学生可以赢得国际奥林匹克知识竞赛奖，但是惟有创造力极强的人才具备获得诺贝尔奖的前提。
第五篇：美国mba课程的教育特色
美国mba课程的教育特色
美国MBA课程教育具有自己独特的特点，在近百所美国MBA商学院中从课程设置、学术重点到教学方法都有自己的特点，美国MBA课程是培养高级管理人才为目标的，一起来了解一下美国商学院MBA课程所具有的共同特点。
美国MBA课程教育的特点有如下三方面：
理论与实践相结合的教学方法
早期的美国MBA教育以“哈佛模式”为代表，侧重于实际经验的传授，即“案例教学法”，但本世纪50年代末期，以芝加哥大学商学院为代表的“芝加哥模式”认为MBA不是职业培训，而应该侧重于学术和理论基础的传授。两种模式长期探讨的结果是互相渗透和补充。目前，大多数商学院都采用案例与理论相结合的方法，而且还辅以角色扮演、管理游戏和模拟等方法。
不但如此，很多商学院还邀请企业界的名流或具有实际工作经验的公司主管来校讲课及参与教材的编辑，以提高MBA教育的实用性和运用技巧，从而真正地将理论与实际结合起来。不断创新—国际化的MBA教育
为了适应社会对MBA教育的多层次需求，很多商学院不仅重视教学内容的多元化，也开始使MBA教育在时间和学制上具有更大的灵活性。如科罗拉多州立大学不仅开设通常的2年制在校MBA,还开设Distance MBA-2 years, Distance MBA-4 years,和Distance MBA with GMAT Waiver Part-time MBA)需要。另外，很多商学院还开设EMBA即Executive MBA。如首创EMAT的芝加哥大学认为：由于EMBA学生一般都具有较长时间的工作经验，所以在学制、教学内容方面都注重灵活性原则。
随着国际经济的一体化，跨国经营公司变得越来越普遍，而这引起了对具有国际眼光和经验的MBA学生的大幅度需求，以市场为导向的美国MBA教育开始逐渐地将“国际化思想”贯穿于教学内容中，如美利坚大学就以“全球视野”为教学的第一重点。“MBA精神”的塑造
美国人崇尚自由竞争和个人奋斗，崇尚冒险的创业，鼓励对事业的追求，强调个人的能力，时时迎接挑战，重视抓住机会。而MBA们不仅具有一般美国人这种开拓事业的精神，还具有一般人不具备的精神和素质：他们自信，甚至野心勃勃，认为自己一定能成功，就如斯坦福的校训—“有志者事竟成”。
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