高等数学 第一章函数与极限教案（共5篇）

第一篇：高等数学 第一章函数与极限教案

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y ,或 {x0xa}.记为5.点6.点7.函数是实数集到实数集的映射U(a , )a(a , a)a(a , a)f的左邻域: 的右邻域: 中有唯一的实数

...单值函数是指对于定义域

Df内的任何实数

x，在值域Rf 其中y与之对应，记作

yf(x)xDfxy，称为自变量，称为因变量.，8.函数的自然定义域: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.9.绝对值函数: x , x0 ,xx , x0.10.符号函数:

-----高等数学教案-----

 1 , x0,sgn(x) 0 , x0,1 , x0.11.取整函数:

xn , nxn1(n0 , 1 , 2 , )x x3.233.24330.50.其中表示不超过的最大整数.例如，.，即定义域为

x0P42211x01x00x1[1 , 0)(0 , 1]③.解: 令，得

或

.，练习1.求函数的定义域.1f(x)lnx3.-----高等数学教案-----x31 , x2 , 解: 令x30 , 得

x3 ,即定义域为

x31 ,x4 ,D( , 2)(2 , 3)(3 , (4 , ).练习2.求函数的定义域.ycosx2.解: 令cosx20，得

0x222k2x22k2，x2x2

-----高等数学教案-----

4)或即定义域为 或

2kx2k222

或

2kx2k.的定义域为，数集

.12.函数的有界性: 设对任一在对任一在(k1 , 2 , )}f(x)DXDK1f(x)K1xXf(x)XK1f(x)XK2f(x)K2xXf(x)XK2f(x)XM①.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有上界，而

为上的一个上界.②.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有下界，为上的一个下界.③.如果存在正数，使得

-----高等数学教案-----对任一④.如果对于任何正数则称13.函数的单调性: 设①.如果对于区间则称②.如果对于区间则称14.函数的奇偶性: 设函数①.如果对于任一f(x)MxXf(x)XMx0Xf(x0)Mf(x)Xf(x)DIDIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)IIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)If(x)DxD，都成立，则称

在上有界.，总存在，使得，在上无界.的定义域为，区间上任意两点

及，当，在区间

上是单调增加的.上任意两点

及，当

时，恒有，在区间

上是单调减少的.的定义域

关于原点对称，.时，恒有

-----高等数学教案-----恒成立，则称②.如果对于任一恒成立，则称15.函数f(x)f(x)f(x)xDf(x)f(x)f(x)yf(x)Df为奇函数.，为偶函数.的定义域为，值域为

Rf，如果

f是一一映射，则f存在逆映射f1:

RfDf1，即对于任意

yRf1为，有唯一的记作 xDf，使得

f(x)yf，称，f的反函数，xf(y)yRf 16.设函数

.yf(u)的定义域为的定义域为

Df，且，值域为

Rf;函数ug(x)由下式确定的函数

Dg，值域为

RgRgDf，则yf[g(x)] xDg，-----高等数学教案-----称为由ug(x)yf(u)uy与中间变量，因变量.构成的复合函数.x自变量，P1422 ④.解：yex2.yee1yeee，①.幂函数x2102x2212.17.基本初等函数: yx（为实数）.②.指数函数ya(a0 , a1).x，特例③.对数函数特例yeylogax(a0 , a1)ylogexlnx.④三角函数 x，ysinx ycosxytanxycotxysecxycscx，，⑤反三角函数，.-----高等数学教案-----yarcsinxyarccosx yarctanxyarccotx，.，18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.19.双曲函数

①双曲正弦②双曲余弦③双曲正切

eeshx2xxeechx2xxshxeethxxxchxee..xx.§1.2 数列的极限

1.如果按照某一法则，对每个

nN，对应着一个确定的数照下标nxn，这些实数

xn按从小到大排列得到的一个序列

叫做数列，简记为数列般项.x1 , x2 ,  , xn , nxnxn，数列中的每一个数叫做数列的项，-----

当自变量例如.① xnf(n)nNnxn111 , ,  , , 2n，.依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排成数列

;

.②

1(1)1 , 0 , 1 , 0 ,  , , 21 , 2 ,  , n , 1 , 1 , 1 ,  , 1 , n248234n12 , , ,  , , 23nnanxnaxnxna;③

;④

;⑤

2.深刻理解数列极限的概念.当无限增大时(即

时)，对应的项

无限接近于某个确定的数值，称常数是数列的极限.无限接近于

是什么含意? 考察数列

-----高等数学教案-----

n134n12 , , ,  , , 23nn11xn1nxnn1xn1n0.110n101xn10.1n0.01100n1001xn10.01n11[]n[]

当时，无限接近于，也就是说

与要多小就有多小.比如说: ①给定，在-----它多么小），总存在正整数都成立，那么称常数NnNxnaaxnxnalimxnaxna(n)n，使得当

时，不等式

是数列的极限，或者称数列

收敛于

或，正整数，当，则称数列

以，记为

.0NnNxnaxnalimxnan0NxnaN1NxNaxnalim0.99991P3 313'.对于

.4.数列不以

为极限的定义:，对于

正整数，使得，则称数列

时，为极限，记为，1不以为极限.④证: 等价于

nn个1lim(1n)1n10.-----高等数学教案-----对于

只要011(1n)1n101011nlgN[lg]nN，要使

，取

，当时，1(1n)1101lim(1n)1n10lim0.99991nn个5.有界数列: 对于数列，所以，故

.xn，如果存在正数

M，使得对于任意

n，不等式

都成立，那么称数列无界数列: 对于数列xnMxnxn

是有界的.，如果对于任意正数

M，存在正整数

N，使得不等式

-----高等数学教案-----成立，那么称数列 6.子数列: 在数列序,这样得到的数列xNMxnxnxn，是无界的.k中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列

称为原数列

xnxn中的先后次的子数列.7.收敛数列的性质.①唯一性: 如果数列②有界性: 如果数列xnxn收敛，那么它的极限唯一.收敛，那么数列

xn一定有界.③保号性: 如果 推论: 如果数列limxnaa0a0nNnNxn0xn0xnxn0xn0limxnaa0a0n，且

(或，当

时，都有

(或

从某项起有

(或，那末

(或).④.数列)，那末).)，且xn敛，且有相同的极限；若

xxxxx与子数列

n的关系: 若

kn收敛，则

n也收

kn收敛，则

kn不一定收敛.-----高等数学教案-----P31 5xnxnM 证: 由于

都成立.对于，由于

有界，所以

M正数，对于

n，不等式

当

nNyn时，yn0N0limn，所以

正整数，故当，使得从而所以

MxnynMMlimxnyn0nP31 60x2k1a(k)N1kN1x2k1a时，..证：对于，由于，正整数，使得当

时，nN.又由于

所以x2ka(k)N2kN2x2ka，正整数，使得当

时，.-----高等数学教案-----NMax{2N11 , 2N2}xnanNxna(n)xxx0xx0xx0取时，.§1.3 函数的极限 1.自变量的六种变化趋势.① :，任意地接近于有限值

.②，当

所以xxxx0xx0xx0xx0xx0xxxxxxxf(x)xx0f(x)x0A0xx0f(x)，任意地接近于有限值

.③ :，任意地接近于有限值

.④⑤

: :

沿着数轴负向无限远离原点.沿着数轴正向无限远离原点.⑥ : 的绝对值

无限增大.2.函数当

时的极限: 设函数

在点一去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，使得当

时，对应的函数值不等式

-----高等数学教案----- : 0的某

（不论它多么小），总存在正数

都满足那么常数f(x)AAf(x)xx0limf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或

取f(x)A(xx0)0P5382x4(4)x(2)x20x(2).③.证: 对于，要使，当

时xx0，某一左邻域内有定义.对于x4(4)x(2)x22x4lim4x2x2f(x)xx0f(x)x000.3.函数当

时的左极限: 设函数

在点，2，所以的，当

-----高等数学教案-----0x0xxx04.函数

或

时，f(x)A0.，则limf(x)Af(x)A当

时的右极限: 设函数某一右邻域内有定义.对于f(x)xx0f(x)x0000xx0f(x)A在点，时，的，当，则limf(x)Af(x)Axx0或 5.函数

0.f(x)xx0当

时的极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在且相等，即

limf(x)Axx0

limf(x)limf(x)Axx0xx0.P438limf(x)lim11.解: ①，x0x0

-----高等数学教案-----limf(x)lim11x0于

.由limf(x)limf(x)1x0x0.x0，所以limf(x)1x0②

lim(x)lim(1)1lim(x)lim11x0x0由于，x0x0.lim(x)lim(x)lim(x)x0，所以

不存在

x0x0练习1.设函数(A)

x2limf(x)f(x)x2x2101，则.(B).(C)

.当

时的极限: 设函数

在为.(D)不存在.[ D ] 6.函数一正数时有定义.如果存在常数使得当f(x)xf(x)xXAxXf(x)，对于任意给定的正数

（不论它多么小），总存在正数时，对应的函数值

都满足不等式

大于某，-----高等数学教案-----那么常数f(x)AAf(x)xlimf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或x一负数时有定义.对于时，某一正数时有定义.对于f(x)A(x)f(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xxxlimf(x)Ax.7.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.8.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.9.函数当时极限及当

时极限都存在且相等，即

小于某

大于

时，时的极限存在的充分必要条件是当

-----高等数学教案-----limf(x)limf(x)Axx9.水平渐近线: 若

.limf(x)cx或

x或 limf(x)climf(x)c是函数，x则称直线ycyf(x)图形的水平渐近线.10.函数极限的性质.①唯一性: 若limf(x)xx00，当

存在，此极限唯一.②局部有界性: 若limf(x)Axx.，那末存在常数

M0时，和00xx0，且

有 ③局部保号性: 若f(x)Mlimf(x)AA0xx0），那末存在，当

（或A000xx0时，-----高等数学教案-----有③'若f(x)0f(x)0limf(x)AA0（或）.（），那末存在点xx0x0的某一去心邻域内，使得

Af(x)2f(x)0f(x)0x0A0A0limf(x)Axx.推论: 若在点的某一去心邻域内

（，那末

（）.），且0§1.4 无穷小与无穷大

1.无穷小: 若

limf(x)0xx0为当

（或取limf(x)0f(x)xx0xx0P2421xsinxx0x），则称）时的无穷小.②.证: 对于，要使，当

时

（或，-----高等数学教案-----2.极限与无穷小的关 系:

11yxsinxsinxxxx0limf(x)Af(x)Axx，所以时的无穷小.①

.为当0②limf(x)Af(x)Ax为无穷小.在点

.其中 3.无穷大: 设函数f(x)x0M000xx0，当的某一去心邻域内有定义.如果对于时，总有

那f(x)Mf(x)xx0limf(x)，么称

为

当

.时的无穷大，记作xx03'.无穷大: 设函数f(x)x在大于某一正数时有定义.如果对于

-----高等数学教案-----M0X0，那么称，当

xX时，总有f(x)Mf(x)x为当

时的无穷大，记作limf(x).xP423.① 证: 对于

M0，要使

1x2x1x2M，而 1x21x2，只要 1x2M，xM1，取M122，当

0x

-----高等数学教案-----

时，有 ②取

12x12xMyxxx0140x10212x12xx12x，所

以的无穷大.，当

时，为当1214102410

.-----高等数学教案-----练习1.若limf(x)limg(x)xxxx，00则下列式子成立的是

(A)lim[f(x)g(x)]xxlim[f(x)g(x)]xx00.(B).(C)(D)

1lim0xxf(x)g(x)1lim0xxf(x)g(x)0..0[ D ] 4.铅直渐近线: 如果

limf(x)xx0或

limf(x)xx0

或 limf(x)xx0是函数，那么称直线xx0yf(x)图形的铅直渐近线.-----高等数学教案-----P342.解：由于

所以

4limf(x)lim20xx2xy0是水平渐近线.，由于

所以 5.无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中，如果

4limf(x)lim2x2x22x4limf(x)lim2x2x22xx2x2f(x)1f(x)f(x)0f(x)1f(x)，，都是铅直渐近线.为无穷小；如果

为无穷小，且为无穷大.为无穷大，则，则§1.5 极限运算法则 1.无穷小的性质: ①有限个无穷小的和也是无穷小.-----高等数学教案-----②.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积也是无穷小.P4932.①解: 由于当

x0x时

是

当

2是无穷小，而

1sinx的无

穷

是有界变量，所以1xsinx0x21limxsin0x0xlimf(x)Alimg(x)Blim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABc时

小，故

.2.极限的四则运算:，.①..②..推论1: 为常数，-----高等数学教案-----推论2: ③.lim[cf(x)]climf(x)cAnnnnlim[f(x)][limf(x)]Af(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B0)(x)(x)lim(x)alim(x)babxx0nn1f(x)a0xa1xanlimf(x)f(x0).为正整数，..3.极限的单调性: 若，而，则

.4.有理整函数(多项式)、有理分式函数当的极限: ①.多项式，.，xx0例1.②.有理分式

16lim(x2x1)3231x3P(x)F(x)P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多项式，-----高等数学教案-----Q(x0)00，P(x0)P(x)limF(x)limxxxxQ(x)Q(x0)F(x0)3x1321limlim33x2xxx222122x1limlim(x1)x1x1x122x3lim2x1x3x20.例2..例3..例4.求

.解: x3x21312limx12x3213

-----高等数学教案-----225.有理分式函数当02x3lim2x1x3x2xmm1a0xa1xamlimnn1xbxbxb01na0 , nm ,b00 , nm ,  , nm.，.的极限:

例5.111limn1223n(n1)

-----高等数学教案-----

111lim[(1)()n223 11()]nn1例6.1lim1nn11na1lima1n1n1aan11aaa1limn1n1aalim(a1)n

.（)

a1(A).例7.下列数列中收敛的是.nan(1)n1n.-----高等数学教案-----(B)bn12n.(C)(D)11 , n为奇数 ,n2Cn11 , n为偶数.n1n , n为奇数 ,n1Dnn , n为偶数.1n

[ C ] 例8.设

x1lim(axb)1xx1则有(A)(B)2，(C)a1b0a1b1a1b0，，...-----高等数学教案-----(D)a1b1，.[ C ] 例9.设

2x1lim(axb)02xx1则有(A)(B)3，(C)(D)a1b0a2b1a2b0a2b1，.，，...[ C ] 例10.已知

求xaxblim5x11xab，的值.2，解: 一方面，lim(xaxb)x122

xaxblim(1x)x11x

-----高等数学教案-----

500.另一方面，lim(xaxb)1abx1所以，即

.故

2.1ab0ba12xaxblimx11x2xaxa1limx11x(x1)(x1)a(x1)limx11xlim[(x1)a]x1

从而 6.复合函数的极限运算法则: 设函数2a2a5a7b6yf[g(x)].，得，.是由函数

-----高等数学教案-----ug(x)yf(u)yf[g(x)]x0limg(x)u0limf(u)Axxuu与

复

合在点，而成，的某去心邻域内有定义，若，且存在0000xU(x0 , 0)g(x)u0，当

时，有则

，limf[g(x)]limf(u)Axx0uu0 例如..limln(x1)ux1 limlnux2u9§1.6 极限存在准则 两个重要极限 1.准则I 如果数列

① ②ln9xnynznynxnzn(n1 , 2 , )limynalimznann.、及

满足:

，，那么limxnan.准则I' 如果

-----高等数学教案-----① ②g(x)f(x)h(x)limg(x)Alimh(x)A，，那么limf(x)A.P564②.解: n(1nn12n2n)n(11n2n2)，n2n2n原式

1，而lim2，所以

nn2nn1lim11nnn2n2n1.-----高等数学教案-----

原

式 2.重要极限I: 例1.例2.例3.sinxlim1x0xsin2xsin2xlim2limx0x0x2x212tanxsinx1limlim()x0x0xxcosxsinx1limlimx0xx0cosx12x2sin1cosx2limlim22x0x0xx...-----高等数学教案-----例4.xsin12lim2x0(x)222sinx12lim2x0x2122sin(x1)limx1x12(x1)sin(x1)lim2x1x12sin(x1)lim(x1)lim2x1x1x12

.-----高等数学教案-----2例5.求极限.解: sinmxmnlimxsinnxsinmxlimxsinnx(，为非零整数).sin(mmy)xy limy0sin(nny)m1

(1)sin(my)limn1y0(1)sin(ny)sin(my)m1(1)mmylimy0n1sin(ny)(1)nnymnm(1)n.3.单调数列:

-----高等数学教案-----①.如果数列则称数列②.如果数列x1x2x3xnxn1xnxnx1x2x3xnxn1，单调增加.满足条件: xn满足条件:，则称数列xn单调减少.4.准则II 单调有界数列必有极限.例6.利用极限存在准则证明数列

2，22.，证: 记数列的通项为 ①有界性: 222xnxn12xn…的极限存在并求此极限.，则时，.当 假设当所以对任意的n1x122nkxk2nk1xk12xk222nxn2xn0{xn}时，当

时，有，是显然的，故数列

有界.②单调性:

-----高等数学教案-----xn12xnxnxnxn，所以数列{xn}单调增加.由①②可知数列{xn}的极限存在.设此极限为

a，则

limxn1lim2xn，nn a2a，得a2.4.重要极限II: limx(11xx)elim(1z)1ze.z0例7.limx(11x)xlimx11(1xx)

-----高等数学教案-----，例8.tx limtt1(1)t1e.例9.11xxx1limlimxx1x11x1limxxx1111xx12ecsc2xlim(cosx)x



.x0

-----高等数学教案-----lim(cosx)x021csc2x2

2lim[1(sinx)]x021sin2x12

 tsinx lim(1t)t0e例10.112t

12.x0lim(1x)x01x

lim(1x)(1x)1xx0x01x

1x lim1xlim1x

-----高等数学教案-----

1limlim1x1xx01x 1xx01ee

1.§1.7 无穷小的比较

1.无穷小的比较: 设、都是无穷小，且

0.①如果lim0，就说

是比

高阶的无穷小，().②如果lim，就说

是比低阶的无穷小.③如果limc0，就说

与

是同阶无穷小.-----高等数学教案-----

记作

limkc0klim1~P59 1 ④如果，就说

是关于的 ⑤如果，就说

与..解: 由于

阶无穷小.是等价无穷小，记作

xxxxlimlim02x02xxx02x，232所以 xx2xxP592321xlimlim(1xx)3x11xx1是比

高阶无穷小..解: 由于 232，所以1x1x与3是同阶无穷小.由于

-----高等数学教案-----

1(1x2)12limlim(1x)x11x2x1，所以2.3.几组等价无穷小量: 当1(1x2)1x2()x0x~sinx~tanx~arcsinx与

是等价无穷小.与是等价无穷的充分必要条件为

.时，~arctanx；

x~ln(1x)~e1 ；

x；

121cosx~x2xa1~xlna a(1x)1~ax(a0)；

-----高等数学教案-----

.4.等价无穷小量代换: 若~~limlimlim、、、都是无穷小量，且，存在，则，.例1.求limtanxsinxx0sin3x.x022解: 由于当

时，x~sinxcosx~122x，所以

-----高等数学教案-----，1limtanxsinxx0sin3xlim1cosx x0cosxsin2x12lim2x

x0cos21xxlim2

x01cosx.例2.求lim(21arcsinx)31x0etanx1.解: 由

于

当

x0

-----高等数学教案-----

时，(1arcsinx)31~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx1~tanx 所以

lim(~1x arcsinx)31x0etanxlim3arcsinx1 x0tanxlim3x

x03x.§1.8 函数的连续性与间断点 1.引入记号: 对于函数yf(x)，当

xx时，令

xxx0yf(x)0f(x

则 xx0)，0xyf(x0x)f(x0)，-----高等数学教案-----，，

第二篇：高等数学第一章函数与极限教案

高等数学教案

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

第三篇：高等数学函数极限练习题

设f(x)2x1x，求f(x)的定义域及值域。设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)0，f(1)a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二I(x)位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。定义函数I(x)表示不超过(x)xI(x)的周期性。判定函数f(x)(exxxx的最大整数叫做x的取整函数，试判定1)ln(1xx)的奇偶性。设f(x)esinx，问在0，上f(x)是否有界？ 函数yf(x)的图形是图中所示的折线OBA，写出yf(x)的表达式。 x，x，0x2；0x4；设f(x)(x) 求f(x)及f(x)． 2x4．4x6．x2，x2，1，x0；设f(x)(x)2x1，求f(x)及f(x)． 1，x0．ex，x0；0，x0；求f(x)的反函数设f(x)(x)2x，x0．x，x0．g(x)及f(x)． 2设f(x)x，x0；(xx)，(x)2求f(x)． 2x，x0．12x，x0；设f(x)求ff(x)． 2，x0．0，x0；x1，x1；设f(x)(x) 求f(x)(x)． x，x0．x，x1．ex，x0；设f(x)x1，0x4；求f(x)的反函数(x)． x1，４x．x，x1；2设f(x)x，1x4；求f(x)的反函数(x)． x2，4x．21x，x0；设f(x)求： x，x0．(1)f(x)的定义域；2(2)f(2)及f(a)．(a为常数)。1，x1；22设f(x)x，x1；求f(x3)f(sinx)5f(4xx6)． 1，x1．2x1，x0；设f(x)2求f(x1)． x4，x0．x2，x1；设f(x)，求f(cos)及f(sec)． 44log2x，x1．1x0；x2，设f(x)0，x0；试作出下列函数的图形x2，x0．(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)yf(x)f(x)2． ：2x0；x，设f(x)1，x0试作出下列函数的图形x2，0x2f(x)f(x)(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)y． 2 ：21x,x1；设f(x) 试画出yf(x)，yf(x),yf(x).的图形。1x2．x1，1x0，(x)，设f(x)求(x)，使f(x)在1，1上是偶函数。20x1．xx，(x)，当x0时，设f(x)0，当x0时，1，当x0时．xx(1)求f(2cosx)；(2)求(x)，使f(x)在(，)是奇函数。1x0；0，设f(x)x，0x1；F(x)f(12x)，2x，1x2．(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形。0，1x0;设f(x)x1，0x1；求f(x)的定义域及值域。2x，1x2．1x，x0；设f(x)x求f(2)、f(0)及f(2)的值。2，x0.2xx1，x1；设f(x)求f(1a)f(1a)，其中a0． 22xx，x1求函数ylnx1的反函数，并作出这两个函数的图形。求函数ysin(x4)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。求函数ytan(x1)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。利用图形的叠加作出函数yxsinx的图形。利用图形的叠加作出函数yx1x的图形。作函数y1x1的图形（草图）。作函数yln(x1)的图形（草图）。作函数yarcsin(x1)的图形。（草图）作出下列函数的图形：（草图）(1)yx1；(2)yx；222(3)y(x1)．设函数ylgax，就a1和a2时，分别作出其草图。利用y2的图形（如图）作出下x列函数的图形（草图）：(1)y2x1；(2)y1x32． 利用ysinx的图形（如图）作出下(1)ysin2x；(2)ysin(x 4)。列函数的图形：（草图）利用ysinx的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）(1)y(2)y1212sinx；sinx1 ππ2 x(，)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ych(x)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ySh(x)的反函数，并指出其定义域。3求函数yln求函数，yee2x2x11的反函数，并指出其定义域。验证1cthx验证1thx221shx22。1chx验证Ch()ChChShSh。验证Ch()ChChShSh。验证Sh()ShChChSh。验证Sh()ShChChSh。验证2ShxChxSh2x。证明ShxChxCh2x。设f(x)arctanx(x)，(x)xa，1ax22(a1，x1)，验证：f(x)f(x)f(a)。x1，求f(x)。设f(x)1lnx，(x)设f(x)x1x2，(x)x1x，求f(x)。设f(x)sinx，(x)2，求f(x)、f(x)及ff(x)。设f(x)x1，(x)1x12，求f(x)及f(x)。设f(x)设f(x)11(x0，x1)，求f及fx1f(x)x，(x)x1x122ffx。x1x2，求f(x)及其定义域。已知f(x)e，f(x)1x，且(x)0，求(x)，并指出其定义域。设f(x)lnx，(x)1x，求f(x)及f(0)。2设f(x)arcsinx，(x)lgx，求f(x)及其定义域。求函数yx1(x1)的反函数，并指出反函数的定义域。32求函数ylgarccosx(1x1)的反函数，并指出其定义域。求函数yarctg求函数y12(eeaxaxxx1x的反函数。1x)的反函数，并指出其定义域。求函数yln(a0)的反函数的形式。求函数yexx1e的反函数，并指出其定义域。求函数yxx4x的反函数。求函数f(x)11x1x1x(x1)的反函数(x)，并指出(x)的定义域。求函数f(x)loga(x设f(x)eexxx1x)的反函数(x)(式中a0，a1)。2eex设f(x)(0x)，试讨论f(x)的单调性和有界性。1x1讨论函数f(x)x在区间(0，1)和(1，)内的单调性。xx讨论函数f(x)的有界性。21x1讨论函数f(x)，当x(，0)(0，)时的有界性。132xx讨论函数f(x)2在(，)上的单调性。讨论函数f(x)xax，求f(x)的反函数(x)，并指出其定义域.(a1)在(，)上的单调性。讨论函数f(x)1lnx在(0，)内的单调性。1x1x2，设f(x)，(x)f(ax)b 1x3x1，试求a，b的值，使(x)(x0除外)为奇函数。判断f(x)e1e1xxln1x1xx(1x1)的奇偶性。证明f(x)(223)(23)是奇函数。2x判定f(x)xarccotx在其定义域(，)上的奇偶性。判定f(x)3(13x)3(13x)(x)的奇偶性。判定f(x)axa22(a0)(x)的奇偶性。xG(x)与偶函数F(x),使f(x)G(x)F(x)。设f(x)2exx1e，求奇函数11设函数f(x)满足4f(x)2f()，讨论f(x)的奇偶性。xx判断f(x)loga(xx1)(a0，a1)的奇偶性。x2判定函数f(x) aa2x1(a0，a1)的奇偶性。设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式：　　f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。求f(x)sinx12sin2x13sin3x的最小正周期。设f(x)是以T2为周期的周期函数，且上的表达式。在0，2上f(x)x2x，求f(x)在2，42求f(x)sin3xcosx的最小正周期。设f(x)为奇函数，且满足条件f(1)a和f(x2)f(x)f(2)。(1)试求f(2)及f(n)(n为正整数)；(2)如果f(x)是以2为周期的周期函数，试确定a的值。设F(x)(xx)e则F(x)xx1(x)(A)是奇函数而不是偶函数；(B)是偶函数而不是奇函数；(C)是奇函数又是偶函数；(D)非奇函数又非偶函数。答（）2 讨论函数f(x)12x1x4在(，)的有界性。设f(x)是定义在(，)内的任意函数，则f(x)f(x)是（）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)非负函数。下列函数中为非偶数函数的是（）(A)ysinx(C)y 22121xx；(B)yarccosx；x3x4；(D)y2 x3x4x1x2lg(x1x)2设f(x)xx，(，)，则f(x)()(A)在(，)单调减；(B)在(，)单调增；(C)在(，0)内单调增，而在(0，)内单调减；(D)在(，0)内单调减，而在(0，)内单调增。答（）xx f(x)(ee)sinx在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)单调增函数；(C)偶函数；(D)奇函数。答（）f(x)sinx在其定义域(，＋)上是(A)奇函数；(B)非奇函数又非偶函数；(C)最小正周期为2的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。答（）f(x)cos(x2)1x2在定义域(，)上是(A)有界函数；(B)周期函数；(C)奇函数；(D)偶函数。答（）f(x)(cos3x)在其定义域(，)上是(A)最小正周期为3的周期函数；(B)最小正周期为2的周期函数；3(C)最小正周期为23的周期函数；(D)非周期函数。答（）设f(x)x3，3x0，则此函数是x3，0x2(A)奇函数；(B)偶函数；(C)有界函数；(D)周期函数。答（）设f(x)sin3x，x0，则此函数是sin3x，0x(A)周期函数；(Ｂ)单调减函数；(C)奇函数;(D)偶函数。答（）f(x)x(exex)在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)奇函数；(C)偶函数；(D)周期函数。答（）函数f(x)lnaxax(a0)是(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶性决定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为非奇函数的是x(A)y21；(B)ylg(x1x2)；2x1(C)yxarccosx；(D)yx23x7x23x71x2 答（）关于函数y1x的单调性的正确判断是1x1x1x1x单调增；单调减；单调减；当x0时，y单调增；当x0时，y1x1x单调增；单调增。(A)当x0时，y(B)当x0时，y(C)当x0时，y(D)当x0时，y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中（其中x表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)ysinxcosx；(B)ysin22x；(C)yacosbx；(D)yxx　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为奇函数的是(A)yxtan(sinx)；(B)yxcos(x(C)ycos(arctanx)；(D)y22x224)； x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函数yarcsin(lg确定函数yarccosx102x)的定义域及值域。的定义域及值域。1x求函数ylg(12cosx)的定义域及值域。求函数y2xx的定义域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多项式，且f(x1)f(x)8x3，f(0)0，求。图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面垂直于OH，试把以平面为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。由直线yx，y2x及x轴所围成的等腰三角形OAB。在底边上任取一点x[0 , 2]，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD = a和BC = b，（a > b），高为h。作直线MN // BH，MN与顶点A的距离AM = x(的面积S表示为x的函数。ababx)，将梯形内位于直线MN左边22 建一蓄水池，池长50 m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。设　f(x)arcsin(lg设　f(x)arcsinx10x32)，求f(x)的定义域.ln(4x),　求f(x)的定义域.2设　f(x)设f(x)2x65xxlg(x5x6)，求f(x)的定义域。21，求f(x)的定义域.lg(1x)设f(x)lg(12cosx)，求f(x)的定义域。设　f(x)lgx12x1，求fx的定义域。2 9x2x1设　f(x)srcsin，求f(x)的定义域ln(x2)4设　(t)t322。2(t)　(t) 设　f(x2)x2x3 求f(x)及f(xh).1　求(t)1x1,求f(2)，f(a),　f()，f。1xaf(x)设　f(x)设　f(x)设　f(sin1x1　求f()及ff(x).设　f(x1)x2x,求f(x).1xxx)1cosx, 求f(cos222x).2设　2f(x)xf(1x2x，求f(x)。)xx121x设　f(x)(x0), 求f(x)。4xx1设　zxyf(xy), 且当 y0 时 , zx , 求f(x)及z。设　f(t)e , 证明　t2f(x)f(y)f(xy)。2设F(x)lg(x1), 证明当 y1 时有F(y设f(x)ln2)F(y2)F(y)。yz1x,证明f(y)f(z)f()1x1yz(式中y1,z1).设f(x)2x2,求f(2),f(2),f(5)。2t1x2设f()x(),求f(x)。xx12设f(t)2t222515t , 证明f(t)f()。tt设f(x1)x　 ,　求f(2x1)。t1设yf(tx)，且当x2 时，yx2222t5，求f(x)。设f(lnx)xx2，0x，求f(x)及其定义域设f(1)x(1xx2。1)(x0)，求f(x)。1xx设f(x)(x0)，求f(x)。42xx3x13设f(x)x1x22，求f(1x)(x1)。1x设f(x)axbxc，计算f(x3)3f(x2)3f(x1)f(x)1的值，其中a，b，c是给定的常数。设f(x)abxc(x0，abc0), xm)f(x)，对一切x0成立。x求数m，使f(设f(x)lgx5, x5(1)确定f(x)的定义域；(2)若fg(x)lgx，求g(2)的值。设y1af(x1)满足条件，求f(x)及y.y|a0x及y|x12, 设f(x)设f(x)25x22arctan1x，求f(x)的定义域。lgx5x62，求f(x)的定义域。设f(x)设f(x)2x1x，求f(x)的定义域16x2。sinx，求f(x)的定义域F(x)设f(x)的定义域为a．b，F(x)f(xm)f(xm)，(m0)，求的定义域。求函数f(x)arccos2x1x1x2x2的定义域。设f(x)ln1，求f(x)f的定义域。2xx2x1522x设f(x)arcsinsinx，求f(x)的定义域2。设f(x)2xx2ln(xx)，求f(x)的定义域。f(x)log2(logf(x)2xx2x)的定义域是_________________。的定义域是________________。2x133x2函数f(x)arcsin的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1xx的定义域用区间表示为________________。函数f(x)arccos(2x1)的定义域用区间表示为_____________。函数f(x)x(x4)的定义域是_____________。2函数f(x)ln(6xx)的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1ln(x4)的定义域用区间表示为_____________。设f(x)函数f(x)x1ln(2x)，则f(x)的定义域用区间表示为。2xx2的定义域用区间表示为_______________。设f(x)arcsin2x，则f(x)的定义域用区间表示为______________。2设f(x)的定义域是(0,1)，则f(1x)的定义域是________________。设f(x)lnx，(x)arcsinx，则f[(x)]的定义域是________________。2设f(x)的定义域是[0，4），则f(x)的定义域是______________。1设f(x)的定义域是(1 , 2]，则f的定义域是______________。x1设f(x)的定义域是（0，1），则f(lgx)的定义域是______________。函数f(x)sin(arcsinx)与函数g(x)arcsin(sinx)是否表示同一函数？为什么？ 2函数f(x)ln(x2x1)与函数g(x)2ln(x1)是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)cos(arccos函数f(x)(1cosx)2x)与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 12与函数g(x)sinx是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)x1x12与函数g(x)lgx11x是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)10函数f(x)3与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 33与函数g(x)xx1是否表示同一函数？为什么？ x4x函数f(x)x1x2x与函数g(x)lnxx1x2是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)lne与函数g(x)e函数f(x)x2是否表示同一函数？为什么？ 1x21x与函数g(x)是否表示同一函数？为什么？ 1x设f(x)1x1x，确定f(x)的定义域及值域。

第四篇：高等数学第一章 函数、极限与连续

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与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

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2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函数、极限与连续

第一节 函数概念

1、内容分布图示

★ 集合的概念

★ 集合的运算

★ 区间

★ 例

1★ 邻域

★ 例2

★ 常量与变量

★ 函数概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函数举例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函数关系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函数特性

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-1

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)|2x1|3;(2)|3x2|3;(3)0(x1)29.讲解注意：

例2将点12的邻域表示为不带绝对值的不等式.33

讲解注意：

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例3函数y2.讲解注意：

例4绝对值函数y|x|x,x0x,x0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.(1)2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1时间年利率(%)3个月6个月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)国民生产总值统计表《中国统计年鉴((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生产总值(亿元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

讲解注意：

例6下面是几个常见的图形.(1)两位患者的心电图.见图1.1.1.图1.1.1(2)19952000年天津市人才市场状况图《天津年鉴((2001)》).见图1.1.2.高等数学教学备课系统

人数(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995达成意向人次进场人次***92000年份图1.1.2

讲解注意：

例7下面是几个常见的公式.(1)自由落体运动的距离公式:12gt,g为常数2(2)成本函数(costfunctiong):C(x)C0C1(x),其中C0为S固定成本;C1(x)为可变成本;x为生产量.讲解注意：

例8判断下面函数是否相同,并说明理由,画图表示.(1)yx2与y|x|;(2)y1与ysin2xcos2x(3)y2x1与x2y1.讲解注意：

例9求函数y 讲解注意：

121x x2的定义域.例10设f(x)讲解注意：

1,0x12,1x2,求函数f(x3)的定义域.高等数学教学备课系统

例11求函数f(x)讲解注意：

lg(3x)sinx54xx2的定义域.例12把一半径为R的圆形铁片,自中心处剪去圆心角为的扇形后,围成一无底圆锥,试将圆锥的体积V表为的函数.讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分每公里为数关系.讲解注意：

例15证明(1)函数y(2)函数yxx21在(,)上是有界的;4k元.求运价m和里程s之间的函5

1在(0,1)上是无界的.x2

讲解注意：

例16证明函数y讲解注意：

x在(1,)内是单调增加的函数.1x

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例17判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)ex1ex1ln1x1x1x1;(2)f(x)(23)x(23)x;(3)f(x)lg(x1x2);(4)f(x)(x2x)sinx.讲解注意：

例18设f(x)满足af(x)bf|a||b|,证明f(x)是奇函数.c,其中a,b,c为常数,且(1)xx

讲解注意：

1,xQ7,求D,D(1例19设D(x)50,xQ()2).并讨论D(D(x))的性质.讲解注意：

例20若f(x)对其定义域上的一切x,恒有f(x)f(2ax),则称f(x)对称于xa.证明:若f(x)对称于xa及xb(ab),则f(x)是以T2(ba)为周期的周期函数.讲解注意：

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第二节 初等函数

1、内容分布图示

★ 反函数

★ 例★ 例2 ★ 复合函数

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 幂函数、指数函数与对数函数

★ 三角函数

★ 反三角函数

★ 初等函数

★ 函数图形的迭加与变换

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-2

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求函数y1114x14x的反函数.讲解注意：

例2已知1,x0sgnx0,x0,sgnx为符号函数,1,x0求y(1x2)sgnx的反函数.讲解注意：

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例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)ylnsin2x;(2)yearctanx2;(3)ycos2ln(21x2).讲解注意：

例4设f(x)x1,(x)x2,求f[(x)]及[f(x)],并求它们的定义域.讲解注意：

例5设求f[(x)].f(x)exx,x1,x1,x2,(x)2x1,x0x0，讲解注意：

例6设fx讲解注意：

(11x22,求f(x).xx)

例7设f(x)ln(3x)的定义域(a0).149x2,求g(x)f(xa)f(xa)

讲解注意：

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第三节 经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★ 单利与复利

★ 例1

★ 多次付息

★ 贴现

★ 例2 ★ 需求函数

★ 供给函数

★ 市场均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函数

★ 例5

★ 收入函数与利润函数

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-3

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问：(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

讲解注意：

例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?

讲解注意：

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例3某种商品的供给函数和需求函数分别为qd25P10,qs2005P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.讲解注意：

例5某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台,每台售价500元,当年产量超过800台时,超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.讲解注意：

例7已知某厂生产单位产品时,可变成本为15元,每天的固定成本为2000元,如这种产品出厂价为20元,求(1)利润函数;(2)若不亏本,该厂每天至少生产多少单位这种产品.讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x900P45000.该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?

讲解注意：

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例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是C123xx2R11x试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.讲解注意：

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第四节 数列的极限

1、内容分布图示

★ 极限概念的引入

★ 数列的意义 ★ 数列的极限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收敛数列的有界性

★ 极限的唯一性

★ 例7

★ 收敛数列的保号性

★ 子数列的收敛性

★ 内容小结

★习题1-4

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明limn(1)n1n1.n

讲解注意：

例2证明limqn0,其中q1.n

讲解注意：

例3用数列极限定义证明52n2.n13n3lim

讲解注意：

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n221.例4用数列极限定义证明lim2nnn1

讲解注意：

例5设xn0,且limxna0,求证limnnxna.讲解注意：

例6证明:若limxnA,则存在正整数N,当nN时,不等式n|xn||A|2成立.讲解注意：

例7证明数列xn(1)n1是发散的.讲解注意：

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第五节 函数的极限

1、内容分布图示

★ 自变量趋向无穷大时函数的极限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限

★ 例★ 例5

★ 左右极限

★ 例6

★ 例7 ★ 函数极限的性质

★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-5

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim讲解注意：

sinx0.xx

例2用函数极限的X定义证明limxx21.x1

讲解注意：

例3(1)lim12xx0;(2)lim2x0.x

讲解注意：

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例4证明limx212.x1x1

讲解注意：

例5证明:当x00时,lim讲解注意：

xx0xx0.例6设f(x)讲解注意：

例7验证lim1x,x01,x0x2,求limf(x).x0

x0x不存在.x

讲解注意：

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第六节 无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 无穷大与无界变量

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例3

★ 内容小结

★习题1-6

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

1例1根据定义证明:yx2sinx当x0时为无穷小.讲解注意：

例2求lim讲解注意：

xsinx.x

x4.例3求lim3xx5讲解注意：

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第七节 极限运算法则

1、内容分布图示

★ 极限运算法则

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则

★ 例 12

★ 例 13

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-7

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求x31xlim2x23x5.讲解注意：

例2求lim4x1x22x3.x1

讲解注意：

例3求limx21.x1x22x3

讲解注意：

★ 例 14

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例4求lim讲解注意：

2x33x257x34x21x.例5求lim讲解注意：

x12n222nnn

例6计算下列极限:x1lim(1x)(1x)(1x)(1x)334.讲解注意：

例7计算下列极限:12lim.x11x21x

讲解注意：

例8计算下列极限:3xlim8x36x25x1.3x2

讲解注意：

例9计算下列极限:xlim(sinx1sinx).讲解注意：

例10求lim(x2xx2x).x8

讲解注意：

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例11计算下列极限:3(1)limnn2sinn!;n1(2)x0limtanx12ex.讲解注意：

例12已知x1,f(x)x23x1,x31xx0x0求limf(x),limf(x),limf(x).x0x

讲解注意：

例13求极限limlnx1[x21.2(x1)]

讲解注意：

例14已知lim(5xax2bxc)2,求a,b之值.x

讲解注意：

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第八节 极限存在准则

两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★单调有界准则★例4★limsinx1x0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim(11x)e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西极限存在准则★连续复制★内容小结★课堂练习★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlim1n211n221n2n

讲解注意：

例2计算下列极限:(1)lim(1nn23n1)n;(2)1nlimn21(n1)21(nn)2

讲解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3证明下列极限:n0(a1);nanan(2)lim0(a0);nn!n!(3)limn0.nn(1)lim

讲解注意：

例4证明数列xn333(n重根式)的极限存在.讲解注意：

例5设a0为常数,数列xn由下式定义:xn1axn1xn12n

(n1,2,)其中x0为大于零的常数,求limxn.讲解注意：

例6求lim讲解注意：

tan3x.x0sin5x

例7求lim讲解注意：

x01cosx.x2

例8下列运算过程是否正确:xlimxtanxtanxxtanxlimlimlim1.sinxxxsinxxxxsinx

讲解注意：

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例9计算lim讲解注意：

cosxcos3x.2x0x

例10计算lim讲解注意：

x21xsinxcosxx0.例11计算lim讲解注意：

x02tanx2sinx.x3

1例12求lim1xx讲解注意：

().x

例13计算下列极限:limx01x(12x);

讲解注意：

例14求lim1n(1n)n3.讲解注意：

例15求lim讲解注意：

x(x2x21)x.例16计算limxx0cosx.高等数学教学备课系统

讲解注意：

例17计算lim(ex0x1xx).讲解注意：

tan2x.例18求极限lim(tanx)x4

讲解注意：

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第九节 无穷小的比较

1、内容分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等价无穷小

★ 等价无穷小替换定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-9 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.讲解注意：

例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.讲解注意：

例3当x1时,试将下列各量与无穷小量x1进行比较:(1)x33x2;(2)lgx;(3)(x1)sin1.x1

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例4求limx0tan2x.sin5x

讲解注意：

例5求limtanxsinx.sin32xx0

讲解注意：

(1x2)1/31.例6求limx0cosx1

讲解注意：

例7计算lim1tanx1tanx12x1.x0

讲解注意：

exexcosx.例8计算limx0xln(1x2)讲解注意：

例9计算lim讲解注意：

x021cosx.sin2x

例10求lim讲解注意：

x0ln(1xx2)ln(1xx2).secxcosx

例11求limx0tan5xcosx1.sin3x

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讲解注意：

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第十节 函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★ 函数的连续性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右连续

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 连续函数与连续区间

★ 例6

★ 函数的间断点

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-10

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

xsin1,x0,x例1试证函数f(x)在x0处连续.x0,0，讲解注意：

例2f(x)是定义于[a,b]上的单调增加函数,x0(a,b),若xx0limf(x)存在,证明f(x)在x0连续.讲解注意：

x2,x0,()fx3例讨论在x0处的连续性.x2,x0，高等数学教学备课系统

讲解注意：

1x,x02x0在x0和x1处的连例4讨论函数f(x)0,1x2,0x1x14x,续性.讲解注意：

x4axb,x1,x2,例5设f(x)(x1)(x2)为使f(x)在x1x1,2,处连续,a与b应如何取值?

讲解注意：

例6证明函数ysinx在区间(,)内连续.讲解注意：

例7讨论函数f(x)x,x0,1x,x0,在x0处的连续性.讲解注意：

例8讨论函数2x,0x1f(x)1,x1x11x,在x1处的连续性.讲解注意：

1,x0,x例9讨论函数f(x)在x0处的连续性.,0,xx

讲解注意：

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例10求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补充或修改定义后使其为连续点.x2x|x|(x21),f(x)0,x1及0x1

讲解注意：

xsin1,x0,x例11研究f(x)在x0的连续性.ex,x0,

讲解注意：

xx2enx例12讨论f(x)lim的连续性.n1enx

讲解注意：

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第十一节 连续函数的运算与性质

1、内容分布图示

★ 连续函数的算术运算

★ 复合函数的连续性

★ 例1★ 初等函数的连续性

★ 例

3★ 例★ 例4

闭区间上连续函数的性质 ★ 最大最小值定理与有界性定理

★ 零点定理与介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习★习题1-11 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlimcos(x1x).讲解注意：

例2求limln(1x)x0x.讲解注意：

例3求limx1sinex1.讲解注意：

★ 例8

高等数学教学备课系统

例4求lim(x2ex01xx1).讲解注意：

例5证明方程x34x210在区间(0,1)内至少有一个根.讲解注意：

例6证明方程内的两个实根.1110有分别包含于(1,2),(2,3)x1x2x3

讲解注意：

例7设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b证明:(a,b),使得f().讲解注意：

例8设f(x)在[a,)上连续,f(a)0,且limf(x)A0,x证明:在(a,)上至少有一点,使f()0.讲解注意：

第五篇：高等数学函数极限连续练习题及解析

数学任务——启动——习题

1一、选择题：

(1)函数yxarccosx1的定义域是()

2(A)x1;(B)3x1(C)3,1(D)xx1x3x

1(2)函数yxcosxsinx是()

(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数

(3)函数y1cos

2x的最小正周期是()

(A)2(B)

(4)与y(C)4(D)1 2x2等价的函数是()

(A)x;(B)x(C)x(D)23x

x11x0(5)fx,则limfx()x0x1x0

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：

(1)若f1

t52t2,则ft_________,ft21__________.t



1(2)tsinx3，则______。______,66x

30,1，则fx2的定义域为______，fsinx的定义域为x(3)若fx的定义域为

______，fxaa0的定义域为___，fxafxaa0的定义域为______。

14x

2(4)lim。__________

12x1x2

(5)无穷小量皆以______为极限。

三、计算题

(1)证明函数y11sin在区间0,1上无界，但当x0时，这个函数不是无穷大。xx

(2)求下列极限(1)lim2x33x25

x7x34x21

(3)limtanxtan2x

x

(5)limex1

x

x0

(7)limxsinx1

x0x2arctanx

(2)lim1cos2x x0xsinx(4)lim12n3n1n n(6)limtanxsinxx0sin32x 1(8)limxex1x

(3)设fx

1xx0，求limfx。2x0x1x0

(4)证明数列2,22,222,的极限存在，并求出该极限。

f(x)2x3f(x)2,lim3, 求f(x)(5)设f(x)是多项式, 且lim2xx0xx

(6)证明方程xasinxb，其中a0,b0，至少有一个正根，并且它不超过ab。

x2axb2,求:a,b.(7).lim2x2xx2